Technique des Plans d’Expériences

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1 Technique des Plans d’Expériences
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2 Comment sélectionner les expériences à faire ?
Introduction Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Stratégie de recherche pour répondre à un certain nombre de questions : Comment sélectionner les expériences à faire ? Quelle est la meilleure stratégie pour : conduire le plus rapidement possible aux résultats espérés ? éviter des expériences inutiles ? apporter une bonne précision ? modéliser et optimiser des phénomènes étudiés ? Un plan d'expériences peut être utilisé comme une méthode d'optimisation, pour trouver une ou des solutions au problème posé, mais aussi comme une étape préliminaire à l’optimisation et a alors pour objectif le choix des variables à optimiser et des fonctions à prendre en compte dans une formulation mathématique classique pour résoudre le problème par une méthode de gradient par exemple. 2

3 Le Problème des Pesées Le problème des pesées (Hotelling 1944)
Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Le Problème des Pesées (Hotelling 1944) Un résultat statistique est totalement dépendant de l’expérimentation.  illustration par l’exemple de la pesée… 3

4 La question et le matériel expérimental
Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe La question Déterminer les masses de trois objets A, B et C en quatre pesées et avec un maximum de précision. Le matériel expérimental Une balance à deux plateaux à équilibrer avec des poids. 4

5 Chaque pesée est entachée d’une erreur e : Y = m + e
Les hypothèses Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Chaque pesée est entachée d’une erreur e : Y = m + e L’ordre de grandeur de l’erreur de pesée est constant quelque soit l’objet à peser : Variance (e) = s² Les pesées ne sont pas liées entre elles : Covariance (Yi, Yj) = 0 En l’absence d’objet sur la balance l’aiguille n’est pas forcément sur zéro. Il y a un « biais systématique ». Chaque pesée coûte 100€ 5

6 On pèse un objet à la fois
STRATEGIE 1 Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe On pèse un objet à la fois Matrice d’expérience 0 : l’objet n’est pas sur la balance 1 : l’objet est sur le plateau de droite -1 : l’objet est sur le plateau de gauche 6

7 Estimation des masses des objets
STRATEGIE 1 Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Estimation des masses des objets 7

8 Quelle est la précision des mesures ?
STRATEGIE 1 Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Quelle est la précision des mesures ? 8

9 Comment obtenir une meilleure précision ?
Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe 9

10 On pèse deux objets à la fois
STRATEGIE 2 Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe On pèse deux objets à la fois Matrice d’expérience 10

11 On pèse trois objets à la fois
STRATEGIE 3 Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe On pèse trois objets à la fois Matrice d’expérience 11

12 La première pesée est inversée
STRATEGIE 4 Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe La première pesée est inversée Matrice d’expérience 12

13 Pourquoi la stratégie 4 est elle la meilleure ?
Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Avec la quatrième stratégie la précision est 8 fois meilleure qu’avec la première sans pour autant augmenter le nombre d’essais, On comprend intuitivement qu’il n’est pas possible d’améliorer davantage la précision (tous les objets participent à chaque essai), La limite inférieure de la précision est s²/n où n désigne le nombre d’essais, On démontre que la précision est en relation directe avec la matrice tXX où X est la matrice d’expérience, Pour la stratégie optimale cette matrice vérifie la relation : tXX = nI où I est la matrice d’identité. 13

14 Pourquoi la stratégie 4 est elle la meilleure ?
Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Stratégie 1 Stratégie 2 Stratégie 3 Stratégie 4 une matrice « pleine » de 1 est préférable : tous les facteurs varient à la fois, meilleure stratégie  matrice équilibrée (Nb objets à G = Nb objets à D) ; tous les niveaux sont présents en nombre égal de fois dans les colonnes, entre deux colonnes toutes les permutations de niveaux sont présentes  le plan d’expérience est orthogonal La qualité de l’estimation dépend de la matrice d’expérience 14

15 Pourquoi la stratégie 4 est elle la meilleure ?
Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Stratégie 4 Stratégie 3 Stratégie 2 Stratégie 1 15

16 Reformulation du problème des pesées
Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe (Reformulation / transposition du problème des pesées) Mauvaise Optimale 16

17 Concept et Définitions
Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Constat : Les problèmes d’optimisation, de caractérisation ou de mise au point de procédés, de méthodes, …, sont souvent associés à la conjonction de plusieurs paramètres ayant une influence sur la réponse. La grandeur d’intérêt Y ou réponse est une fonction de plusieurs variables Xi que l’on appelle facteurs. Y = f (X1, X2,…, Xn) Étude du phénomène ≡ mesure de la réponse en fonction de différentes valeurs ou niveaux des facteurs. On effectue des essais pour mettre en évidence les effets de chacun des paramètres sur la réponse. Les facteurs peuvent êtres ensuite fixés aux niveaux qui optimisent la réponse. 17

18 Concept et Définitions
Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Expérimentation « bidouille » Variation un à un des paramètres Méthode lourde si paramètres et/ou niveaux nombreux, souvent employée car l’analyse des résultats est simple. Expérimentation méthodique Variation des niveaux de tous les facteurs à la fois à chaque expérience diminution du nombre d’essais étude d’un grand nombre de facteurs détection des interactions entre facteurs obtention de la meilleure précision possible obtention d’un modèle du système analyse rigoureuse conduisant + rapidement aux résultats espérés Les plans d’expériences 18

