pour madame et monsieur Toutlemonde

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1 pour madame et monsieur Toutlemonde
LA THERMODYNAMIQUE pour madame et monsieur Toutlemonde Denis Chadebec Le 7 juin 2014

2 le Calcul Différentiel & Intégral
Remarque: dans tout cet exposé, il sera fait un usage répété d’une des plus belles théories mathématiques de tous les temps : le Calcul Différentiel & Intégral initiée au moyen âge puis énoncée par Newton & Leibnitz au XVIIe siècle

3 Pas de panique on va tout détailler!

4 PLAN DE LA CONFERENCE-DEBAT
GENERALITES REPRESENTATIONS GRAPHIQUES GRANDEURS PHYSIQUES fig 005 DE LA FORCE A L’ENERGIE fig 022 LA LOI DE CONSERVATION DE L’ENERGIE fig 038 L’ENERGIE OU LES ENERGIES ? fig 051 L’IRRÉVERSIBILITÉ fig 058 L’IDENTITÉ FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE fig 067 LE CORPS ET SON MILIEU fig 082 RENDEMENT OPTIMAL D’UN MOTEUR fig 092 LES GAZ PARFAITS fig 095 L’EXPÉRIMENTATION fig 100 L’ENTROPIE ET LE DÉSORDRE COUPUSCULAIRE fig 108 ENTROPIE ET ÉQUILIBRE DES TEMPÉRATURES fig 114 13 chapitres répartis en 5 grands chapitres vont être commentés l’un après l’autre

5 GENERALITES SUR LES REPRESENTATIONS GRAPHIQUES DES GRANDEURS PHYSIQUES

6 GENERALITES SUR LES REPRESENTATIONS GRPHIQUES DES GRANDEURS PHYSIQUES
Comparons deux variations de grandeurs dont l’une: f, dépend de l’autre: x Grandeur f ’ Grandeur x Aire = grandeur f Valeur initiale xo

7 Comparons deux variations de grandeurs dont l’une: f, dépend de l’autre: x
Grandeur f ’ δf Aire = Regardons δf Grandeur x Variation δx de la grandeur x Aire = grandeur f Valeur initiale xo

8 Comparons deux variations de grandeurs dont l’une: f, dépend de l’autre: x
Aire plus grande que la variation δf de f Grandeur f ’ max(f ’ ) δx ≤ δf Elle vaut Grandeur x Variation δx de la grandeur x Aire = grandeur f Valeur initiale xo

9 Comparons deux variations de grandeurs dont l’une: f, dépend de l’autre: x
Aire plus petite que la variation δf de f Grandeur f ’ min(f ’ ) δx ≤ δf max(f ’ ) δx ≤ Grandeur x Elle vaut Variation δx de la grandeur x Aire = grandeur f Valeur initiale xo

10 Comparons deux variations de grandeurs dont l’une: f, dépend de l’autre: x
Grandeur f ’ δf Aire = Divisons partout par δx min(f ’ ) δx ≤ δf max(f ’ ) δx ≤ ≤ δx Grandeur x Variation δx de la grandeur x et simplifions Aire = grandeur f Valeur initiale xo

11 Comparons deux variations de grandeurs dont l’une: f, dépend de l’autre: x
grandeur f ’ δf Aire = min(f ’ ) δx ≤ δf ≤ max(f ’ ) δx min f ’ ≤ ≤ max f ’ grandeur x δx δx δx Variation δx de la grandeur x Aire = grandeur f valeur initiale xo

12 Comparons deux variations de grandeurs dont l’une: f, dépend de l’autre: x
Imaginons que δx soit choisi de plus en plus proche de zéro grandeur f ’ δf Aire = min(f ’ ) δx ≤ δf ≤ max(f ’ ) δx min f ’ ≤ ≤ max f ’ grandeur x δx δx δx devient f ’ devient f ’ limite variation δx de la grandeur x Aire = grandeur f valeur initiale xo ≤ limite (quand δf tend vers 0) de δf δx = f ’(x)

13 les grandeurs δf et δx sont considérées comme proportionnelles
Comparons deux variations de grandeurs dont l’une: f, dépend de l’autre: x grandeur f ’ δf Aire = Quand δx est suffisamment petit les grandeurs δf et δx sont considérées comme proportionnelles grandeur x variation δx de la grandeur x δf = f ’(x) δx Aire = grandeur f valeur initiale xo Vocabulaire : on dit que f est différentiable par rapport à x et que f’ est la dérivée de f par rapport à x limite (quand δf tend vers 0) de δf δx = f ’(x)

14 Variation δf de la grandeur f
grandeur x δx δf grandeur f ’ Aire = f Courbe représentative de f Variation δx de la grandeur x valeur initiale xo limite (quand δf tend vers 0) de δf δx = f ’(x)

15 Variation nommée Δf Variation δf de la grandeur f Variation nommée df En suivant la sécante grandeur f Tangente Abscisse Ordonnée Sécante Δf = δf δx dx grandeur x δx δf df f ’(x) Variation dx de la grandeur x = dx dx Δf Variation δx de la grandeur x Retenons cette équation de la tangente df = f ’(x) dx limite (quand δf tend vers 0) de δf δx = f ’(x) limite (quand δf tend vers 0) de δf δx = f ’(x)

16 nous adoptons une démarche intellectuelle très fréquente en physique :
quand une grandeur f dépend d’une autre grandeur x, Grandeur f Tangente nous admettons que, si la taille de la variation δx est en-dessous d’un seuil δmax x δf Grandeur x la variation δf de f peut être assimilée à df C’est pourquoi, ces deux écritures seront utilisées à tour de rôle selon les besoins du moment δf = f ’(x) δx seuil δmaxx δx df = f ’(x) dx parce que nous admettons que limite (quand δf tend vers 0) de δf δx = f ’(x) limite (quand δf tend vers 0) de δf δx = f ’(x)

17 Point de contact grandeur f ’ Tangente m grandeur x Aire = grandeur f
δf = f ’(x) δx Nous l’appliquons à la dérivée elle-même δf ’ = f ’’(x) Δx Δx f ’(m) = f ’(x) + δf ’

18 Segments égaux Point de contact Segments égaux
Tangente sécante grandeur f δf parallèle à la tangente δf m grandeur x δx δf = f ’(m) δx δf = f ’(x) δx Δx f ’(m) = f ’(x) + δf ’ δf ’ = f ’’(x) Δx Nous l’appliquons à la dérivée elle-même

19 alors δx est aussi négatif On développe :
Tangente sécante Point de contact δx grandeur y δy parallèle Δx m grandeur x Substituons f’(x) δf = f ’(m) δx f ’(m) = f ’(x) + δf ’ δf ’ = f ’’(x) Δx Nous l’appliquons à la dérivée elle-même Substituons δf ’ δf = f ’(x) + δf ’ δx δf = f ’’(x) Δx f ’(x) + δx Note : si δx est négatif alors δx est aussi négatif On développe : δf = f ’(x) δx + f ’’(x) Δx δx, Δx et δx sont de même signe, et si δx est petit alors Δ x est encore plus petit.

