Animation pédagogique La résolution de problèmes Cycle 2 1er décembre 2010 Circonscription du Port Valérie MOLETTE - CPC EPS et Anne-Laure VILANOU –

Animation pédagogique La résolution de problèmes Cycle 2 1er décembre Circonscription du Port Valérie MOLETTE - CPC EPS et Anne-Laure VILANOU – SCERAR Albius 1

SOMMAIRE 1 - Qu’est ce qu’un problème ?
2 - Pourquoi résoudre des problèmes ? 3 - Comment enseigner la résolution de problèmes ? les types de supports ? les catégories de problèmes ? La place de l’écrit. Les débats et les mises en commun.(séance vidéo) 4 - Comment aider les élèves à surmonter leurs difficultés ? Les types d’erreurs et de difficultés des élèves. Une gestion différenciée des apprentissages. 2

Elle lui donne un récipient de 4 litres et un récipient de 9 litres.
Dans un village d’Afrique, une mère envoie son enfant à la Rivière en lui demandant de rapporter exactement trois litres d’eau. Elle lui donne un récipient de 4 litres et un récipient de 9 litres. Comment l’enfant peut-il mesurer exactement 3 litres d’eau en ne se servant que des deux récipients et sans évaluer le contenu à vue d’œil? C’est un situation pb car il y a un état initiale, un but à atteindre et la solution n’est pas disponible d’emblée.

1-QU’EST-CE QU’UN PROBLEME ?
« Un problème est généralement défini comme une situation initiale, avec un but à atteindre, demandant au sujet d’élaborer une suite d’actions ou d’opérations pour atteindre ce but. Il n’y a problème, dans un rapport sujet / situation, que si la solution n’est pas disponible d’emblée, mais possible à construire. C’est dire aussi qu’un problème pour un sujet donné peut ne pas être un problème pour un autre sujet, en fonction de leur niveau de développement intellectuel par exemple. » Jean BRUN dans la revue suisse n°141 Math-école

2 - POURQUOI RESOUDRE DES PROBLEMES ?
Le rôle de la résolution de problèmes dans la construction des connaissances: Permet de donner du sens grâce à des actions finalisées mettant l’élève en activité. La construction de connaissances peut se faire pour certaines par imitation, imprégnation (ex lacer des chaussures) mais pour d’autres dont l’utilité est moins flagrante il sera impératif qu’elles se construisent en prenant du sens à partir d’actions finalisées (qui permettent de répondre à une question ou à un problème , atteindre un but) G Vergnaud, (psychologue) , « le savoir se forme à partir de pb à résoudre, …les conceptions des élèves sont façonnées par les situations qu’ils ont rencontrées. » TEXTES: La résolution des problèmes contribue à construire le sens des opérations. ex : travailler sur la technique opératoire de manière décrochée reste une situation vide de sens ne permettra pas systématiquement aux élèves de s’en servir au bon moment lors d’une situations pb. Travailler sur des situations pb permet donc de mettre en évidence la nécessité de telle ou telle connaissance. Exemple 1 : Les problèmes additifs et soustractifs appartiennent à la même famille et leurs difficultés sont liées aux relations à établir entre les données, plus qu’à l’opération à proprement parler. Si l’on place la maîtrise des problèmes au premier plan, on est alors conduit à enseigner simultanément l’addition et la soustraction. Exemple 2 : Ne pas renoncer aux techniques opératoires mais restituer les enjeux de leur apprentissage. Car les élèves vont être amener à utiliser dans leur vie future, le calcul mental et la calculatrice. 5

LES TEXTES OFFICIELS Extrait du BO 2008 – programmes.

3-COMMENT ENSEIGNER LA RESOLUTION DE PROBLEMES ?
En variant les supports 1- Des situations évoquant la vie quotidienne pour des problèmes concrets. 2- Des situations plus abstraites portant sur les nombres eux-mêmes qui proposent des problèmes que l’on pourrait qualifier de « théoriques ». 3- Des situations de jeux; le ludique génère de la motivation dans les situations d’entraînement. 7

En mettant les élèves en activité activité # manipulation activité = permet d’anticiper sur l’action concrète manipulation = permet un constat pas une anticipation En mettant les élèves en activité : le propre de l’activité math est d’anticiper sur l’action concrète c a d construire une solution qui va dispenser de la manipulation des obj réels.( car obj trop nbreux ou couteux en tps) en mettant en œuvre des connaissances et des stratégies. Quelle place accorder à la manipulation : Permet un constat, pas une anticipation. Permet de s’approprier un pb, bien se représenter la situation Permet de valider les solutions, vérifier la pertinence d’une réponse La manipulation est donc une étape nécessaire avant d’arriver à la solution mathématique. 8

En variant les catégories de problèmes ►Première classification: à partir des formes d’énoncés ►Deuxième classification: à partir des notions mathématiques ►Troisième classification: à partir des objectifs pédagogiques 9

