Circuits et nombres 2-adiques

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1 Circuits et nombres 2-adiques
Gérard Berry Chaire Algorithmes, machines et langages Collège de France Cours 2, le 9 avril 2013

2 Source du cours Ce cours reprend la théorie et la pratique de Jean Vuillemin (Digital Equipment  X  ENS) J. Vuillemin. On circuits and numbers, IEEE Trans. on Computers, 43:8:868-79, 1994 G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

3 Nombres 2-adiques (Hensel, ~1900)
R est une complétion de Q. Est-ce la seule? Non : nombres p-adiques pour p premier nombre infinis écrits poids faibles d’abord Beau, mais physique ? cf. Matière à Pensée, p. 32 Alain Connes / JP Changeux Jean Vuillemin : les entiers 2-adiques sont le bon Jean Vuillemin : modèle des circuits numériques En un sens, nous allons créer leur physique Ils unifient l’arithmétique infinie calculable et la logique Booléenne G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

4 2 Z : anneau des entiers 2-adiques
x  2 x0 x1 x2 … poids faibles d’abord opérations  et  de gauche à droite 0   2 (0) 1   21(0) 2   201(0) 1   2 (1) 2   2 0(1) x   2 (10) y   2 (01) y  2 x y   2/3 ou x  y   1 x   x  1  4x x  1/3 G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

5 L’anneau des 2-adiques  p / q existe pour p, q entiers ssi q est impair (cf. Euclide) 1 / 2 n’existe pas car la somme de bits x0x0 ne peut pas valoir 1 Pas d’ordre compatible avec les opérations 1  0  1 G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

6 2 Z comme algèbre Booléenne
2-adique x vu comme l’ensemble { i | xi 1 } exemple: 1/3   { i | i pair } Opérations Booléennes point par point x  y x  y  x (x  y)n  x n  yn etc. x   x  1 Relation arithmético-logique fondamentale G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

7 Espace Métrique de Cantor
d(x,x)  0 d(x,y)  2n n min t.q. xn  yn Exemple : d ( ,  1/8) Lemme : 2 Z est ultramétrique : d(x,z)  max (d(x,y), d(y,z)) x y  z d(x,z)  min (d(x,y), d(y,z)) G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

8 Espace Métrique de Cantor
Base d’ouverts : préfixes finis x0 x1...xn  { 2 x0 x1...xn y0 y1...yn... | y  2 Z } 1 ex. ouvert de préfixe Compact – très différent des réels ! G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

9 préservation de la finitude de l’information
Fonctions continues Lemme : f : 2 Z  2 Z continue ssi f(x)n ne dépend que d’un nombre fini de xm 2 x0 x xm... 2 y0 y1...yn... Continuité  préservation de la finitude de l’information G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

10 Fonctions synchrones x f(x) x0 x1...xn... 0 x0 x1...xn...
G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

11 Fonctions synchrones et contractantes
x f(x) Définition : f : 2 Z  2 Z synchrone ssi calculable par un circuit synchrone (de mémoire finie ou infinie) Théorème f : 2 Z  2 Z est synchrone si et seulement si f(x)n ne dépend que de x0x1...xn, i.e., est contractante  x,y. d(f(x),f(y))  d(x,y) Preuve : « seulement si » trivial, Preuve : pour « si » voir la construction SDD diapo G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

12 Circuits de Moore et contraction strictes
Un circuit synchrone est de Moore ssi tout fil entre une entrée et une sortie passe par au moins un registre Circuit de Moore Une fonction f : 2 Z  2 Z est strictement contractante ssi f(x)n dépend seulement de x0x1...xn1  x,y. d(f(x),f(y))  d(x,y) Théorème : une fonction est strictement contractante ssi elle est réalisable par un circuit de Moore G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

13 Rebouclage des circuits de Moore
x f(x) G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

14 Rebouclage des circuits de Moore
f(x) f(x)  x  x,y. d(f(x),f(y))  d(x,y)   x,y. d(f(x),f(y))  0,6 d(x,y) Lifschitz Théorème de Banach : toute fonction Lifschitzienne sur un compact a un point fixe unique G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

15 L’addition dans l’espace
r = 0 + s a + b + 1 a b s r s  a  b mais en temps infini ! continuité : couper à n bits pour n bits de sortie + 2 a b s r 3 x2n  x mod 2n s2n1  a2n  b2n  G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

16 Additionneur 3 bits (Full Adder)
oux ou et s a + a s b b r c c r bits a  b  c  s  2 r Einsten et l’épaisseur de l’instant. Passer du continu au discret et du non-déterminisme au détermininme s  a oux b oux c r  (a et b) ou (b et c) ou (c et a) G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

17 Opérateurs 2-adiques de base
+ a s b a  b  c  s  2 r r c 2 x0 x1...xn... 2 0 x0 x1...xn... x 2 x 2 x0 x1...xn... 2 1 x0 x1...xn... x 1 2 x G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

18 Addition et soustraction dans le temps
+ a b s r + a b s r 2r 12 r a  b  2 r  s  2 r a  b  1  2 r  s  2 r b  b  1 s  a  b b  1  b même équation que dans l’espace ! a  b  s tick ! s  a  b G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