20 L’énergie Qu’est-ce que c’est ?
La thermodynamique traite des échanges d’énergie entre les systèmes physiques. Mais sait-on vraiment ce qu’est cette grandeur ? L’énergie est un pouvoir de déplacer les corps et qui se consomme quand elle agit Qu’est-ce que c’est ? La même chose que la force ? Non ... Parce que ... La force est un pouvoir de faire varier la vitesse des corps qui ne se consomme pas quand elle agit

21 DE LA FORCE À L’ÉNERGIE Sous-chapitres : - La vitesse - L’accélération

22 La vitesse

23 Au commencement était une idée très ancienne ...
... si un corps parcoure une distance proportionnelle au temps Temps Espace dt dx 1 vx alors le tableau nous donne l’équation (égalité des produits croisés) dx = vx dt Temps vx dt Vitesse Aire = dx Cette formule nous donne la géométrie ci-contre

24 L’accélération

25 Si maintenant la vitesse est variable …
le corps ne parcoure plus une distance proportionnelle au temps … ... mais une distance qui varie avec le temps Temps Espace dt dx 1 vx alors le tableau nous donne l’équation (égalité des produits croisés) dx = vx dt Vitesse Cette formule nous donne la géométrie ci-contre Aire = dx vx t mais l’aire de la surface jaune est toujours égale à la distance … Temps dt

26 Définition : le nombre ax est l’abscisse de l’accélération.
Cas particulier bien utile : La vitesse d’un corps augmente proportionnellement au temps alors nous pouvons appliquer la géométrie de Thalès … Temps Vitesse dt dvx 1 ax dvx = ax dt Définition : le nombre ax est l’abscisse de l’accélération. Vitesse Aire = dx dvx vx t Temps dt

27 Cas particulier bien utile :
La vitesse d’un corps augmente proportionnellement au temps alors nous pouvons appliquer la géométrie de Thalès : Conclusion : si, pendant le temps dt l’accélération est constante, alors la distance parcourue est donnée par la formule dx = dt (vxo + vx) 1 2 Temps Vitesse dt dvx 1 ax dvx = vx – vxo Aire jaune = aire verte Aire totale = longueur x largeur = dt (vxo + vx) Vitesse Aire jaune 1 2 = dt (vxo + vx) vxo dvx vx vxo Temps dt

28 De la diapositive 26 vient
D’abord, en trois dimensions, nous avons trois équations au lieu d’une : dvx = ax dt , dvy = ay dt et dvz = az dt (cette idée est venue au moyen âge de la pratique de l’épure des architectes antiques) De la diapositive 26 vient La force dvx = ax dt

29 Comment Newton a défini la force ?
D’abord, en trois dimensions, nous avons trois équations au lieu d’une : dvx = ax dt , dvy = ay dt et dvz = az dt Soit un corps subissant une certaine force lui imprimant une accélération. Faisons quelques expériences de pensée Expérience de pensée 2 – Si, à ce deuxième corps l’accélération est doublée ... Expérience de pensée 1 - Si on remplace le corps par un autre de masse double, et si on lui imprime la même accélération, alors ... ... alors nous admettrons que la force qu’il subit est encore doublée. ... nous admettrons que la force subie par le nouveau corps est doublée. Etudions les trois définitions suivantes : Fx = m ax , Fy = m ay , Fz = m az . Nous voyons bien que les résultats des deux expériences de pensée précédentes sont respectés. Ce fut par une argumentation de cette sorte que Newton convainquit les scientifiques de son temps pour faire accepter cette définition de la force Note : Trois coordonnées font d’une force une Grandeur orientée

30 L’énergie

31 Multiplions la force par le déplacement
Fx dx = m ax dx , Fy dy = m ay dy , Fz dz = m az dz . dx = dt (vxo + vx) 1 2 Substituons le déplacement par sa formule de calcul Fx dx = m ax 1 2 (vx + vxo) dt = 1 2 m ax dt (vx + vxo) = 1 2 m dx (vx + vxo) = 1 2 m (vx - vxo) (vx + vxo) Vu l’identité remarquable (p – q) (p + q) = p2 – q2 = 1 2 m (vx2 – vxo2) Fx dx = 1 2 m vx2 – m vxo2 = d 1 2 m vx2 Fx dx = d 1 2 m vx2 Fx = m ax , Fy = m ay , Fz = m az .

32 Fx dx = d 1 2 m vx2 Additionnons membre à membre : sachant la règle df + dg + dh = d(f + g + h) Fy dy = d 1 2 m vy2 et sachant que les « un demi » et la masse sont facteurs communs Fz dz = d 1 2 m vz2 = d 1 2 m (vx2 + vy2 + vz2) Fx dx + Fy dy + Fz dz Petites justifications mathématiques parce que df + dg + dh = (f – fo) + (g – go) + ( h – ho) = f – fo + g – go + h – ho = f + g + h – fo – go – ho = (f + g + h) – (fo + go + ho) = d(f + g + h)

33 Ce triangle est rectangle
L2 = vx2 + vy2 vx vy v2 = L2 + vz2 on applique le théorème de Pythagore v2 = vx2 + vy2 + vz2 Ce triangle est rectangle vz vy vx v vz vy vx v, vx, vy et vz sont des distances parcourues en une seconde comme si la vitesse restait figée

34 Fx dx = d 1 2 m vx2 Additionnons membre à membre : sachant la règle df + dg + dh = d(f + g + h) Fy dy = d 1 2 m vy2 et sachant que les « un demi » et la masse sont facteurs communs Fz dz = d 1 2 m vz2 1 2 m (vx2 + vy2 + vz2) = d 1 2 m v 2 Fx dx + Fy dy + Fz dz = d

35 du grec ’’en ergos’’ (= ’’de mouvement’’) vint ’’ énergie’’
1 2 m (vx2 + vy2 + vz2) = d 1 2 m v2 Fx dx + Fy dy + Fz dz Travail de la force du grec ’’en ergos’’ (= ’’de mouvement’’) vint ’’ énergie’’ Force Fx cas d’une force constante Aire = travail Position x dx

36 Et si la force n’est pas constante ?
Fx dx + Fy dy + Fz dz = d 1 2 m (vx2 + vy2 + vz2) = d 1 2 m v2 δ W (de l’anglais work = travail) du grec ’’en ergos’’ (= ’’de mouvement’’) vint ’’ énergie’’ Force Fx cas d’une force non constante Aire = travail Position x dx

37 Ce théorème est connu comme celui de l’énergie cinétique
1 2 m (vx2 + vy2 + vz2) = d 1 2 m v2 δ W (de l’anglais work = travail) du grec ’’en ergos’’ (= ’’de mouvement’’) vint ’’ énergie’’ Fx (x – x0) + Fy (y – y0) + Fz (z – z0) = m vA2 – m vD2 1 2 W( de à ) = D (départ) A (arrivée)