En variant les catégories de problèmes
A partir des formes d’énoncés Texte écrit seul Texte accompagné d’un tableau, d’un diagramme… Texte et image(s) : la photo, le dessin, la BD… sont sources ou non d’informations pour la résolution de problèmes Texte et document(s) réel(s) : publicité, extrait de tarif… L’énoncé, donné à l’oral, en partie ou entièrement Plusieurs contextes : Un contexte dit de « vie courante » Des situations relevant d’autres disciplines : biologie, géographie… Un contexte purement mathématiques (ex : combien de nombres différents peut-on écrire avec les chiffres 5, 0, 2 et 7?) Quelles données, quelles questions? Plusieurs cas: Toutes les informations utiles, et seulement elles, sont données. (il y a une partie informative qui décrit une situation et une partie injonctive, qui donne un ordre de recherche et qui l’oriente – trouvez, construisez, calculez …) La question est posée au début de l’énoncé : les élèves peuvent ici anticiper l’importance des informations et les sélectionner. Les données ne sont pas suffisantes : l’élève doit les chercher ailleurs ou les demander à l’enseignant. 10

Combien d’œufs a-t-elle cassés? Combien de boîtes a-t-elle remplies?
Une fermière a 960 œufs qu’elle range dans les boîtes de 12 œufs chacune. Elle vendra chaque boîte 4€. Combien d’œufs a-t-elle cassés? Combien de boîtes a-t-elle remplies? Combien de boites lui reste-il? Il n’y a pas de question : l’élève doit déterminer des questions auxquelles on peut répondre. CONSIGNE: Choisis la question qui correspond à l’énoncé du problème. En cycle 2, les élèves doivent choisir la bonne question parmi la liste proposée. Ils doivent ensuite résoudre le problème en indiquant la démarche.

Cécile achète un croissant qu’elle paie avec une pièce de 2€.
Combien la boulangère doit-elle lui rendre? Quel type de Problèmes ça représente ?

Cécile achète un croissant qu’elle paie avec une pièce de 2€.
Combien la boulangère doit-elle lui rendre? Ce problème est impossible à résoudre car:  On ne sait pas combien de croissants elle achète.  On ne connaît pas l’âge de la boulangère.  On ne connaît pas le prix d’un croissant. Problèmes sans solution. / IMPOSSIBLES CONSIGNE: Lis ce problème attentivement et trouve pourquoi il est impossible de le faire. Les élèves choisissent dans la liste proposée la raison pour laquelle le problème est impossible à résoudre. Ils doivent rajouter sous forme d’une phrase l’élément manquant pour rendre le problème possible à résoudre. Ensuite ils doivent le résoudre et indiquer la démarche.

Dans une classe de 28 élèves, âgés de 11 à 12 ans, le maître distribue à chaque enfant 5 livres pesant en moyenne 450 grammes chacun. Calcule le nombre total de livres distribués. Dans ce problème, certains nombres sont inutiles. Ils ne servent pas à répondre à cette question. Entoure ces nombres: 28 élèves 11 à 12 ans 5 livres 450 grammes Les données sont surabondantes : l’élève devra sélectionner celles qui seront utiles à la résolution. Problèmes avec des données inutiles. Les élèves choisissent dans la liste proposée les données inutiles pour résoudre le problème, ils réécrivent l’énoncé et le résolvent en indiquant la démarche.

Mes parents veulent acheter une table et un canapé.
Pourront- ils acheter ces deux meubles? Mais ils ne veulent pas dépenser plus de 700€. Ils ont choisi une table à 299€ et un canapé à 499€. Problème où il faut remettre les phrases de l’énoncé dans le bon ordre. Les élèves réécrivent l’énoncé dans le bon ordre, le résolvent en indiquant la démarche.

A partir des notions mathématiques · Types de nombres · Opérations utilisées · Mesures · Objets géométriques Ce qui est visé ici c’est l’interconnexion entre la conception du problème qu’à l’enfant et les procédures qu’il va utiliser. 17

Combien de billes avait Jean avant la récréation?
Avant la récréation, Jean avait des billes. Durant la récréation, Jean a perdu 67 billes. Après la récréation, Jean a 123 billes. Combien de billes avait Jean avant la récréation? Ex: problèmes additifs/ soustractif : Si difficultés … On peut transformer l’énoncé en remplaçant les nombres par des nombres plus petits. Ce qui permettra à l’élève de mieux conceptualiser le problème. On peut demander aux élèves de théâtraliser l’énoncé mais comme on ne sait combien de billes il y a au départ, il faudra en prendre un nombre quelconque puis tâtonner en travaillant par essai – erreur. L’enseignant peut demander aux élèves de dessiner le problème. L’enseignant peut proposer aux enfants des schémas, susceptibles de les aider en même temps à comprendre l’histoire et pourquoi on doit faire une addition.

