Programmation par contraintes

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1 Programmation par contraintes
Virginie gabrel Master ID apprentissage PPC - V. Gabrel

2 Plan Exemple introductif : Sudoku Partie 1 : Définition d’un CSP Partie 2 : Résolution d’un CSP Partie 3 : La PPC avec OPL PPC - V. Gabrel

3 Exemple introductif : sudoku
7 5 3 2 6 1 9 4 PPC - V. Gabrel

4 Exemple introductif : sudoku
7 5 3 2 6 1 9 4 ? ? PPC - V. Gabrel

5 Exemple introductif : suduko
7 5 3 2 6 1 9 4 ? Réduction de domaine par propagation des contraintes Case : 1 2 Ligne : 5 7 Colonne : 2 7 => PPC - V. Gabrel

6 Exemple introductif : sudoku
7 5 3 2 6 1 9 4 Réduction du domaine Seule position possible pour le 4 => Réduire les domaines des autres cellules PPC - V. Gabrel

7 Sudoku et PPC Cellule = variable qui doit prendre une valeur dans le domaine : 1..9 Existence de contraintes restreignant les domaines des variables Raisonnement par élimination de valeurs et réduction du domaine Raisonnement local propagé sur les domaines admissibles des autres variables  PRINCIPES AU CŒUR DE LA PPC PPC - V. Gabrel

8 Sudoku : Modèle Variables et domaines :
x[i,j]  1..9 pour i et j allant de 1 à 9 Contraintes : Pour i allant de 1 à 9 // valeurs différentes en ligne allDifferent(x[i,j] : j de 1 à 9 ) // valeurs différentes en colonne allDifferent(x[j,i] : j de 1 à 9); Pour i allant de 0 à 2 Pour j allant de 0 à 2 // valeurs différentes dans les cases 3x3 allDifferent(x[3*i+k,3*j+q] : k et q de 1 à 3); PPC - V. Gabrel

9 Sudoku avec OPL /*********************************************
* OPL 6.3 Model * Author: utilisateur * Creation Date: 11 mai 2010 at 20:49:52 *********************************************/ using CP; int taille=9; dvar int x[1..taille,1..taille] in 1..taille; subject to { forall(i in 1..taille) { allDifferent(all(j in 1..taille) x[i,j]); allDifferent(all(j in 1..taille) x[j,i]); } forall(i in 0..2) forall(j in 0..2) allDifferent(all(k in 1..3, q in 1..3) x[3*i+k,3*j+q]); x[1,1]==7;x[2,2]==2;x[2,3]==5;x[3,2]==6;x[3,3]==1;x[3,4]==9;x[1,6]==5;x[1,8]==3;x[2,9]==7; x[5,1]==4;x[6,2]==7;x[5,4]==3;x[5,5]==2;x[6,6]==6;x[4,7]==9;x[6,8]==4;x[6,9]==2; x[7,2]==4;x[7,3]==6;x[9,3]==7;x[8,5]==4;x[9,5]==5;x[8,7]==2;x[9,7]==1; PPC - V. Gabrel

10 Solution // solution x = [[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]]; PPC - V. Gabrel

11 Spécificités de la programmation par contraintes
Combine des techniques de raisonnement/déduction avec du calcul. Méthodologie utilisée : Modéliser le problème en termes de variables, de domaines et de contraintes (spécifiant les combinaisons admissibles de valeurs aux variables) Choisir un langage pour exprimer les contraintes Appliquer une méthode de résolution : énumération et réduction de l’espace de recherche PPC - V. Gabrel

12 Partie 1 : Définition d’un CSP
1 – Le problème des reines 2 – Qu'est-ce qu'une contrainte ? 3 – Qu'est ce qu'un CSP: Constraint Satisfaction Problem ? 4 –Un deuxième exemple : Intégration de nouveaux employés dans une entreprise PPC - V. Gabrel

13 Exemple : le problème des n reines
Problème : placer n reines sur un échiquier nxn de façon à ce qu’elles ne puissent pas s’attaquer. 1 2 3 4 1 2 3 4 Solution partielle Solution complète PPC - V. Gabrel