38 La loi de conservation de l’énergie

39 Le résultat, dépend-t-il du choix du lieu de référence ?
Un classement essentiel des forces Choisissons un lieu n’importe où dans l’espace … et nommé Ref (il nous servira de lieu de référence) W(de D à A) est toujours décomposable en W(de D à Ref) + W(de Ref à A) Question : Si oui Si non La force est non conservative Le résultat, dépend-t-il du choix du lieu de référence ? La force est conservative W(de M à Ref) est renommé UM Fx (x – x0) + Fy (y – y0) + Fz (z – z0) = m v2 – m v02 1 2 W( de à ) = D (départ) A (arrivée) Fx (x – x0) + Fy (y – y0) + Fz (z – z0) = m vA 2 – m vD2 1 2 W( de à ) = W(de D à Ref) + W(de Ref à A) pour n’importe quelle force = m vA 2 – m vD2 1 2 = UD – UA seulement pour les forces conservatives

40 Et si plusieurs forces agissent simultanément ?
On additionne ! Donc on additionne les travaux conservés et les travaux non conservés Pour l’ensemble des forces ) = m vA2 – m vD2 1 2 = somme des UD – UA + somme des W autres forces (de D à A) Fx (x – x0) + Fy (y – y0) + Fz (z – z0) = m vA2 – m vD2 1 2 W( de à ) = UD – UA seulement pour les forces conservatives

41 Et si le système est composé de plusieurs corps ?
On additionne ! ) = m vA2 – m vD2 1 2 = somme des UD – UA + somme des W autres forces (de D à A) somme (tous les corps) des UD – UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D à A) somme (tous les corps) des m vA2 – somme (tous les corps) des m vD2 = 1 2

42 LA LOI DE CONSERVATION DE L’ENERGIE

43 Raisonnons d’abord sur une seule coordonnée, l’abscisse par exemple
Et si un corps est composé de plusieurs corpuscules (atomes) ? Si le corps est au repos Leur vitesse est vx : à cause du désordre de leurs mouvements l’addition de toutes ces vitesses est zéro. Mais la somme des carrés vx2 de ces vitesses n’est pas zéro Sa vitesse Vx est nulle donc la somme des v2 est non nulle ! La somme de ces énergies cinétiques 1 2 m v2 est la chaleur du corps Raisonnons d’abord sur une seule coordonnée, l’abscisse par exemple Les corpuscules (microscopiques) ? Le corps (macroscopique) ? somme (tous les corps) des UD – UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D à A) somme (tous les corps) des m vA2 – somme (tous les corps) des m vD2 = 1 2

44 + + Loi de conservation de l’énergie
Et si un corps est composé de plusieurs corpuscules (atomes) ? Si un corps est en mouvement Leur vitesse est vx + Vx Si on nomme M la masse du corps La somme des carrés (vx + Vx)2 de ces vitesses alors la somme des m est M est Σ vx 2 + Σ Vx 2 + somme des 2 vx Vx qui est nulle La somme de ces énergies cinétiques est Sa vitesse Vx est non nulle + 1 2 m vx2 somme des 1 2 m V x2 somme des facteur commun = 1 2 M V x2 somme des m vx2 + c’est la chaleur du corps Q c’est l’énergie cinétique du corps Les petits (microscopiques) ? Le gros (macroscopique) ? somme (tous les corps) des UD – UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D à A) somme (tous les corps) des m vA2 – somme (tous les corps) des m vD2 = 1 2 Additionnons sur les trois coordonnées (abscisse, ordonnée et cote) Loi de conservation de l’énergie

45 Loi de conservation de l’énergie
Et si un corps est composé de plusieurs corpuscules (atomes) ? Si un corps est en mouvement La somme de ces énergies cinétiques est = 1 2 M V x2 somme des m vx2 + = c’est la chaleur du corps Q c’est l’énergie cinétique du corps Les petits (microscopiques) ? Le gros (macroscopique) ? somme (tous les corps) des UD – UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D à A) somme (tous les corps) des m vA2 – somme (tous les corps) des m vD2 = 1 2 V V + QA + QD Loi de conservation de l’énergie

46 Loi de conservation de l’énergie
somme (tous les corps) des W autres forces (de D à A) = somme (tous les corps) des – UD + UA + somme (tous les corps) des m VA2 – somme (tous les corps) des m VD2 1 2 + QA + QD Soustrayons les énergies potentielles somme (tous les corps) des UD – UA + somme (tous les corps) des W autres forces (de D à A) somme (tous les corps) des m vA2 – somme (tous les corps) des m vD2 = 1 2 V V + QA + QD Loi de conservation de l’énergie

47 Loi de conservation de l’énergie
somme (tous les corps) des W autres forces (de D à A) = somme (tous les corps) des – UD + UA 1 2 1 2 + somme (tous les corps) des m VA2 – somme (tous les corps) des m VD2 + QA + QD puis regroupons les énergies cinétiques et potentielles somme (tous les corps) des W autres forces (de D à A) = 1 2 somme (tous les corps) des + QA + QD m VA2 + UA – m VD2 + UD Loi de conservation de l’énergie

48 Il en perd ou reçoit sous forme de chaleur
Regroupons à gauche les forces non conservatrices Il en perd ou reçoit sous forme d’énergie potentielle de ses parties macroscopiques Il en perd ou reçoit sous forme d’énergie cinétique de ses parties macroscopiques Le système physique reçoit ou perd de l’énergie sous forme de travail des forces non conservatives 1 2 Il en perd ou reçoit sous forme de chaleur somme (tous les corps) des W autres forces (de D à A) 1 2 m VA2 + UA + QA – m VD2 + UD + QD = somme (tous les corps) des

49 Regroupons à gauche les forces non conservatrices
La discipline qui se préoccupe de ces échanges est la thermodynamique Il en perd ou reçoit sous forme de chaleur somme (tous les corps) des W autres forces (de D à A) 1 2 1 2 m VA2 + UA + QA – m VD2 + UD + QD = somme (tous les corps) des Nous devons alors les renommer ! Ce sera Upot A et Upot D Renommés UA et UD par les thermodynamiciens Nom donné par les thermodynamiciens : énergie interne

50 L’ENERGIE OU LES ENERGIES ?

51 L’ancienne unité de quantité de chaleur: LA CALORIE
Variation de la température de l’eau liquide Définition du zéro degrés ? C’est la température de l’eau autour de la glace fondante. Définition du cent degrés ? C’est la température de la vapeur au-dessus de l’eau bouillante (la pression est fixée à 1 atmosphère, soit 101 325 Pascals). Et si la matière n’est pas de l’eau ? Définition de l’unité de quantité de chaleur, la calorie masse d’eau (g) degrés C Masse calories 1 1 par définition C 1 à une époque où on ignorait la nature de la chaleur ! θ 1 C θ θ par hypothèse θ m m C θ m θ par hypothèse C est nommé chaleur massique

