C - Lois de probabilités 1. Préambule

C - Lois de probabilités 1. Préambule
Loi de probabilité : élément central de la statistique La détermination de la loi de probabilité suivie par une variable va servir aux calculs de probabilité de réalisation d'évènements, à la déduction et à l'inférence statistiques.

Déduction : prédire, à partir d'une population connue ou supposée connue, les caractéristiques des échantillons qui en seront prélevés Induction (inférence) : prédire les caractéristiques d'une population inconnue à partir des statistiques déterminées dans un échantillon représentatif de cette population. Extrapolation des observations réalisées dans un échantillon à l'ensemble de la population

On part des seules informations disponibles : et n
On étudie les populations à partir d’échantillons (représentatifs) On part des seules informations disponibles : et n m ? Population taille ? Inaccessible m : caractéristique théorique ou attendue Echantillon taille : n (n_échantillon) représentatif : observée Un tel échantillon va-t-il nous permettre de préciser la population dont il pourrait être issu ? Risque seuil a Risques ao et b ENCADREMENT DE m

Epreuve : expérience - qui peut être reproduite dans les mêmes conditions autant de fois que l'on veut, - dont le résultat n'est pas prévisible - et pour laquelle on peut définir l'ensemble des résultats possibles. L'événement : est un sous ensemble des résultats possibles de l'épreuve.

C - Lois de probabilités
Préambule Quelques rappels sur les probabilités Définition ; 2 cas à considérer Exemples Loi binomiale Loi de Poisson Calcul de probabilités dans le cas des lois continues Loi normale Passage d’une loi binomiale à une loi normale

C - Lois de probabilités 2. Quelques rappels sur les probabilités
Une épreuve : lancer d'une pièce de 1 Euro - Evénement A : le résultat est 'Face' - nA : fréquence de réalisation de l'événement A - N : nombre de jets - Fréquence relative de réalisation de l'événement A : fA = nA /N Lorsque N est très grand, fA se stabilise à une valeur constante qui est la probabilité de réalisation de l'événement A Evènement impossible (ne se réalisera jamais en pratique) : C : la pièce retombe en équilibre sur la tranche (ni 'pile' ni 'face') P(C)=0

Loi des grands nombres (Jacques Bernoulli)
C - Lois de probabilités 2. Quelques rappels sur les probabilités P(A) = lim nA/N Ng Loi des grands nombres (Jacques Bernoulli) P(A) = fA  e e : incertitude/erreur sur l'estimation de la probabilité à partir des données d'un échantillon e g0 Ng

Théorème des probabilités totales
C - Lois de probabilités 2. Quelques rappels sur les probabilités Théorèmes Théorème des probabilités totales P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) Evènements incompatibles : P(A  B) = 0 Théorème des probabilités composées P(A / B) = P(A  B) / P(B) Evènements indépendants P(A / B) = P(A / B) = P(A) e P(A  B) = P(A).P(B) Exemples, empruntés à l'univers du jeu, servant de rappels Application des probabilités composées à un problème de biotechnologie

Exercice 1 On dispose d'un jeu de 32 cartes. A/ On tire une carte au hasard. Calculer les probabilité des évènements suivants : - tirer une carte rouge ou une carte noire - tirer l'as de coeur - tirer un roi et une reine - tirer un valet ou un as - tirer un roi ou un trèfle - tirer un as ou une carte rouge B/ On tire successivement 2 cartes (tirage non exhaustif / avec remise). Calculer les probabilités des évènements suivants : - tirer 2 fois le roi de pique - tirer 2 as - tirer un as et un valet - tirer un roi et un trèfle - tirer un as et une noire

Exercice 2 On dispose d'un jeu de 54 cartes (Poker). Dans une main de 10 cartes, calculer les probabilités d’obtenir exactement les évènements suivants : un carré d'As ; full aux dames par les valets (3 dames et 2 valets) ; une suite (ex : 10, valet, dame, roi, as). Exercice 3 Un élevage (50 animaux) est composé de 10 brebis beiges, 12 brebis noires, 15 moutons blancs, 5 moutons beiges à tête noires. Calculer la probabilité d'obtenir (exactement) 5 moutons blancs et 2 brebis lors d'une capture de 10 animaux (au hasard).

Exercice 4 : "Séquences de tetrapeptides" On s'intéresse à des peptides de 4 résidus d'acide aminés (parmi les 20 plus fréquemment rencontrés). Répondez aux questions suivantes en considérant, les 2 situations : les 4 acides aminés constituant les peptides sont tous différents ou, au contraire peuvent être quelconques. A combien de peptides différents peut-on s'attendre, à priori? Trouver la probabilité d'obtenir un peptide contenant : 2 résidus proline exactement ; 1 résidu proline et 3 résidus hydrophobes 4 résidus hydrophobes ; au moins 2 résidus aromatiques ; 1 résidu hydrophile et 3 résidus hydrophobes ; le peptide de séquence MAGI ; les résidus dans les proportions suivantes A : 50%, M : 25% et I : 25%

