journées IUFM sur la modélisation en sciences

journées IUFM sur la modélisation en sciences
Le livre de la nature est écrit en caractères mathématiques Galilée ( ) Mythe ou réalité? A quoi servent les mathématiques? 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Plan de l’exposé Présentation du socle commun Modélisation (lien) Rôle des mathématiques (lien) Exemples concrets de modélisation dans les sciences (lien) Modélisation en sciences (lien) Projet P3 : activité interdisciplinaire Annexes, Vocabulaire et bibliographie -prise en compte d’une réalité qui a changé et d’une dimension européenne -intégration dans l’enseignement du collège et du lycée d’une démarche constamment à l’œuvre dans la vie professionnelle et l’enseignement supérieur. -rôle de la modélisation mathématique et son intérêt. -quelques exemples de modélisation plus ou moins accessibles au collège et au lycée. -concrètement : qu’est-ce qui va être demandé pour le projet P3? 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Compétences visées http://eduscol.education.fr/D0231/accueil.htm
la maîtrise de la langue française ; la pratique d'une langue vivante étrangère ; les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique ; la maîtrise des techniques usuelles de l'information et de la communication ; la culture humaniste ; les compétences sociales et civiques ; l'autonomie et initiative. 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Socle commun en maths et sciences et techniques
représentation cohérente du monde. compréhension de l’environnement quotidien. la complexité peut être exprimée par des lois fondamentales. Manipuler pour comprendre. Acquérir rigueur intellectuelle seule constitutive du raisonnement scientifique. 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Les Mathématiques Développement de la pensée logique, et de capacités d'abstraction. acquérir une vision dans le plan et dans l'espace. utilisation de formules, de modèles, de graphiques et de diagrammes. Développer le raisonnement logique et le goût de la démonstration. La question de la preuve occupe une place centrale en mathématiques. La pratique de l’argumentation pour convaincre autrui de la validité d’une réponse, d’une solution ou d’une proposition ou pour comprendre un « phénomène » mathématique a commencé dès l’école primaire et se poursuit au collège pour faire accéder l’élève à cette forme particulière de preuve qu’est la démonstration. Si, pour cet objectif, le domaine géométrique occupe une place particulière, la préoccupation de prouver et de démontrer ne doit pas s’y cantonner. Le travail sur les nombres, sur le calcul numérique, puis sur le calcul littéral offre également des occasions de prouver. A cet égard, deux étapes doivent être distinguées : la recherche et la production d’une preuve, d'une part, la mise en forme de cette preuve, d'autre part. Le rôle essentiel de la première étape (production d'une preuve) ne doit pas être occulté par des exigences trop importantes sur la deuxième (mise en forme de la preuve). Pour cela, la responsabilité de produire les éléments d’une démonstration doit être progressivement confiée aux élèves. A partir des éléments qu’ils fournissent, la mise en forme peut, elle, être réalisée collectivement à l’aide de l’enseignant. Dans le cadre du socle commun, qui doit être maîtrisé par tous les élèves, c’est la première étape, « recherche et production d’une preuve » qui doit être privilégiée, notamment par une valorisation de l’argumentation orale. La mise en forme écrite ne fait pas partie des exigibles. Cette initiation à la démonstration doit en particulier permettre aux élèves de distinguer une propriété conjecturée et vérifiée sur des exemples d’une propriété démontrée. En particulier, l’enseignant doit préciser explicitement qu’un résultat mathématique qui n’est pas démontré est admis. 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Conditions d’acquisition
Résolution de problèmes, Ancrage dans la réalité notamment à partir de situations proches de cette réalité. Les tests s’opèrent sur des enfants de 15 ans. Les prochains en 2009. 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Connaissances Nombres et calcul. Gestion de données et fonctions. Géométrie plane et dans l’espace. Grandeurs et mesures. 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Attitudes On peut appréhender la réalité à partir de lois logiques L’enseignement des mathématiques doit permettre : rigueur et précision, respect de la vérité rationnellement établie, le goût du raisonnement fondé sur des arguments dont la validité est à prouver. 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Culture scientifique et technologique
Comprendre et décrire : le monde réel, celui de la nature, celui construit par l'Homme, les changements induits par l'activité humaine. Distinguer : faits et hypothèses vérifiables et opinions et croyances. 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Pour atteindre ces buts
l'observation, le questionnement, la manipulation et l'expérimentation. 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Capacités à développer dans les sciences expérimentales
démarche scientifique observer, questionner, formuler une hypothèse et la valider, argumenter, modéliser de façon élémentaire 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Mathématiques outil de modélisation
Comprendre le lien entre les phénomènes de la nature et le langage mathématique qui s'y applique et aide à les décrire. 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Manipuler et Expérimenter en éprouvant la résistance du réel
Concevoir un protocole et le mettre en œuvre Utiliser les outils appropriés, y compris informatiques Développer des habiletés manuelles, être familiarisé avec certains gestes techniques Percevoir la différence entre réalité et simulation Comprendre qu'un effet peut avoir plusieurs causes agissant simultanément, de percevoir qu'il peut exister des causes non apparentes ou inconnues 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Exprimer et exploiter les résultats d'une mesure ou d'une recherche
utiliser les langages scientifiques à l'écrit et à l'oral, maîtriser les principales unités de mesure et savoir les associer aux grandeurs correspondantes, comprendre qu'à une mesure est associée une incertitude, comprendre la nature et la validité d'un résultat statistique. 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Appréhender rationnellement les choses pour :
développer les attitudes suivantes : le sens de l'observation, la curiosité pour la découverte des causes des phénomènes naturels, l'imagination raisonnée, l'ouverture d'esprit, l'esprit critique : distinction entre le prouvé, le probable ou l'incertain, la prédiction et la prévision, situation d'un résultat ou d'une information dans son contexte. 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Éducation à la citoyenneté
Développer : l'intérêt pour les progrès scientifiques et techniques, la conscience des implications éthiques de ces changements, l'observation des règles élémentaires de sécurité dans les domaines de la biologie, de la chimie et dans l'usage de l'électricité, la responsabilité face à l'environnement, au monde vivant, à la santé. 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Place de la modélisation dans la démarche scientifique
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Modélisation : Pourquoi?