52 Mesure de la tension électrique U
Joule et les machine électriques Horloge Générateur (pile ou machine électromagnétique) Moteur Charge Elle monte d’une hauteur h V Mesure de la tension électrique U A Mesure de l’intensité I du courant somme (tous les corps) des W autres forces (de D à A) venant de l’électricité 1 2 1 2 m VA2 + UA + QA – m VD2 + UD + QD = somme (tous les corps) des Vitesses initiales et finales nulles Pas d’élévation des températures soit m g h

53 Mesure de la tension électrique U
Joule et les machine électriques Horloge Générateur (pile ou machine électromagnétique) Moteur Charge Elle monte d’une hauteur h V Mesure de la tension électrique U Si je double I alors je pense que ce travail va doubler Si je double U alors je pense que ce travail va doubler A Mesure de l’intensité I du courant Mais expérimentalement il est impossible de régler séparément les deux somme (tous les corps) des W autres forces (de D à A) venant de l’électricité 1 2 1 2 m VA2 + UA + QA – m VD2 + UD + QD = somme (tous les corps) des Vitesses initiales et finales nulles Pas d’élévation des températures soit m g h

54 Mesure de la tension électrique U
Joule et les machine électriques Horloge Générateur (pile ou machine électromagnétique) Moteur Charge Elle monte d’une hauteur h V Mesure de la tension électrique U Par ailleurs, si en plus je double le temps de l’expérience, alors ce travail va être multiplié par huit ! Ce n’est pas gênant : si je double I et U alors je m’attend à ce que ce travail soit quadruplé A Mesure de l’intensité I du courant somme (tous les corps) des W autres forces (de D à A) On a testé directement U I t venant de l’électricité 1 2 1 2 m VA2 + UA + QA – m VD2 + UD + QD = somme (tous les corps) des Vitesses initiales et finales nulles Pas d’élévation des températures soit m g h

55 Mesure de la tension électrique U
Joule et les machine électriques Thermomètre Générateur (pile ou machine électromagnétique) Calorimètre V Mesure de la tension électrique U A Mesure de l’intensité I du courant eau Conducteur électrique somme (tous les corps) des W autres forces (de D à A) On a testé directement U I t 1 2 1 2 m VA2 + UA + QA – m VD2 + UD + QD = somme (tous les corps) des Vitesses initiales et finales nulles Pas d’élévation des températures soit m g h

56 Elévation de la température Masse m tombant d’une hauteur h
L’unité de U avait été définie en comparant avec le pouvoir électrique d’un élément de pile de Volta : Joule et les machine électriques Thermomètre Elévation de la température θA – θD Tambour Chaleur prise par l’eau = m (θA – θD) le Volt Calorimètre Pour assurer l’égalité, l’unité de I avait été définitivement adoptée : l’Ampère Masse m tombant d’une hauteur h Jusqu’à ce jour, aucun fait expérimental nouveau n’est venu contredire cette théorie somme (tous les corps) des W autres forces (de D à A) 1 2 1 2 m VA2 + UA + QA – m VD2 + UD + QD Zéro = somme (tous les corps) des soit m g h Le poids est une force conservative Avant et après l’essai, rien ne bouge m (θA – θD) Généralisation : tout travail est convertible en chaleur égal à U I t ? (premier principe de la thermodynamique)

57 L’IRRÉVERSIBILITÉ

58 Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
L’expérience montre que la chaleur va toujours spontanément du chaud vers le froid Milieu chaud Corps froid Milieu froid Corps chaud somme (tous les corps) des W autres forces (de D à A) = 1 2 somme (tous les corps) des + QA + QD m VA2 + UA – m VD2 + UD En bref, 0 = QA – QD Pas de travail Pas de mouvement

59 Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
L’expérience montre que la chaleur va toujours spontanément du chaud vers le froid Milieu chaud Corps froid Milieu froid Corps chaud 0 = somme (corps et milieu) des {QA – QD} 0 = QA – QD 0 = {QA, corps – QD, corps} + {QA, milieu – QD, milieu} 0 = dQcorps + dQmilieu 0 = dQfroid + dQchaud

60 Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
L’expérience montre que la chaleur va toujours spontanément du chaud vers le froid Milieu chaud Corps froid Milieu froid Corps chaud Divisons par la température chaude 0 = dQfroid Tchaude + dQchaud et remplaçons ici le diviseur Tchaude du premier quotient par la température froide, histoire de rendre la formule physiquement cohérente 0 = dQfroid + dQchaud En effet, on remplace le diviseur Tchaude par un autre plus petit, Tfroide , donc le quotient augmente, 0 < dQfroid Tfroide + dQchaud Tchaude donc le signe « égal à » est à remplacer par un signe « plus petit que »

61 Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
L’expérience montre que la chaleur va toujours spontanément du chaud vers le froid Milieu chaud Corps froid Milieu froid Corps chaud Nous avons donc cette loi expérimentale exprimant l’irréversibilité de l’échange spontané de chaleur 0 = dQfroid + dQchaud dS = dQfroid Tfroide + dQchaud Tchaude dS > 0. 0 = dQfroid + dQchaud 0 < dQfroid Tfroide + dQchaud Tchaude D’où l’intérêt de nommer cette grandeur, ou plutôt de considérer cette formule comme le calcul de la variation dS d’une grandeur alors inconnue S …

62 Telle fut l’origine du second principe de la thermodynamique
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile L’expérience montre que la chaleur va toujours spontanément du chaud vers le froid Milieu chaud Corps froid Milieu froid Corps chaud 0 = dQfroid + dQchaud dS = dQfroid Tfroide + dQchaud Tchaude Nous avons donc cette loi expérimentale exprimant l’irréversibilité de l’échange spontané de chaleur dS > 0 Telle fut l’origine du second principe de la thermodynamique que nous devons à Clausius Vocabulaire : Si pour une grandeur, pour trouver la variation sur le tout on additionne les variations sur les parties, alors la grandeur est dite extensive. Dans le cas contraire, la grandeur est intensive.

63 Telle fut l’origine du second principe de la thermodynamique
Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile L’expérience montre que la chaleur va toujours spontanément du chaud vers le froid Milieu chaud Corps froid Milieu froid Corps chaud 0 = dQfroid + dQchaud dS = dQfroid Tfroide + dQchaud Tchaude dS > 0 Telle fut l’origine du second principe de la thermodynamique Généralisation naturelle : pour un système de plusieurs corps n’échangeant pas d’énergie avec son environnement, dS = somme (sur tous les composants) des dQ / T > 0

64 Soit un corps immobile dans un certain milieu immobile
… l’expérience montre que la chaleur va toujours se retourner et aller spontanément du chaud vers le froid Milieu froid Corps chaud Milieu chaud Corps froid Si un évènement (un feu, un frottement par exemple) a rompu l’uniformité des températures, la chaleur a été contrainte à se concentrer sur une partie du système … dS > 0 Quel nom fut donné à S ? La grandeur S sera nommée entropie (Clausius) en grec, έυτροπή (entropè) veut dire ’’action de se retourner’’ : dS = somme (sur tous les composants) des dQ / T > 0 (second principe de la thermodynamique)