Détaillons un calcul Soit A, l’évènement {" le peptide contient 2 résidus proline"} Soit B = {" présence d’un résidu proline à une position donnée"} Soit C = {" présence d’un résidu, autre que proline, à une position donnée"} ; C=NON(B) On ne considère toutes les séquences possibles dans cet exercice! Dans le cas où les 2 résidus non proline sont quelconques (équivalent tirage non exhaustif , avec remise) 1 résidu proline parmi les 20 aas : P(B)=1/20 Il reste 19 aas, autres que proline à choisir sur les autres positions : P(C)=19/20 ; P(C)=P[non(B)]=1-1/20 P(A) = (1/20)2 x (19/20)2 x 6 Il y a en effet 6 combinaisons de séquences possibles : proline en positions : 1 et 2, ou 1 et 3, ou 1 et 4, ou 2 et 3, ou 2 et 4, ou 3 et 4 => nombre de combinaisons de 2 éléments parmi 5) P(A) = 6x192/204 = 7,20 % Chaque évènement est indépendant (ce qui explique qu’on multiplie simplement les probabilités) Dans le cas où les 2 résidus non proline sont différents La proline peut toujours être présente en 1ère , 2ème, 3ème ou 4ème position => 6 possibilités Il reste 19 aas, autres que proline à choisir sur la première des positions non occupée par une proline et enfin 18 aas, autres que proline à choisir sur la dernière position possible parmi 18 résidus (2 étant déjà pris). Ainsi, P(A) = 1/20 x 1/20 x (19/19) x (18/18) x 6 P(A) =6/202 = 1,50 %

Détaillons un calcul Soit A = {" le peptide contient 1 résidu proline et 3 résidus hydrophobes"} Dans le cas où les 4 résidus sont quelconques 1 résidu proline parmi les 20 aas : 1/20 Parmi les 20 aas les plus fréquents, 8 sont classés comme hydrophobes (A, I, L, M, F, W, Y, V) : 8/20 La proline peut être présente en 1ère , 2ème, 3ème ou 4ème position => 4 combinaisons possibles P(A) = 1/20 x (8/20)3 x 4 P(A) = 1/5 x (8/20)3 = 1,28 % Chaque évènement est indépendant (ce qui explique qu’on multiplie les probabilités entre elles) Nbre de peptides : 4x83 = 2048 Dans le cas où les 4 résidus sont différents La proline peut toujours être présente en 1ère , 2ème, 3ème ou 4ème position => 4 possibilités Parmi les 19 aas, autres que proline, 8 résidus classés comme hydrophobes (A, I, L, M, F, W, Y, V) : 8/19 Le 2ème résidus placé, parmi les 18 aas non encore considérés, il en reste 7 hydrophobes : 7/18 Le 3ème résidus placé, parmi les 17 aas non encore considérés, il en reste 6 hydrophobes : 6/17 P(A) = 1/20 x (8/19) x (7/18) x (6/17) x 4 P(A)= 1/20x(8/19)x(7/18)x(6/17) +8/20x(1/19)x(7/18)x(6/17) +8/20x(7/19)x(1/18)x(6/17) +8/20x(7/19)x(6/18)x(1/17) P(A) = 4x8x7x6/20x19x18x17 = 1,16 % ; Nbre de peptides : 4x19x18x17

On peut retrouver ce résultats en utilisant les arragements A(n,p) Dans le cas où les 4 résidus sont différents Les mêmes résidus placés dans la séquence dans un ordre différent donnent des peptides différents! L'ordre importe donc dans ce problème d'où l'utilisation des arrangements A(n,p) A(n,p) = n!/(n-p)! Il y a A(8,3) arrangements possibles de 3 hydrophobes parmi 8 Et il y a toujours C(4,1) combinaisons possibles d’une proline dans une séquence de 4 aas C(n,p)= n!/p!(n-p)! D’où: P(A) = (4!/[3!1!] x 1!/0! x 8!/5!)/(20!/16!) P(A) = (4 x1x8x7x6) / (20x19x18x17) On retrouve bien : P(A) = 4x8x7x6/20x19x18x ; Nbre de peptides : 4x1x19x18x17

Exercice 5 "L'examen de TP" On fait passer l'examen de TP de biochimie aux étudiants de master d'une grande université (250 inscrits). L'examen consiste en 2 manips, M1 et M2, notées chacune sur 10. Un étudiant "réussit" une manip s'il obtient au moins la note de 5/10 à cette manip. Un étudiant est reçu à l’examen de TP s’il obtient la note de 10/20 en ayant réussi les deux manips. On constate que la probabilité de réussir la manip M1 est de 0,5. La probabilité de réussir la manip M2 est, quant à elle, de 0,6. Enfin, la probabilité qu'un étudiant réussisse la manip M2 alors qu’il a réussit la manip M1 est de 0,8. - Réussir M1et M2 sont-ils deux évènements indépendants ? - Quelle est la probabilité d’être reçu à l’examen de TP de biochimie ?