14 Modélisation sous la forme d’un CSP
Variables : X = (x1,…,xn, y1, …, yn) Associer à chaque reine i deux variables xi et yi correspondant respectivement à la ligne et la colonne sur laquelle placer la reine. Domaines : D=(Dx1, …, Dxn, Dy1,…, Dyn) avec Dxi = Dyi = 1..n pour tout i Contraintes : C=(clig,ccol,cdm,cdd) Les reines doivent être sur des lignes différentes. clig = {xi≠xj pour tout i=1..n et j=1..n avec i≠j}  clig = allDifferent({xi}) Les reines doivent être sur des colonnes différentes. ccol = {yi≠yj pour tout i=1..n et j=1..n avec i≠j}  ccol = allDifferent({yi}) Les reines doivent être sur des diagonales montantes différentes. cdm = {xi+yi≠xj+yj pour tout i allant de 1 à n, pour tout j allant de 1 à n} Les reines doivent être sur des diagonales descendantes différentes. Cdd = {xi-yi≠xj-yj pour tout i allant de 1 à n, pour tout j allant de 1 à n} Une solution du problème des 4 reines, pour cette première modélisation, est A = {(x1,1), (y1,2), (x2,2), (y2,4), (x3,3), (y3,1), (x4,4), (y4,3)} PPC - V. Gabrel

15 Qu'est-ce qu'une contrainte ?
Une contrainte est une relation logique (une propriété qui doit être vérifiée) entre différentes inconnues, appelées variables, chacune prenant ses valeurs dans un ensemble donné, appelé domaine. Une contrainte restreint les valeurs que peuvent prendre simultanément les variables. Par exemple, la contrainte "x + 3*y = 12" restreint les valeurs que l'on peut affecter simultanément aux variables x et y. PPC - V. Gabrel

16 Qu'est-ce qu'une contrainte ?
Une contrainte peut être définie en extension On énumére les tuples de valeurs satisfaisant la contrainte . Exemple : si les domaines des variables x1 et x2 sont {0,1,2} alors on peut définir la contrainte x1 < x2 en extension par "(x1,x2) élément-de {(0,1),(0,2),(1,2)}" Variable : xj et son domaine de définition Dj Contrainte : c(i) est définie par un couple (v(i),r(i)) où : v(i)=(x1,…,xk) : liste de k variables r(i) : une liste de k-uplets admissibles, sous-ensemble du produit cartésien D1X…XDk ↔ ensemble des combinaisons de valeurs admissibles PPC - V. Gabrel

17 Qu'est-ce qu'une contrainte ?
Une contrainte peut être définie en intension n variables : X=(x1,…,xn) n domaines (finis) : i=1,..,n, xiDi m contraintes : C=(c(1),…,c(m)) c(i) = (v(i), r(i)) où v(i) une liste de k variables et r(i) une relation. PPC - V. Gabrel

18 Arité d’une contrainte
C’est le nombre de variables sur lesquelles elle porte =|v(i)|. Si k=1 : contrainte unaire Si k=2 : contrainte binaire : x1 ≠ x2 Si k=3 : contrainte ternaire : x1x2x3 Si k=n : contrainte n-aire : allDifferent(v(i)) = contraint toutes les variables appartenant à v(i) à prendre des valeurs différentes. PPC - V. Gabrel

19 Différents types de contraintes
Fonction des domaines de valeurs des variables : numériques portent sur des variables à valeurs numériques = une égalité (=) , une différence (≠) ou une inégalité (<, ≤, >, ≥) entre 2 expressions arithmétiques. On distingue : les contraintes numériques sur les réels, les contraintes numériques sur les entiers, les contraintes numériques linéaires, les contraintes numériques non linéaires , … booléennes portent sur des variables à valeur booléenne (vrai ou faux) : une contrainte booléenne est une implication (=>), une équivalence (<=>) ou une non équivalence (<≠>) entre 2 expressions logiques. PPC - V. Gabrel