Combien y avait-il de kaplas en tout dans la boite?
15 enfants jouent aux kaplas. Chaque enfant doit construire une tour avec 30 kaplas, le plus vite possible, qu’ils viennent chercher dans une grosse boîte. Combien y avait-il de kaplas en tout dans la boite? Ex pb multiplicatif

A partir des objectifs pédagogiques Un problème pour apprendre à chercher (un problème ouvert) Un problème pour apprendre (situation-problème) Un problème d’application et de réinvestissement d’une notion connue Un problème de transfert 1 - Son intention est de mettre les élèves en situation de chercher la réponse à un problème inédit. (développer des compétences plus méthodologiques) 2- C’est un problème destiné à construire de nouvelles connaissances. Il peut prendre la forme d’une situation problème. 3- Il permet aux élèves d’utiliser des connaissances déjà étudiées et au maître d’évaluer les élèves et réguler son enseignement. 4 – il va permettre aux élèves l’extension du champs d’utilisation d’une notion déjà étudiée. TRANSITION : ces objectifs s’inscrivent dans les différentes phases du processus d’apprentissage. En voici un rappel: 21

Les différentes phases du processus d’apprentissage:
Approche Construction Reconnaissance des savoirs Entraînement, maîtrise, systématisation Réinvestissement, transfert Approche Cette courte phase a pour objectif de permettre à l’enfant de se familiariser avec une situation nouvelle, d’utiliser ses connaissances antérieures. Elle permet également au maître de repérer les connaissances initiales des élèves sur un nouveau sujet. Construction C’est une phase très contextualisée dans laquelle le savoir est un outil implicite. Reconnaissance des savoirs Le savoir précédemment construit est nommé; il acquiert un statut de connaissance autonome, c’est un objet explicite. Entraînement, maîtrise, systématisation Il s’agit d’une phase décontextualisée dans laquelle le savoir est objet d’amélioration, jusqu’à devenir un outil bien maîtrisé. Réinvestissement, transfert L’élève peut recourir seul, sans y avoir été invité, à un savoir qu’il peut lui-même identifier, nommer; le savoir est mobilisable dans des contextes différents de celui qui a servi à l’introduire et à lui donner sens. (recontextualisation). Il est devenu à la fois objet et outil explicites.

Attention, les trois enfants doivent recevoir le même nombre d’images.
Je dois envoyer ces 18 images à trois enfants. Pour cela je vous ai donné 3 enveloppes. Vous devez écrire sur l’enveloppe le nombre d’images que je devrais mettre dans l’enveloppe. Attention, les trois enfants doivent recevoir le même nombre d’images. Vous avez une feuille blanche pour chercher. Exple de problème ouvert: problème de partage au CP de 18 objets entre 3 personnes. Au CP, le maître dispose de 18 images qu’il montre aux élèves en début de séquence puis les range dans une boite. Il donne à chaque élève 3 enveloppes et donne la consigne suivante: Si difficultés, on peut suggérer à travers un exemple plus simple (6 images / 3 enveloppes) de présenter diverses solutions et de demander si elles respectent les contraintes. Par exemple: 3 images/ images, 6 images 6 images 6 images et une image, deux images, trois images. Donc il reste une solution. La difficulté ne doit pas résider dans la compréhension de la situation.

Quels sont ces deux nombres?
Je pense à deux nombres qui se suivent. Je les additionne, je trouve 23. Quels sont ces deux nombres? Exemple : Problème pour chercher:

Quelles catégories de problèmes ?
Typologie de problèmes arithmétiques simples, d’après G. Vergnaud. INTRO: Les problèmes additifs et soustractifs sont représentés sous forme d’un schéma référencé dans cette typologie. Intérêt d’une telle typologie pour nous: les problèmes présentés aux élèves devraient toujours être de conception différente pour faire varier le niveau de difficulté: en effet, une solution apparemment identique ne met pas forcément en œuvre le même schéma. COMPOSITION DE 2 ETATS: Là, la situation est statique: on recherche soit le composé (résultat) soit un élément de la composition (nombre d’objets, mesure). TRANSFORMATION D’ETAT On part d’un état initial pour arriver à un état final. On recherche soit l’état final, soit l’état initial, soit la transformation subie (elle peut être positive ou négative). La situation est dynamique.

COMPARAISON D’ETATS Il n’y a pas de transformation, il s’agit de retrouver, soit l’un des états de la comparaison (plus ou moins), soit la comparaison elle-même (la différence). COMPOSITION DE TRANSFORMATIONS C’est la gamme de problèmes qui comporte le plus de combinaisons possibles car plusieurs transformations se succèdent. On recherche soit le résultat des transformations successives, soit l’une des composantes. On ne connaît ni l’état initial, ni l’état final ou intermédiaire.

Quelles catégories de problèmes ? 3-COMMENT ENSEIGNER LA RESOLUTION DE PROBLEMES ? Le rôle de l’entraînement et la nécessité des prises de conscience La répétition = indispensable pour stabiliser les connaissances de l’enfant Entraînement positif si l’enfant agit consciemment et volontairement. Apprendre c’est recommencer, s’entraîner: même si la répétition n’est pas suffisante pour l’acquisition des connaissances, elle va être indispensable pour stabiliser les connaissances de l’enfant. Le maître doit faire en sorte que l’élève comprenne qu’il s’entraîne pour mieux faire, pour être plus rapide, ou pour pouvoir se débrouiller seul.