On se pose une question dont la réponse n’est pas évidente et l’expérimentation coûteuse ou impossible. Acquérir une représentation cohérente du monde reposant sur des connaissances. Se créer des images. Pour échanger avec les non spécialistes en ayant un langage commun. Pour modifier certains paramètres et ainsi prévoir, anticiper, simuler. Rigueur, précision. -construire un pont, stockage de déchets radioactifs, prévoir le résultat d’une élection, accroissement du nombre de crabes en mer baltique, disparition du gulf stream, etc. -il faut se donner les moyens de comprendre pour agir. Il faut donner une cohérence au réel. -Il faut permettre aux décideurs de se faire une idée du problème et des solutions éventuelles. Pour cela il faut pouvoir présenter des éléments dans un langage compréhensible par tous. -Il faut pouvoir anticiper, modifier les paramètres, et pouvoir ainsi prévoir et choisir entre plusieurs actions possibles. - critique possible de certains discours techniques. 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Qu’est-ce qu’un modèle?
Un assemblage de concepts représentant de manière simplifiée une chose réelle déjà existante (objet, phénomène, etc.), en vue de la comprendre, d'en prédire le comportement, Il allie les notions de ressemblance et de représentation. C’est une représentation d'une réalité qui doit coller à l’expérience. COX, statisticien reconnu disait « tous les modèles sont faux, certains peuvent rendre service ». 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Modèle mathématique Un modèle mathématique est une traduction de la réalité pour pouvoir lui appliquer les outils, les techniques et les théories mathématiques. Généralement, en sens inverse, la traduction des résultats obtenus permet de prédire et d’opérer sur le monde réel. Un même modèle peut s’appliquer dans des contextes différents. -? -Équations différentielles, suites récurrentes, proportionnalité, etc. 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Modèle un modèle est toujours lié à ce que l'on veut en faire, à une théorie. un modèle n'est jamais parfait ni totalement représentatif de la réalité. il y a toujours plusieurs modèles possibles. C’est utile pour traiter le réel, mais il ne faut pas le prendre pour le réel. Le même objet, par exemple une souris, ne sera pas modélisable de la même façon selon que l'on s'intéresse plutôt à ses performances intellectuelles ; ses maladies et leurs soins, voire ceux d'un groupe d'animaux apparentés mais plus large (tous les mammifères dont l'Homme) ; la façon de la dessiner de façon convaincante dans le cadre d'un jeu vidéo. -on oriente plus ou moins les paramètres pour étudier certains résultats en particulier. Pour un même modèle on peut paramétrer très différemment pour mettre en évidence des choses différentes. 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Des sortes de modèles modèles prédictifs pour anticiper des événements ou des situations modèles descriptifs Pour rendre compte, de manière interprétable, d'une masse d'informations Les deux modèles sont liés et souvent l’un ne va pas sans l’autre La modélisation peut s'exercer du modèle vers le réel : ce sont les modèles prédictifs Ces modèles mathématiques sont utilisés pour anticiper des événements ou des situations, comme prévoir le temps avec la météo, estimer les prix potentiels des actifs financiers avec les modèles d'évaluation en finance, ou prévenir les épidémies. On parle de modèles prédictifs, dans lesquels des variables connues, dites « explicatives », vont être utilisées pour déterminer des variables inconnues, dites « à expliquer ». du réel vers le modèle : ce sont les modèles descriptifs Dans ce cas, les modèles servent à représenter des données historiques. On parle de modèles descriptifs. L'objectif est de rendre compte, de manière interprétable, d'une masse d'informations. Bien entendu, les deux types de modèles sont parfaitement liés : une bonne prédiction suppose au moins la prédiction de la situation passée et actuelle, c’est-à-dire une bonne description. Inversement, une bonne description serait parfaitement vaine si elle ne servait pas au moins de diagnostic, ou de carte, pour identifier la conduite à tenir. Il est intéressant de noter qu'un même modèle mathématique peut se trouver applicable à de nombreuses situations, n'ayant pas forcément un rapport bien évident. Par exemple, des générateurs de paysages sont capables créer des formes réalistes d'objets aussi différents que des montagnes, des arbres, des rochers, de l'herbe, des coquillage ou des flocons de neige, avec un seul modèle général, alors même que les processus de croissance et de constructions de ses objets sont très divers. Si, au lieu de créer un nouveau modèle, on est capable de rapprocher un problème d'un ancien modèle connu, on obtient immédiatement une masse de données très utile. Une grande partie du travail est donc de reconnaître qu'un modèle connu s'applique, ou à étendre les propriétés connues d'une classe particulièrement utile de modèle (propriété qu'on pourra ensuite utiliser plus largement). 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Pertinence d’un modèle
Couvrir le champ du problème réel. Obtention du résultat escompté. Respect des délais souhaités. Il est souhaitable qu’il soit ré-utilisable. Une bonne modélisation permet de répondre à des questions complexes avec des calculs simples. Un modèle est pertinent s'il couvre bien le champ du problème réel s'il permet d'obtenir le résultat escompté : description du phénomène avec le niveau de détail ou de synthèse souhaité, ou prévisions se révélant justes a posteriori. dans le délai souhaité On pense à la boutade qui promet des prévisions météo précises à une semaine mais qui demandent un mois de calcul. accessoirement, s'il est réutilisable L'investissement pour décrire un modèle est en général si important qu'il se justifie rarement sur une opération unique. 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Comment Modéliser? Inspiration, imagination, analogie, rasoir d’Occam et changement de point de vue. Il faut bien limiter le champ du problème. filtrer les données pour atteindre l’essentiel. Introduire des paramètres manquants, éventuellement adopter une approche probabiliste. Bien décrire l’ensemble des règles ou équations. valider le modèle. -Le rasoir d'Occam ou rasoir d'Ockham est un principe de raisonnement que l'on attribue au moine franciscain et philosophe Guillaume d'Occam (XIVe siècle), mais qui était connu et formulé avant lui : « Les multiples ne doivent pas être utilisés sans nécessité » (pluralitas non est ponenda sine necessitate). L'énoncé : Entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem, littéralement : « Les entités ne doivent pas être multipliées par delà ce qui est nécessaire » est une variante souvent attribuée à Guillaume d'Occam sans cependant qu'il y en ait trace dans ses écrits. Le principe du rasoir d'Occam consiste à ne pas utiliser de nouvelles hypothèses tant que celles déjà énoncées suffisent. C'est un des principes fondamentaux de la science. -Newton a imaginé une action a distance en contradiction avec les principes de son époque, aussi bien pour -ce qui se passait sur terre que pour ce qui se déroulait dans le ciel. Il en conclut que dans les deux cas, les corps étaient attirés entre eux. A la fin du XVIIème siècle inspiré par les idées de Descartes, le monde était très mécaniste et refusait toute idée d'action à distance. Newton dut dépasser tous ces a priori pour énoncer ses lois. Copernic change son point de vue pour observer les trajectoires des astres. Il prend un repère centré au soleil et les trajectoires deviennent simple à étudier alors que jusqu’à présent on avait pris un repère terrestre. Quelques points essentiels. 