Chapitre 5 Choix et demande.

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1 Chapitre 5 Choix et demande

2 Rationalité économique
Un consommateur choisit un panier préféré dans l’ensemble des paniers disponibles. Ensemble des paniers disponibles = ensemble de budget. Nous avons vu au chapitre précédent ce qu’on voulait dire par « préféré » Nous voulons dans ce chapitre intégrer ces deux dimensions (ensemble de budget et préférences)

3 Rationalité économique
Notre objectif: étudier comment le panier choisi par le consommateur est affecté par des changements exogènes dans les prix ou dans la richesse du consommateur. Important: Les prix et/ou la richesse changent mais les préférences ne changent pas.

4 Programme mathématique (PC) décrivant le choix rationnel sous-contrainte

5 Le programme mathématique (PC)
A toujours au moins une solution (théorème de Bolzano-Weirstrass) Une solution est un panier qui est préféré par le consommateur à tous les autres paniers disponibles Peut on obtenir une intuition géométrique sur ce choix rationnel ?

6 Choix Rationnel sous contrainte

7 Choix Rationnel sous contrainte
Utilité x2 x1

8 Choix Rationnel sous contrainte
Utilité x2 x1

9 Choix Rationnel sous contrainte
Utilité x2 x1

10 Choix Rationnel sous contrainte
utilité x2 x1

11 Choix Rationnel sous contrainte
utilité x2 x1

12 Choix Rationnel sous contrainte
utilité x2 x1

13 Choix Rationnel sous contrainte
utilité x2 x1

14 Choix Rationnel sous contrainte
utilité Disponible mais pas optimal x2 x1

15 Choix Rationnel sous contrainte
Utilité Le préféré parmi les paniers Disponibles. disponible, mais pas optimal. x2 x1

16 Choix Rationnel sous contrainte
Utilité x2 x1

17 Choix Rationnel sous contrainte
Utilité x2 x1

18 Choix Rationnel sous contrainte
Utilité x1

19 Choix Rationnel sous contrainte
Utilité x1

20 Choix Rationnel sous contrainte

21 Choix Rationnel sous contrainte
paniers disponibles x1

22 Choix Rationnel sous contrainte
Paniers disponibles x1

23 Choix Rationnel sous contrainte
Paniers préférés Paniers disponibles x1

24 Choix Rationnel sous contrainte
Paniers préférés Paniers disponibles x1

25 Choix Rationnel sous contrainte

26 Choix Rationnel sous contrainte
(x1*,x2*) est le panier préféré dans l’ensemble des paniers disponibles. x2* x1* x1

27 Choix Rationnel sous contrainte
Le panier préféré dans l’ensemble des paniers disponibles (solution du programme PC) est appelé DEMANDE MARSHALLIENNE Cette demande Marshallienne est une fonction (si solution unique) ou une correspondance (si solution multiples) des prix et de la richesse. On note cette relation fonctionnelle x1*(p1,p2,R) et x2*(p1,p2,R).

28 Choix rationnel sous contrainte
Lorsque C = Rn+ et xi* > 0 pour tous les biens i, le panier demandé est dit INTERIEUR. Si acheter (x1*,…,xn*) coûte R euros alors la contrainte budgétaire est saturée.

29 Choix Rationel sous-contrainte
(x1*,x2*) est intérieur. (x1*,x2*) sature la Contrainte budgetaire. x2* x1* x1

30 Choix Rationnel sous Constrainte
(x1*,x2*) est intérieur. (a) (x1*,x2*) sature la C. B. p1x1* + p2x2* = R. x2* x1* x1

31 Choix Rationnel sous Contrainte
(x1*,x2*) est intérieur . (b) La pente de la courbe d’indifférence à (x1*,x2*) est égale à la pente de la droite de budget. x2* x1* x1

32 Choix Rationnel sous contrainte
(x1*,x2*) satisfait 2 conditions: (a) la contrainte budgétaire est saturée p1x1* +…+ pnxn* = R (b) la pente de la droite de budget, pi/pj, et la pente de la courbe d’indifférence passant par (x1*,x2*) sont égales à (x1*,x2*).

33 Choix Rationnel sous contrainte
La condition (a) sera vérifiée par tout choix d’un panier préféré dès lors que les préférences sont localement non-saturables (que le panier demandé soit intérieur ou non) La condition (b) ne sera vérifiée que si le panier choisi est intérieur.

34 Comment résoudre PC ?

35 Comment résoudre PC ? Puisque la contrainte budgétaire est saturée (si les préférences sont localement non-saturables) on peut écrire p1x1* +…+ pnxn* = R  x1* = (R - p2x2* -…- pnxn* )/p1

36 (PC) devient donc:

37 Les solutions intérieures de ce programme (sans contrainte) satisfont (si dérivabilité) les conditions de 1er ordre:

38 Et donc:

39 Si les préférences sont convexes, ces conditions sont en fait SUFFISANTES pour indiquer un panier optimal

40 Plus précisément un panier (x1*,…xn*) qui satisfait:

41 Déterminer les demandes marshalliennes: un exemple Cobb-Douglas
On se rappelle que les préférences Cobb-Douglas se représentent par la fonction d’utilité.