Le rôle de l’entraînement et la nécessité des prises de conscience
 Efficacité des procédures Du coût des tâches (allège la charge de travail) L’élève est disponible pour se concentrer sur autre chose. Grâce à l’entrainement, l’efficacité des procédures et des techniques opératoires va être augmentée. Donc l’entraînement et la répétition vont permettre de réduire le coût de certaines tâches et d’alléger la charge de travail de la mémoire à court terme. Donc l’élève peut davantage se concentrer sur autre chose. EXPLE: « Si je n’ai plus besoin de réfléchir lorsque je fais une addition, je peux concentrer mon effort sur le rôle de cette addition dans la résolution du problème, gérer les calculs successifs. Etc … ».

La place de l’écrit Types d’écrits : · Les écrits de référence · Les écrits de recherche et de travail · Les rédactions de solutions Les différentes traces écrites peuvent avoir diverses fonctions : Les écrits de référence: -ils permettent de conserver la trace de ce que l'on a appris, ou de ce que «l'on sait que l'on sait», doivent respecter les règles de la syntaxe usuelle et de la syntaxe mathématique. Ces types d'écrit sont destinés à durer, à rester utilisables, à servir de référence pour tous (cahier, affiches, livres….) Les écrits de recherche et de travail -destinés à être relus par l’élève et n'ont donc pas nécessairement une forme parfaitement correcte, tant sur le plan mathématique que sur le plan de la langue. II s'agit là d'écrits « pour chercher » qui font partie du travail privé de l'élève et lui sont utiles à court terme (cahier d’essais, cahier-mémoire, tableau, travail sur affiches, ardoise, cahier de maths sur le modèle du cahier d’expérience). Les rédactions de solutions Comme tout écrit, celui-ci doit être communicable et avoir des destinataires (le maître d'abord, les autres élèves...) Il s’agit d’un écrit de reconstruction, il doit permettre une compréhension claire de la méthode de résolution adoptée par l’élève. .Cet écrit répond à des normes II doit être synthétique. Il doit articuler correctement les étapes principales de la solution trouvée, les calculs qui les accompagnent, et une formulation explicite de la réponse Donc pas d’aléas individuels de la recherche,pas d’éléments superflus ou redondants, les marques très personnelles de chacun, éviter les oublis, les sauts d'étapes, les raccourcis qui rendraient la démarche insuffisamment justifiée ; mais aussi éviter les marques narratives, les répétitions, bref, 'aller à l'essentiel, produire un texte concis et dense. C’est un travail du mathématicien qui vise à la production d'un écrit suffisamment clarifié et dépersonnalisé pour être socialement et mathématiquement acceptable. 29

Les débats, les mises en commun Ce que la mise en commun n’est pas : Une présentation exhaustive et fastidieuse des productions Une correction La non-intervention Ici le rôle de l’enseignant est d’identifier, partager, analyser et mettre en discussion les productions d’un élève ou d’un groupe d’ê. Il doit amener ses élèves à passer DE connaissances construites de façon très contextualisées VERS un savoir en partie décontextualisé. Difficultés de l’enseignant Ce n’est pas une présentation exhaustive et fastidieuse des productions Moment « obligé »,Acharnement du maître / Ennui des ê Difficulté de l’ê à s’impliquer dans le travail des autres car il est encore préoccupé par la validité de sa réponse Parce que les autres solutions sont trop éloignées de sa propre démarche Ce n’est pas une correction En imposant trop vite ou en accueillant d’un regard trop bienveillant la réponse attendue, le maître court-circuite le travail d’élaboration de connaissances visé par la « situation- problème » Ce n’est pas une non intervention de l’enseignant .peut-on considérer que les ê sont capables de communiquer leurs procédures originales, de ne pas redire ce qu’un ê a déjà dit, ou encore de prendre du recul par rapport à la situation particulière qu’ils viennent d’étudier? 30

Les débats, les mises en commun La fonction d’une mise en commun dépend en partie de l’objectif de la situation proposée : La situation est une situation de recherche ouverte et nouvelle : mettre l’accent sur la richesse et la diversité des procédures. La situation vise la stabilisation d’une notion : institutionnaliser ce savoir. Une situation entre les deux : focaliser l’attention des élèves sur certaines procédures afin de les conscientiser. Moment privilégié : aider à mettre en évidence les liens qui existent entre différentes procédures. 1- Si la situation est une situation de recherche ouverte et nouvelle : Repréciser le contrat : pas nécessairement une seule bonne solution. Revenir sur les contraintes non respectées par certains élèves. Valoriser toutes les procédures (sans en effectuer un relevé systématique, sans mépris des productions erronées ou valorisation excessives de procédures marginales). L’enseignant devra présenter et analyser les différentes procédures de façon rapide et dynamique pour conserver l’attention des ê. 2- La situation vise la stabilisation d’une notion ou d’une procédure experte : L’attention des ê doit être focalisée sur cet élément de savoir. Des mots doivent être dits par le maître pour que l’enfant comprenne ce que l’on cherche à lui faire acquérir sans ambiguïté,pour préciser ce qui vient d’être fait,pour mettre en évidence ce qui a de l’intérêt, ce qu’il faut retenir, ce sur quoi il faudra encore s’entraîner. Ces repères évitent aux ê de se sentir menés sur des chemins diffus. 3- Une situation entre les 2 : Le maître oriente alors les élèves petit à petit vers une procédure plus économe, plus astucieuse… 4- Moment privilégié : Le passage d’une procédure connue à une procédure nouvelle reconnue comme équivalente ne peut se faire pour tous les enfants au même moment. Le rôle du maître peut consister alors à repérer les enfants ayant utilisé des procédures voisines, c’est-à-dire qu’ils peuvent se communiquer et même s’approprier. 31

