Mathématiques et Théorie des Jeux

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1 Mathématiques et Théorie des Jeux

2 Qu’est ce que la Théorie des jeux ?

3 Une théorie mathématique
du conflit et de la coopération . . . Elle analyse des situations où des agents rationnels doivent prendre des décisions stratégiques dont les conséquences dépendent de l’état du monde, mais aussi des décisions prises par les autres agents.

4 Des motivations historiques et philosophiques anciennes :
La question du contrat social chez les précurseurs de la philosophie politique, Platon (La république, , -347), Hobbes (Le Léviathan, 1651), Rousseau (Du Contrat Social, 1762). Qu’est ce que la théorie des jeux

5 Des motivations historiques et philosophiques anciennes :
La question du contrat social chez les précurseurs de la philosophie politique, Platon (La république, , -347), Hobbes (Le Léviathan, 1651), Rousseau (Du Contrat Social, 1762). Une théorie jeune : Von Neumann et Morgenstern (Theory of Games and Economic Behavior, 1944 ). Qu’est ce que la théorie des jeux

6 Qu’est ce qu’un jeu ?

7 Un ensemble d’actions pour chaque joueur : A1, A2
Des joueurs : i = 1, 2 Un ensemble d’actions pour chaque joueur : A1, A2 Des fonctions d’utilité : U1, U2 :A1 × A2→ R U1(x,y) = utilité (payoff) du joueur 1 associée aux actions x et y. Les joueurs jouent simultanément. Qu’est ce que la théorie des jeux

8 Le Dilemme du Prisonnier (Tucker, 1950)
Trahir Coopérer -6 /-6 0 /-10 -10 / 0 -2 /-2 T C

9 Le DP est un paradigme pour de nombreuses situations :
Le Problème du « free rider » (les boites à journaux en Suisse) La provision des biens publics (environnement, taxes, défense nationale,…) La solution de Hobbes : Changer les règles du jeu … « Covenants struck without the sword are but words », 1651, Le Léviathan

10 Le Dilemme du Prisonnier

11 Équilibres

12 Un couple d’actions (x , y) est un équilibre de Nash si
U2 (x , y) ≥ U2(x , y) pour toute action y et U1 (x , y) ≥ U1(x , y) pour toute action x

13 Un couple d’actions (x , y) est un équilibre de Nash si
U2 (x , y) ≥ U2(x , y) pour toute action y et U1 (x , y) ≥ U1(x , y) pour toute action x (T,T) est l’unique équilibre du Dilemme du Prisonnier

14 Le jeu des 3 ponts Sûr Pierres Cobras
0 / 100 100 / 0 80 / 20 60 / 40 S P C

15 Le jeu des 3 ponts n’admet pas d’équilibre…
Et pourtant : Théorème (Nash, 1950) : Tout jeu admet un équilibre en stratégies mixtes « I certainly knew right away that it was a thesis. I didn’t know it was a Nobel. » (David Gale, 1995)

16 U(x,y) = Σ x(i) y(j) U(i,j)
Une stratégie mixte est une « loterie » (une distribution de probabilité) sur l’ensemble des actions L’utilité s’étend par bilinéarité à l’espace des stratégies mixtes U(x,y) = Σ x(i) y(j) U(i,j) L’équilibre dans le jeu des 3 ponts est x ~ (0.26, 0.32, 0.42), y ~ (0.49, 0.36, 0.15) La valeur du jeu~ 51

17 L’existence n’est pas l’unicité

18 Le jeu du Cerf et du Lièvre
“S’agissait-il de prendre un cerf, chacun sentait bien qu’il devait pour cela garder fidèlement son poste; mais si un lièvre venait à passer à la portée de l’un d’eux, il ne faut pas douter qu’il ne le poursuivit sans scrupule, et qu’ayant atteint sa proie il ne souciât fort peu de faire manquer la leur à ses compagnons” Rousseau, Discours sur l’origine de l’inégalité, 1755

19 Cerf Lièvre 5 / 5 0 / 4 4 / 0 2 / 2 C L

20 Cerf Lièvre 5 / 5 Pareto dominant  0 / 4 4 / 0 2 / 2 C L

21 Risque dominant (Harsanyi et Selten, prix Nobels 1994)
Cerf Lièvre 5 / 5 Pareto dominant  0 / 4 4 / 0 2 / 2 Risque dominant (Harsanyi et Selten, prix Nobels 1994) C L

22 Risque dominant (Harsanyi et Selten, prix Nobels 1994)
Cerf Lièvre 5 / 5 Pareto dominant  0 / 4 4 / 0 Un équilibre mixte : (2/3 C, 1/3 L) 2 / 2 Risque dominant (Harsanyi et Selten, prix Nobels 1994) C L

23 La multiplicité des équilibres,
La question de la rationalité et du « common knowledge », Les évidences expérimentales, Posent un Problème Majeur à la théorie des jeux classique :

24 La multiplicité des équilibres,
La question de la rationalité et du « common knowledge », Les évidences expérimentales, Posent un Problème Majeur à la théorie des jeux classique : Pourquoi les joueurs devraient t-ils se coordonner sur un équilibre particulier ?

25 Apprentissage et Dynamique

26 Une explication alternative issue de l’économie et de la biologie évolutionnaire est que
« les équilibres peuvent résulter d’un processus dynamique d’adaptation ou d’apprentissage »

27 Une explication alternative issue de l’économie et de la biologie évolutionnaire est que
« les équilibres peuvent résulter d’un processus dynamique d’adaptation ou d’apprentissage » Maynard Smith, Evolution and the Theory of Games, 1982, Fudenberg et Levine, Theory of Learning in Games, 1998,

28 Le processus de meilleure réponse
y(n) = fréquence empirique des actions du joueur 2 à l’instant n, br(y(n)) = « la meilleure réponse à y(n) » = Argmax {j : U1( j, y(n))}, À l’instant n+1, le joueur 1 joue l’action br(y(n)) avec une probabilité proche de 1 et le joueur 2 en fait autant …

29 Vieille idée (Robinson, 1950) revisitée à la lumière de la théorie des systèmes dynamiques, des processus stochastiques, des inclusions et des équations différentielles Travaux en collaboration avec M. W Hirsch, Berkeley J. Hofbauer, Londre et Vienne S. Sorin, Paris J. Weibull, Stockholm

30 Jeux à somme nulle U1(x,y) + U2(x,y) = c
Théorème : Pour un jeu à somme nulle (x(n),y(n)) converge presque sûrement vers l’équilibre de Nash.

31 Jeux à 2 joueurs et 2 stratégies
Théorème : Pour un jeu 2 × 2 (x(n),y(n)) converge presque sûrement vers un équilibre de Nash. « Génériquement » un jeu 2 × 2 admet un ou trois équilibres : 2 purs et 1 mixte. Dans le second cas (x(n),y(n)) converge presque sûrement vers un équilibre pur et chaque équilibre pur a une probabilité positive d’être sélectionné.

32 Externalités de Réseau
Cerf Lièvre 5 / 5 0 / 4 4 / 0 2 / 2 C L

33 Externalités de Réseau
Betamax Vhs 5 / 5 0 / 1 1 / 0 2 / 2 B V

34 Externalités de Réseau
Ideal Qwerty 5 / 5 0 / 1 1 / 0 2 / 2 I Q

35 Jeux M x N où M>2, N > 2 Analyse locale : Tout équilibre stable (instable) a une probabilité positive (nulle) d’être sélectionné. Analyse globale : l’asymptotique du jeu requiert l’analyse globale d’un système dynamique non linéaire. Convergence, Oscillation et Chaos sont possibles.

36 Jeux répétés et Coordination