Cours Commande Robuste Multi-variables Application au Chaos

Cours Commande Robuste Multi-variables Application au Chaos
LAUNAY Frédéric 2 mars 2011

Introduction à l’étude des systèmes Non Linéaire
Identification : Modèle mathématique réalisant un compromis entre sa fidélité de comportement qualitatif et quantitatif et sa simplicité de mise en oeuvre à des fins d’analyse et de synthèse. La modélisation entraîne obligatoirement des approximations et des simplifications afin de permettre une analyse des propriétés du modèle qui ne soit pas trop complexe et une procédure de synthèse de commande efficace.

Contexte général Introduction
Par hypothèses, (approximation des faibles déviations autour d’un ”mouvement” nominal), certains systèmes peuvent être décrits par un modèle mathématique linéaire, Les méthodes fréquentielles d’analyse et de synthèse:

Réalité plus complexe : retenir dans la modélisation du système physique des éléments non linéaires difficilement modélisables par ailleurs et que l’on ne peut approximer. Différents cas génériques se présentent pour lesquels les modélisations linéaires ne peuvent suffire: transformation (cosinus,sinus), saturation, hystérésis… D’importants processus physiques sont décrits par des modèles non linéaires. Caractéristiques courant tensions des éléments électroniques, modèles chimiques…

Introduction Contexte général Les méthodes temporelles : 5

Etude Non Linéaire Introduction
Linéarisation du modèle non linéaire autour d’un point de fonctionnement mais la méthode de linéarisation n’est pas suffisante  outils propres au non linéaire. Deux faits limitent la portée des résultats obtenus par la méthode de linéarisation. -La méthode de linéarisation est une méthode par approximation  valide localement. -Les dynamiques d’un système non linéaire sont beaucoup plus riches que celles d’un système linéaire dans le sens qu’elles reflètent des comportements et des phénomènes purement non linéaires.

Etude des trajectoires d’un système non linéaire : 1) Méthode fréquentielle : Méthode du premier harmonique 2) Méthode temporelle : Méthode du plan de phase (Isoclines) Lyapunov (stabilité) 7

A la différence des systèmes linéaires qui possèdent un point d’équilibre unique, les systèmes non linéaires peuvent posséder plusieurs points d’équilibre. Exemple: Soit le système physique régi par l’équation différentielle suivante: Le système linéarisé autour du point x0 est donné par:

Le système non linéaire, quant à lui a les caractéristiques suivantes: Linéaire

Contexte général Introduction Cycles limites
Un système linéaire invariant dans le temps, pour osciller, doit avoir une paire de pôles sur l’axe imaginaire fragile vis à vis de perturbations et/ou erreurs de modélisation De plus, l’amplitude de l’oscillation obtenue en théorie dépend uniquement de la condition initiale. Au contraire, les systèmes non linéaires peuvent être le siège d’oscillations, (cycles limites), caractérisées par leur amplitude et leur fréquence, indépendantes de la condition initiale et sans excitation extérieure. Il est donc indispensable d’utiliser un système non linéaire si l’on souhaite réaliser en pratique une oscillation stable.

Exemple: équation de Van der Pol :

Exemple: équation de Van der Pol : Plan de phase Quasi harmonique

Contexte général Introduction Bifurcation :
Des changements quantitatifs des paramètres peuvent entrainer des changements qualitatifs des propriétés du système, (nombre de points d’équilibre, stabilité des points d’équilibre). Exemple: équation non amortie de Duffing : L’équation donnant le point d’équilibre est:

Introduction Introduction Bifurcation :
Suivant que a sera négatif ou positif, le nombre de points d’équilibre sera différent. Quand a varie, le nombre de points d’équilibre varie de 1 à 3: 14 14

Ecriture générale Introduction état sortie commande entrées exogènes .
15 15

Ecriture générale Introduction Systèmes linéaires
Systèmes non linéaires Équations différentielles linéaires à coefficients constants Équations différentielles à coefficients variables Équations différentielles non linéaires Systèmes chaotiques Équations aux dérivées partielles 16 16

Ecriture générale Introduction Théorème de Lyapunov
Le système décrit par est stable si et seulement si il existe une fonction telle que 17

Ecriture générale Introduction
Cas particulier de la stabilité quadratique On considère une fonction de Lyapunov du type où Interprétation variation d’énergie interne énergie entrante énergie sortante énergie générée dans le système énergie dépensée dans le système 18

Ecriture générale Introduction
est assimilable à une fonction d’énergie Un système est stable s’il dépense plus d’énergie qu’il n’en reçoit 19

Ecriture générale Introduction Cas d’un système linéaire avec
d’où la condition de stabilité quadratique d’un système linéaire: une condition nécessaire et suffisante est d’avoir et donc que les valeurs propres de soient à parties réelles strictement négatives 20

Introduction Introduction Qu’est ce que le chaos ?
Pourquoi l’utiliser? Objectif de ce travail de thèse. Introduction Qu’est ce que le chaos ? Pourquoi l’utiliser ? Objectif de ce travail de thèse. 21 21

Pourquoi l’utiliser? Introduction Qu’est ce que le chaos ? Pourquoi l’utiliser ?