20 Qu'est ce qu'un CSP ? Un pb de Satisfaction de Contraintes (CSP) est un problème P modélisé sous la forme d'un ensemble de contraintes posées sur des variables, chacune de ces variables prenant ses valeurs dans un domaine. CSP est définie par un triplet (X,D,C) où X=(x1,…,xn) D=(D1,…,Dn) avec i=1,..,n, xiDi C=(c(1),…,c(m)) avec c(i) = (v(i), r(i)) où c(i) est une relation entre les variables de v(i), restreignant les valeurs que peuvent prendre simultanément ces variables. CSP binaire : Ne contient que des contraintes binaires Exemple : soit le CSP (X,D,C) suivant : X = (a,b,c,d) D(a) = D(b) = D(c) = D(d) = {0,1} C = { a ≠ b, c ≠ d, a+c < b } PPC - V. Gabrel

21 Qu'est ce qu'un CSP ? Une solution du CSP (X,D,C) : affectation des valeurs aux variables de telle sorte que toutes les contraintes soient satisfaites. A = { (x1,v1), (x2,v2), ..., (xn,vn) } = l'affectation qui instancie la variable xk par la valeur vk, k=1..n. Affectation totale : toutes les variables du problème sont instanciées Affectation partielle : seule une partie des variables est instanciées. Xk (inclus dans X) est le domaine de l’affectation Une affectation A viole une contrainte c(k) si toutes les variables de v(k) sont instanciées dans A, et si la relation définie par r(k) n'est pas vérifiée pour les valeurs des variables de v(k) définies dans A. Une affectation (totale ou partielle) est consistante si elle ne viole aucune contrainte, et inconsistante si elle viole une ou plusieurs contraintes. Une solution est une affectation totale consistante, c'est-à-dire une instanciation de toutes les variables du problème qui ne viole aucune contrainte PPC - V. Gabrel

22 Différents problèmes de CSP
SP = ensemble de solutions du CSP P P est consistant ssi SP ≠ . Prouver qu’un CSP est consistant Exhiber une solution qui maximise un ou plusieurs critères Calculer ou estimer le nombre de solutions d’un CSP Si SP = . =>Trouver l'affectation totale qui viole le moins de contraintes possibles = max-CSP ou min-VCSP lorsque chaque contrainte a un poids (= une valeur proportionnelle à l'importance de la contrainte, et on cherche l'affectation totale qui minimise la somme des poids des contraintes violées). PPC - V. Gabrel

23 Autre modélisation du pb des n reines
n variables X = {x1,…,xn} : xi = position de la reine i sur la colonne i. Domaines : D(xi) = {1,…,n} pour tout i allant de 1 à n Contraintes : les reines doivent être sur des lignes différentes Clig = {xi ≠ xj / pour i allant de 1 à n, pour j allant de 1 à n et i ≠ j} les reines doivent être sur des diagonales montantes différentes Cdm = {xi+i ≠ xj+j / pour tout i allant de 1 à n, pour tout j allant de 1 à n et i ≠ j} les reines doivent être sur des diagonales descendantes différentes Cdd = {xi-i ≠ xj-j / pour tout i allant de 1 à n, pour tout j allant de 1 à n et i ≠ j} Solution du problème des 4 reines : A = {(x1,2), (x2,4), (x3,1), (x4,3)}. PPC - V. Gabrel

24 Deuxième exemple Pour l’accueil de 30 nouveaux employés, on souhaite constituer 10 équipes de 6 personnes avec 30 employés. Chaque équipe doit être constituée de 6 personnes : 3 nouveaux + 3 employés. Chacun des employés est affecté à un service indicé de A à F et chaque équipe doit être contenir au plus 4 employés du même service. Les employés des services A et B ne peuvent être dans la même équipe ; même contrainte pour les employés des services E et F. Données : Les employés sont indicés de 0 à 59 : les nouveaux employés ont un numéro pair alors que les autres ont un numéro impair. Les affectations aux services sont : L’employé 5 doit être dans la même équipe que l’employé 41. L’employé 15 doit être soit avec l’employé 40 soit avec l’employé 51. Soit l’employé 20 est avec 24, soit l’employé 22 est avec 50. service A B C D E F intervalle 0-19 20-39 40-44 45-49 50-54 55-59 PPC - V. Gabrel