Exemple de processus déterministe : Loi de Beer-Lamber DOl=el.l.C On peut suivre une courbe de croissance (vers 620 nm) bactérienne à l’aide d’un spectrophotomètre. La cause C augmente provoque directement le même effet DO augmente. Exemple de processus stochastiques : - Résistance d’une souche bactérienne à un antibiotique donné (boîtes de Pétri) Naissance des alvins quelques jours après l’accouplement de 2 poissons

C - Lois de probabilités 3. Définition ; 2 cas à considérer
Une définition très simple … Une loi de probabilité est entièrement définie par l’ensemble des valeurs possibles prises par la variable aléatoire associée et les probabilités d’apparition de chacune de ces valeurs. … qui demande un peu de précision Dans le cas d’une variable aléatoire X discrète, une loi de probabilité est entièrement définie l ’ensemble des couples (k, p[X=k]) (k Entier, en général) p[X=k] a un sens! Dans cas d’une Variable Aléatoire X continue, une loi de probabilité est entièrement définie l’ensemble des couples (e , p[X> e]) (e Réel) p[X= e] = 0 ! Prendre p[X< e] dans la définition reviendrait au même

Exercice « les pois de Mendel » Soit le croisement de pois à fleurs jaunes (A, caractère dominant) et vertes (a). Calculer la probabilité qu’une plante à fleurs jaunes de la deuxième génération (c’est-à-dire obtenue par croisement de deux hétérozygotes) soit hétérozygote. Solution Soit J : « les fleurs sont jaunes » et H : « la plante est hétérozygote » La probabilité recherchée est P(H / J) (« fleur jaune » est le caractère établit) En se servant de la loi de probabilité établie auparavant : P(H / J) = P(H  J )/P(J) P(J) = 3 / 4 (A dominant) H  J = {Aa, aA}= H  P(H  J ) = 2 / 4 P(H / J) = P(H  J )/P(J) = 2/3

A vous de jouer … Expression d’un caractère impliquant 2 gènes non liés. Dans le cas où 2 gènes non liés sont en cause pour l’expression d’un caractère, déterminez la loi de probabilité attendue pour la ségrégation des phénotypes à l'issue du croisement de deux drosophiles hétérozygotes de génotype {AaBb} (A et B dominants). Variable(s) statistique(s) (et type) ? Variable(s) aléatoire(s) sous-jacente(s)? Calculer la probabilité d’obtenir l’un des deux phénotypes [ab] ou [Ab]

Croisement {A/a,B/b} X {A/a,B/b} , expression d’un caractère impliquant 2 gènes non liés Génotypes Phénotypes Probabilités (proportions attendues) [AABB] [AABb] (caractère exprimé) 9/16 [AAbB] [AB] [AaBB] …. [aabb] (caractère non exprimé) [Aabb] [ab] … [Ab] 7/16 [aB]

Commentaire … Les évènements (génotypes) ont été pris ici également probables, c’est ce qui est observé lorsqu’on considère les pois étudiés par Mendel (couleur des fleurs). Ce modèle ne convient pas aux primevères pour le caractère des feuilles plates (A) ou ondulées (a) : la fréquence expérimentale du nombre de feuilles plates est en effet voisine de 4/5 (les plantes à feuilles crispées sont moins viables que les plantes à feuille plates). Seule l’expérience permet de décider si les valeurs attribuées aux probabilités sont ou non satisfaisantes pour la description du phénomène étudié.

C - Lois de probabilités 4. Exemples

C - Lois de probabilités 4. Exemples
Avec cet exemple nous visualisons : variable aléatoire = fonction la loi de probabilité Calcul de probabilités possible à partir de la distribution Nous pouvons calculer la moyenne de la distribution

C - Lois de probabilités 5. Loi Binomiale
La solution du problème des épreuves répétées conduit à la loi binomiale. On jette 5 fois de suite une pièce de monnaie non truquée. Quelle est la probabilité d’obtenir 2 fois "face" à l'issue des 5 jets ? - Quelle est l’épreuve associée ? - Variable de Bernouilli : pour chaque lancé de la pièce, Y=0 si le résultat est ‘Pile’ (échec/absence caractéristique) ; Y=1 si le résultat est face ’Face’ (réussite/présence caractère) - Echantillon ou population ? - Variable aléatoire associée ? - Ensemble des résultats possibles ? - Quelle est la loi de distribution ? - Quels sont la moyenne et l'écart-type de la distribution ? - Représentation graphique

Vers le calcul d’une probabilité : P(X=2) - Variable aléatoire associée ? Résultats possibles Si on passait au calculs … Généralisation du processus

Commençons par établir la probabilité : P(X=1)

Calcul d’une probabilité : P(X=2)

Généralisation du processus : P(X=k)

C - Lois de probabilités 5. Loi binomiale

X, V. A. discrète, "nombre de réalisations d'un certain événement E lors des n répétitions d'une même épreuve" X B (n, P) Espérance (moyenne théorique) : n P (valeur pas toujours prise par la variable!) variance : n P (1- P) Cependant cette loi est peu pratique à utiliser lorsque n est grand (calculs fastidieux!) Tables de la loi binomiale… Approche par d'autres lois lorsque c'est possible…