Les débats, les mises en commun
Moment d’échange, d’explicitation… Grâce à la verbalisation (langage oral et écrit) Faire sienne une nouvelle procédure (dépersonnalisation) élargir le champ des possibles. Moment d’échange, d’explicitation… L’élève doit rendre public, soumettre au regard et à la critique des autres. Grâce à la verbalisation (langage oral et écrit) L’élève doit formuler sa propre pensée et la rendre accessible à autrui; l’expliciter, la justifier… Il peut aussi être amené à contester un argument, solliciter une explication, expliciter la procédure d’un autre élève (dépersonnalisation) Faire sienne une nouvelle procédure, élargir le champ des possibles (dépersonnalisation) En interrogeant les démarches La mise en communs est d’autant plus riche lorsqu’il s’agit d’étudier des problèmes comportant plusieurs solutions (voir vidéo IREM) EXEMPLE: Dans ma tirelire, il n’y a qu’une seule sorte de pièces. En tout il y a 20 euros. Combien de pièces y-a-t-il dans ma tirelire ?

Les rôles de chacun Phase 1 : mise en situation Phase 2 : recherche
→ Le maître lit éventuellement le problème, s’assure de la bonne compréhension de celui-ci (questions); → Les élèves lisent le problème, le reformulent, répondent aux questions de compréhension à l’oral, se construisent une représentation du problème. Phase 2 : recherche → Le maître passe dans les rangs, fait expliciter les démarches, étaye, aide les élèves les plus en difficulté ; → Les élèves expliquent leur procédure au maître. Phase 3 : mise en commun → Le maître incite à la verbalisation pour le collectif, gère les interventions des pairs ; → Les élèves formulent leur procédure devant les pairs, expliquent et défendent leur choix ou débattent sur le résultat d’un pair (validation). 33

Les aimants (Ermel CE1 : P96, 97).
Description rapide Il s’agit de chercher combien d’images vont pouvoir être affichées en utilisant des aimants : le nombre total des aimants à utiliser est fixé et le nombre d’aimants par images varier selon la grandeur des images. Objectifs spécifiques Faire des essais et contrôler ses essais par rapport au but. Rechercher plusieurs solutions (la recherche systématique de toutes les solutions n’est pas un objectif du CE1). Enoncé « Je veux afficher des images dans la classe. Pour les petites images, j’ai besoin de 4 aimants ; pour les grandes, j’en ai besoin de 6. Je dispose de 36 aimants. » 34

La calculette est disponible pendant tout le déroulement
DEROULEMENT La calculette est disponible pendant tout le déroulement de l’activité. Etape 1 : appropriation de la situation Le texte de l’énoncé est écrit au tableau. La lecture est suivie d’une explication des données qui peut amener les enfants à poser des questions telles que : « Est-ce qu’on ne met que des petites images ? Que des grandes ? » « Est-ce qu’on met des grandes et des petites ? » C’est cette dernière question qui fera l’objet de la première recherche en précisant que l’on souhaite utiliser tous les aimants. 35

Etape 2 : recherche individuelle
Le maître aide les enfants en leur demandant de tenir compte des essais effectués. Il est évident que les procédures s’appuyant sur le calcul sont plus faciles à gérer. Toutefois, l’objectif de cette situation n’est pas d’institutionnaliser une procédure mais de faire prendre conscience aux élèves qu’il faut tenir compte de toutes les données de l’énoncé, en particulier le nombre d’aimants, et des essais effectués pour progresser dans la recherche. 36

Procédures observables :
∙ Représentation des 36 aimants par des croix, traits, ronds, etc... : construction de paquets de 4 et dénombrement de paquets ; construction de paquets de 6 ; construction de paquets de 4 e de 6 en alternance. ∙ Représentation des images : progressivement, en plaçant les aimants et en contrôlant au fur et à mesure : « Il me reste des aimants, je peux encore placer une image ». (On retrouve les trois cas évoqués précédemment.) ; en dessinant d’emblée plusieurs images puis en plaçant les aimants sur les images représentées. (On retrouve les trois cas évoqués précédemment). L’élève peut être confronté à un problème de manque ou de reste. ∙ Production d’écritures : additives : contrôlées au fur et à mesure (du type = 8, = 12 …) réitérées sans contrôle du nombre d’itérations, calculées ensuite et comparées à 36 ; décomposition de 36 : 36 = ou 36 = ou ou 6 x x 3 ou 4 x x 2. 37