25 Modèlisation sous la forme d’un CSP
Variables : xi = numéro d’équipe affecté à l’employé i, i=0..59 Domaines : Di = {1,..,6} pour tout I Contraintes : Pour tout j allant de 1 à 6 count(pour i allant de 0 à 59 avec i%2=0 : xi= j)=3 count(pour i allant de 0 à 59 avec i%2=1 : xi= j)=3 count(pour i allant de 0 à 19, xi=j)<=4 count(pour i allant de 20 à 39, xi=j)<=4 count(pour i allant de 40 à 44, xi=j)<=4 count(pour i allant de 45 à 49, xi=j)<=4 count(pour i allant de 50 à 54, xi=j)<=4 count(pour i allant de 55 à 59, xi=j)<=4 Pour tout j allant de A à F … x5=x41 (x15=x40)(x15=x51) PPC - V. Gabrel

26 Exemple d’applications industrielles
Allocation de ressources (tournées de véhicules) Emploi du temps Planification de production Ordonnancement Vérification et diagnostic … PPC - V. Gabrel

27 Partie 2 : Résolution d’un CSP
Procédure d’exploration Engendrer et tester Procédure Retour Arrière Simple La consistance locale Filtrage a priori Filtrage en cours de résolution Heuristiques On ne limite à des CSP à variables entières !! PPC - Virginie Gabrel

28 1. Procédure Engendrer et tester
Obj : Enumérer l’ensemble des affectations complètes jusqu’à en trouver une qui soit consistante PPC - Virginie Gabrel

29 Procédure Engendrer et tester
Procédure EngTest(A,X,D,C) Si A est totale alors si A est consistante alors retourner vrai sinon faux fsi Sinon choisir xj non instanciée pour tout v dans Dj faire si EngTest(A(xj,v),X,D,C) alors retourner vrai fin pour retourner faux Fsi Appel : EngTest(,X,D,C) PPC - Virginie Gabrel

30 Procédure Engendrer et tester
On ne teste que la consistance des affectations totales Pas de détection d’inconsistance sur les affectations partielles Le nb de solutions explorées peut être très grand = |D1|x…x|Dn| Si |Dj|=2 => 2n solutions. Dès que n>15 => impossible à résoudre => TRES MAUVAISE PROCEDURE PPC - Virginie Gabrel

31 Pistes d’amélioration
Ne développer que les affectations partielles consistantes => Procédure RetourArrièreSimple Réduire les tailles des domaines des variables en enlevant les valeurs inconsistantes PPC - Virginie Gabrel

32 2. Procédure Retour Arrière Simple
Procédure RAS(A,X,D,C) Si A est totale alors retourner A fsi Sinon choisir xj non instanciée pour tout v dans Dj faire si A(xj,v) est consistante alors RAS(A (xj,v),X,D,C) fin pour Fsi Appel : RAS(,X,D,C) PPC - Virginie Gabrel

33 Procédure Retour Arrière Simple
Permet d’éliminer des solutions partielles par paquet ! Pistes d’amélioration : s’apercevoir plus tôt qu’un sous-arbre ne contient pas de solutions. PPC - Virginie Gabrel

34 3. La consistance locale Obj : Supprimer des valeurs des variables qui ne mènent à aucune solution  valeurs inconsistantes avec une ou plusieurs contraintes Exemple: Dx={1,2,3}, Dy={2,3,4}, x>=Y Si x=1, pas de valeur dans Dy pour vérifier la contrainte Suppression de 1 dans Dx PPC - V. Gabrel

35 Nœud-consistance S’applique aux contraintes unaires
Définition : Un CSP est nœud-consistant si xX, c(i)C telle que |v(i)|=1, vDx, (x,v) vérifie r(i). PPC - V. Gabrel

36 Arc-consistance S’applique sur les contraintes binaires
Définition : Un CSP est arc-consistant ssi c(i)C telle que |v(i)|=2 avec v(i)={x,y} vDx, v’Dy: {(x,v),(y,v’)} vérifie r(i) vDy, v’Dx: {(x,v’),(y,v)} vérifie r(i) Remarque :  algo polynomiaux pour rendre arc-consistant un CSP. PPC - Virginie Gabrel