42 Déterminer les demandes marshalliennes: un exemple Cobb-Douglas
Si les préférences se représentent par. Alors

43 Déterminer les demandes Marshalliennes un exemple Cobb-Douglas.
Donc le TMS est

44 Déterminer les demandes Marshalliennes un exemple Cobb-Douglas.
Donc le TMS est A (x1*,x2*), TMS = -p1/p2 donc (A)

45 Déterminer les demandes Marshalliennes un exemple Cobb-Douglas.
Puisque (x1*,x2*) sature également la contrainte budgétaire, on a (B)

46 Déterminer les demandes Marshalliennes un exemple Cobb-Douglas..
Nous savons donc que (A) (B)

47 Déterminer les demandes Marshalliennes un exemple Cobb-Douglas..
Nous savons donc que Substituons dans (B) (A) (B)

48 Déterminer les demandes Marshallienne un exemple Cobb-Douglas.
Nous savons donc que (A) Substituons (B) Pour obtenir Ce qui se simplifie pour donner ….

49 Déterminer les demandes Marshallienne un exemple Cobb-Douglas .

50 Déterminer les Demandes Marshalliennes – un exemple Cobb-Douglas.
En substituant pour x1* dans On obtient

51 Déterminer les demandes Marshalliennes – Un exemple Cobb-Douglas.
Nous avons donc découvert que le panier disponible préféré d’un consommateur avec des préférences Cobb-Douglas est

52 Préférences Cobb-Douglas: une illustration géométrique.
x2 x1

53 Qu’arrive t-il si le panier préféré contient une quantité nulle d’un bien ?

54 Un exemple: le cas des substituts parfaits
TMS = -1 x1

55 Un exemple: Le cas des substituts Parfaits
TMS = -1 pente = -p1/p2 avec p1 > p2. x1

56 Un exemple: le cas des substituts parfaits
TMS = -1 pente = -p1/p2 avec p1 > p2. x1

57 Un exemple: Le cas des substituts parfaits
TMS = -1 pente = -p1/p2 avec p1 > p2. x1

58 Un exemple: le cas des substituts parfaits
TMS = -1 pente = -p1/p2 avec p1 < p2. x1

59 Un exemple: Le cas des substituts parfaits
Donc, si U(x1,x2) = x1 + x2, la demande marshallienne est si p1 < p2 si p1 > p2.

60 Un exemple- le cas des substituts parfaits
TMS = -1 pente = -p1/p2 avec p1 = p2. x1

61 Un exemple: le cas des substituts parfaits
Tous les paniers satisfaisant la contrainte à égalité sont préférés aux autres Paniers disponibles lorsque p1 = p2. x2 x1

62 Un exemple: Le cas des substituts parfaits
Donc, dans ce cas la demande marshallienne est une correspondance Définie par si p1 < p2 si p1 = p2 si p1 > p2.

63 Autre exemple de solution de coin -des préférences non-convexes
mieux x1

64 Autre exemple de solution de coin- des préférences non-convexes

65 Autre exemple de solution de coin – des préférences non-Convexes
Quel est le panier disponible préféré? x1

66 Autre exemple de solution de coin – des préférences non-convexes
Le panier disponible préféré x1

67 Autre exemple de solution de coin– des préférences non-convexes
Notons que la condition (de 1er ordre) TMS = p1/p2 ne caractérise pas le panier disponible préféré ici. x2 Le panier disponible préféré x1

68 Un exemple non-dérivable- Les préférences pour les compléments parfaits
U(x1,x2) = min{ax1,x2} a x2 = ax1 x1

69 Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments parfaits
U(x1,x2) = min{ax1,x2} x2 = ax1 TMS = 0 x1

70 Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments parfaits
U(x1,x2) = min{ax1,x2} TMS = - x2 = ax1 TMS = 0 x1

71 Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments parfaits
U(x1,x2) = min{ax1,x2} TMS = - TMS pas défini x2 = ax1 TMS = 0 x1

72 Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments parfaits
U(x1,x2) = min{ax1,x2} x2 = ax1 x1

73 Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments parfaits
U(x1,x2) = min{ax1,x2} Quel est le panier disponible préféré ? x2 = ax1 x1

74 Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments parfaits
U(x1,x2) = min{ax1,x2} Le panier disponible préféré x2 = ax1 x1

75 Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments parfaits
U(x1,x2) = min{ax1,x2} x2 = ax1 x2* x1* x1

76 Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments parfaits
U(x1,x2) = min{ax1,x2} (a) p1x1* + p2x2* = R x2 = ax1 x2* x1* x1

77 Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments parfaits
U(x1,x2) = min{ax1,x2} (a) p1x1* + p2x2* = R (b) x2* = ax1* x2 = ax1 x2* x1* x1

78 Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments parfaits
(a) p1x1* + p2x2* = R; (b) x2* = ax1*.

79 Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments parfaits
(a) p1x1* + p2x2* = R; (b) x2* = ax1*. La substitution à partir de (b) de x2* dans (a) donne p1x1* + p2ax1* = R

80 Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments parfaits
(a) p1x1* + p2x2* = R; (b) x2* = ax1*. La substitution à partir de (b) de x2* dans (a) donne p1x1* + p2ax1* = R ce qui nous permet d’obtenir

81 Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments parfaits
(a) p1x1* + p2x2* = R; (b) x2* = ax1*. La substitution à partir de (b) de x2* dans (a) donne p1x1* + p2ax1* = R ce qui nous permet d’obtenir

82 Un exemple non-dérivable- les préférences pour des compléments parfaits
U(x1,x2) = min{ax1,x2} x2 = ax1 x1

83 Un exemple non-dérivable – les préférences pour les compléments parfaits
Demande marshallienne est une fonction (solution unique) Préférences strictement convexes et compléments parfaits: impliquent toujours unicité des solutions