19 Concept et Définitions
Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Vocabulaire Continu Discret Facteur : variable qui agit sur le système. Réponse : grandeur que l’on mesure pour connaître l’effet des facteurs sur le système. Facteur significatif : facteur qui modifie la réponse lorsqu’on le modifie. Niveau d’un facteur : valeur que prend un facteur au cours des essais. quantitatif qualitatif Définition Un plan complet consiste à étudier toutes les combinaisons possibles des facteurs pris en considération dans l’expérience. Plan Xk  k facteurs à X niveaux Si 3 facteurs à 2 niveaux alors le plans 23  23 = 8 expériences Si 3 facteurs à 2 niveaux et 2 facteurs à 4 niveaux alors le plans complet comporte 23  42 = 128 expériences Plan 2k  plan factoriel dont les k facteurs ne possèdent que 2 niveaux. 19

20 Choix aux effets antagonistes
Plan factoriel complet 2k Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Le domaine expérimental Le domaine de validité de l’expérience correspond aux limites raisonnables de variation des facteurs. Il y a deux écueils à éviter : niveaux trop proches  pas d’effet significatif sur les facteurs niveaux trop éloignés  mise en défaut de l’hypothèse de linéarité Choix aux effets antagonistes 20

21 Plan factoriel complet 2k
Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Stratégie de mise en place d’un plan : 1 – Rechercher l’ensemble des facteurs influents sur le système. 2 – Trier entre les facteurs contrôlés et non contrôlés (bruits). 3 – Sélectionner les facteurs contrôlés à retenir pour l’expérience (les autres seront figés au cours des essais). 4 – Définir le domaine de variation de chacun des facteurs. 5 – Faire le plan. 6 – Évaluer les dispersions des résultats (répétition d’essais où tous les facteurs sont figés). 7 – Dépouiller et interpréter (effets, interactions, signification des effets…). 21

22 Concept et Définitions
Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe La matrice d’expérience  tableau indiquant : Exp X1 X2 1 -1 2 +1 3 4 le nombre d’expérience à réaliser, la façon de faire varier les facteurs, l’ordre de réalisation des expériences. Ici pour ce plan 22, le niveau bas est codé à l’aide du nombre -1 et le niveau haut à l’aide du nombre +1. (notation de Yates) La matrice d’expérience et des réponses Exp X1 X2 Réponse : Yrep 1 -1 y1 2 +1 y2 3 y3 4 y4 22

23 Effets global et moyen d’un facteur
Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Cas d’un seul facteur effet global d'un facteur (sur la réponse) : variation de la réponse quand le facteur passe du niveau -1 au niveau +1. effet moyen d'un facteur (sur la réponse) : demi-variation de la réponse quand le facteur passe du niveau -1 au niveau +1. effet moyen = moitié de l'effet global. Exp X1 Rép : Yrep 1 -1 y1 2 +1 y2 Effet global de X1 : y2 - y1 Effet moyen de X1 : Effet au centre : (moyenne des réponses) 23

24 Or, pour chacun des niveaux de X1, il y a 2 expériences
Effets global et moyen d’un facteur Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Cas de deux facteurs L'effet moyen de X1 : demi-variation de la réponse lorsque X1 passe de -1 à +1. Or, pour chacun des niveaux de X1, il y a 2 expériences  travail à partir des réponses moyennes. Exp X1 X2 Rép : Yrep 1 -1 y1 2 +1 y2 3 y3 4 y4 Réponse moyenne quand X1 est au niveau –1 : Réponse moyenne quand X1 est au niveau +1 : Effet moyen de X1 Effet moyen de X1 : Effet global de X1 : 24

25 Effets global et moyen d’un facteur
Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Cas de deux facteurs Rép. moyenne quand X2 est au niveau –1 : Rép. moyenne quand X2 est au niveau +1 : Exp X1 X2 Rép : Yrep 1 -1 y1 2 +1 y2 3 y3 4 y4 Effet moyen de X2 Réponse théorique pour X2 = 0 (au centre de son domaine de variation) : moyenne des réponses observées aux niveaux -1 et +1 25

26 Notion d’interaction entre facteurs
Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Il y a interaction entre deux facteurs si l’effet moyen de l’un varie suivant le niveau de l’autre. Il y a distorsion de la surface de réponse. La distorsion est d’autant plus importante que l’interaction est grande. ou Il existe une interaction entre 2 facteurs A et B si l’effet du facteur A sur la réponse dépend du niveau du facteur B et réciproquement. 26

27 Notion d’interaction entre facteurs
Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Calcul de l’interaction X1X2 Exp X1 X2 Réponse : Yrep 1 -1 y1 = 60 2 +1 y2 = 85 3 y3 = 75 4 y4 = 90 L’interaction est considérée comme un nouveau facteur et l’effet moyen de l’interaction est la ½ variation de l’effet moyen de X2 lorsque X1 passe du niveau bas au niveau haut Effet moyen de X2 au niveau haut de X1 : Effet moyen de X2 au niveau bas de X1 : Effet moyen de l'interaction X1X2 : 27