37 Hyper-arc-consistance
S’applique sur des contraintes d’arité qqconque Définition : Soit une contrainte c(i) d’arité k, c(i) est hyper-arc-consistant si xv(i) et vDx,  une affectation A des variables de v(i)\{x} telle que A(x,v) vérifie r(i) Un CSP est hyper-arc-consistant ssi toute ses contraintes sont hyper-arc-consistantes. PPC - V. Gabrel

38 Hyper-arc-consistance
Un CSP est hyper-arc-consistante si chaque valeur v de n’importe quel domaine de variable peut participer à une affectation totale consistante. Pour une contrainte binaire : hyper-arc-consistance = arc-consistance PPC - V. Gabrel

39 4-Filtrage a priori Comment rendre un CSP arc-consistant ? Par le Filtrage. PPC - Virginie Gabrel

40 Procédure Filtrage a priori
Procédure FAP1(X,D,C) L<- {(xi,xj), (xj,xi) avec ij liées par une contrainte binaire} Répéter modification <- faux pour tout (xi,xj) dans L modification <- REVISE (xi,xj)modification fin pour Tant que modification= vrai Procédure REVISE(xi,xj) pour tout v dans Di faire S’il n’existe pas v’Dj tel que {(xi,v), (xj,v’)} est consistance alors Di <- Di\{v} modification <- vrai fin si Fin pour Retourner modification PPC - Virginie Gabrel

41 Procédure Filtrage a priori
Limite de FAP1 : A chaque réduction de domaine on parcours de nouveau L = > TRES LONG Procédure FAP2(X,D,C) L<- {(xi,xj), (xj,xi) avec ij liées par une contrainte} Tant que L   choisir et supprimer de L un couple (xi,xj) si REVISE(xi,xj) alors L <- L{(xk,xi):  contrainte liant xk et xi} fin si Fin tant que Si à l’issue de FAP1 ou FAP2, il existe un domaine vide  CSP inconsistant PPC - Virginie Gabrel

42 Exercice 1 Peut-on rendre le CSP suivant arc-consistant ? Appliquer FAP1 puis FAP2 Variables : x,y,z Domaines : Dx={0,1,2} Dy={0,1,2} Dz={0,1,2,3,4} Contraintes (x,y){(0,1),(1,0),(2,2)} (x,z){(0,2),(0,3),(1,1),(2,1)} (y,z){(0,2),(1,4)} PPC - V. Gabrel

43 Exercice 2 : Planification de tâches
On doit planifier 6 tâches dans un délai de 6 heures Graphe potentiel-tâche Chaque tâche ne peut commencer qu’en début d’heure. La tâche T1 ne peut pas être planifiée à la même heure que la tâches T4. Modéliser ce problème comme un CSP Rendre ce CSP arc-consistant. 1 T1 T6 1 1 2 T2 T4 T5 T3 2 PPC - V. Gabrel

44 Limites du filtrage a priori
Procédure longue et pas nécessairement efficace Exemple: X=(x1,…,xn) Di={1,…,n} pour tout i allant de 1 à n C=(X, all-diff(x1,…,xn)) le filtrage a priori n’enlève aucune valeur. Amélioration : utiliser le filtrage en cours d’énumération PPC - V. Gabrel

45 5-Filtrage en cours de résolution
A chaque instanciation : anticiper les conséquences de l’affectation partielle sur les domaines des variables restant à instancier Filtrer les domaines des variables non affectées en enlevant les valeurs inconsistantes Différents filtrages possibles PPC - V. Gabrel

46 Différents filtrages étant donné une affectation partielle A
Pour chaque variable xi non affectée, enlever de Di toute valeur v telle que l’affectation A{(xi,v)} ne soit pas consistante ( on anticipe d’une étape dans l’énumération)  FILTRAGE PAR CONSISTANCE DE NŒUD PPC - V. Gabrel

47 Procédure Forward Checking
Procédure FC(A,V,D,C) Si V= alors A est une affectation totale consistante Sinon choisir xk dans V pour tout v dans Dk si check-forward(xk,v,V\{xk},D,C) alors FC(A(xk,v),V\{xk},D,C) fin si fin pour Fin si Procédure check-forward(xk,v,V,D,C) pour tout xj  V pour chaque v’  Dj si {(xk,v),(xj,v’)} inconsistant alors Dj <- Dj\{v’} Si Dj= alors retourner faux Retourner vrai Appel : FC(,X,D,C) PPC - Virginie Gabrel