1. Le point de départ est toujours une question qu'on se pose sur une situation future et/ou si complexe qu'on n'y trouve pas la réponse de manière évidente. Ex. : Que faut-il faire pour que la situation s'améliore ? 2. Pour trouver la réponse, il est nécessaire de limiter le champ du problème en recherchant les données qu'on imagine avoir un lien direct avec la question. Trop limiter fait courir le risque de ne pas modéliser un phénomène qui a du poids dans le contexte, mais trop ouvrir entraîne une dispersion des moyens et une accumulation de données non pertinentes qu'il faudra écarter en justifiant les choix. Cette étape est la plus délicate pour la qualité du modèle : elle est soumise aux a priori du modélisateur, à ses manques de connaissances — parfois de méthode — et aux moyens dont il dispose (temps, argent, accès aux données). Au cours de cette étape, on choisit le type de modèle général qu'on va utiliser, notamment en fonction des données dont on pense disposer. 3. Il faut ensuite construire le modèle : filtrer les données afin d'en extraire les « bruits », ces irrégularités ou ces événements accessoires qui masquent l'essentiel ; éventuellement, reconstituer les manquants, c'est-à-dire les objets qui manquent pour assurer la cohérence de l'ensemble (ex. le fonctionnement d'un paramètre dont on connaît l'existence mais sur lequel on ne dispose pas de données) C'est là qu'interviennent les outils mathématiques et informatiques, qui permettent un filtrage et une construction avec un minimum de subjectivité en un minimum de temps. 4. Le « substrat » restant constitue le modèle, ensemble de règles ou d'équations. Il faut décrire ces règles le plus complètement possible : leur importance relative, les données en entrée et en sortie, les outils mathématiques utilisés, les étapes par lesquelles il faut passer, les points de contrôle. 5. La dernière étape consiste à valider le modèle : en appliquant aux données filtrées les règles du modèle, retrouve-t-on la situation initiale ? Si l'écart est trop important, il est nécessaire de se reposer la question des limites que l'on a fixées, ou de la pertinence des outils utilisés pour la modélisation. 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Force des mathématiques
Fournir des idées Langage universel d’expression Généralité, richesse et puissance du langage Équations aux dérivées partielles analyse fonctionnelle : méthodes numériques Méthodes des éléments finis Algorithmes et méthodes approchées Traitement du signal Calcul stochastique, etc. Outil de dialogue et de prospection -l’universalité des méthodes et des outils, l’abstraction permettent qu’un même concept mathématique puisse s’appliquer à plein de domaines différents. 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Il faut toujours garder son esprit critique
Il faut toujours avoir l’esprit critique vis à vis du modèle et d’autant plus s’il contient des mathématiques (voir usage abusif de concepts mathématiques). Chercher la simplicité. Organiser une critique active et imaginative Rechercher des co-vérités (en utilisant des changements de registre) Fabriquer des contre-modèles. (pour échapper aux interprétations dominantes : voir Copernic et les trajectoires des astres) -un concept mathématique n’est pas toujours adaptable à n’importe quelle situation. Exemple : passage du discret au continu ou l’inverse. -Recherche de co-vérités : p 321 apmep no 440. Nico Bouleau Ex : pollution des rivières. Méthode classique : inventaire des produits chimiques et concentrations  très précis Co-vérité : préciser le concept de propreté : en effet les eaux minérales ne sont pas forcément pures. Sinon : suivre le devenir des espèces qui y vivent. Pour la 1ère : risque de ne pas identifier les germes pathogènes pour certaines espèces. Pour la 2ème avoir des tests statistiques qui mettent en évidence l’effet de rejets polluants par rapport aux fluctuations aléatoire normales. Co-vérités :description du monde des particules Une fois une nouvelle loi identifiée, il est nécessaire de la formaliser pour en obtenir des informations quantitatives. L'outil utilisé dans ce cas est la mathématique, ou plus exactement une des mathématiques. Il existe en effet de nombreuses façons de décrire un phénomène mathématiquement. Ce fut le cas au début du XXème siècle, lorsque la mécanique quantique qui décrit le monde des particules élémentaires se développa. Dirac décrivit le comportement des particules à l'aide de l'algèbre des matrices, tandis que Schrödinger utilisa pour le même domaine les équations de champs. Il fallut de nombreuses disputes et des heures de travail ardu pour se rendre compte que les deux théories étaient équivalentes. Contre-modèles : Le monde vu de la terre ou du soleil ? Ainsi, Copernic à pris en compte les observations plus précises des trajectoires des planètes en étudiant leur déplacement non plus autour de la terre mais, autour du soleil. Cette étape pourrait sembler facultative car il est possible d'obtenir des trajectoires justes en les calculant depuis la terre ou depuis le soleil. La différence est dans la complexité des équations qui régissent ces phénomènes. Vu de la terre, les trajectoires devenaient de plus en plus compliquées au fur et à mesure que l'observation des planètes devenait de plus en plus précise. Il fallut imaginer des "roues dentées" supplémentaires pour faire fonctionner l'ensemble du mécanisme : Les épicycles. Vu du soleil, au contraire, les trajectoires des planètes sont admirables de simplicité. Il s'agit de simples ellipses avec le soleil à l'un des foyers. 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Quelques exemples détaillés
Modèle proies-prédateurs (1er jour) Modélisation des forces de frottement (2ème jour) Loi logistique discrète (2ème jour) TPE sur la vache folle (2ème jour) Du bon usage du continu (2ème jour) La molécule de méthane (voir activité) 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Statistiques de pêche à Triestre