Soit la variable Po = X/N , avec X : VA binomiale.
C - Lois de probabilités 5. Loi Binomiale Soit la variable Po = X/N , avec X : VA binomiale. (proportion d’individus satisfaisant à la définition de la VA X) Quelle est la loi de probabilité suivie par Po? Quels sont la moyenne et la variance de Po ? Espérance : P

Po, V. A. discrète, "proportion de réalisations d'un certain événement E lors des n répétitions d'une même épreuve" Po B (n, P) Espérance (moyenne théorique) : P (valeur pas toujours prise par la variable!) variance : P (1- P) / n Les distributions de X et Po sont toutes deux des lois binomiales de paramètres n et P mais elles n'ont pas la même moyenne ni la même variance

A propos de la moyenne d’une Loi de probabilité Espérance ou moyenne théorique d’une loi de distribution Barycentre de la distribution (valeur pas toujours prise par la variable!)

Exercice « Le technicien expérimenté » Le technicien d’un laboratoire pilote réalise une manipulation très délicate qu’il ne rate que dans 30 % des cas. Il procède par série de 5 manipulations. Grâce à son expérience, il répète un assez grand nombre de fois ses séries de manipulations dans des conditions pratiquement identiques. La V.A. d’étude est X = « nombre de manipulations réussies par série de 5 » Quel est le type de la V.A. X ? Représentez graphiquement la distribution de X Quels sont l’espérance et l’écart-type de cette distribution ? Hypothèse : on supposera sans le démontrer que les manipulations sont toutes indépendantes les unes des autres (effet de la fatigue, impact d’un échec ou d’une réussite sur la manip suivante non pris en compte)

Espérance : 3.50 Ecart-type : 1.02

Exercice "sachets de graines" Un producteur de graines vient de lancer une superbe variété de fleur. Il garantit que seules 2 graines sur 10 ne germent pas. Chaque sachet mis en vente contient 200 graines. / Indiquez combien de fleurs peut donner en moyenne un sachet de graines. b/ Quel est l'écart type associé ? c/ Pour obtenir un massif de 500 fleurs, combien de sachets faut-il acheter en moyenne ? (Indiquez votre raisonnement). Vous n'oublierez pas de bien définir la VA sous jacente et d'indiquer sa nature (qualitative, quantitative discrète ou quantitative continue).

Exercice "sachets de graines " X = « Nombre de graines donnant à une fleur sur un échantillon de 200 graines » P=1-2/10=0,8 N=200 m=NP=200x0,8=160 Variance=NP(1-P)=200x0,8x0,2=32 s=5,7 En moyenne un sachet permet d’obtenir 160 fleurs. Il faut donc 4 sachets pour atteindre au moins l’effectif de 500 fleurs (3x160=480, insuffisant et 4x160=640, OK!). Rq : On pourra préciser l’incertitude en approchant la loi par une distribution normale Avec 3 paquets, seulement 12% de chances (environ) d’obtenir plus de 500 graines

Exercice « Séquence Random » On considère une chaîne polypeptidique de n acides aminés générée de façon aléatoire. Soit n=50, taille de la séquence - Q1 - Quelle est la probabilité de trouver plus de 50% de résidus proline dans cette séquence aléatoire ? - Q2 - Quelle est la probabilité de trouver le tripeptide ‘LLL’ dans cette séquence polypeptidique ? - Q3 - Un poly L , c’est à dire une séquence polypeptidique constituée uniquement du résidu leucine ?

Correction de l' exercice « Séquence Random »
P ( Po > 0.5) = P ( X > 25) Po suit une B (50, 0,05) Variable de Bernouilli associée Présence Proline associée à X=1 ; P(X=1)=1/20 Absence Proline (présence de tout autre aa) associée à X=0 ; P(X=0)=19/20=0,95 P ( Po > 0.5) = 0 Application numérique : utiliser table de la loi binomiale ou ordinateur! Exemple : en saisissant LOI.BINOMIALE(25;50;0,05;VRAI) dans Excel, le résultat recherché est le complémentaire à 1 de cette valeur, donc 0

Correction de l' exercice « Séquence Random »
Soit n : nombre de résidus dans la séquence polypeptidique ; Soit Nt : nombre de tripeptides dans une séquence de n résidus d'acides aminés Nt = n – 3 +1 Ici : Nt = 50 – 3 +1 = 48 Variable de Bernouilli / Probabilité élémentaire : Pour chaque tripeptide considéré dans la séquence Présence de LLL , W=1 P(W=1)=(1/20)3= Absence de LLL , W=0 P(W=0)= = Soit la V.A. Y : "nombre de tripeptides LLL dans la séquence aléatoire de 50 résidus d'aa" Y suit une loi binomiale B (48, ) {Présence de LLL dans la séquence} = (Y > 0) P (Y > 0) = 1 – P(Y=0) P(Y=0) = 1x1x( )48 = P (Y > 0) = 1 – P(Y=0) = = (ordre de grandeur : 1%) - Q3 - La probabilité recherchée est : (1/20)50 , pratiquement nulle! On peut également dans ce cas utiliser l'approximation par la loi de Poisson de paramètre l=48x ; P(0.006) Saisir sous Excel : =LOI.POISSON(0;0,006;FAUX)