65 L’IDENTITÉ FONDAMENTALE DE LA THERMODYNAMIQUE

66 Tant que x ne varie pas, le système est comme isolé. x Entropie
Soit un système physique soumis dont la condition d’existence est caractérisée par un paramètre x, et considérons un de ces petits sauts. Tant que x ne varie pas, le système est comme isolé. x Entropie Son entropie est donc croissante. Soit un saut de x … saut … si soudain et si petit que l’entropie n’a pas eu le temps de réagir … Temps suivie aussitôt de la stabilisation de x : x Entropie alors l’entropie est à nouveau croissante. saut Temps Les physiciens se sont convaincus que l’évolution de la condition d’existence des systèmes se fait par une succession de très nombreux sauts brusques et petits, en raison de l’agitation microscopique et désordonnée des particules qui les composent. Cela est bien illustré par l’expérience du mouvement brownien. On est amenés alors à comparer, sur une succession d’un grand nombre de sauts, la variation résultante δx de x et celle δS de l’entropie. Conclusion : que δx soit positive ou négative, δS est toujours positive. Voyons ce qui se passe si δx est petite (bien qu’elle soit la résultante d’un grand nombre de petits sauts).

67 Servons-nous de la formule de la diapositive n° 16 :
δf = f ’(x) δx + f ’’(x) Δx δx, avec δS = S’(x) δx + S’’(x) Δx δx Δx et δx de même signe, Factorisons δx : et tels que si δx est petit alors Δx est encore plus petit δS = S’(x) + S’’(x) Δx δx Si δx est assez faible, le terme S’’(x) Δx est négligeable devant S’(x) donc de la formule précédente il reste δS = S’(x) δx ce que contredit la conclusion en bas de cette diapositive parce que, d’après la formule précédente, si on inverse le signe de δx, δS devrait devenir négative ! La seule solution est d’admettre que S’(x) est nulle, donc il nous reste de la formule δS = S’’(x) Δx δx < S’’(x) δx2 formule qui convient parfaitement puisque Δx et δx sont de même signe. En conséquence, Δx δx est positif et plus petit que le carré de δx, donc On est amenés alors à comparer, sur une succession d’un grand nombre de sauts, la variation résultante Δx de x et celle ΔS de l’entropie. Conclusion : que Δx soit positive ou négative, ΔS est toujours positive. Voyons ce qui se passe si δx est petite (bien qu’elle soit la résultante d’un grand nombre de petits sauts).

68 δS / S’’(x) ou S(x) parabole y = δx2 Courbe représentant δS / δx2 δx Dans cette zone, S ne varie pratiquement pas δS = S’’(x) Δx δx < S’’(x) δx2 un faible changement de x rend donc δS quasi nul. Soit une grandeur physique quelconque caractérisant l’état d’un système (exemple : la chaleur qu’il possède et qu’on nomme énergie interne U) et dépendant d’un certain nombre de grandeurs comme x et qui varient de δx alors la variation de U due à celle de x peut être écrite δU(x) = U’(x) δx (diapositive n° 10) la variation δU(x) se faisant à entropie constante.

69 Supposons maintenant que U dépende de plusieurs paramètres comme x, les xn ,
on cumule des effets sur U, chaque xn étant associé à son coefficient Xn : Σ n δU = Xn δxn T δS L’un des plus importants paramètre xn est la pression que le corps subit à sa surface … Mais si l’amplitude de δx est trop grande, alors l’entropie va commencer à varier et à faire sentir les effets de cette variation et nous devons corriger la formule δU = X δx d’un nouveau terme inspiré par l’expression de Clausius T δS δU = T δS + X δx . δU(x) = U’(x) δx Il existe donc un coefficient de proportionnalité U’(x), qu’on va nommer X, entre le petit δx et la variation correspondante δU(x), renommée δU : δU = X δx

70 Aires, volumes, pression, travail de la pression
Σ n δU = Xn δxn T δS L’un des plus importants paramètre xn est la pression que le corps subit à sa surface … Aires, volumes, pression, travail de la pression

71 Soit une surface de contact d’aire δA entre deux corps.
La force de contact est (diapositive n°10 : δf = f ’(x) δx) exprimée par δFP ou C = FP’(A) ou FC’ (A) x δA La pression fut définie comme le coefficient multiplicateur FP’(A) de cette formule. Le cisaillement fut définie comme le coefficient multiplicateur FC’(A) de cette formule. δFP ou C = P ou σ (A) x δA L’un des plus importants paramètre xn est la pression que le corps subit à sa surface … Force exercée par le corps n° 2 sur le corps n° 1 F composante pressante FP Plan défini par la force et cette perpendiculaire Corps n° 1 Surface de contact d’aire δA composante cisaillante FC Corps n° 2 Perpendiculaire à la surface Note : FP ’(A) ou FC ’(A) sont les longueurs des flèches des vecteurs FP ou FC

72 Histoire de volume … Glissement de la face supérieure sur elle-même Le prisme droit est devenu un parallélépipède quelconque hauteur = h Volume = δA h Aire de la base = δA Ceci est un parallélépipède rectangle

73 Histoire de volume … hauteur = h Volume = δA h Aire de la base = δA Volume perdu

74 Volume gagné hauteur = h Volume = δA h Aire de la base = δA Volume perdu

75 Volume gagné Volume perdu Ils sont égaux hauteur = h Volume = δA h Aire de la base = δA

76 Ces deux volumes sont donc égaux
hauteur = h Volume = δA H cos α Volume = δA h Ce triangle est rectangle angle α Aire de la base = δA Son cosinus est h / H hypoténuse = H

77 Travail de la composante pressante
δW = FC h = P δA H cos α = P δV Composante pressante (diapositive n° 65) Sa copie FC = P δA hauteur = h Volume = δA H cos α Aire de la base = δA angle α hypoténuse = H = déplacement de la surface de contact

78 Σ Σ Travail de la composante pressante FC h = P δA H cos α = P δV δW =
(diapositive n° 65) En m2 En Newtons Sa copie Si le corps 2 compresse le corps 1, FC = P δA l’expérience montre que le corps 1 devient plus chaud, En Pascals donc que son énergie interne augmente. Le corps 1 étant comprimé, Volume = δA H cos α son volume diminue, Corps n° 1 d’où un signe moins. Surface de contact angle α Corps n° 2 Σ n δU = Xn δxn T δS La formule (diapositive n° 63) est détaillée ainsi : δU = autres Xn δxn T δS Σ n – P δV

79 Nous avons justifié l’une des formules les plus fondamentales de la thermodynamique.
δU = autres Xn δxn T δS Σ n – P δV

80 LE CORPS ET SON MILIEU

81 Le corps et son milieu ici ! Σ Milieu Corps
Où sommes-nous, les usagers de la thermodynamique ? ici ! L’énergie interne est la somme des deux énergies internes : δU = δU corps + δU milieu δU = autres Xn δxn T δS Σ n – P δV