Année Pourcentage de mauvais poisson 1914 11,9 1915 21,4 1916 22,1 1917 21,2 1918 36,4 1919 27,3 1920 16 1921 15,9 1922 14,8 1923 10,7 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Proies-prédateurs Volterra (1860-1940)
Bons poissons (sardines) : x(t) Mauvais poissons (requins) : y(t) Variation du nombre de sardines : x’(t) Si pas de requins : + ax(t) Si rencontre avec requins : - bx(t)y(t) Variation du nombre de requins : y’(t) Si pas de sardines : - dy(t) Si rencontre avec sardines : + cx(t)y(t) 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Système différentiel x’(t) = a x(t) – b x(t)y(t) y’(t) = - d y(t) + c x(t)y(t) Voir fichier : proie_predateur_différentielle.xls 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

De l’intérêt de se parler (I) Approximation affine et usage dans les sciences Que penser d’un exercice formulé ainsi? Dans un récipient on chauffe un liquide de volume 4l à 20°C. A 30°C il ne reste que 2,8l dans le récipient. La physique nous apprend que, entre 20°C et 40°C, l’accroissement de volume est proportionnel à l’accroissement de température. On note x la température. 1)Donner une expression en fonction de x du volume V(x) de liquide restant dans le récipient à la température x, pour x entre 20°C et 40°C. 2)En déduire le volume à 40°C. 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Proposition de modification -l’exercice ne doit pas induire de mauvaises images chez l’élève -il doit permettre à l’élève d’utiliser le modèle fonction affine et proportionnalité des « écarts » avec un support tiré des sciences comment noter la variable? x ou t? EX : Dans un récipient on chauffe un liquide de volume 4l à 20°C. A 30°C le volume dans le récipient est de 4,8l. On a constaté expérimentalement que pour ce liquide, entre 20°C et 40°C, l’accroissement de volume est proportionnel à l’accroissement de température. On note x la température. 1)Donner une expression en fonction de x du volume V(x) de liquide dans le récipient à la température x, pour x entre 20°C et 40°C. 2)En déduire le volume à 40°C. 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

De l’intérêt de se parler (II) Approximation affine et usage dans les sciences Que peut-on faire pour améliorer la cohérence avec les enseignements de mathématiques? Extrait d’un ex de physique : On présente le spectre d’une étoile Markab, dont on cherche à extraire la présence d’éléments chimiques dans la couche superficielle. On place en dessous le spectre du fer, dont on connaît les longueurs d’onde des raies. Les 8 raies du spectre du fer, à partir de la raie origine (404,4 nm), coïncident avec certaines raies du spectre de l’étoile. Question : mesurer la distance dx entre chacune des 8 raies et la raie origine. Calculer la différence de longueur d’onde dL entre chacune de ces raies et la raie origine. Calculer dx/dL pour chaque raie. Montrer que dx est proportionnel à dL. 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Du bon usage de la continuité Premier exemple :
Deux mobiles reliés par une ficelle de longueur h vont de A à B sur 2 routes différentes, d’intersection vide sans casser la ficelle. Deux sphères de rayon h l’une partant de A et l’autre de B peuvent-elles aller l’une de A vers B et l’autre de B vers A sans se rencontrer? -faire un schéma au tableau. 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Du bon usage de la continuité Deuxième exemple :
A une élection on vote pour A ou pour B. Peut-on, avant le scrutin faire une prédiction qui ne sera pas démentie par les faits? H Simons (prix Nobel d’économie) pense que oui et argumente : Soit p une prédiction (%de suffrages pour A) Soit f(p) le résultat du scrutin. On fait l’hypothèse que f est continue. Alors la courbe de f coupe forcément la droite d’équation y=x. Donc il existe bien p telle que : p = f(p). -est-ce que la publication avant une élection d’un sondage influence le résultat des élections par la suite? -Contre-ex : 15% votent pour B, 30% votent pour A, 15% votent pour le candidat annoncé gagnant et 40% sont des contestataires. Pour toutes les formes de prédictions la prédiction sera alors largement inexacte. -En fait la fonction f n’est définie que sur les valeurs de la forme : 100 * k/N, k nb de votants pour A, N population totale. -On lisse donc une suite finie de points. Peut-on le faire? En fait c’est un pb d’expérience. Premier exemple : En fait on n’a pas besoin du passage du discret au continu. Si on fait un maillage suffisamment fin a << h on va pouvoir représenter les trajets par une suite finie de points. Il reste alors à se convaincre que les deux suites de points des 2 mobiles et des deux sphères possèdent 2 points situés sur des nœuds ayant une arête commune. -Que devient le mouvement continu d’une sphère à une échelle de 10 ^-34 m? On utilise la continuité et la dérivabilité parce que ça simplifie les problèmes 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Le pendule simple Pendule simple : fil inextensible, et sans masse, longueur L, masse ponctuelle m. Angle avec la verticale : a(t) Newton : d²a(t)/dt² = -g/L sin (a(t)) avec a(0) = ao et a’(0) = 0 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Des mathématiques aseptisées aux Mathématiques Tout Terrain Exemples
Beaucoup de problèmes concrets échappent aux mathématiques classiques. Pourtant les maths ont leur rôle à jouer mais différemment : Utilisation de l’informatique : discrétisation des problèmes et modélisation. Analyse non standard Deux types de critique émergent à travers l’analyse des manuels : • d’abord, les contenus (cours, exercices) des manuels sont assez pauvres, • d’autre part, les énoncés proposés restent essentiellement fermés du type « Montrer que ». Ils induisent donc pour beaucoup d’élèves « un jeu incompréhensible «et stérile ». Plus précisément, les « sous questions (sont) trop détaillées » et un « usage trop précoce et trop rigide des règles de démonstration fait que celle-ci perd son intérêt essentiel, qui est d’emporter la conviction, pour n’être qu’un exercice de style stéréotypé. Bref, on réduit le raisonnement à la démonstration, qui n’en est qu’un aspect ». Les auteurs du rapport de la CREM développent alors le point de vue suivant : « La phase de démonstration, en effet, si elle est essentielle en ce qu’elle est la garantie de la sécurité et de l’exactitude, n’est pas, en tous cas, la seule activité du mathématicien. Il y a dans tout travail de recherche, une phase quasiment expérimentale, avec la formulation de conjectures et leur examen critique, notamment à l’aide de contre-exemples, qui précède la démonstration. Cette phase, qui est une véritable activité mathématique, peut et (doit) aussi se retrouver dans l’activité des élèves si l’on souhaite leur donner une véritable formation scientifique, qui aurait en plus l’avantage de se rapprocher de celle que développent les autres disciplines» · Des nouveaux programmes au collège : raisonnement et démonstration Dans l’introduction aux programmes de collège (BO n° 4 du 4 avril 