48 Différents filtrages étant donné une affectation partielle A
Pour chaque variable xi non affectée, enlever de Di toute valeur v telle qu’il existe une variable xj non affectée pour laquelle, pour toute valeur w de Dj, l’affectation A{(xi,v),(xj,w)} ne soit pas consistante ( on anticipe de deux étapes) FILTRAGE PAR CONSISTANCE D’ARC PPC - V. Gabrel

49 Procédure full Look-Ahead
Après chaque instanciation, réaliser une arc-consistance complète sur les variables non instanciées + réduit les domaines encore mieux que le FC beaucoup plus gourmand en tps de calcul A faire : Simuler sur le pb des 4 reines Comparer FC et FLA sur le CSP suivant : X={x,y,z}, Dx=Dy=Dz={1,2}, C={xy,yz,xz} PPC - V. Gabrel

50 Différents filtrages étant donné une affectation partielle A
Anticipe de 3 étapes dans l’énumération FILTRAGE PAR CONSISTANCE DE CHEMIN ou 3-CONSISTANCE … Plus un filtrage est fort, plus il sera long à exécuter ! PPC - V. Gabrel

51 Traitement de contraintes spécifiques
La contrainte allDifferent x[1,1] == 1 => x[1,2]{2,3,4} x[1,4] == 2 => x[1,2]{3,4} x[3,2] == 3 => x[1,2]{4} 1 ? 2 4 3 PPC - V. Gabrel

52 La contrainte allDifferent
allDifferent(x1,…,xn) Calculer nv : nbre de variables non instanciées R : ensemble des valeurs restantes dans les domaines des variables non instanciées Si nv > |R| alors CSP inconsistant PPC - V. Gabrel

53 Traitement de allDifferent
c est une contrainte allDifferent(X) nv=|X| Procedure filtrageAllDifferent(c) V<- X Tant que xV telle que Dx ={v} V<- V\{x} pour tout x’V, Dx’ <- Dx’\{v} Fin tq U<- Pour tout xX faire U<-UDx Si nv >|U| alors retourner Inconsistance PPC - V. Gabrel

54 Traitement de allDifferent
Limite de la procédure filtrageAllDifferent(c) Après réduction de domaine : {1,2} 4 3 {1,2,3,4} allDifferent(x33,x34,x43,x44) nv=4 |X|=4 => CSP consistant ? Réponse : non PPC - V. Gabrel

55 Traitement de allDifferent
Pour aller plus loin : Calculer un couplage maximal dans un graphe biparti (cmax est la valeur du couplage) avec par ex un algorithme de flot Si nv>cmax => CSP inconsistant x33 x34 x43 x44 1 2 3 4 cmax=3 PPC - V. Gabrel

56 5. Heuristiques Obj : faire apparaître les échecs le plus tot possible
Ordre des variables à instancier : Priorité aux variables liées (par des contraintes) au plus grand nombre de variables déjà instanciées Priorité aux variables ayant le domaine de + petite cardinalité Priorité aux variables intervenant dans le plus grand nombre de contraintes Ordre de vérification des contraintes : priorité aux contraintes les moins satisfiables PPC - V. Gabrel

57 CSP qqconque -> CSP binaire
Soit un CSP=(X,D,C) avec C=C2Ck , C2 contient les contraintes binaires et Ck les m contraintes d’arité > 2 Obj : Le transformer en CSP binaire équivalent (même ensemble de solutions) A toute contrainte c(i) d’arité k (k>2), associer une var yi dont le domaine est l’ensemble des k-uplets consistants de c(i) Définir CSP’=(X’,D’,C’) = CSP de la façon suivante : X’=XY C’=C2{i=1..m, xj : jeme var de v(i), xj=j-eme-arg(yi)} avec j-eme-arg(yi) la fonction unaire qui renvoie la jeme variable du k-uplet PPC - V. Gabrel