 Une grande marque produit chaque semaine kits de laboratoires prêts à l'emploi, dont ne présentent aucun défaut (85 %). Le service de contrôle-qualité prélève 10 kits au hasard d'une production hebdomadaire pour estimer la qualité de l'ensemble de la fabrication. Quelle est la probabilité que cet échantillon présente autant de kits défectueux que kits bons pour la vente ? Autrement dit, dans un échantillon de 10 kits prélevés au hasard, on a une probabilité de … % pour que 5 kits soient défectueux et 5 bons pour la vente. Est-ce beaucoup ??? Maintenant que l'on sait à quoi s'attendre que faut-il faire ? Comparer l'observation à la prévision … …. Ce sera l'objet des tests statistiques ….

Quelques cas où l'on rencontre de la LOI BINOMIALE :

C - Lois de probabilités 6. Loi de Poisson
Exemple introductif Dans une expérience faite sur des rats, l’étalement sur la peau d’une crème de soin du commerce peut provoquer une réaction allergique dans 20 cas sur 1000. Soit X la variable aléatoire "Nombre de rats présentant une réaction allergique après dépôt du produit sur N individus" A/ Quelle loi de probabilité suit X ? B/ Quelle est la probabilité d'observer moins de 3 cas d'allergie sur 100 étalements ? En déduire la probabilité d'observer au plus 3 cas d'allergie sur 100 étalements. Que constatons-nous dans cet exemple ? X suit une loi binomiale dont la moyenne est très proche de la variance Et P petite pour N plutôt grand Moyenne : nP = 0.02*100 = 2 Variance : nP(1-P) = 100*0.02*0.98 = 1.96

Cas d'application (Siméon Denis Poisson ) Lorsque le nombre d'épreuves n est grand et P très petit (proche de 0), la loi Binomiale B (n, P) tend vers une loi de Poisson P (l) de seul paramètre l (espérance et variance de la loi binomiale approchée par la loi de Poisson). La loi de Poisson est une distribution discrète. Elle est tabulée P(X=k) = e-l lk / k! Côté pratique On vérifiera d'abord que les calculs ne peuvent être approchés par une distribution normale, plus pratique à utiliser

Nous sommes maintenant armés pour résoudre notre exemple introductif Dans une expérience faite sur des rats, l’étalement sur la peau d’une crème de soin du commerce peut provoquer une réaction allergique dans 20 cas sur 1000. Soit X la variable aléatoire "Nombre de rats présentant une réaction allergique après dépôt du produit sur N individus" A/ Quelle loi de probabilité suit X ? B/ Quelle est la probabilité d'observer moins de 3 cas d'allergie sur 100 étalements ? En déduire la probabilité d'observer au plus 3 cas d'allergie sur 100 étalements. On va utiliser une loi de poisson de paramètre : l=2

Réels domaines d’utilisation d’une loi de Poisson  Nombre d’évènements par unité de volume, de surface, de temps Nombre de poissons par mètres cube d’eau Passages d’un ours dans un site des Pyrénées sur une semaine Concentration de bactéries (hématimètre) dans un lac (homogénéité) Nombre d’insectes d’une certaine espèce capturés sur un filet en une nuit en forêt amazonienne Nombre de désintégration d’un radio-isotope par minute Nombre d’appels enregistrés par un standard téléphonique dans une courte période de temps Nombre de skieurs empruntant un télésiège en l’espace d’une heure dans une petite station alpine Etc…

Exercice « les ours des Pyrénées » Un écologiste étudie le passage des ours, récemment introduits, en un point précis d’une rivière séparant un champ d’une petite forêt des Pyrénées. A l’issue d’un contage long et rigoureux, il observe en moyenne 4 individus par jour. a/ Quelle est la probabilité qu’il détecte précisément 3 ours en l’espace de 12 h ? b/ Quelle est la probabilité qu’il détecte entre 1 et 3 ours en 6 heures ? a/ l = 4 individus / j uniformité sur une courte période de temps : l = 2 ind. / 12 h calcul de P(X=3) avec X suit une loi de Poisson de paramètre l=2 (voir table) P(X=3) =0.18 b/ calcul de P(1 Y  3) avec Y suit une loi de Poisson de paramètre l=1 Loi discrète donc P(1 Y  3) = P(Y=1)+P(Y=2)+P(Y=3) (voir table) P(1  Y  3) = = (0.61 est suffisamment précis)

C -. Lois de probabilités 7
C - Lois de probabilités 7. Calcul de probabilités dans le cas des lois de distribution continues Taux d’une hormone en mg/ml Avec la densité de fréquence relative on a facilement accès aux probabilités, associées aux surfaces du diagramme.