Obstacles rencontrés par les enfants :
∙ en cours de procédure : Comment faire à la fois des paquets de 4 et des paquets de 6 ? Comment modifier la production quand il y a un reste ? ∙ en fin de période : Comment interpréter une écriture par rapport à la question posée ? Où lire la réponse, dans les dessins ou calculs produits ? Etape 3 : mise en commun Les différents types de procédures (calculs, dessins) sont confrontés et validés. C’est au cours de cette phase collective que les obstacles rencontrés par certains enfants sont discutés et levés, que des réponses sont apportées et que les procédures utilisant des dessins sont « traduites » par le calcul. 38

Etape 4 : nouvelle recherche
Il s’agit de rechercher des réponses à d’autres questions : « Combien peut-on afficher de petites images ? » « Combien peut-on afficher de grandes images ? » Ces questions permettent à certains élèves de commencer par des procédures utilisant le calcul. PROLONGEMENT Reprise de l’activité avec d’autres nombres. On pourra choisir plus particulièrement des valeurs pour lesquelles tous les aimants ne peuvent pas être utilisés. 39

4-COMMENT AIDER LES ELEVES A SURMONTER LEURS DIFFICULTES ?
Les types d’erreurs et de difficultés des élèves Pb1 : Je possède 137 billes, j’en ai 42 de plus que mon frère. Combien mon frère en possède-t-il? Réponse de l’élève : = 179 Il possède 179 billes. L’élève a additionné 137 et 42. La difficulté se situe au niveau du choix de la procédure. On peut supposer que c’est le mot « plus » qui est à l’origine de ce choix. On dit que c’est un mot inducteur pour l’élève. Souvent un tel mot permet de répondre correctement mais parfois il représente un piège pour l’élève. 40

Recherche d’une procédure
Lecture de l’énoncé Recherche d’une procédure Instanciation de la procédure Exécution de la procédure Ce schéma nous aide à définir à quel niveau se situe l’erreur. Procédure : toute suite (ordonnée) d’opérations définie pour un dispositif et une tâche donnés, dont l’exécution a pour objectif de faire passer d’un état initial à un état final. Pb1 : Calculer le nombre de billes de mon frère en soustrayant les billes que j’ai en plus de mon frère. Instanciation : Elle consiste à appliquer la procédure aux données du problème. Cette étape qui peut sembler évidente, ne l’est pas toujours… Pb1 : = Exécution : Elle consiste à effectuer cette procédure. Pb1 : = 95 Communication de la réponse : Elle sera fonction du destinataire : les autres élèves, le maître… Communication de la réponse 41

Analyse d’erreurs Pb2 : Mr Rivière est chargé de ranger 80 bouteilles dans des casiers. Chaque casier peut contenir 6 bouteilles. Combien de casiers seront nécessaires pour que Mr Rivière puisse ranger toutes les bouteilles? Réponse de l’élève : 80 x 6 = 480 Sont nécessaires 480 casiers. L’élève a multiplié le nombre de bouteilles par le nombre de places par casier. On peut faire l’hypothèse que le mot « ranger » et/ou le mot « chaque » ont amené l’élève à penser qu’il s’agissait d’un problème de multiplication (en référence aux nombreux problèmes multiplicatifs qu’il a dû déjà résoudre et pour lesquels ces termes sont pertinents). Si notre hypothèse est correcte, c’est donc la représentation que l’élève s’est construite de l’énoncé qui pose problème. 42

Analyse d’erreurs Pb3 : Julie a acheté pour un goûter : deux tablettes de chocolat à 3 € chacune, quatre bouteilles de limonade à 2 € chacune, un sac de brioches. Elle a payé 18 €. Quel est le prix du sac de brioches? Réponse de l’élève : 3 € x 2 € = 6 € Le prix du sac de brioches est 12 €. L’élève a ici multiplié le prix d’une tablette de chocolat et d’une bouteille de limonade et il a retranché le résultat (faux) obtenu au prix total. A première vue, on pourrait penser que l’élève a fait n’importe quoi!!! Il n’en est rien pour l’IREM. Il faut ici partir du principe que l’élève a agi LOGIQUEMENT!!! On peut faire l’hypothèse que l’élève a voulu déterminer le prix du chocolat et de la limonade, puis retrancher ce prix au prix total. La procédure serait donc correcte, la difficulté se situant au niveau du calcul du pris du chocolat et de la brioche. Deux éléments peuvent expliquer l’instanciation erronée : la présence du mot chaque et le fait que les nombres utiles pour ce calcul sont écrits en lettres. Tout se passe pour cet élève comme s’il appliquait la règle suivante : pour résoudre un problème, il faut utiliser uniquement les données numériques écrites en chiffres. C’est une règle du contrat didactique induite bien sûr par la pratique de classe. 43