2004), les auteurs insistent sur la place de la conjecture et de l’argumentation dans l’activité mathématique. Au collège, les mathématiques contribuent, avec d'autres disciplines, à entraîner les élèves à la pratique d'une démarche scientifique. L'objectif est de développer conjointement et progressivement les capacités d'expérimentation et de raisonnement, d'imagination et d'analyse critique. Elles contribuent ainsi à la formation du futur citoyen. À travers la résolution de problèmes, la modélisation de quelques situations et l'apprentissage progressif de la démonstration, les élèves prennent conscience petit à petit de ce qu'est une véritable activité mathématique : identifier et formuler un problème, conjecturer un résultat en expérimentant sur des exemples, bâtir une argumentation, contrôler les résultats obtenus en évaluant leur pertinence en fonction du problème étudié, communiquer une recherche, mettre en forme une solution. -Souvent on peut prouver qu’une solution exacte existe mais par contre elle est inaccessible par un calcul. -trouver des solutions approchées pour des pb dont la solution exacte nous échappe. -savoir passer du continu au discret et réciproquement. -savoir négliger à bon escient. -faire des raisonnements sans passer à la limite. ex : on dira que lim Un = l si la suite des décimales finit par se stabiliser. ex : on dit que f est continue si dx inft petit entraîne df infint petit. ex : Xo = a et Xn+1 = Xn + h f(Xn). Si h est inft petit la suite est inft proche d’une fonction x vérifiant x’(t) = f(x(t)). -Les mathématiques sont dans leur tour d’ivoire, plus ou moins déconnectées du monde qui nous entoure. On travaille sur des concepts sans se préoccuper de à quoi ils servent. On fait comme si les élèves devaient d’office être attirés par les maths et leur beauté. -Il faut ancrer les maths dans la réalité des sciences et des techniques. -On parle du niveau des français aux tests européens (passage de la 9ème place à la 17ème). Quand on regarde ces tests on comprend tout de suite. Tous les ex des tests sont à support issus des sciences et des techniques. Les petits français n’y sont évidemment pas préparés et tout cas pas par leurs enseignements en math. -En fait les maths TT sont pratiqués par les autres disciplines scientifiques : phys_chimie, svt, sc-éco, etc. À partir de : Si simple soit-il, l'exemple précédent désigne en creux un fait massif : la tradition scolaire est, en mathématiques, éperdument déductiviste , au point d'occulter et même de nier la réalité sur laquelle portent les assertions qu'elle prétend « démontrer », que cette réalité soit au départ extramathématique (l'espace ambiant, pour la géométrie regardée comme théorie hypothético-déductive de l'espace, par exemple) ou qu'elle soit déjà mathématisée (les programmes de calcul, pour l'algèbre regardée comme théorie hypothético-déductive du calcul arithmétique, etc.). Or le recours aux TIC peut prolonger, en la masquant de bonne foi, cette option consacrée. L'obstacle à franchir est immense : le chiffrage proposé par Martin Andler, pour qui « les mathématiques à tous les niveaux consistent en 45 % d'observation, 45 % de démarche expérimentale et 10 % de démonstration », ou du moins pour qui c'est là « à peu près l'équilibre qu'il y a dans l'activité d'un mathématicien chercheur qui travaille sur un problème donné », paraît très étranger à une tradition scolaire pour laquelle, aujourd'hui encore, la déduction théorique est tout – même si, en pratique, elle ne l'honore que bien imparfaitement – et qui, en outre, ne concevant guère qu'on n'établisse pas le résultat complet attendu, méconnaît du même mouvement la notion, si vitale pourtant, de résultat partiel . Dans un article fameux paru en 1994, William P. Thurston, lauréat de la médaille Fields en 1982, stigmatisait le modèle de sens commun de l'activité mathématique, the definition-theorem-proof (DTP) model of mathematics ( ). Il semble que les lignes de force aient, à cet égard, peu bougé depuis. 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Qu'est une véritable activité mathématique? introduction aux programmes de collège (BO n° 4 du 4 avril 2004) identifier et formuler un problème, conjecturer un résultat en expérimentant sur des exemples, bâtir une argumentation, contrôler les résultats obtenus en évaluant leur pertinence en fonction du problème étudié, communiquer une recherche, mettre en forme une solution. 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Méthode des tangentes parallèles pour la détermination du point d'équivalence E 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Autre méthode : méthode du pic de la dérivée

Projet P3 projet interdisciplinaire maîtrise de la langue française par les élèves, éducation à l’environnement ou au développement durable, éducation à la santé, thème de convergence, TPE, IDD, PPCP,….). Préparer une séquence d’enseignement Le travail doit être guidé par une problématique pluridisciplinaire Il doit y avoir articulation entre plusieurs disciplines et une approche théorique On prépare une séquence pédagogique 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Compétences évaluées Exercer l’expression écrite et orale des élèves Connaître le socle commun Mettre en œuvre des approches pluridisciplinaires Maîtriser les TICE Travailler en équipe pluridisciplinaire Se former et innover 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Contenu du dossier présentation de la problématique et éléments théoriques inter-disciplines (deux pages) objectifs de la séquence et choix effectués (une page) Calendrier, analyse à priori et à posteriori (3 pages) choix de productions d’élèves représentatifs (1 page) synthèse et propositions alternative ou prolongements possibles (1 page) 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Améliorer l’expression chez les élèves (Savoir utiliser un langage pour décrire une situation) Enrichir l’emploi de la langue Approfondir la pratique de l’argumentation Fournir des mots nouveaux pour s’exprimer Exemples : Résolution par traduction (analytique) Décrire en français un algorithme non commenté Fournir une bonne approximation, bien définie, d’une fonction d’expression analytique inconnue. (chaque élève construit son modèle propre proposé aux autres) Analyse mathématique de textes scientifiques 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Inter, pluri, trans disciplinarité