Taux d’une hormone en mg/ml
C - Lois de probabilités 7. Calcul de probabilités dans le cas des lois de distribution continues Lois continues L’augmentation de la taille de l’échantillon permet des classes de plus en plus fines et fait tendre la densité de fréquence relative vers une courbe appelée densité de probabilité. Les lois de distributions continues (loi normale, Chi-deux, etc…) sont entièrement caractérisées par l ’équation de leur fonction de densité de probabilité f(x).

C - Lois de probabilités 7. Calcul de probabilités dans le cas des lois de distribution continues

C - Lois de probabilités 8. Loi Normale

Propriétés de la Loi Normale N (m, s) , repères graphiques Définition des fonctions de densité de probabilité et de partition Une probabilité est une aire (comme pour toute distribution continue) Loi Normale centrée réduite Changement de variable et conservation des aires Lecture des tables de la Loi Normale centrée réduite Un exemple Bilan de ce qu’il faut retenir Exercices Loi Log-Normale Passage d’une loi Binomiale à une loi Normale

m-s m+s X

Z 1 -1

1 -1 a Z1 Z2 m a X2 X1 X Z

a t Z

Z a t

Du Côté d’EXCEL : (loi normale quelconque) loi.normale renvoie la valeur de P(X<z) pour z donné loi.normale.inverse renvoie z à partir de P(X<z)

Evolution de la forme d’une distribution binomiale lorsque n est grand
C - Lois de probabilités 9. Passage d’une loi binomiale à une loi normale Evolution de la forme d’une distribution binomiale lorsque n est grand n=50 P=0.5 nP=25 P=0.7 n(1-P)=15

et que n P > 5 et n(1- P) > 5 Alors n P > 5 et n(1- P) > 5
C - Lois de probabilités 9. Passage d’une loi binomiale à une loi normale Pratique : Les calculs impliquant une distribution binomiale peuvent, dans certains cas, être approchés par une distribution normale (plus pratique à utiliser) On utilise la moyenne et l’écart-type de la Binomiale pour définir la Normale Lorsque X B (n , P) et que n P > 5 et n(1- P) > 5 Alors n P > 5 et n(1- P) > 5 les calculs de probabilité peuvent être approchés en utilisant La loi de distribution Y N (n P , ) C’est en fait ainsi que la loi Normale a été (re)découverte par Laplace vers 1800 ! Remarque : Lorsque les conditions ne permettent pas cette approximation, il faut alors essayer … la loi de Poisson …

et que n P > 5 et n(1- P) > 5 Alors n P > 5 et n(1- P) > 5
C - Lois de probabilités 9. Passage d’une loi binomiale à une loi normale Pratique : Les calculs impliquant une distribution binomiale peuvent, dans certains cas, être approchés par une distribution normale (plus pratique à utiliser) On utilise la moyenne et l’écart-type de la Binomiale pour définir la Normale Lorsque P B (n , P) et que n P > 5 et n(1- P) > 5 Alors n P > 5 et n(1- P) > 5 les calculs de probabilité peuvent être approchés en utilisant La loi de distribution Y N ( P , ) Remarque : Lorsque les conditions ne permettent pas cette approximation, il faut alors essayer … la loi de Poisson …

C - Lois de probabilités 9. Passage d’une loi binomiale à une loi normale Exercice "Kit ou … double?" L'industriel fabricant des kits de biotechnologie a mis en place une technique éliminant les éléments défectueux. A l'issue de cette étape, 99% des kits vendus sont corrects et utilisables sans risque de disfonctionnement. L'industriel vient juste de vendre un lot de 1000 kits à l'un de ses distributeurs. Préoccupé par son image de marque, il a demandé à une jeune stagiaire de lui donner, dans l'heure, la probabilité qu'il y ait plus de 2% de kits défectueux dans le lot vendu. Qu'en serait-il s'il avait vendu : - un lot de kits? - un lot de 100 kits? Tracez les variations de la variance en fonction de la taille de l'échantillon

