CHAPITRE 2 Théorème de Thalès

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1 CHAPITRE 2 Théorème de Thalès

2 Lors d’un voyage en Egypte, Thalès de Milet (-624 ;-546)
aurait mesuré la hauteur de la pyramide de Kheops par un rapport de proportionnalité avec son ombre. Citons : « Le rapport que j’entretiens avec mon ombre est le même que celui que la pyramide entretient avec la sienne. » Par une relation de proportionnalité, il obtient la hauteur de la pyramide grâce à la longueur de son ombre. L'idée ingénieuse de Thalès est la suivante : «  A l'instant où mon ombre sera égale à ma taille, l'ombre de la pyramide sera égale à sa hauteur. »

3 Objectifs: Connaître et utiliser le théorème de Thalès.
Connaître et utiliser la réciproque du théorème de Thalès. aaaaaa

4 I. Théorème de Thalès 1) Les configurations Situation 4ème
Situation papillon

5 2) L’énoncé du théorème Soient (d ) et (d’ ) deux droites sécantes en A. Soient B et M deux points de (d ), distincts de A. Soient C et N deux points de (d’ ), distincts de A. Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles Alors Voir une démonstration de ce théorème en cliquant sur ce lien: Source: © 2003 ACL - les Éditions du Kangourou Remarque : Ce théorème permet, entre autre, de calculer des longueurs.

6 EB = 2 cm, BD = 5 cm, PR = 4 cm, CD = 6 cm.
Exemple : Calculer BR et EA. Donner une valeur exacte et éventuellement une valeur approchée à 0,01 centimètre près. E D C P R B A (EA)//(PR)//(CD) EB = 2 cm, BD = 5 cm, PR = 4 cm, CD = 6 cm. 1 ) Comme P appartient à (BC), R appartient à (BD) (PR) et (CD) sont parallèles, d’après le théorème de Thalès on a : BR = 5 x 4 ÷ 6 (produit en croix) = cm  3,33 cm.

7 2) Comme E appartient à (BD)
A appartient à (BC) (EA) et (CD) sont parallèles d’après le théorème de Thalès on a : EA = 6 x 2 ÷ 5 (produit en croix) = 2,4 cm.

8 3) Application: partage d’un segment
Un segment [AB] étant donné. Construire sans règle graduée le point M sur le segment [AB] tel que : Cliquez sur l’icône pour voir l’animation

9 Réciproque du théorème de Thalès
Soient (d ) et (d’ ) deux droites sécantes en A. Soient B et M deux points de (d ), distincts de A. Soient C et N deux points de (d’ ), distincts de A. Si et si les points A, B, M et les points A, C, N sont alignés dans le même ordre Alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles. Nous admettons désormais que cette réciproque est connue pour pouvoir l’utiliser. Remarque : Cette réciproque permet de démontrer que des droites sont parallèles.

10 Exemples : 1) Les droites (AB) et (DE) sont-elles parallèles ? . . B C P R D E 1,5 A 3 4,5 2 4 2,5 . On a et donc . De plus les points A, C et E sont alignés dans le même ordre ainsi que les points B, C et D . d’après la réciproque du théorème de Thalès, (AB) et (DE) sont parallèles.

11 2) Les droites (PR) et (DE) sont-elles parallèles ?
B C P R D E 1,5 A 3 4,5 2 4 2,5 On a et donc On ne peut pas utiliser la réciproque du théorème de Thalès. (PR) et (DE) ne sont pas parallèles.