Analyse des difficultés Difficultés à construire une représentation du problème : Prégnance de certaines règles du contrat didactique Prégnance des mots inducteurs La surcharge de la mémoire de travail Le contexte est éloigné du vécu de l’élève INTRO: Il s’agit de s’interroger : Quand un élève répond à une question, répond-t-il à la question qu’on lui pose ou répond-il à celui qui a posé la question ? (voir expl diapo suivante) Prégnance de certaines règles du contrat didactique Prenons l’exemple de l’âge du capitaine : « Dans un bateau, il y a 25 chèvres et 12 moutons. Quel est l’âge du capitaine? » Un fort pourcentage d’élève répond : 37 ans. C’est un problème mathématique proposé par le maître. Ce dernier veut que je fasse des opérations. Tout problème a une situation… Ici ces règles du contrat didactique sont des obstacles à la résolution de problèmes. Piste d’aide Casser ces règles en leur proposant de temps à autre : des problèmes sans solution, des problèmes avec des données supplémentaires, des problèmes qui n’utilisent pas les dernières opérations étudiées, des problèmes pour lesquels les élèves doivent chercher des informations complémentaires : des problèmes sans question la solution d’un problème dont il faut reconstruire l’énoncé. Prégnance des mots inducteurs Nous constatons que certains élèves, lors de la lecture des premiers mots de l’énoncé, se construisent une représentation qu’ils ont ensuite beaucoup de peine à changer. Dans la suite de la lecture, ils ne repèrent plus que les indices qui vont dans le sens de la représentation qu’ils ont commencé à se construire. Certains mots amènent les élèves à mobiliser certaines opérations : chaque, range, total, reste, plus… Faire prendre conscience aux élèves que ces mots inducteurs peuvent conduire à des résultats faux. Le mot « plus » peut vouloir dire qu’il faut faire une soustraction plutôt qu’une addition. La surcharge de la mémoire de travail : après la lecture de l’énoncé, l’élève n’a pas mémorisé les données importantes. Lire pour eux le texte plusieurs fois ou proposer des énoncés accompagnés de dessins, de schémas… Lui demander de schématiser le pb. Lui demander de raconter l’énoncé. Matérialiser le pb. Le contexte du pb ne renvoie pas l’élève à un vécu social familier ou encore certains mots ne sont pas connus de l’élève. Modifier l’énoncé afin qu’il soit plus explicite pour l’élève. Autres pistes d’aide concernant les difficultés de lecture: 1- travailler sur différents types de consignes consignes explicites : ex : calculer la somme d’argent… consignes semi explicites: ex quelle est la somme d’argent (calculer) quel est le coté le plus long (citer) consignes totalement implicites: que peut-on dire du triangle ? 2- faire une liste de verbes utilisés dans les pb math et les regrouper en fonction de leur signification ajouter, enlever : il faut calculer reproduire tracer, il faut faire un dessin justifier, dire pourquoi : il faut donner une explication 44

Si l’élève met deux nombres par case, il répond à la question.
Quand on demande de placer les nombres 367, 582, 309 dans la suite numérique suivante: 300 400 500 600 Si l’élève met deux nombres par case, il répond à la question. Si l’élève met un nombre par case, il répond à la personne qui a fait l’énoncé. Cela pose donc le problème du contrat didactique. Dont on va reparler juste après … Selon conférence de R. Charnay Piste de travail: apprendre le sens du mot chercher: Dialogue illustrant le propos: Professeur: Alors tu ne trouves pas? Elève: ???? P: hé bien cherche!! E: ??? P: tu cherches dans ta tête! Ici le mot chercher a un Double sens: Chercher une solution experte, déjà apprise (qui serait donc « dans la tête »), applicable directement. Il s’agit de restituer. Chercher comme un chercheur qui n’a pas la solution, et qui doit chercher une solution originale et personnelle. Proposition: introduire des problèmes pour chercher ou problèmes ouverts pendant les 3 premières semaines de l’année pour que le contrat qui s’installe entre l’enseignant et l’élève soit conforme à la démarche d’apprentissage par la résolution de pb.

Analyse des difficultés Difficultés à élaborer une procédure correcte : Des blocages psychologiques La faible richesse des réseaux de connaissances stockés en mémoire à long terme La non maîtrise de certaines techniques opératoires Des blocages psychologiques : je suis nul en mathématiques Piste d’aide Faire prendre conscience aux élèves qu’ils sont capables de faire quelque chose en mathématiques en leur proposant notamment des problèmes ouverts. Autre piste d’aide: proposer des problèmes de logique dans lesquels il n’y a pas de nombres ex dans une figure trouve combien il y a de carrés (diapo suivante) La faible richesse des réseaux de connaissances stockés en mémoire à long terme Aider les élèves à mémoriser des pbs de référence. Donner une suite d’opérations et demander aux élèves de retrouver parmi une liste d’énoncés celui ou ceux qui se résolvent à l’aide de cette suite d’opérations. La non maîtrise de certaines techniques opératoires Autoriser la calculatrice. Préciser les opérations à réaliser sans les effectuer. 46

Analyse des difficultés · Difficultés à exécuter la procédure de résolution · Difficultés à contrôler la représentation du problème, la procédure de résolution ou le résultat · Difficultés à lire le problème ; à communiquer le résultat Difficultés à exécuter la procédure de résolution Piste d’aide Un travail régulier toute l’année sur les techniques de calcul Difficultés à contrôler la représentation du problème, la procédure de résolution ou le résultat Demander aux élèves de prendre position par rapport à leur résultat en écrivant s’ils sont sûrs de leur production et pourquoi. 48