Exemple de la suite logistique
Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Exemple de la suite logistique Exemple discret de la suite logistique Pour μ= 1.6, la suite converge vers un point fixe de valeur 0,375. Eléments de construction

Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Exemple de la suite logistique Exemple discret de la suite logistique Pour μ= 2.8, la suite converge vers un point fixe de valeur 0,64 μ Eléments de construction Convergence de la suite

Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Exemple de la suite logistique Exemple discret de la suite logistique Pour μ= 3.4, la suite oscille entre 0.84 et 0.45 μ Eléments de construction Convergence de la suite

Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Exemple de la suite logistique Exemple discret de la suite logistique Pour μ= 3.47, la suite oscille entre les 4 valeurs 0.47, 0.86, 0.4, 0.84 μ Eléments de construction Convergence de la suite

Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Exemple de la suite logistique Exemple discret de la suite logistique Pour μ= 3.9, la suite est apériodique, elle ne converge pas. μ Eléments de construction Convergence de la suite

Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Exemple de la suite logistique Exemple discret de la suite logistique Pour μ= 3.9, avec une autre condition initiale, la trajectoire est différente μ Eléments de construction Convergence de la suite

Exemple avec un système dynamique
Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Exemple avec un système dynamique Exemple continu avec un système dynamique de Chua: avec et

Trajectoires produites en fonction des C.I
Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Trajectoires produites en fonction des C.I

Exemple de génération de pseudo-chaos avec un circuit électronique :
Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Exemple de génération de pseudo-chaos avec un circuit électronique : Représentation du générateur sous forme de treillis:

Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Exemple de génération de séquences à 100 Mega Symboles/s sur 256 niveaux

Les systèmes chaotiques
Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques Le terme " chaos " vient des faits suivants: - il ne se répète jamais (et semble erratique), il a une dépendance sensible par rapport aux conditions initiales (effet papillon) mais il n’en est pas moins ordonné et caractérisé par un déterminisme imprévisible. Le déterminisme imprévisible signifie que même un modèle parfait de système chaotique (équations de mouvement identiques et mêmes conditions initiales) débouche sur des résultats imprévisibles. Les systèmes en état de chaos sont donc légitimes, ordonnés, déterministes et imprévisibles.

Les systèmes chaotiques: introduction
Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: introduction L’effet papillon= sensibilité aux conditions initiales: Le météorologue Edward Lorenz indique que pour un système chaotique: On peut considérer que le simple battement d'aile d'un papillon en Australie peut entraîner une tempête sur côte américaine. Ceci signifie qu'une perturbation en apparence mineure à l'échelle de l'atmosphère peut avoir de grandes répercutions. Il faut comprendre que deux systèmes chaotiques de modèle identique avec des conditions initiales pourtant très proche peuvent se comporter de manière complètements différentes.

Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: introduction L’effet papillon= sensibilité aux conditions initiales: Exemple le même systèmes chaotiques avec des conditions initiales différentes: « Aspect » aléatoire

Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: introduction Exemple simple de système chaotique (naissance du chaos): La démographie d’une population peut être approchée par l’équation suivante : Population nouvelle= Taux de natalité * Population ancienne*(1-population ancienne) Cas f<1

Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: introduction Exemple simple de système chaotique: Cas f>3 Doublement de période: instable et oscillation entre deux valeurs Cas 1<f<3 Stabilisation autour de 0,66

Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: introduction Exemple simple de système chaotique: Cas f> 3,4495 Lorsque le taux de natalité dépasse 3,4495 une seconde bifurcation (embranchement) apparaît; l'oscillation double devient quadruple (la population prend successivement quatre valeurs différentes, chacune revenant une fois tous les quatre ans). Les dédoublements se poursuivent et surviennent de plus en plus fréquemment (8 à 3,56 puis 16 à 3,596, …) et les cycles s'allongent de plus en plus à mesure que le taux de croissance augmente.

Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: introduction Exemple simple de système chaotique: Cas f> 3,57 Lorsque le taux atteint 3,57, cette régularité disparaît pour laisser la place au chaos. Pourtant, au sein de ce chaos, l'ordre n'est pas complètement banni : des cycles totalement chaotiques sont invariablement accompagnés d'autres parfaitement réguliers. Ainsi, un modèle déterministe simple peut engendrer de « l'aléatoire ».

Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: introduction Caractérisation d’un système chaotique : l’attracteur Système aléatoire Système chaotique Caractérisation dans le Plan de phase

Les systèmes chaotiques: Définitions
Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: Définitions Plan de phase Imprédictibilité temporelle très grande sensibilité aux conditions initiales structuré dans l’espace des phases : attracteur

Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: Définitions Soit le système non-linéaire Une solution du système pour une condition initiale est dite chaotique si elle est instable au sens de Lyapunov et que toutes les solutions obtenues à partir d’un voisinage de (bassin d’attraction) sont bornées Un système chaotique est: localement instable globalement borné

Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: Définitions Définition d’un système chaotique Un ensemble est un ensemble d’attraction pour le système si il existe un ensemble ouvert , tel que pour toute solution avec Un ensemble d’attraction fermé est un attracteur du système si il est minimal. Il n’existe pas de plus petit ensemble d’attraction que L’ensemble est appelé le bassin d’attraction Un attracteur est étrange ou chaotique si il est borné et que toutes les trajectoires qu’il renferme sont chaotiques. Un système est chaotique si il possède au moins un attracteur chaotique.

Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: Définitions Définition d’un système chaotique Une fonction est récurrente si pour tout il existe tel que pour tout il existe , tel que Soit l’ensemble contenant un segment de trajectoire de est récurrente si pour tout il existe tel que pour tout étant le de l’ensemble Une fonction récurrente retourne dans tout voisinage de toutes valeurs précédentes au moins une fois (et par défaut une infinité de fois)

Les systèmes chaotiques: différents attracteurs
Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: différents attracteurs L’attracteur de Lorenz : C'est une simplification à l'extrême d'équations régissant les mouvements atmosphériques. Lorenz les a étudié afin de mettre en évidence sur un système simple la sensibilité aux conditions initiales qu'il avait observée. Dans cette expérience, on considère un fluide entre deux plaques portées à deux températures légèrement différentes. Les deux plaques sont horizontales et la plaque la plus chaude est située en bas. On observe des tourbillons.

Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: différents attracteurs L’attracteur de Lorenz : Le comportement du fluide est très bien déterminé par les équations de la mécanique des fluides. Ces dernières aboutissent aux équations suivantes:Équation de Navier-Stokes: Équation de l'incompressibilité du fluide: Équation de propagation de la chaleur: T est la température rapportée à celle du fluide sans la convection. Ra est le nombre de Rayleigh. Il dépend des propriétés du fluide, de la distance entre les plaques et de la différence de température entre les plaques.

Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: différents attracteurs L’attracteur de Lorenz : Les équations précédentes peuvent être réduites. Elles se présentent alors sous la forme d'un système, le système de Lorenz que voici: Pour Pr = 10, b = 8/3 et Ra = 28, on obtient un comportement chaotique.

Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: différents attracteurs L’attracteur de Lorenz : Voici l’attracteur de Lorenz dans le plan Z,,T

Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: différents attracteurs L’attracteur de Lorenz : Voici l’évolution de  dans le temps:

Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: différents attracteurs L’attracteur de Rossler : Proposé par l'Allemand Otto Rössler, le système de Rössler est lié à l'étude de l'écoulement des fluides; il découle des équations de Navier-Stokes. Les équations de ce système ont été découvertes à la suite de travaux en cinétique chimique. Les équations de ce système sont les suivantes: Les dérivées des premiers membres sont des dérivées partielles par rapport au temps. a, b et c sont des contantes réelles. Pour a = 0.398, b = 2 et c = 4. On est alors en présence d'un système chaotique.

Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: différents attracteurs L’attracteur de Rossler :

Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: différents attracteurs L’attracteur de Rossler : Doublement de période pour la variable Z:

Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: différents attracteurs Le pendule de Moon : Le pendule de Moon est un système physique. Il est constitué d'un pendule (avec une boule métallique à son extrémité) accroché à une potence légèrement flexible. De plus, le pendule est placé entre deux aimants situés à égale distance de la boule lorsque celle-ci et la potence sont au repos. La potence est ensuite excitée à l'aide d'un mouvement oscillatoire harmonique d'amplitude constante. Stimulé, le pendule se met en mouvement et les forces magnétiques dûes aux aimants. Le mouvement est alors chaotique.

Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: différents attracteurs Le pendule de Moon : L'équation de ce système est dite équation de Duffing : X est la position du pendule. m est la masse de la boule métallique, a est l'amplitude de l'excitation et w est la pulsation de cette excitation.

Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: différents attracteurs Le pendule de Moon : Pour m = 0.15, a = 0.15 (en fait, entre 0.1 et 0.2 environ) et w = 0.81 (en fait, entre 0.8 et 0.82)

Outils D’analyse Introduction Qu’est-ce que le chaos?
Pourquoi l’utiliser? Outils D’analyse

Les systèmes chaotiques: Outils d’analyse
Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: Outils d’analyse La section de Poincaré Une section de Poincaré est l'intersection entre un attracteur d'un système à n degrés de liberté et un sous-ensemble de l'espace de n . Le plus souvent, une section de Poincaré est un lieu particulier par lequel le système passe régulièrement au cours du temps. Une section de Poincaré permet d'étudier certaines propriétés d'un système dans un espace de dimension inférieure.

Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: Outils d’analyse La section de Poincaré

Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: Outils d’analyse Application du 1er Retour : Au cours du temps, un système décrit son attracteur (après avoir convergé vers celui-ci). On suppose définie une section de Poincaré particulière. Régulièrement, le point courant du système traverse la section de Poincaré. On repère au cours du temps ces points de la section de Poincaré, ce qui constitue une suite de points notée (Pn)n, indexée par l'ordre de passage. Une application de premier retour relative à la iième coordonnée est une fonction qui, pour tout n, à la coordonnée Pni associe la coordonnée Pn+1i du point suivant.

Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: Outils d’analyse Application du 1er Retour : On peut généraliser à l'application f de mième retour relative à la iième coordonnée que l'on peut définir comme suit: f:   Pin  Pin+m

Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: Outils d’analyse Les exposants de Lyapunov : On considère un système à n degrés de liberté. Soient X0 et Y0 deux conditions initiales pour ce système (valeurs initiales des n degrés de liberté). On note X et Y les fonctions du temps telles que X(t) et Y(t) représentent respectivement l'état du système (les valeurs des n degrés de liberté) à l'instant t et telles que X(0) = X0 et Y(0) = Y0. On note d la distance euclidienne définie comme suit: d: n× n 

Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: Outils d’analyse Les exposants de Lyapunov : S'il existe un instant tl, une constante réelle  et une constante réelle a tels que, si I = [0, tl], Alors,  est appelé exposant de Lyapunov. On comprend que l'exposant de Lyapunov caractérise la qualité chaotique ou non d'un système car il rend compte de la sensibilité aux conditions initiales.

Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: Outils d’analyse Les exposants de Lyapunov : Exemple pour l’attracteur de Lorenz : La différence relative dans les conditions initiales est de 10-12, =0.8

Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: Outils d’analyse Diagramme de Bifurcation : Le diagramme de bifurcation permet de mieux visualiser l’évolution d’un système vers le chaos par doublement de période. Imaginez un Y majuscule, puis ajoutez à chaque pointe supérieure un Y quatre fois plus petit, et ainsi de suite. A chaque bifurcation, la période du système double, autrement dit, il met deux fois plus de temps à retrouver son état initial. A ce petit jeu, au bout de quelques bifurcations …, il ne la retrouvera jamais.

Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: Outils d’analyse Diagramme de Bifurcation : Application à la modélisation de la démographie : Doublement De fréquence Chaos 3 3,45 3,56

Outils De Contrôle Introduction Qu’est-ce que le chaos?
Pourquoi l’utiliser? Outils De Contrôle

Les systèmes chaotiques: Contrôle du Chaos
Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: Contrôle du Chaos But du contrôle : Lors du contrôle d'un système chaotique, on peut agir de diverses manières, selon le but recherché: - On peut souhaiter qu'un système chaotique reste dans un domaine chaotique. En effet, il est possible que, naturellement, le système évolue jusqu'à perdre les caractéristiques chaotiques (sensibilités aux conditions initiales, ...). - On peut vouloir le forcer à rester chaotique, auquel cas on procède à des opérations de contrôle convergeant vers ce but. De même, on peut vouloir amener un système, à l'origine non chaotique, vers un domaine chaotique. Réciproquement, on peut souhaiter voir un système chaotique évoluer de façon à perdre son caractère chaotique.

Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: Contrôle du Chaos Méthode OGY proposée par Ott, Grebogi et Yorke au début des années 1990. Principe : Point fixe On considère un point fixe, noté X0 = X0(p), de la section de Poincaré pour la valeur du paramètre (de contrôle du chaos) p = p0. Ce point fixe vérifie h(X0) = X0 si h est une application de premier retour (la propriété doit être vérifiée pour l'application de premier retour relative à n'importe quelle coordonnée).

Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: Contrôle du Chaos Méthode OGY proposée par Ott, Grebogi et Yorke au début des années 1990. Principe : Point fixe Supposons que la condition initiale d'un système soit très proche du point fixe. Lors de son évolution, le système ne se stabilise jamais de lui-même autour du point fixe, le point fixe étant instable. Ceci signifie qu'à chaque passage dans la section de Poincaré, le point courant est de plus en plus éloigné du point fixe. Pour contrôler le système, on se propose de lui imposer de rester autour du point fixe, en modifiant légèrement la valeur du paramètre p.

Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: Contrôle du Chaos Principe : Si fi est l'application de premier retour relative à la iième coordonnée, on note f le vecteur tel que: f = (f1, f2, ..., fn) (11). On note A la matrice jacobienne associée à f. A dépend du point où elle est évaluée. On a alors: Xn+1 = f(Xn) (12). La matrice jacobienne A décrit le comportement des points de la section de Poincaré, en particulier au voisinage du point fixe. On remarque que, au voisinage de ce point fixe, deux directions régissent les passages du système dans la section de Poincaré et donc l'éloignement du point fixe. Une direction est stable: elle n'a pas besoin d'être affectée. L'autre direction est instable: il convient de s'intéresser à cette direction afin de déterminer les corrections à apporter pour compenser l'action de cette direction instable.

Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: Contrôle du Chaos Section de Poincaré On linéarise l'équation (Xn+1 = f(Xn)) au voisinage du point fixe: Xn+1 = X0(pn) + A(X0(pn)). (Xn - X0(pn)) (13). De plus, on considère qu'au voisinage du point fixe on a: (1) De plus, A est constante et vaut: A=A(X0(p0)) Pour simplifier la lecture, on introduit les expressions suivantes: pn=pn-p0, Xn=Xn-X0 et

Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: Contrôle du Chaos Alors, on peut réécrire la relation (1) sous la forme: Xn+1= pn.g+A.(Xn- pn.g) On souhaite désormais calculer la variation à imposer, de sorte que dXn+1 = 0 A présente deux directions propres dont l'une instable eu (valeur propre associée strictement supérieur à 1, en valeur absolue) et l'autre stable es (valeur propre associée strictement inférieure à 1, en valeur absolue). On note les vecteurs adjoints dans la base duale fu et fs. En remarquant que A =lsesfs +lueufu, on a: Xn+1-pn.g=(lsesfs +lueufu)(Xn- pn.g)

Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: Contrôle du Chaos Finalement : On a ainsi déterminé la correction à appliquer au voisinage du point fixe et à chaque passage dans la section de Poincaré. Ainsi, au passage suivant, on revient au voisinage du point fixe et on est donc de nouveau dans les conditions d'application du contrôle

Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: Contrôle du Chaos Application à l’attracteur de Lorentz La section de Poincaré considérée ici est assez simple car elle est l'ensemble des points de l'attracteur tels que Z = Zmax. Le paramètre de contrôle est Ra

Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: Contrôle du Chaos Application à l’attracteur de Lorentz Le contrôle se fait au voisinage du point fixe, il est donc nécessaire de le déterminer. Vu la structure de l'attracteur, trouver la valeur de la troisième coordonnée du point fixe permet de déterminer le point fixe dans la section de Poincaré. On utilise donc l'application de premier retour par rapport à la troisième coordonnée.

Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: Contrôle du Chaos Calcul des perturbations La méthode OGY nécessite de déterminer les directions et valeurs propres de la matrice jacobienne A. Ici, les sections de Poincaré sont assimilables à des courbes: on ne s'intéresse qu'à une seule direction propre et on obtient directement la correction On détermine pour cela l'influence du paramètre de contrôle, Ra pour le système de Lorenz, sur le point fixe. Pour plusieurs valeurs du paramètre, on recherche le point fixe, tout comme précédemment. On génère alors plusieurs applications de premier retour. Superposition de deux applications de premier retour du système de Lorenz (Ra = 28, en bleu, et Ra = 28.5, en vert). Recherche de deux points fixes et de l'influence du paramètre.

Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: Contrôle du Chaos Application à l’attracteur de Lorentz Connaissant l'influence du paramètre sur le point fixe et, par extension, sur les points au voisinage du point fixe, on est en mesure de déterminer quelle variation du paramètre doit être appliquée pour ramener, dans la section de Poincaré et au prochain passage, le point courant au point fixe

Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Les systèmes chaotiques: Contrôle du Chaos Application à l’attracteur de Lorentz

Pourquoi l’utiliser? Introduction Qu’est ce que le chaos ? Pourquoi l’utiliser ? Objectif de ce travail de thèse.