Exercice "Kit ou … double?"
Définissons les variables aléatoires utilisables dans cet exercice, X : « Nombre d’éléments défectueux dans un lot de N kits de biotechnologie vendus » Po : « Proportion d’éléments défectueux dans un lot de N kits de biotechnologie vendus » L’épreuve de Bernoulli, répétée N fois, associe la probabilité P=1-0,99=0,01 (paramètre) à l’évènement « un kit pris au hasard est défectueux ». L'industriel vient juste de vendre un lot de 1000 kits à l'un de ses distributeurs. N=1000 X suit la loi binomiale B(1000, 0,01) de moyenne NP=10 Po suit la loi binomiale B(1000, 0,01) de moyenne P=0,01 et d’écart type [P(1-P)/N]1/2 =[0,01x0,99/1000]1/2=0,0032 P(Po >0,02) = P(X>20) = 1-[P(X=0)+P(X=1)+….+P(X=20)] . Ce calcul impliquant la somme de 21 termes binomiaux est bien trop fastidieux. On s’intéresse donc de suite sur l’approximation par une loi Normale. Comme NP et N(1-P) sont tous deux supérieurs à 5, cette approximation est possible. Soit Y la variable aléatoire suivant la loi normale N(P, [P(1-P)/N]1/2), les fluctuation de Po peuvent être approchées par la loi de Y. Pour N=1000 et P=0,01, Y suit la loi N(0,01, 0,0032) P(Po>0,02)=P(Y>0,02) P(Y>0,02)=P[Z>(0,02-0,01)/0,0032)], Z suivant la loi normale centrée réduite N(0,1) P(Y>0,02)=P(Z>3,17) P(Z>3,17)=0,00076 Ainsi la probabilité recherchée P(Po >0,02) est proche de 0,08%. L’industriel peu se rassurer! S'il avait vendu un lot de kits, l’approximation Normale est encore meilleure. La moyenne ne change pas, elle est toujours égale à 0,01 mais l’écart type de la loi B(1000, 0,01) valant [0,01x0,99/10000]1/2=0, (à peu près 0,001), la position de la valeur 0,02 sur la distribution normale est cette fois à plus de 10 écart-type de la position de la moyenne 0,01! Autrement dit la probabilité recherchée est nulle.

Exercice "Kit ou … double?« (suite)
S'il avait vendu un lot de 100 kits, NP=1, étant inférieur à 5, l’approximation Normale n’est cette fois plus possible. La moyenne de la loi B(100, 0,01) suivie par X vaut NP=1 et la variance est 0,01x0,99x100=0,0099, valeur très proche de la moyenne. On ne peut donc utiliser la loi de Poisson P(1), de paramètre l=1 pour effectuer les calculs. Attention, N=100 donc P(Po >0,02) = P(X>2) P(Po >0,02) = 1-[P(Po=0)+P(Po=0,01)+P(Po=0,02)]=P(X>2) = 1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)] P(Po >0,02) =1-[C01000,010x0, C11000,011x0,9999+C21000,012x0,9998] En utilisant la loi P(1) , P(Po >0,02) =1-(0,3679+0,3679+0,1839) P(Po >0,02) =0,08, cette fois la probabilité n’est pas faible, elle concerne 8 ventes sur 100! Rq : Pour appliquer la loi de Poisson, quelque soit N, il faut P(1-P) proche de P. P->0 1-P->1 P(1-P)-> P NP(1-P)-> NP m->s2 Tableau des variations de la moyenne, de la variance, de l’écart-type de Po et de la probabilité recherchée , en fonction de la taille de l'échantillon : N m 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 s 0,01 0,0062 0,0045 0,0032 0,001 s2 0,0001 0, , , ,000001 P(Po >0,02) 0,080 0,054 0,012 0, Le risque est donc faible à partir de 500 kits vendus (probabilité de l’ordre de 1%, ce qui est raisonnable).

C - Lois de probabilités 10. Some more training
Exercice : « Les citrons » (extrait de l’examen 2002) Des citrons sont produits dans des conditions reproductibles par une entreprise agroalimentaire du sud de l’Espagne pour laquelle vous travaillez. Ces citrons forment une population de référence. Leur diamètre est distribué normalement dans cette population avec une moyenne de 7,0 cm et un écart-type de 1,0 cm. Un dispositif performant permet également de détecter, sur chaque citron, la concentration de pesticide absorbé par l'écorce. Cette grandeur est, elle aussi, distribuée normalement dans la population référence avec une moyenne de 2,5 mg/ml et un écart-type de 0,2 mg/ml. Les citrons sélectionnés pour la vente sont ceux dont le diamètre (*) est compris entre 5,5 et 9,0 cm (inclus) et dont la concentration de pesticide absorbé par l'écorce est inférieure ou égale à 2,8 mg/ml Calculez la proportion de citrons sélectionnés pour la vente dans la population référence. (* Les citrons trop petits n’intéressent personne tandis que les citrons trop volumineux ont une écorce trop épaisse et, très souvent, une forme irrégulière déplaisant aux consommateurs).

Exercice : « Les citrons » (extrait de l’examen 2002)

Exercice "Diamond is the best girl friend... " Tous les ans, le groupe agro-alimentaire DIAMOND (23 usines en Europe) est confronté à une dure réalité : sur cinq réacteurs de la gamme R201 contrôlés, trois en moyenne ont besoin d'une sérieuse révision. Une révision est facturée 500 Euros HT par réacteur. L'usine de Toulouse possède 11 réacteurs de la gamme R201. 1/ Quelle est la probabilité que la facture de la révision de ses réacteurs soit comprise entre 1000 et 1500 Euros HT ? 2/ Quelle est la probabilité qu'elle soit supérieure ou égale à 1500 Euros HT ? 3/ Quel est le coût moyen des réparations ? pour répondre aux questions : Définissez la population et l'échantillon d'étude. Vous allez être amenés à utiliser 2 variables aléatoires. Définissez ces 2 variables. Pour chacune d'elles, vous indiquerez si elle est discrète ou continue. Justifiez vos calculs d'1 ou 2 lignes de commentaires en français.