82 Attention ! Cette proposition n’est pas vraie en général !
Parce qu’entre les particules d’un système existent des forces mutuelles dont le travail est conservé, donc est constamment échangé contre de l’énergie cinétique microscopique. Dans le cas de deux corps, les forces inter corpusculaires sont de trois espèces : - entre particules de l’un, - entre particules de l’autre, - entre particules de l’un et particules de l’autre. La formule ci-dessous devrait être complétée ainsi : δU = δU corps + δU milieu + δUcorps & milieu . Mais le troisième terme ne concerne en général que la frontière entre le corps et le milieu, et l’aire de cette surface est faible si corps et milieu ont une forme compacte, si bien que δUcorps & milieu peut être négligé la plus part du temps. L’énergie interne est la somme des deux énergies internes : δU = δU corps + δU milieu Cependant, les particules de la surface frontière jouent un rôle essentiel : ce sont elles qui sont responsables des échanges énergétiques entre le corps et le milieu par conduction ! Il y a aussi les ondes créées dans un des deux systèmes et excitant les particules de l’autre (rayonnements). Mais heureusement, très souvent, les émetteurs de ces ondes sont fort dilués dans la matière.

83 Le corps et son milieu ici ! Σ Milieu Corps
Où sommes-nous, les usagers de la thermodynamique ? Moi, l’usager, je me sers d’une partie de cette quantité de chaleur ici ! L’énergie interne est la somme des deux énergies internes : δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu – P milieu δV milieu δU = autres Xn δxn T δS Σ n – P δV

84 comme έυ·θαλπω veut dire réchauffer
Le corps et son milieu Hypothèse : le volume de la réunion du corps et du milieu est constant : 0 = δVcorps + δVmilieu Hypothèse : les pressions dans le corps et le milieu sont les mêmes Corps Hypothèse : la pression est constante Milieu L’énergie interne est la somme des deux énergies internes : δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu – P milieu δV milieu Définition : la réunion du corps et du milieu est isolée si le bilan de ses échanges d’énergie interne est nul : 0 = δU corps + T milieu δS milieu – P milieu δV milieu donne T milieu δS milieu = – (δU corps – P milieu δV milieu) Définition : T milieu δS milieu = – (δU corps + P milieu δV corps) comme έυ·θαλπω veut dire réchauffer T milieu δS milieu = – (δU corps + P corps δV corps) (enthalpè) H = U + P V est l’enthalpie d’un système T milieu δS milieu = – δ(U corps + P corps V corps)

85 Le corps et son milieu ici !
Où sommes-nous, les usagers de la thermodynamique ? Moi, l’usager, je me sers d’une partie de ce travail ici ! L’énergie interne est la somme des deux énergies internes : δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu – P milieu δV milieu

86 Le corps et son milieu Milieu Corps Hypothèse : l’entropie de la réunion du corps et du milieu est maximale, donc ne peut que rester stable : 0 = δS corps + δS milieu Hypothèse : les températures dans le corps et le milieu sont les mêmes Hypothèse : la température est constante L’énergie interne est la somme des deux énergies internes : δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu – P milieu δV milieu Définition : la réunion du corps et du milieu est isolée si le bilan de ses échanges d’énergie interne est nul : 0 = δU corps + T milieu δS milieu – P milieu δV milieu 0 = δU corps – T milieu δS corps – P milieu δV milieu Définition : F = U – T S est l’énergie libre du système 0 = δU corps – T corps δS corps – P milieu δV milieu 0 = δ(U corps – T corps S corps) – P milieu δV milieu P milieu δV milieu = δ(U corps – T corps S corps)

87 Le corps et son milieu ici !
Où sommes-nous, les usagers de la thermodynamique ? Question pratique : la loi de croissance de l’entropie concerne à la fois le corps et le milieu, c’est-à-dire nous : ce n’est pas simple ! ici ! L’énergie interne est la somme des deux énergies internes : δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu – P milieu δV milieu Définition : la réunion du corps et du milieu est isolée si le bilan de ses échanges d’énergie interne est nul : 0 = δU corps + T milieu δS milieu – P milieu δV milieu Existe-t-il une loi analogue que ne met en scène que les grandeurs du corps seul ?

88 Le corps et son milieu L’entropie de la réunion du corps et du milieu est la somme des entropies de chacun : Milieu Corps S = S corps + S milieu donc δS = δS corps + δS milieu La réunion du corps et du milieu étant isolée, son entropie ne peut que croître donc L’énergie interne est la somme des deux énergies internes : δU = δU corps + δU milieu donc δU = δU corps + T milieu δS milieu – P milieu δV milieu Définition : la réunion du corps et du milieu est isolée si le bilan de ses échanges d’énergie interne est nul : 0 = δU corps + T milieu δS milieu – P milieu δV milieu 0 = δU corps + T milieu (δS – δS corps) – P milieu δV milieu 0 = δU corps + T milieu δS – T milieu δS corps – P milieu δV milieu – T milieu δS = δU corps – T milieu δS corps – P milieu δV milieu δU corps – T milieu δS corps – P milieu δV milieu est négatif

89 Le corps et son milieu Hypothèse : les températures dans le corps et le milieu sont les mêmes Milieu Corps Hypothèse : les pressions dans le corps et le milieu sont les mêmes Hypothèse : le volume de la réunion du corps et du milieu est constant : Hypothèse : la température et la pression sont constantes Définition : G = U – T S + P V est l’enthalpie libre du système Cette soustraction justifie le mot « libre » Cette addition justifie le mot « enthalpie » δ(U corps – T corps δS corps + P corps δV corps) est négatif δ(U corps – T corps δS corps – P corps δV milieu) est négatif δ(U corps – T corps δS corps – P milieu δV milieu) est négatif δ(U corps – T milieu δS corps – P milieu δV milieu) est négatif

90 Rendement optimal d’un moteur

91 Rendement optimal d’un moteur
dUc = Tc dSc – Pc dVc Système chaud Machine C’est le travail que l’usager attend de la machine Usage dU = dW dUm = Tm dSm – Pm dVm système froid nulle car la machine ne fait que transmettre l’énergie qu’elle reçoit dUf = Tf dSf – Pf dVf Ensemble isolé dU + dUc + dUf + dUm= 0 Second principe : dStout = dSc + dSf + dSm + dS est positif Du problème il reste : dW + Tc dSc – Pc dVc + Tf dSf – Pf dVf = 0 dSc + dSf est positif

92 Rendement optimal dUc = Tc dSc – Pc dVc
Travail maximal : toute l’énergie chaude est convertie en travail dWmax + Tc dSc – Pc dVc = 0 Système chaud Cycle de Carnot : après un cycle le travail final et nul dW + Tc dSc + Tf dSf = 0 Machine dWmax + Tc dSc = 0 Usage dU = dW dWmax = – Tc dSc (positif) Introduction de l’entropie du tout système froid dW + Tc dSc + Tf (dStout - dSc ) = 0 Suppression de l’entropie du tout dUf = Tf dSf – Pf dVf dW + Tc dSc – Tf dSc < 0 Ensemble isolé dW < – (Tc – Tf) dSc On peut diviser les deux membres par Wmax ou – Tc dSc qui sont positifs dW dWmax < Tc – Tf Tc Du problème il reste : dStout = dSc + dSf est positif dW + Tc dSc – Pc dVc + Tf dSf – Pf dVf = 0