Avantage des signaux chaotiques
Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Avantage des signaux chaotiques Non sinusoïdaux => large spectre => robustesse au fading Non périodiques =>séquences de longueur infinies =>sécurité de la transmission Quasi-orthogonaux =>grand nombre de séquences possibles=> augmentation du nombre d’utilisateurs Remplacer des porteuses sinusoïdales par des signaux chaotiques. Remplacer des codes d’étalement par des codes chaotiques. 2 champs de recherche

Introduction Qu’est-ce que le chaos? Pourquoi l’utiliser? Proposer un schéma de démodulation dans le cas d’une transmission multi-utilisateurs avec porteuse chaotique. Contraintes: Discriminer chaque utilisateur. Les conditions initiales de l’ émetteur ne sont pas connues au récepteur Implantation d’un codeur/décodeur chaotique numérique autosynchronisant en présence de bruit. Contraintes: Fonctionnement en temps réel et en présence de bruit Implantation sur système embarqué

Plan Etat de l’art Synchronisation de porteuse chaotiques analogiques
Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Plan Etat de l’art Synchronisation de porteuse chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Conclusion.

Etat de l’art Les modulations analogiques Les modulations numériques
Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Etat de l’art Les modulations analogiques Les modulations numériques Utilisation de codes d’étalement chaotiques

Première synchronisation Masquage chaotique
Les modulations analogiques Les modulations numériques Utilisation de codes d’étalement chaotiques Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Première synchronisation Masquage chaotique Modulation d’état et démodulation par observateur L. Pecora and T. Carroll. Synchronization in chaotic systems. Physical Review Letters, 64 :821–825, 1990. M.Itoh and H.Murakami. New communication systems via chaotic synchronizations and modulation. IEICE Trans. Fundam. Electron., Commun. Comput. Sci., E78-A(3) :285–290, 1995. Observateur de Luenberger ou filtre de Kalman étendu.

Les modulations analogiques
Les modulations numériques Utilisation de codes d’étalement chaotiques Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Démodulation avec un récepteur dont les paramètres varient de 1% Démodulation avec un récepteur identique. Généralement la précision requise au niveau des paramètres du récepteur est supérieure à celle atteinte par les composants analogiques classiques

Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Les modulations analogiques Les modulations numériques Utilisation de codes d’étalement chaotiques Etat de l’art Les modulations analogiques Les modulations numériques Utilisation de codes d’étalement chaotiques

Etat de l’art : les modulations numériques
Les modulations analogiques Les modulations numériques Utilisation de codes d’étalement chaotiques Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Etat de l’art : les modulations numériques Principe: Remplacer les fonctions de bases sinusoïdales par des fonctions de base chaotiques

Système à démodulation non-cohérente
Les modulations analogiques Les modulations numériques Utilisation de codes d’étalement chaotiques Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Principe: Remplacer les fonctions de bases sinusoïdales par des fonctions de base chaotiques Système à démodulation non-cohérente 1997 Chaotic ON OFF switch keying G. Kolumban, M.P.Kennedy, and G.Kis. Performance improvment of chaotic communications systems. Proc. European Conference on circuit Theory and Design, Budapest, pages 284–289, 1997. 1996 Chaos Shift Keying differentiel G. Kolumban, B. Vizvari, W. Schwar, and A. Abel. Differential chaos shift keying : A robust coding for chaos communication. PROC. IEEE Workshop on Nonlinear Dynam. Electon Syst., NDES’96 :87–92, 1996. 2007 Schéma à porteuses chaotiques et démodulation par régression A. Buscarino, L. Fortuna, and M. Frasca. Separation and synchronization of chaotic signals by optimization. Phys. Rev. E, 75 :2007, 2007.

Etat de l’art : les modulations numériques
Les modulations analogiques Les modulations numériques Utilisation de codes d’étalement chaotiques Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Etat de l’art : les modulations numériques Principe: Pour la démodulation cohérente, la porteuse chaotique doit être connue et synchronisée.

Système à démodulation cohérente
Les modulations analogiques Les modulations numériques Utilisation de codes d’étalement chaotiques Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Principe: Remplacer les fonctions de bases sinusoïdales par des fonctions de base chaotiques Système à démodulation cohérente 1993 CSK avec synchronisation maitre esclave H.Dedieu, M.P.Kennedy, and M.Hasler. Chaos shift keying : modulation and demodulation of a chaotic carrier usi self-synchronising chua’s circuit. IEEE Trans. Circuit & Systs. Part IIAnalog and Digital Signal Processing, 40(10) :634–642, 1993. 2000 CSK avec détection par corrélation M.P. Kennedy, R. Rovatti, and G.Setti. Chaotic electronics in telecommunication. CRC press, 2000.

Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Etat de l’art Les modulations analogiques Les modulations numériques Utilisation de codes d’étalement chaotiques

L’ étalement de spectre à séquence directe
Les modulations analogiques Les modulations numériques Utilisation de codes d’étalement chaotiques Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques L’ étalement de spectre à séquence directe L’idée de base est de remplacer les séquences binaires pseudo-aléatoires traditionnellement utilisées dans les systèmes à étalement de spectre par des séquences binaires ou multi niveaux issues de générateurs chaotiques.

Systèmes à Etalement de spectre
Les modulations analogiques Les modulations numériques Utilisation de codes d’étalement chaotiques Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Etat de l’art : Des codes pour le CDMA Systèmes à Etalement de spectre 1997 Etalement par séquences par corrélation : chaotiques multi-niveaux G. Mazzini, R. Rovatti, and G. Setti. Chaotic complex spreading sequences for asynchronous ds-cdma-part i : system modelling and results. IEEE Trans. Circuits Systems-I : Fundam. Theory Appl., 10 :937–947, 1997. 2007 chaotiques multi-niveaux combinées à des séquences pilotes classiques. B. Jovic, C. P. Unsworth, G.-S. Sandhu, and S.-M. Berbe. A robust sequence synchronization unit for multi-user ds-cdma chaos-based communication systems. Signal Processing, 87 :1692–1708, 2007. 2008 G.Kaddoum, P.Charge, D.Roviras, and D.Fournier-Prunaret. Chaos aided synchronizationfor asynchronous multi-user chaos-based ds-cdma. Proceedings of the 15th IEEE International Conference on Electronics Circuits, Malta, 2008.

Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Plan Etat de l’art. En continu: Synchronisation par estimation des conditions initiales. En discret : Synchronisation par une méthode ensembliste puis génétique. Générer des séquences chaotiques: ressources consommées vs efficacité. Conclusion.

Contexte de la transmission
L’algorithme d’estimation des CI Paramétrisation du critère en fonction des CI Résultats Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques En continu: Synchronisation par estimation des conditions initiales. Contexte de la transmission U générateurs chaotiques sont utilisés pour étaler U messages; . Tous les signaux étalés sont ajoutés; Du bruit additif gaussien est ajouté au signal r(t);

L’algorithme d’estimation des CI Paramétrisation du critère en fonction des CI Résultats Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques En continu: Synchronisation par estimation des conditions initiales. Contexte de la transmission Chaque signal chaotique est issu de la discrétisation du système d’équation suivant: Les systèmes sont déterministes et les trajectoires dépendent des conditions initiales Le récepteur connaît les équations de l’émetteur mais pas les conditions initiales. Grâce à l’unicité des séquences chaotiques, l’estimation des conditions initiales garantie la synchronisation.

Objectif: estimer les condition initiales
Contexte de la transmission L’algorithme d’estimation des CI Paramétrisation du critère en fonction des CI Résultats Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques En continu: Synchronisation par estimation des conditions initiales. Objectif: estimer les condition initiales L’objectif est de retrouver les conditions initiales en minimisant une fonction de coût quadratique entre le signal reçu et le signal estimé.

L’algorithme Choisir des conditions initiales pour chaque utilisateur
Contexte de la transmission L’algorithme d’estimation des CI Paramétrisation du critère en fonction des CI Résultats Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques En continu: Synchronisation par estimation des conditions initiales. L’algorithme Choisir des conditions initiales pour chaque utilisateur Jouer la trajectoire pour chaque utilisateur Calculer la somme de toutes ces trajectoires estimées Etablir le critère quadratique entre la trajectoire estimée et le signal reçu Critère>Seuil Critère<Seuil Estimer de nouvelles conditions initiales Synchronisation

Recherche par une méthode de descente à pas fixe: itération 1
Contexte de la transmission L’algorithme d’estimation des CI Paramétrisation du critère en fonction des CI Résultats Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques En continu: Synchronisation par estimation des conditions initiales. Recherche par une méthode de descente à pas fixe: itération 1 =Signal transmis =Etats internes =Etats internes estimés

Paramétrisation du critère par rapport aux conditions initiales
Contexte de la transmission L’algorithme d’estimation des CI Paramétrisation du critère en fonction des CI Résultats Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques En continu: Synchronisation par estimation des conditions initiales. Paramétrisation du critère par rapport aux conditions initiales Objectif : trouver le lien entre et Par discrétisation du système dynamique , on obtient l’ équation de récurrence: Si le vecteur d’état subit une légère variation , on obtient: Et en linéarisant: Où

Contexte de la transmission L’algorithme d’estimation des CI Paramétrisation du critère en fonction des CI Résultats Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques En continu: Synchronisation par estimation des conditions initiales. Paramétrisation du critère par rapport aux conditions initiales Par propagation, on peut obtenir la variation de l’état à l’instant k en fonction de la variation de l’état initial:

Contexte de la transmission L’algorithme d’estimation des CI Paramétrisation du critère en fonction des CI Résultats Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques En continu: Synchronisation par estimation des conditions initiales. Paramétrisation du critère par rapport aux conditions initiales En cumulant le carré de écarts sur le scalaire transmis: on obtient Ce critère analytique peut être dérivé pour obtenir le gradient et le Hessien: avec

Méthode de descente de Levenberg Marquardt
Contexte de la transmission L’algorithme d’estimation des CI Paramétrisation du critère en fonction des CI Résultats Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques En continu: Synchronisation par estimation des conditions initiales. Méthode de descente de Levenberg Marquardt

L’algorithme d’estimation des CI Paramétrisation du critère en fonction des CI Résultats Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques En continu: Synchronisation par estimation des conditions initiales. Résultats

Minimisation du nombre d’itération
Contexte de la transmission L’algorithme d’estimation des CI Paramétrisation du critère en fonction des CI Résultats Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques En continu: Synchronisation par estimation des conditions initiales. Conclusion Minimisation du nombre d’itération Possibilité de démoduler un signal bruité composé de 10 porteuses

Plan Etat de l’art Synchronisation de porteuse chaotiques analogiques
Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Plan Etat de l’art Synchronisation de porteuse chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Conclusion.

Objectif purement pratique.
Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Contexte et objectifs L’algorithme de synchronisation ensembliste L’algorithme de synchronisation génétique Réalisation pratique et résultats Objectif purement pratique. Implantation d’un codeur-décodeur chaotique auto synchronisant en présence de bruit. Encodage et Décodage temps réel Débit de 10 MChips/sec Séquence d’étalement multi-niveaux en filaire, séquence d’étalement binaire pour une transmission sans fil

Principe de l’autosynchronisation.
Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Contexte et objectifs L’algorithme de synchronisation ensembliste L’algorithme de synchronisation génétique Réalisation pratique et résultats Principe de l’autosynchronisation.