58 Exemple CSP=(X,D,C) avec X={x1,x2,x3,x4}, Di={0,1}, C={c2(1),ck(1),ck(2)}, c2(1): x1x2=1 et ck(1): x1x2=x3, ck(2): x1x2=x4 y={y1,y2} Dy1={(x1,x2,x3) : ck(1) est vérifiée} = (0,0,0)(0,1,0)(1,0,0)(1,1,1)} Dy2 ={(x1,x2,x4) : ck(1) est vérifiée} ={(0,0,0)(0,1,1)(1,0,1)(1,1,1)} C’={c2(1)}{x1=1er-arg(y1), x2=2eme-arg(y1), x3=3eme-arg(y1), x1=1er-arg(y2), x2=2eme-arg(y2), x4=3eme-arg(y2)} PPC - V. Gabrel

59 La PPC avec OPL Plusieurs solveurs disponibles proposant des librairies IBM ILOG CP Optimizer (C++, java, OPL development studio) Microsoft Solver Foundation (C++, Python, inclus dans EXCEL 2007) Choco Solver (java) gratuit PPC - V. Gabrel

60 Exemple Accueil des nouveaux sous OPL
using CP; range persons=0..59; range teams=1..10; {string} serviceNames={"A","B","C","D","E","F"}; {int} service[serviceNames]=[asSet(0..19),asSet(20..39),asSet(40..44), asSet(45..49),asSet(50..54),asSet(55..59)]; dvar int team[persons] in teams; subject to { forall(t in teams) { count(all(i in persons: i%2==1) team[i],t)==3; count(all(i in persons: i%2==0) team[i],t)==3; forall(f in serviceNames) count(all(i in service[f]) team[i],t)<=4; } forall(pA in service["A"],pB in service["B"]) team[pA]!=team[pB]; forall(pE in service["E"],pF in service["F"]) team[pE]!=team[pF]; team[5]==team[41]; (team[15]==team[40]) || (team[15]==team[51]); (team[20]==team[24]) || (team[22]==team[50]); PPC - V. Gabrel

61 Les contraintes sous OPL
Arithmétiques : min, max, count, abs, element Logiques : &&, ||,!, =>,!=,== Explicites : allowedAssignments, forbiddenAssignments Spécialisées : allDifferent, allMinDistance, inverse, lex, pack PPC - V. Gabrel

62 allowedAssignments Purpose : OPL function to define the allowed combinations of values. Type : boolean (1 if the constraint is true, 0 otherwise) Syntax : allowedAssignments({tuple-type},int, ...) Description : This constraint allows you to easily define the allowed combinations of values for several integer decision variables. This constraint can apply to any number of variables (and therefore each has a variable number of arguments). The set of allowed combinations is given by a tuple with an arity (number of fields) equal to the number of considered variables. Each tuple defines an allowed combination. PPC - V. Gabrel

63 Exemple using CP; tuple C { int a; int b; }; {C} possibles = {<1,1>, <2,4>}; {C} forbidden = {<3,5>}; dvar int+ x; dvar int+ y; subject to { allowedAssignments(possibles, x, y); forbiddenAssignments(forbidden, x, y); } PPC - V. Gabrel

64 Contraintes spécialisées
allDifferent : constrains variables within a dvar array to all take different values allMinDistance : constrains variables within a dvar array to all take values that are one-to-one different by at least a given gap inverse : takes two arrays of integer variables that must be indexed by an integer and be one-dimensional lex : states that the first array of variables is less than or equal to the second array of variables in the alphabetical order pack : represents some simple but powerful one-dimensional packing constraint PPC - V. Gabrel

65 Contrainte pack Purpose : a constraint to maintain the load of a set of containers. j=1..n ((p[j]==i)*(w[j]))==l[i] i  using CP; Type : boolean (1 if the constraint is true, 0 otherwise) int m = 2; //nb containers int n = 3; //nb objets dvar int l[j in 1..m] in ; Syntax dvar int p[i in 1..n] in 1..m; pack([dvar] int[], [dvar] int[], int[]) dvar int nb; pack([dvar] int[], [dvar] int[],int[], [dvar] int) int w[1..n] = [i : 1 | i in 1..n]; subject to { pack(l, p, w, nb); } assert nb==m-count(l,0); PPC - V. Gabrel

66 Références http://www710.univ-lyon1.fr/~csolnon/Site-PPC
Principles of constraint programming K. R. Apt PPC - V. Gabrel