Une gestion différenciée des apprentissages Comment différencier ? · La différenciation par procédure. · La différenciation par les ressources disponibles et les contraintes imposées. · La différenciation par les rôles. · La différenciation par la tâche La différenciation pédagogique va permettre de concilier les savoirs à enseigner (compétences maths) et la logique des élèves (prise en compte de leur conceptions, procédures spontanées, de leurs erreurs pour favoriser l’évolution ou l’abandon de sa procédure). Sachant que les élèves apprennent en empruntant des chemins différents et n’apprennent pas tous dans le même temps mais que l’enseignant se doit de les faire tous progresser.

Une gestion différenciée des apprentissages Comment différencier ? · La différenciation par procédure. · La différenciation par les ressources disponibles et les contraintes imposées. 4 pistes La différenciation par procédure: C’est accepter que chacun expose sa solution, ses procédures sans forcément établir de hiérarchie. Ex: Pour certains élèves l’addition à trou donne du sens à la question posée alors que la soustraction ne leur semble pas encore adéquate… Exemple 2 : (voir diapo suivante). Pour faire progresser un élève, l’idée est d’essayer de le faire passer d’une procédure personnelle à une procédure plus experte en jouant sur certaines variables didactiques. Un élève va abandonner une procédure: Quand il est prêt à le faire (personnellement) Quand il a les outils pour le faire (maîtrise des techniques opératoires) Quand il est contraint à le faire (jouer sur la variable nombres) · Difficultés à contrôler La différenciation par les ressources disponibles et les contraintes imposées: L’idée est de proposer une même activité pour tous en différenciant les ressources et les contraintes. On peut jouer sur: La taille absolue ou relative des nombres en jeu. Le temps consenti à chacun. L’allègement de la charge de travail immédiat. L’utilisation d’outils facilitant. (calculette).

Procédure A: schématisation Procédure B: 0 0 0 0 0 26 27 28 29 …
Il y a 60 places sur un bateau. Le bateau est plein. Il y a 25 adultes, tous les autres sont des enfants.,. Combien y-a-t-il d’enfants sur ce bateau? Procédure A: schématisation Procédure B: … et compter ceux qui ont été ajoutés. Procédure C: =30+30=60 30+5=35 Procédure D: +____ 60 Procédure E: =35 Faire un bateau rempli de 120 places avec 110 adultes amène les élèves à passer de la procédure A (schématisation) à la procédure B. Faire un bateau de 120 places avec 38 adultes amène les élèves à abandonner B. (l’écart est trop grand). Travailler avec des nombres faciles, dont les élèves connaissent des compléments, comme un bateau de 100 places avec 70 adultes, incite les élèves à utiliser les procédures numériques.

COMMENT AIDER LES ELEVES A SURMONTER LEURS DIFFICULTES ?
Une gestion différenciée des apprentissages Comment différencier ? · La différenciation par les rôles. · La différenciation par la tâche. Ateliers : - de soutien, - de besoins, - de choix, - d’entraînement, - d’approfondissement . La différenciation par les rôles. Lors d’activités de collaboration, distribuer les rôles en fonction des compétences de chacun ou inversement dans l’optique d’améliorer un déficit dans une compétence. EXPLE: lors d’une mise en commun, l’élève qui viendra présenter sa démarche pourra être, celui qui est à l’aise à l’oral (en début d’année) ou au contraire celui qui a des difficultés à l’oral et doit travailler cette compétence langagière. La différenciation par la tâche. L’idée est de mettre en place des activités différentes sous forme d’ateliers dit : Ceci suppose une organisation par groupes homogènes. Une certaine autonomie des élèves est nécessaire pour permettre au maître d’intervenir dans les groupes.

L’EVALUATION C’est l’évaluation formative qui permettra de prendre en compte les savoirs et savoir-faire pour réguler l’enseignement et savoir où en est chaque élève. 53

CONCLUSION Résoudre des problèmes permet donc :
de donner du sens aux apprentissages, en rendant l’élève acteur et en confrontant ses connaissances. Faire des mathématiques, c'est élaborer ou s'approprier des outils d'un genre particulier qui permettent de résoudre de véritables problèmes. 54

Références Bibliographie
· ERMEL – Cycle 2 – Apprentissages numériques et résolution de problèmes. Hatier. · Comment les enfants apprennent à calculer – Rémi Brissiaud – Retz (chapitre 8 sur résolution de problèmes) Quelques sites internet : · : 60 problèmes ouverts pour le cycle 2 · Site de l’IUFM – documents de l’IREM : . · Document du groupe académique EVALUATION – sur le site de la circonscription du Port 1. Mathématiques Cycle 2. 55

Animation pédagogique La résolution de problèmes Cycle 2 1er décembre 2010 Circonscription du Port Valérie MOLETTE - CPC EPS et Anne-Laure VILANOU –

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