Exercice "Diamond is the best girl friend... "
Population : tous les réacteurs en service dans les 23 usines européennes du groupe agro-alimentaire Echantillon : les 11 réacteurs de l'usine de Toulouse Posons X=« Nombre de réacteurs ayant besoin d’une révision dans un échantillon de 11 » X , variable quantitative discrète, suit une B(11,3/5) ; P=0,6 Appelons R le coût HT d’une réparation. R = 500 euros. Posons Z=« Coût des réparations à réaliser dans l’usine de Toulouse » Z=R.X, avec R constante P(1000 ≤ Z ≤1500) = P(1000 ≤ R.X ≤ 1500) P(1000 ≤ Z ≤1500) = P(1000/R ≤ X ≤ 1500/R) P(1000 ≤ Z ≤1500) = P(2 ≤ X ≤ 3) P(1000 ≤ Z ≤1500) = P(X=2)+P(X=3) P(1000 ≤ Z ≤1500) = 10x0,62x0,49+10x0,63x0,48 P(1000 ≤ Z ≤1500) =0,0024 P(Z ≥1500) = P(X ≥ 3) P(Z ≥1500) = 1-P(X<3) =1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)] P(Z ≥1500) = 1-[1x0,60x0,411+5x0,61x0,410+10x0,62x0,49] P(Z ≥1500) = 1-0,0013 P(Z ≥1500) = 0,9987 L’espérance de la loi B(11, 0.6) est mX=NP=11.0,6=6,6 Le coût moyen des réparations est : R. mX=500x6,6=3300 euros

Exercice : « Du tabac pour la bonne cause » Des études menées sur une exploitation pilote ont montré que la quantité d’une protéine recombinante produite par un pied de tabac peut être représentée par un variable normale de moyenne 10 mg et d’écart-type 2 mg. Quelle est, dans ces conditions, la probabilité d’observer dans cette exploitation un plan ayant produit plus de 13 mg de protéine ? On prélève au hasard 50 plans de tabac de l’exploitation pilote. Quelle est la probabilité d’observer au moins 3 plans ayant produit chacun plus de15 mg de la protéine recombinante? Il est conseillé de bien définir la VA et la loi suivie par la VA pour répondre aux questions, de faire un schéma si possible.

Exercice : « Du tabac pour la bonne cause »
Posons X =« quantité en mg d’une protéine recombinante produite par un pied de tabac » X suit la loi N(10, 2). Nous recherchons P(X>13). P(X>13)=P[Z>(13-10)/2] , Z suivant la loi normale centrée réduite N(0, 1). P(X>13)=P[Z>1,5] P(X>13)=0,0967 , soit 10% environ, ce qui n’est donc pas négligeable. Posons Y =« nombre de plans de tabac produisant plus de 15 mg de protéine recombinante parmi les 50 plans récoltés» Y suit la loi binomiale B(50, P(X>15)). Il faut au préalable déterminer P(X>15). P(X>15) = P[Z>(15-10)/2] ; P(X>15)=P[Z>2,5]=0,0062 Ainsi, plus précisément, Y suit donc une binomiale B(50, 0,006). On recherche P(Y ≥ 3)=P(Y>2)=1-P(Y ≤ 2) P(Y ≥ 3) = 1-[P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=2)] P(Y ≥ 3) = 1-[C0500,0060x0, C1490,0061x0,99449+C2480,0062x0,99448] Nous remarquons immédiatement que la probabilité associée à l’épreuve de Bernoulli (probabilité élémentaire) est très petite. Ce qui laisse espérer l’utilisation d’une loi de Poisson. La moyenne de la binomiale est NP=50x0,006=0,3 ; la variance est s2=NP(1-P)=50x0,006x0,994=0,3 Moyenne et variance sont suffisamment proches pour utiliser une loi de poisson de paramètre l=0,3. P(Y ≥ 3) = 1 - (0,7408+0,2222+0,0333) (Lecture de la table de la loi P(0,3)) P(Y ≥ 3) = 0,004 ; probabilité très faible!

Exercice : « Le QI » (Une variante de l’exercice précédent, d’après un exercice trouvé sur le web. Vous pouvez vous aussi trouver de bons exercices sur le web) On sait que le QI d’un individu dans une population peut être représenté par un variable aléatoire de loi N(100, 10). Quelle est, dans ces conditions, la probabilité d’observer dans cette population un individu ayant un QI de plus de 120 ? Supposons que l’on tire 10 personnes au hasard de cette population, quelle est alors la probabilité d’observer plus de 3 personnes ayant un QI dépassant 110 ? Il est conseillé de bien définir la VA et la loi suivie par la VA pour répondre aux questions, de faire un schéma si possible.

C - Lois de probabilités 1. Préambule

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