L’interdisciplinarité fait appel aux spécificités de diverses disciplines qui convergent par nécessité pour résoudre un problème. La pluridisciplinarité exploite une situation, à travers certaines disciplines, de façon élégante et opportune, sans chercher des liens et sans obligation. La transdisciplinarité relie les disciplines sans obligation, de manière à atteindre les mêmes objectifs à travers des activités très variés. Selon les instructions officielles de 1995, la pratique des activités scientifiques et technologiques permet le développement conjoint de 3 champs de compétences Relation avec les différentes disciplines Transversalité Maîtrise de la langue La mise en relation des disciplines sous-entend les concepts de pluridisciplinarité, d’interdisciplinarité, de transdisciplinarité…(1). Interdisciplinarité Par exemple, la réalisation d’un affichage relatif à la productivité d’une forêt est une activité interdisciplinaire faisant intervenir la biologie (croissance des végétaux), les mathématiques (mesure de la hauteur des arbres et évaluation de leur nombre), la physique (évaluation de la masse de bois), la technologie (fabrication d’instruments pour mesurer les hauteurs à l’aide de visées), les arts plastiques (réalisations de photographies et de dessins) et le français (rédaction du texte de l’exposition). Toutes ces disciplines interviennent donc par nécessité. Pluridisciplinarité Par exemple, une sortie en forêt donne l’occasion de proposer plusieurs activités en biologie (étude du sol au pied des arbres), EPS (activité sportive), mathématiques (orientation et repérage dans l’espace), et français (lecture d’un poème sur la forêt). L’introduction de toutes ces disciplines n’est donc pas obligatoire ; elle est néanmoins cohérente. Transdisciplinarité Pour structurer le concept transversal de temps, plusieurs disciplines interviennent dans divers contextes : l’histoire et la géographie (pour les grandes durées), le français (pour les conjugaisons au passé, au présent au futur et pour le vocabulaire), la géographie et la biologie (pour les cycles liés aux saisons), les mathématiques et la physique (pour les mesures des durées, la simultanéité et la succession). Par ailleurs, si l’objectif est de « rendre l’enfant capable d’extraire les éléments essentiels d’un texte relativement complexe », alors tous les enseignements peuvent proposer des recherches documentaires à propos de notions différentes. Prenons l’exemple de la digestion pour illustrer l’interdisciplinarité conceptuelle (d’après l’enseignement scientifique : comment faire pour que ça marche ?) CONCEPTS BIOLOGIQUES Organe Appareil Fonction (et rapport entre structure et fonction) Milieu intérieur Unité de l’organisme Muscle Excrétion Croissance Adaptation et évolution CONCEPTS PHYSIQUES Etats de la matière (solide, liquide) Approche de la divisibilité de la matière Filtration, dissolution, suspension Conservation de la matière CONCEPTS TRANSVERSAUX Temps (durée, succession de phase) Echelle des grandeurs Passage de 2 à 3 dimensions Système Causalité Equilibre La pratique du Français concerne toutes les disciplines quel que soit le thème abordé. 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Exemple de façon de travailler avec les élèves
Après analyse du problème répartir les élèves en groupes thématiques. Chaque groupe est chargé d’une mission précise et devra produire un texte, rendant compte du travail accompli. Une synthèse est alors organisée sous forme de débat ou chaque groupe apporte sa contribution. 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Références bibliographiques (I)
Jacques Istas : Introduction aux modélisations mathématiques pour les sciences du vivant. Springer-Verlag, Berlin 2000. Istas,J. (2005). Mathematical Modeling for the Life Sciences, Springer. James Gleick : La théorie du chaos. (Champs-Flammarion) T35 : E.J.Aubert (Mathematical intelligencer Vol 6 no 3) Leçons de calcul infinitesimal. Deledicq-Diener 1989. 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Références bibliographiques (II)
Cherruault Y. (1998), Modèles et méthodes mathématiques pour les sciences du vivant, Presses universitaires de France, (ISBN ) 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Vocabulaire Conjecture : Émettre une conjecture, c’est résumer dans un énoncé précis une idée que l’on pense universellement vraie (Legrand 2000). Explication : Proposer une explication, c’est réaliser un discours dont l'objectif est de communiquer à d'autres le caractère de vérité d'un énoncé mathématique. Vocabul 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Vocabulaire Preuve : Faire une preuve c’est proposer une explication acceptée relativement à la vérité d’un énoncé par une communauté de pensée à un moment donné. Il y a : les preuves pragmatiques, les preuves intellectuelles, les preuves formelles, la démonstration. (Balacheff) Une démonstration est tout raisonnement valide permettant d’établir qu’un énoncé est vrai ou faux à l’intérieur d’un système théorique. Elle a : un statut social , et deux fonctions : une fonction de validation dans le but de réduire le doute et une fonction explicative du pourquoi Dans ce paragraphe, nous explicitons les spécificités du raisonnement mathématique. · Richesse du raisonnement mathématique ? Au-delà de l’argumentation, le programme nous amène à distinguer conjecture, explication, preuve et démonstration. Qu’entend-on pour chacun de ces termes ? o Conjecture : Émettre une conjecture, c’est résumer dans un énoncé précis une idée que l’on pense universellement vraie (Legrand 2000). o Explication : Proposer une explication, c’est réaliser un discours dont l'objectif est de communiquer à d'autres le caractère de vérité d'un énoncé mathématique. o Preuve : Faire une preuve c’est proposer une explication acceptée relativement à la vérité d’un énoncé par une communauté de pensée à un moment donné. Balacheff (1988) distingue différents niveaux de preuve : les preuves pragmatiques, les preuves intellectuelles, les preuves formelles, la démonstration. La démonstration est tout raisonnement valide permettant d’établir qu’un énoncé est vrai ou faux à l’intérieur d’un système théorique. Une démonstration est un outil de preuve avec les caractéristiques suivantes : • un statut social : c’est une preuve acceptée par une communauté donnée (mathématiciens, classe à un niveau scolaire donné) • deux fonctions : – une fonction de validation dans le but de réduire le doute, – une fonction explicative du pourquoi : soit pour convaincre, soit pour expliquer. • une forme : toute démonstration respecte des règles ; certains énoncés sont considérés comme vrais (axiomes) ; les autres sont déduits de ceux-ci ou d'énoncés préalablement démontrés à partir de règles déductives. • la nature des objets en jeu : les objets mathématiques mis en jeu dans l'application des règles déductives sont des objets géométriques théoriques qui n'appartiennent pas à l'espace sensible. • un contexte : cet apprentissage ne peut se situer en dehors de résolution de problèmes. Nous avons déjà mis en évidence trois types d’obstacles : • Entrer dans la rationalité mathématique différente de celle du quotidien, • Enclencher un processus destiné à produire des résultats, conjectures et à en établir la vérité, • Aboutir à un texte présentant la démonstration. 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Preuve et démonstration ? Quelle différence?