Hypothèse de bruit borné
Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Contexte et objectifs L’algorithme de synchronisation ensembliste L’algorithme de synchronisation génétique Réalisation pratique et résultats Hypothèse de bruit borné Transmission sur 256 niveaux à 5 MSymboles/seconde

Hypothèse de bruit borné
Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Contexte et objectifs L’algorithme de synchronisation ensembliste L’algorithme de synchronisation génétique Réalisation pratique et résultats Hypothèse de bruit borné En supposant le bruit borné, le nombre d’états possibles du codeur devient fini. Idée: tester tous les états simultanément et éliminer les états qui produisent une séquence incompatible avec les contraintes de bruit. Symboles émis: 100 200 144 33 66 132 8 17 Symboles reconstitués 106 202 134 23 64 131 5 26

L’algorithme ensembliste
Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Contexte et objectifs L’algorithme de synchronisation ensembliste L’algorithme de synchronisation génétique Réalisation pratique et résultats L’algorithme ensembliste Détermination d’un ensemble de candidats possibles suite à la réception du premier symbole. Estimation du symbole et de l’état suivant pour chaque candidat. Réception du symbole suivant Elimination des « mauvais » candidats par comparaison du symbole estimé et symbole reçu Nombre candidats>1 Nombre candidats = 1 Synchronisation

L’algorithme ensembliste
Détermination d’un ensemble de candidats possibles suite à la réception du premier symbole. Estimation du symbole et de l’état suivant pour chaque candidat. Réception du symbole suivant Elimination des « mauvais » candidats par comparaison du symbole estimé et symbole reçu Nombre candidats>1 Nombre candidats = 1 Synchronisation

Illustration de l’algorithme pour un système de Frey d’ordre 2
Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Contexte et objectifs L’algorithme de synchronisation ensembliste L’algorithme de synchronisation génétique Réalisation pratique et résultats Illustration de l’algorithme pour un système de Frey d’ordre 2 Ensemble des vecteurs possibles ayant produit le symbole y(k) représenté sur le plan de phase

Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Contexte et objectifs L’algorithme de synchronisation ensembliste L’algorithme de synchronisation génétique Réalisation pratique et résultats Illustration de l’algorithme pour un système de Frey d’ordre 2 Ensemble des vecteurs possibles représenté sur le plan de phase en supposant un bruit borné

Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Contexte et objectifs L’algorithme de synchronisation ensembliste L’algorithme de synchronisation génétique Réalisation pratique et résultats Illustration de l’algorithme pour un système de Frey d’ordre 2 Intersection entre l’ ensemble les vecteurs possibles estimés et les échantillons réellement reçus y(k-1) et y(k-2).

Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Contexte et objectifs L’algorithme de synchronisation ensembliste L’algorithme de synchronisation génétique Réalisation pratique et résultats Illustration de l’algorithme pour un système de Frey d’ordre 2 Détermination d’un ensemble de candidats possibles suite à la réception du premier symbole. Estimation du symbole et de l’état suivant pour chaque candidat. Réception du symbole suivant Elimination des « mauvais » candidats par comparaison du symbole estimé et symbole reçu Nombre candidats>1 Nombre candidats = 1 Synchronisation

Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Contexte et objectifs L’algorithme de synchronisation ensembliste L’algorithme de synchronisation génétique Réalisation pratique et résultats Illustration de l’algorithme pour un système de Frey d’ordre 2 Intersection entre l’image de l’ ensemble les états possibles et les états ayant pu produire y(k+1)

Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Contexte et objectifs L’algorithme de synchronisation ensembliste L’algorithme de synchronisation génétique Réalisation pratique et résultats Illustration de l’algorithme pour un système de Frey d’ordre 2 Détermination d’un ensemble de candidats possibles suite à la réception du premier symbole. Estimation du symbole et de l’état suivant pour chaque candidat. Réception du symbole suivant Elimination des « mauvais » candidats par comparaison du symbole estimé et symbole reçu Nombre candidats>1 Nombre candidats = 1 Synchronisation

Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Contexte et objectifs L’algorithme de synchronisation ensembliste L’algorithme de synchronisation génétique Réalisation pratique et résultats Illustration de l’algorithme pour un système de Frey d’ordre 2 Les trajectoires sont calculées pour tous les états possibles, celles qui sortent des bornes sont éliminées.

Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Contexte et objectifs L’algorithme de synchronisation ensembliste L’algorithme de synchronisation génétique Réalisation pratique et résultats Illustration de l’algorithme pour un système de Frey d’ordre 2 Avec un bruit de niveaux, pendant les 5 premières itérations, la population d’ états à traiter est supérieure à

Evolution de l’algorithme ensembliste vers un algorithme génétique
Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Contexte et objectifs L’algorithme de synchronisation ensembliste L’algorithme de synchronisation génétique Réalisation pratique et résultats Evolution de l’algorithme ensembliste vers un algorithme génétique Détermination d’un ensemble de candidats possibles suite à la réception du premier symbole. Estimation du symbole et de l’état suivant pour chaque candidat. Réception du symbole suivant Elimination des « mauvais » candidats par comparaison du symbole estimé et symbole reçu Nombre candidats>1 Nombre candidats = 1 Synchronisation

Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Contexte et objectifs L’algorithme de synchronisation ensembliste L’algorithme de synchronisation génétique Réalisation pratique et résultats Evolution de l’algorithme ensembliste vers un algorithme génétique Détermination d’un ensemble fixe de candidats suite à la réception du premier symbole. Estimation du symbole et de l’état suivant pour chaque candidat. Réception du symbole suivant Remplacement des plus mauvais candidats par de nouveaux candidats Critère d’arrêt à itération fixé Synchronisation

Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Contexte et objectifs L’algorithme de synchronisation ensembliste L’algorithme de synchronisation génétique Réalisation pratique et résultats Evolution de l’algorithme ensembliste vers un algorithme génétique Détermination d’un ensemble fixe de candidats suite à la réception du premier symbole. Estimation du symbole et de l’état suivant pour chaque candidat. Réception du symbole suivant. Remplacement des plus mauvais candidats par de nouveaux candidats. Critère d’arrêt à itération fixé Synchronisation

Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Contexte et objectifs L’algorithme de synchronisation ensembliste L’algorithme de synchronisation génétique Réalisation pratique et résultats Evolution de l’algorithme ensembliste vers un algorithme génétique Les niveaux sont codés en binaire: Le critère de sélection est basé sur la distance de hamming entre le symbole reçu et le symbole estimé. Remarque: la distance de Hamming est cumulée au fur et à mesure des échantillons reçus. p est la durée de vie du candidat Le réel γ sert à donner du poids aux candidats âgés, c’est à dire adaptés à la sélection. Les nouveaux vecteurs candidats sont générés à partir du nouvel échantillon reçu et des états des meilleurs candidats.

Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Contexte et objectifs L’algorithme de synchronisation ensembliste L’algorithme de synchronisation génétique Réalisation pratique et résultats Resultats Nombre de synchronisation réussie après 20 itérations en fonction du taux d’erreur binaire. La population est de 37 candidats.

Implantation Etat de l’art
Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Contexte et objectifs L’algorithme de synchronisation ensembliste L’algorithme de synchronisation génétique Réalisation pratique et résultats Implantation

Avec combien de candidats peut on travailler simultanément:
Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Contexte et objectifs L’algorithme de synchronisation ensembliste L’algorithme de synchronisation génétique Réalisation pratique et résultats Avec combien de candidats peut on travailler simultanément: Capacité de traitement: 1 candidat Capacité de traitement: 64 candidats Capacité de traitement: 128 candidats

Avec combien de candidats peut on travailler simultanément
Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Contexte et objectifs L’algorithme de synchronisation ensembliste L’algorithme de synchronisation génétique Réalisation pratique et résultats Avec combien de candidats peut on travailler simultanément Capacité de traitement: 256 candidats Capacité de traitement: 512 candidats Capacité de traitement: 1024 candidats

Méthode viable permettant la synchronisation
Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Contexte et objectifs L’algorithme de synchronisation ensembliste L’algorithme de synchronisation génétique Réalisation pratique et résultats Conclusion Méthode viable permettant la synchronisation Possibilité de discriminer plusieurs utilisateurs Il faut pouvoir lire les chips, alors que dans un récepteur à corrélateur classique, il faut connaître la séquence émise pour pouvoir aller la chercher dans le bruit.

Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Contexte : DCS-CDMA Implantation et efficacité de l’alignement de code Conclusion Plan Etat de l’art. En continu: Synchronisation par estimation des conditions initiales. En discret : Synchronisation par une méthode ensembliste puis génétique. Générer des séquences chaotiques: ressources consommées vs efficacité. Conclusion.

Attribuer à chaque utilisateur une séquence chaotique multiniveaux
Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Contexte : DCS-CDMA Implantation et efficacité de l’alignement de code Conclusion Objectif: Implanter différents générateurs de séquences chaotiques Mesurer la « quantité de silicium » nécessaire à la réalisation Mesurer l’efficacité des séquences produites dans un contexte de transmission multi-utilisateur. Le contexte du CDMA synchrone (de la station de base vers les terminaux) Idée de Jovic : Attribuer à chaque utilisateur une séquence chaotique multiniveaux Utiliser une séquence binaire de Gold commune à tous les utilisateurs pour réaliser l’alignement de code et la poursuite.

Schéma proposé par Jovic (2007) pour une liaison DCS-CDMA synchrone
Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Contexte : DCS-CDMA Implantation et efficacité de l’alignement de code Conclusion Schéma proposé par Jovic (2007) pour une liaison DCS-CDMA synchrone Générateur d’une séquence pilote binaire de Gold Signal d’information binaire de l’utilisateur 1 Générateur chaotique 1 Vers filtrage et modulation Signal d’information binaire de l’utilisateur N Générateur chaotique N

Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Contexte : DCS-CDMA Implantation et efficacité de l’alignement de code Conclusion Mesure de l’intercorrélation entre les séquences chaotiques et les séquences de gold

Nb multiplieurs câblés
Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Contexte : DCS-CDMA Implantation et efficacité de l’alignement de code Conclusion Résultats Probabilité de synchronisation en fonction du seuil de détection pour 1 utilisateur avec un SNR de -15 dB: Les performances différent de 5% Séquence Log.8 Log.16 Log.32 Frey .8 Frey.16 Frey.32 Nb cellules 69 221 849 16 32 64 Nb multiplieurs câblés 2 8

Conclusion: A titre de comparaison sur un composant actuel:
Etat de l’art Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques Etude de la consommation en ressources électroniques Contexte : DCS-CDMA Implantation et efficacité de l’alignement de code Conclusion Conclusion: A titre de comparaison sur un composant actuel: Capacité d’un FPGA Stratix de chez ALTERA ≈1500 codeurs de Frey sur 64 bits ≈15 codeurs basés sur la fonction logistique 32 bits

CONCLUSION Dans le cadre où la porteuse est chaotique analogique:
Proposition d’un schéma de synchronisation itératif par estimation des conditions initiales avec possibilité de discriminer plusieurs utilisateurs. Dans le cadre où la porteuse est sinusoïdale et étalée par un code binaire chaotique: Proposition et réalisation d’un schéma de synchronisation avec estimation en temps réel de l’état du codeur Dans le cadre où la porteuse est sinusoïdale, mais étalée par un code binaire chaotique dans contexte multi-utilisateurs existant: Etude sur les ressources électroniques consommées en fonction de l’efficacité en terme de synchronisation

Implanter une plate-forme de test de DCS-CDMA avec séquence pilote
CONCLUSION Dans le cadre où la porteuse est chaotique analogique: Comparer les approches estimateur/observateur en présence de bruit et dans le cas multi-utilisateurs. Dans le cadre où la porteuse est sinusoïdale et étalée par un code binaire chaotique: Estimer les états de chacun des générateurs de séquence d’étalement en temps réel par une approche génétique dans le cas multi-utilisateurs. Dans le cadre où la porteuse est sinusoïdale, mais étalée par un code binaire chaotique dans contexte multi-utilisateurs existant: Implanter une plate-forme de test de DCS-CDMA avec séquence pilote

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