93 Il existe donc une ’’cause’’ mystérieuse qui gouverne le sens des échanges d’énergie entre systèmes et qu’on nomme entropie … … mais les physiciens aimeraient bien relier cette cause aux composants de la matière et à leur comportement mécanique ! Un sujet d’étude va nous donner la clé : LES GAZ PARFAITS

94 Conséquence logique : dès qu’une molécule sort du cube, une autre y entre presque au même endroit
Ceci est un cube mentalement découpé dans un gaz … Opinion commune à tous les physiciens du XIXe siècle : Dans ce cube existent des milliards de molécules du gaz séparées les unes des autres par du vide. … et cela est une pièce de la surface de contact entre le gaz et la paroi de son contenant Mais l’opinion suivante n’était soutenue que par les Britanniques (Dewar, Graham, Brown, etc) Le mouvement des molécules est complètement désordonné Conséquence logique : la pression d’un gaz sur la paroi du ballon qui le contient est due aux milliards de chocs élastiques des molécules

95 Conséquence logique : statistiquement, la moitié des molécules de ce cube se dirigent vers la paroi.
Soit dt une durée. En moyenne, une molécule parcoure la distance Vx dt pendant cette durée. Si donc la longueur de l’arête du cube est justement Vx dt, la moitié de toutes les molécules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes. abscisse Si M est la masse du gaz contenu dans le cube, alors c’est la masse M / 2 qui va rebondir sur la paroi. Avant les chocs, la quantité de mouvement des molécules est – M Vx / 2 . – Vx + Vx Après les chocs, elle devient + M Vx / 2 . Différence = 2 fois M Vx / 2 = M Vx. Divisée par le temps dt, cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droite F pression = M Vx / dt . Divisée par l’aire de la face de contact du cube sur la paroi cela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arête)2 = M Vx / dt , Mais la masse se calcule à partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arête)3 donc P x (arête)2 = μ (arête)3 Vx / dt , soit, après simplification P = μ x arête x Vx / dt , donc, par substitution de l’arête P = μ Vx dt Vx / dt , P = μ Vx2.

96 Conséquence logique : statistiquement, la moitié des molécules de ce cube se dirigent vers la paroi.
Soit dt une durée. En moyenne, une molécule parcoure la distance Vx dt pendant cette durée. Si donc la longueur de l’arête du cube est justement Vx dt, la moitié de toutes les molécules du cube vont rebondir sur le paroi en dt secondes. abscisse – Vx + Vx Si M est la masse du gaz contenu dans le cube, alors c’est la masse M / 2 qui va rebondir sur la paroi. Avant les chocs, la quantité de mouvement des molécules est – M Vx / 2 . Note : La fluctuation moyenne de l’abscisse de la quantité de mouvement est donc M Vx / N où N est le nombre des molécules du gaz. Mais M / N est la masse m d’une molécule, donc l’intervalle dans lequel fluctue l’abscisse de la quantité de mouvement d’une molécule est m Vx. Après les chocs, elle devient + M Vx / 2 . Différence = 2 fois M Vx / 2 = M Vx. Mais la masse se calcule à partir de la masse volumique μ selon M = μ volume = μ (arête)3 Divisée par le temps dt, cela donne la force avec laquelle la paroi pousse le gaz vers la droite F pression = M Vx / dt . Divisée par l’aire de la face de contact du cube sur la paroi cela donne la pression de cette paroi sur la gaz P x (arête)2 = M Vx / dt , donc P x (arête)2 = μ (arête)3 Vx / dt , soit, après simplification P = μ x arête x Vx / dt , donc, par substitution de l’arête P = μ Vx dt Vx / dt , P = μ Vx2.

97 Le désordre moléculaire étant total, la moyenne des vitesse le long d’un axe est la même quelque soit cet axe : Vx2 = Vy2 = Vz2 = V 2 . Or on démontre que V 2 = Vx2 + Vy2 + Vz2 donc Vx2 = V 2 / 3 donc P x volume = M V 2 / 3 et une algèbre permet le calcul de la vitesse : P x volume = M Vx2 P x volume M = Vx2 abscisse – Vx + Vx P x volume M = Vx Multiplions par le volume : P volume = μ x volume Vx2 / 3 mais la multiplication du volume par la masse volumique donne la masse Conséquence pratique et théorique : on peut expérimentalement mesurer la vitesse moyenne des molécules ! Un manomètre donne P, on peut mesurer ou calculer le volume, P x volume = M Vx2 on peut peser le gaz, P = μ Vx2.

98 L’EXPÉRIMENTATION

99 P x volume = M V 2 / 3 Remarque 1 : la multiplication de la pression par le volume du gaz est invariante … … à condition de ne pas changer la masse enfermée ni la vitesse des molécules. Expérimentation Vanne ouverte Vanne fermée Thermomètre Le matériel Etalonnage : Définition du zéro degrés ? C’est la température de l’eau autour de la glace fondante. Définition du cent degrés ? C’est la température de la vapeur au-dessus de l’eau bouillante.

100 Donc cette poussée là est aussi égale à P S
Mesure de la pression atmosphérique Expérience témoin Vanne ouverte Air intérieur : il pousse le piston vers la droite Air extérieur : il pousse le piston vers la gauche Thermomètre Le piston étant immobile, ces deux poussées sont égales Donc cette poussée là est aussi égale à P S Mais celle-ci est égale à P S où S est l’aire de la face du piston

101 Mesure de la pression atmosphérique
Vanne ouverte

102 Mesure de la pression atmosphérique
Vide : rien ne pousse le piston vers la droite Vanne fermée Force de traction F (mesurée avec un dynamomètre) Air extérieur : il pousse le piston vers la gauche avec une force égale à P A où A est l’aire du piston : A = π R2 où R est le rayon de sa face interne. L’immobilisation du piston montre que les deux forces sont opposées P = F π R2 F = P π R2 donne Résultats : P = environ Pascals

103 Mesure de la pression atmosphérique
Expériences et mesures Force extérieure : elle pousse ou tire le piston (signe +) (signe –) Vanne fermée Gaz intérieur : il pousse le piston vers la droite Air extérieur : il pousse le piston vers la gauche Thermomètre – P air S Quantité = n moles P gaz S Bilan : P gaz S – P air S = + ou – F

104 Découverte du ’’zéro absolu’’
Résultats fondamentaux (Gay-Lussac, Boyle, Charles) P V Abscisse ordonnée T max (P V) max Exploitation des mesures Zone expérimentalement accessible (P V) max T P V Extrapolation Découverte du ’’zéro absolu’’ θ (degrés centigrades) Zéro en hiver en été θmin θmax établi à – 273,15 °C T max Définition de la température absolue T T = θ + 273,15 nommé R (constante des gaz parfaits) (P V) max Règle des produits croisés : P V = T T max