“a finite number of logical steps from what is known to a conclusion using accepted rules of inference.” (Hanna and Barbeau, p. 38) un nombre fini d'étapes logiques à partir de ce qui est connu vers une conclusion en utilisant des règles d'inférence connues. La démonstration souligne le raisonnement et donc la forme, alors que la preuve ne souligne que la finalité... Une démonstration constituerait une démarche -habituellement formelle OU formalisée- cohérente et complète (dans le sens où elle se suffirait à elle-même, à partir du moment où on admet les hypothèses) dont l'aboutissement est tout ou partie d'un résultat attendu. Cela serait ainsi et de manière constante le fruit d'un raisonnement. Une preuve serait un témoignage de ce résultat, à savoir un ou plusieurs faits avérés, une démonstration en soi, ou une combinaison des précédents. Elle pourrait en somme découler d'un raisonnement, sans que cela soit une nécessité, et donc inclure une ou plusieurs démonstrations. A mon sens, la différence serait "comparable" à celle qui se présente entre "séquence syntaxique" [enchaînement conséquent d'énoncés] (pour la démonstration) et "suite sémantique" [enchaînement valide d'énoncés] (pour la preuve). Voici les définitions (en maths) que j'ai trouvé sur mon dico: Preuve: Opération par laquelle on contrôle l'exactitude d'un calcul ou la justesse de la solution d'un problème. Démonstration: Raisonnement par lequel on établit la vérité d'une proposition à l'aide de définitions, d'axiomes, de postulats, et de propositions établies antérieurement. D'ailleurs, on ne dit pas "la demonstration par 9" mais la "preuve par 9". Le probleme vient quand on regarde la définition "non mathématique" de la preuve: prouver c'est démontrer qu'une chose est vraie au moyen d'arguments. La meilleure façon de conclure, c'est de savoir que le terme "démontrer" est apparu en 980 dans le sens de "être un témoignage de" (par ex. "sa rougeur démontrait sa honte") et que le terme "prouver" est apparu vers Mais vers 1400, le terme "démontrer" peut prendre la définition suivante en maths: "prouver par une démonstration, d'une manière évidente". Je conclus donc que les termes mathématiques et français sont différents dans leurs définitions: en maths, prouver c'est contrôler l'exactitude d'un résultat; démontrer c'est prouver par une démonstration, une démonstration étant un raisonnement par lequel on établit la vérité etc... D'ailleurs, on dit bien: "les profs de maths sentent la poubelle, et POUR PREUVE, mon prof d'Algèbre transpire et ne se lave jamais..." Conclusion semi-finale : utilisez le terme DEMONTRER pour faire la démonstration d'un théorème, et le terme PREUVE pour donner des exemples qui montre la justesse du théorème. Et comme en maths, pour montrer qu'un théorème est faux, il suffit de trouver un contre-exemple, alors démontrer qu'un théorème est faux, c'est contrôler l'exactitude du théorème, et donc PROUVER qu'il est faux. Conclusion finale: on démontre qu'un théorème est vrai, mais on prouve ou démontre qu'il est faux. attention! devant les tribunaux français les aveux n'ont plus force probante depuis de nombreuses années (depuis que la police scientifique a montré son efficacité) pour revenir au sujet du débat, une preuve en langage courant est un indice important dans la recherche de la vérité (les procureurs dans leur exposé diront: "j'en veux pour preuve...") alors qu'une démonstration est une argumentation développée dans le sens de la vérité pour emporter l'adhésion des auditeurs (c'est la plaidoirie de l'avocat de la défense) en math une preuve sera un test numérique sous forme d'algorithme, une vérification d'ordre ou de longueur, la compatibilité de tel théorème ou de telle propriété avec d'autres théorèmes connus et reconnus une démonstration en math intègre l'analyse et la synthèse (comme sait le faire très bien Bisam ici même) et vise à faire le tour du problème posé Pour ma part, voici l'explication : par le passé, j'utilisais aussi le mot "preuve" dans mes polys pour indiquer la démonstration d'un théorème, jusqu'au jour où, rapportant un cas flagrant de fraude à un contrôle (l'étudiant avait eu accès par avance, au service photocopie, à mon corrigé et l'avait recopié mot à mot sur sa copie, y compris les fautes de frappe..), le directeur a décidé de ne rien décider en m'expliquant que je n'avais pas la preuve de la fraude puisque je n'étais pas dans le local de la photocopie quand je supposais que cela se fût produit.. Ce à quoi je lui ai répondu qu'il y avait aussi des imbéciles qui prétendaient qu'il n'y avait, au sens juridique strict, aucune preuve que les nazis aient bien exterminé plusieurs millions de personnes.... Inutile de dire qu'il n'a pas apprécié mon argument. C'est donc à cause du caractère "sulfureux" qu'a pris pour moi ce mot "preuve" que je ne l'utilise plus aujourd'hui en mathématiques. Mais libre à chacun de l'employer. 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Démonstration et Argumentation? Quelle différence?
Le raisonnement déductif est décrit par une structure ternaire : les pas sont connectés selon un processus de recyclage, c’est-à-dire, la conclusion du premier pas devient la donnée du pas suivant. (la validité est contrôlée ) Au contraire, dans l’argumentation, les inférences sont reliées par connexion intrinsèque en prenant en compte le contenu. (on ne peut qu’ en évaluer la pertinence ) · Rupture ou continuité cognitive entre argumentation en français et raisonnement déductif ? (Duval 1993) Duval distingue une argumentation en français d’un raisonnement déductif et développe l’idée d’une rupture cognitive entre argumentation et raisonnement déductif. Pour étayer cette rupture, Duval développe plusieurs points opposant l’argumentation en français et le raisonnement déductif. 1. Duval distingue le contenu d’un énoncé de son statut : • Son contenu peut avoir comme « valeur épistémique », évident, absurde, nécessaire, vraisemblable, possible, neutre, …. • Son statut dépend du contexte d’énonciation : ce peut être une hypothèse, un axiome, une définition, un théorème, une conjecture 2. Duval distingue la structure d’un pas déductif et d’une argumentation : • Le raisonnement déductif est décrit par une structure ternaire : les pas sont connectés selon un processus de recyclage, c’est-à-dire, la conclusion du premier pas devient la donnée du pas suivant. • Au contraire, dans l’argumentation, les inférences sont reliées par connexion intrinsèque en prenant en compte le contenu. Un raisonnement déductif est un raisonnement dont la validité est contrôlée, ce qui n’est pas le cas pour l’argumentation : il est seulement possible d’en évaluer la pertinence. Duval défend donc la nécessité de mettre en évidence les différences entre raisonnement mathématique et argumentation en français. 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Démonstration et Argumentation