19 Addition mixte espace / temps
x y  2 x0 y0 x1 y1... + ap bp sp a  ap ai b  bp bi s  sp si rp + ai bi si tick ! s  a  b 2ri ri toujours la même équation ! Code source constant pour tous les échanges espace / temps G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

20 Addition stéréo sp si  (ap ai) (bp bi) additionneur stéréo
+ s b + sp si  (ap ai) (bp bi) r additionneur stéréo Alterne deux additions dans le temps stéréo  canal gauche  canal droit G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

21 Addition et soustraction dans le temps
+ a b s + a b s a a  s  s b b tick ! G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

22 Multiplication et division par une constante
 x 3 x preuve : x  2 x  3 x _ x y  x / 3 preuve : y  x  2 y division seulement par des entiers impairs! G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

23 ? Quasi-inverse  y  1 / (12 x) y  2 x y  1 y  1 2 x y x
contractante  synchrone mais mémoire infinie (cf. construction SDD diapo ??) G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

24 sur les bits qui passent !
Quasi-racine carrée y  1 8 x   x z y ça ne nous dit rien sur les bits qui passent ! y  1 4 z y 2  1 8 z  16 z 2 z  x  2 z 2 y 2  1 8 x  16 z 2  16 z 2 G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

25 Décomposition spatio-temporelle de f synchrone
f 0  premier bit sorti par f pour l’entrée 0... f 1  f w  dernier bit sorti par f pour le mot fini w f 0  0-prédicteur : f 0w = f (w0) pour tout mot w f 1  1-prédicteur : f 1w = f (w1) f u  u-prédicteur : f uw = f (wu) pour tout mots w, u G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

26 Automate de x  3 x + x 3 x 0 / 0 1 / 1 0 / 1 1 / 0 00 10 01 11
G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

27 Prédicteur 0 de x  3 x + x 3 x 0 / 0 1 / 1 0 / 1 1 / 0 0 / 0 0 /
00 10 01 11 0 / 0 1 / 1 0 / 1 1 / 0 0 / 0 0 / 1 / 1 1 / 00 10 0 / 0 /0 0 / 0 / 0 1 / 1 / 0 0 / 0 / 1 01 11 1 / 1 / 0 1 / 0 1 / G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

28 Etape de décomposition
x 1 f 1 f 0 f (x) f 1 f 0 f(x) = mux(x, f 1 2 f 1(x), f 0 2 f 0(x)) G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

29 Forme normale SDD de f : 2z2z
1 f11 f10 x f01 f00 f 01 f 00 f 11 f 10 ... f 1 f 0 x 1 f1 f0 f (x) Table de vérité dans l’espace et le temps ultra-rapide : chemin critique  un mux La moitié des bits disparaît à chaque cycle G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

30 SDD partagé de f : 2z2z à mémoire finie
1 f11 f10 x f01 f00 f 01 f 00 f 11 f 10 ... f 1 f 0 x 1 f1 f0 f (x) f à mémoire finie  nb fini de prédicteurs f u distincts f à n registres  SDD(f ) peut avoir 22 registres n G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

31 Trace d’une fonction synchrone
Tr(f)  2 f0 f1 f00 f01 f10 f11 f000 f  f0  2 f1  4 (Tr(f 0) ʘ Tr(f1 )) L’application d’une trace Tr(f) à un argument x est continue  calcul ? Série formelle sur Z/2Z : S(f) = n Tr(f)n zn Théorème : f : 2 Z  2 Z est de mémoire finie ssi S(f) est algébrique dans Z/2Z G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

32 Des traces synchrones aux trancendants
Théorème (Van der Porten) : si f est à mémoire finie, alors le nombre réel 0, f0 f1 f00 f01 f10 f11 f000 f est soit rationnel soit transcendant Automatic Sequences: Theory, Applications, Generalizations Jean-Paul Allouche et Jeffrey Shallit Cambridge University Press (21 juillet 2003) Cf. aussi cours , systèmes finis, G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

33 Des fonctions continues aux circuits
f continue mais pas synchrone  dilater le temps nombre 2-adique : < valeur, validité > Théorème : toute fonction continue peut être réalisée par un circuit synchrone avec validité G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

34 Conclusion Merci à Jean Vuillemin
Les 2-adiques sont le bon modèle des circuits synchrones arithmétiques (seulement ?) La distance 2-adique, la continuité et le synchronisme sont des notions vraiment fondamentales La structure de l’espace des prédicteurs reste à comprendre La relation fonction continue / circuit synchrone à validité est encore largement à étudier (calcul?) G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

35 Commutation opérateurs / délais
+ + a s a s’  s’ b r b r’ r’ c c s’  2 r’  2 (abc) s’  2 r’  2 a  2 b  2 c Utilisation: couper les chemins critiques G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

36 Annexe – optimisation par retiming
Commutation opérateurs / registres Le retiming comme optimisation fondamentale des circuits en temps G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

37 Le retiming, un accélérateur majeur
+ + Calcule 2s + + + + G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

38 Le retiming, un accélérateur majeur
+ + Calcule 2s + + Calcule 4s + + G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013

39 Le retiming, un accélérateur majeur
+ n bits: latence n-1, temps 1 + + + Calcule 4s + + G. Berry, Collège de France, cours 2 09/04/2013