105 Résultats fondamentaux (Gay-Lussac, Boyle, Charles)
P V Zéro Kelvins 273,15 Kelvins Zéro θ (degrés centigrades) T (Kelvins) Soit Av le nombre d’Avogadro (défini comme le nombre d’unités dans une mole) Nombre de molécules Constante de Boltzmann kB = n Av Av R T P V = n R T nommé R (constante des gaz parfaits) (P V) max P V = T T max

106 L’entropie et le désordre corpusculaire

107 L’entropie et le désordre corpusculaire
double d’une énergie cinétique P x volume = M V 2 / 3 Diapositive n° 88 : = N m V 2 / 3 = N 2 Ec / 3 (diapositive n° 88) masse du gaz = N m V 2 = Vx2 + Vy2 + Vz2 = 3 Vx2 1 2 m V 2 et = = 3 2 m Vx2 donc nombre de moles Nombre d’Avogadro masse d’une molécule kB T = m Vx2 Énergie cinétique d’une molécule = 3 2 kB T Nombre de molécules = N 2 Ec / 3 = N kB T Constante de Boltzmann kB donne Ec = 3 N kB T / 2 = n Av Av R T P V = n R T

108 L’entropie et le désordre corpusculaire
somme des énergies cinétiques moléculaires = chaleur Q Q = N 3 2 kB T = N 2 Ec / 3 Q = N m Vx2 3 2 kB T = m Vx2 3 2 Variation dQ = N m d(Vx2) Énergie cinétique d’une molécule = 3 2 kB T = 3 N m Vx dVx D’après Clausius (diapositive n° 56) dS est définie selon dQ T = kB dQ kB T = kB 3 N m Vx dVx m Vx2 dVx Vx = 3 N kB d(m Vx) m Vx 3 N kB = dQ T = 3 N kB d ln (m Vx) Constante de Boltzmann kB = n Av Av R T P V = n R T

109 Cette cloison est brusquement ôtée
L’entropie et le désordre corpusculaire Or, m Vx est la longueur de l’intervalle de variation continuelle d’une coordonnée (ici l’abscisse) de la quantité de mouvement m vx (diapositive n° 88). ΔΩp = (m Vx) 3 N qui nous donne une entropie égale à S = kB ln ΔΩp . Cette formule n’est pas complète. Considérons cette expérience de Gibbs Gaz Vide Gaz Cette cloison est brusquement ôtée Cloison amovible Avant Après dQ T dS = 3 N kB d ln (m Vx) = kB d [3 N ln (m Vx) ] = kB d ln [(m Vx) 3 n Av ]

110 L’entropie et le désordre corpusculaire
S = kB ln ΔΩp + kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N (m Vx) 3 N ΔΩp = S = kB ln ΔΩp . Cette formule n’est pas complète. Considérons cette expérience de Gibbs Gaz Vide Gaz Cloison amovible Avant Après Elle manifeste une nouvelle espèce d’irréversibilité, donc une nouvelle espèce d’entropie où Δ(m Vx) est remplacé par l’intervalle Δx de fluctuation de la coordonnée de la molécule

111 Π Π Π L’entropie et le désordre corpusculaire S = kB ln ΔΩp
+ kB ln ΔΩx avec ΔΩx = Δx 3 N et ΔΩp = (m Vx) 3 N Récapitulons Nommons Δpx, Δpy et Δpz la taille de la plage de fluctuation des coordonnées de la quantité de mouvement corpusculaire Nommons Δx, Δy et Δz la taille de la plage de fluctuation des coordonnées des corpuscules Π particules Π particules ΔΩp = Δpx Δpy Δpz ΔΩx = Δx Δy Δz Alors l’entropie du système est définie par Π S = kB ln Δpx Δpy Δpz Δx Δy Δz = kB ln ΔΩ particules

112 ENTROPIE ET ÉQUILIBRE DES TEMPÉRATURES
Mise à jour du 08 juin 2014 ENTROPIE ET ÉQUILIBRE DES TEMPÉRATURES

113 ÉQUILIBRE DES TEMPÉRATURES
L’expérience montre que la chaleur va toujours spontanément du chaud vers le froid (Voir diapositive n°52) Corps froid Corps chaud Milieu chaud Milieu froid … et nous en avons déduit la loi de croissance de l’entropie. Objectif : partir de la loi de croissance de l’entropie dSc + dSf > 0, et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid. Moyens : - Définir la variation de l’entropie par dS = dQ / T (diapositive n° 56), - supposer l’énergie interne additive (diapositive n° 75) dUc + dUf = dUtout, - supposer la réunion des deux systèmes isolée dUtout = 0, - supposer l’absence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls), et de toute autre cause de variation de l’énergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) … … et bien entendu se servir de l’identité fondamentale de la thermodynamique Σ n δU = Xn δxn T δS

114 IRRÉVERSIBILITÉ ET ÉCART DE TEMPÉRATURE
… et bien entendu se servir de l’identité fondamentale de la thermodynamique Σ n dU = Xn dxn T dS (Voir diapositive n°52) Corps froid Corps chaud Milieu chaud Milieu froid Objectif : partir de la loi de croissance de l’entropie dSc + dSf > 0, et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid. Moyens : - Définir la variation de l’entropie par dS = dQ / T (diapositive n° 56), - supposer la réunion des deux systèmes isolée dUtout = 0, - supposer l’énergie interne additive (diapositive n° 75) dUc + dUf = dUtout, - supposer l’absence de tout travail (Pc dVc et Pf dVf sont nuls), et de toute autre cause de variation de l’énergie interne (les autres Xn dxn sont nuls) … dUc = Tc dSc Tc dSc + Tf dSf = 0 dUf = Tf dSf

115 Irréversibilité et écart de température
Corps froid Corps chaud Milieu chaud Milieu froid Objectif : qui est atteint. et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid. Étant donnée que l’entropie est extensive (additive, voir diapositive n° 56) Tc dSc + Tf (dStout – dSc) = 0 Tc dSc + Tf dStout – Tf dSc = 0 (Tc – Tf) dSc = – Tf dStout (Tc – Tf) dSc + Tf dStout = 0 Étant donnée la loi de croissance de l’entropie, Tf dStout est positif, donc (Tc – Tf) dSc est négatif. Comme Tc > Tf , on a dSc < 0, donc dQc = Tc dSc est négatif , Tc dSc + Tf dSf = 0 donc dQf = Tf dSf est positif .

116 Équilibre des températures
Corps froid Corps chaud Milieu chaud Milieu froid Objectif : qui est atteint. et montrer que la chaleur va aller du chaud vers le froid. De plus, en cas d’équilibre thermodynamique, défini par dStout = 0, cette formule (Tc – Tf) dSc + Tf dStout = 0 montre qu’il n’est possible que si les températures sont égales.

117 La thermodynamique Denis Chadebec et
remercient Madame et Monsieur Toutlemonde pour leur aimable et infatigable coopération