La démonstration fournit des preuves contraignantes, Elle est dans le champ de la vérité formelle l’argumentation, elle, ne fait que préciser les raisons en faveur ou contre une thèse déterminée. Elle est dans l’ordre de la vérité matérielle il est d’usage de rattacher l’usage rigoureux de la démonstration à la logique et aux mathématiques, tandis que l’on replacera l’argumentation dans l’ordre concret des faits, dans l’ordre de la vérité matérielle, les mathématiques demeurant sur le plan des idéalités, dans le champ de la vérité formelle. Parce que dans la démonstration la puissance de la logique se trouve libérée de toute entrave, de toute référence avec la nécessité de consulter des faits pour savoir si ce que l’on dit est vrai, la démonstration emporte avec elle une force que n’a jamais l’argumentation. La démonstration fournit des preuves contraignantes, l’argumentation, elle, ne fait que préciser les raisons en faveur ou contre une thèse déterminée. Dans la démonstration, l’esprit est obligé de plier, de s’incliner et il ne peut pas se dégager. Fondamentalement, nous ne pouvons pas nous dérober devant les conséquences de nos propres principes, parce qu’elles vont avec. Ce qui est agaçant, car cela vaut pour tous les principes, des axiomes mathématiques, aux principes de la logique, jusqu’aux principes des systèmes les plus dogmatiques… y compris ceux des sceptiques ! La vertu de la démonstration, telle que la déploie un professeur de mathématique en cours, c’est d’habituer l’élève à une rigueur qui l’oblige à suivre le fil de la logique, de ne plus procéder par association d’idées. La démonstration est un modèle d’objectivité (texte). La vertu de la démonstration est d’obliger l’esprit à s’émanciper de toute opinion ou vue trop subjective, au sens le plus vague du terme. La contrainte logique de la démonstration nous oblige à abandonner nos opinions personnelles, nos vues fantaisistes, pour nous soumettre à un système et à sa la logique. La démonstration est une école de formation intellectuelle en ce sens. Elle nous apprend l’impartialité. Elle nous oblige à reconnaître la vérité comme ce qui est indépendant de nos opinions personnelles, comme ce qui est valide pour tout esprit rationnel. Mais attention, cela doit s’entendre dans un sens qui n’est pas intuitif, car tout processus de démonstration est discursif, c’est-à-dire repose sur le raisonnement. La démonstration nous demande de nous situer d’emblée sur le terrain d’un auditoire universel, celui de la communauté des esprits capables de reconnaître la validité d’un savoir objectif. En pratique, cette communauté est celle du consensus des savants. 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Argumentation mathématique
Justification rationnelle ayant pour objectif la recherche de la vérité d’une proposition mathématique, avec validation ou bien réfutation de conjectures par contre-exemple, passant ainsi par l’établissement du faux. (Douaire 1999) 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Les types de raisonnement mathématique
Raisonnement par enchaînements déductifs (modus ponens ) L’utilisation de contre-exemple Le raisonnement par disjonction de cas Le raisonnement par contra posée, Le raisonnement par l’absurde Le raisonnement par récurrence Au fil des programmes de collège et de lycée, nous donnons des exemples pour des types de raisonnement : • Utilisation de contre-exemple : En sixième, exercices sur la division euclidienne En cinquième : Analyser des propriétés caractéristiques des figures, prouver qu’une propriété numérique est fausse, prouver que deux suites ne sont pas proportionnelles. En quatrième : Prouver des égalités fausses avec des puissances. En troisième : Prouver des égalités fausses avec des racines carrées, prouver les réciproques fausses des propriétés des diviseurs d’un nombre entier • Raisonnement par disjonction de cas En sixième : comparer des décimaux En cinquième : comparer des nombres relatifs en écriture décimale, définir la distance de deux points sur un axe, définir la somme et le produit de deux nombres relatifs En quatrième : étudier les effets de la multiplication sur l’ordre En troisième : Prouver le théorème de Thalès, le théorème de l’angle inscrit • Approche du raisonnement par l’absurde • En cinquième : construction de triangles impossibles, caractérisation angulaire du non parallélisme • En quatrième : Théorème de Pythagore • En troisième : Théorème de Thalès • Seconde : Irrationalité de √2 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Modèles en Sciences Ce qui est donné pour servir de référence (souches…) Ce qui est représentatif d’une catégorie (type de volcan…) Reproduction à échelle différente (cellule, temps géologiques…) Structure utilisée pour rendre compte de phénomènes non reproductibles ou non visibles… 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

1 - Les modèles animaux Permettent d’utiliser des animaux possédant certaines particularités anatomiques ou physiologiques Permettent d’étudier les animaux sur plusieurs générations Peuvent être soumis à des tests ou expérimentations Transposition à l’homme ultérieurement 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Drosophile Antennapedia
Antennapedia, encore appelé ANT-C, est un gène HOX de la Drosophile qui contrôle le placement des pattes. Il est porté sur le chromosome III. Une perte de la fonction par mutation dans la région de régulation de ce gène peut donner comme résultat la conversion de la seconde paire de pattes en des antennes ectopiques. Ceci est seulement une illustration de la tendance des organismes à exhiber des variations sur un thème, en répétition modulée. Les pattes et les antennes sont liées de la même façon que le sont les molaires et les incisives ou que les doigts et les pouces, les bras et les jambes. Au contraire, les allèles du gène définissant le gain de la fonction convertissent les antennes en des pattes ectopiques. 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Vibrio harveyi Deux familles de bactéries, les Vibrionacées et les Entérobactériacées présentent des représentants luminescents. Il est possible de s’en procurer aisément soit en réalisant un isolement à partir d’un échantillon biologique (3) soit plus simplement dans le commerce (7). La culture de bactéries luminescentes et la bioluminescence elle-même sont porteuses d’un considérable potentiel pédagogique car elles conduisent à s’interroger sur de multiples problèmes biologiques et à les résoudre en intégrant des activités pratiques diversifiées. Outre l’acquisition des gestes techniques fondamentaux de la microbiologie, la mesure de l’émission lumineuse peut être utilisée pour établir la cinétique de croissance d’une population bactérienne et pour explorer les conditions de vie de ces organismes et leur métabolisme. Des bactéries luminescentes sont également utilisées comme organismes indicateurs dans des tests biologiques (1), outils de surveillance de l’environnement. Ainsi, un test commercial comme le test MICROTOX® permet de tester le potentiel toxique des eaux à l’aide de bactéries luminescentes. 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

2 – Les modèles analogiques
Analogues géométriques, mécaniques ou électriques d’objets biologiques Définis par l’invariance du rapport de certaines grandeurs ou propriétés homologues 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Le cœur est une pompe Il met en mouvement un fluide dans un circuit fermé Le circuit est en parallèle et non en série 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

3 – Les modèles de simulation par ordinateur
Simulation de la pression sanguine sur la paroi d’un anévrisme : Simulation des ondes sismiques : 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Rôles des modèles Expliquer Ex : remontée du magma Prévoir Ex : anévrisme Visualiser Ex : faille de San Andréa 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Modèle, outil didactique
Objet de substitution, il aide à la construction des connaissances Support concret, il demande un effort intellectuel moindre (surtout pour les plus jeunes) Moyen de transmission de connaissances, c’est une forme de langage 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Forces de frottement fluide
On lâche un tube à hémolyse lesté dans un fluide. On cherche à estimer les forces de frottement fluide qui interviennent. On va comparer plusieurs modèles. Relation fondamentale de la dynamique : mg – ρVg – ff = m dV/dt. D’ou : g – ρVg/m – ff/m = dV/dt On pose A = g – ρVg/m d’ou A-f/m = dV/dt 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Modèles Proportionnel à la vitesse : A-Bv = dV/dt au carré de la vitesse : A-Cv² = dV/dt Combiné des deux : A- Bv -Cv² = dV/dt 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

Expérimentalement la vitesse semble avoir une limite finie quand t tend vers l’infini. A la limite dV/dt = 0 d’ou : 1er cas : A –B vlim= 0 2ème cas : A –C (vlim)² = 0 3 ème cas : A –B Vlim –C (Vlim)² =0 A est connu en fonction des données A = g – ρVg/m. On en déduit B ou C en fonction des données expérimentales. Dans le 3ème cas on exprime l’un des paramètres B ou C en fonction de l’autre 09/01/2008 journées IUFM sur la modélisation en sciences

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