28 Calcul des effets avec la notation de Yates
Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe On appelle matrice des effets la matrice X servant au calcul des coefficients dans la régression linéaire multiple. La matrice X des effets, servant au calcul des coefficients du modèle, s'obtient en ajoutant à gauche de la matrice d'expérience une colonne ne contenant que des 1. Les estimations des coefficients du modèle sont données par la matrice  telle que  = X-1 Yrep = (1/n) tX Yrep où Yrep est la matrice colonne des réponses expérimentales. La meilleure précision sur les coefficients de chacun des facteurs dans la régression linéaire multiple est obtenue si l'on fait varier les niveaux de tous les facteurs à chaque expérience et si toutes les expériences concourent à l'estimation de chaque coefficient. Critère d'optimalité au sens d'Hadamard Pour obtenir en n expériences une variance minimale, la matrice des effets X doit vérifier la relation : tXX = n In 28

29 On s'intéresse à un plan 2k et à un modèle polynomial du premier d° :
Algorithme de Yates Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe On s'intéresse à un plan 2k et à un modèle polynomial du premier d° : Y = a0 +a1X1 + a2X akXk Pour k facteurs, la matrice d'expérience comporte k colonnes et 2k lignes. On alterne les -1 et le +1 - toutes les lignes pour la première colonne, - toutes les deux lignes pour la seconde colonne, - toutes les quatre lignes pour la troisième, etc. Plus généralement : - toutes les colonnes commencent par -1. - on alterne les -1 et les +1 toutes les 2j-1 lignes pour la jème colonne. Chaque estimation d'un coefficient du modèle est égale à la somme algébrique des réponses expérimentales yi affectés des signes de la colonne de la matrice X correspondant au facteur Xi divisé par le nombre d'expériences. 29

30 (plan 2k où k=3 soit 23=8 expériences)
Exemple numérique Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Construction d’un plan 23 pour un essai d'arrachement mettant en jeu 3 facteurs. (plan 2k où k=3 soit 23=8 expériences) Niveau bas : -1 Niveau haut : +1 X1 80 °C 120 °C X2 0,5 bars 2 bars X3 1h 2h Les facteurs : X1 : la température de pressage, X2 : la pression lors du pressage, X3 : le temps de pressage. Matrice d’expérience et des réponses Exp X1 X2 X3 Yexp 1 -1 18,1 2 +1 16,0 3 17,1 4 17,0 5 17,8 6 17,2 7 8 J=1 J=2 J=3 Matrice des effets 2J-1=…. 30

31 Exemple numérique Le modèle s’écrit : Exp Moy X1 X2 X3 Yexp 1 +1 -1
18,1 2 16,0 3 17,1 4 17,0 5 17,8 6 17,2 7 8 Diviseur Effets a0=17,29 a1=-0,49 a2=0,01 a3=0,24 Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Le modèle s’écrit : 31

32 Plan complet avec interactions
Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Pour calculer l'effet d'une interaction entre deux variables Xi et Xj on ajoute à la matrice des effets une colonne, que l'on baptise XiXj, et que l'on obtient en faisant le produit "ligne à ligne" des colonnes des variables Xi et Xj. Le calcul des coefficients du modèle se fait comme énoncé précédemment. Exemple numérique Considérons un plan d’expérience 2² construit afin d’étudier une réaction chimique dont le rendement dépend de deux facteurs Matrice d’expérience et des réponses Domaine expérimental Exp T P Y (%) 1 -1 60 2 +1 65 3 75 4 85 Niveau bas : -1 Niveau haut : +1 Température : T 60°C 80°C Pression : P 1 bar 2 bars 32

33 Exemple numérique ( × × ) = Exp Moy T P TP Y (%) 1 +1 -1 60 2 65 3 75
Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Matrice d’expérience et des réponses pour les facteurs et les interactions. Exp Moy T P TP Y (%) 1 +1 -1 60 2 65 3 75 4 85 Diviseur Effets a0=71,25 a1=3,75 a2=8,75 a12=1,25 ( × × ) = Calcul des coefficients Le modèle s’écrit : Soit : Y = 71,25 + 3,75 T + 8,75 P + 1,25 P T 33

34 Tableau des réponses moyennes
Exemple numérique Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Tableau des réponses moyennes P -1 +1 T 60 75 65 85 T P Niveau -1 Niveau +1 Graphe des effets Visualisation de l’interaction (Ec1Ec2)  interaction 34

35 Les facteurs : X1 : le stress, X2 : la compréhension.
Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Construction d’un plan 2² pour une étude sur les conditions idéales pour passer un examen mettant en jeu 2 facteurs. Niveau bas : -1 Niveau haut : +1 X1 Faible Elevé X2 Totale Nulle Les facteurs : X1 : le stress, X2 : la compréhension. N° des essais 1 2 3 4 Note obtenue 17.7 12.9 10.3 2.5 Construire la matrice d'expériences correspondant à ce plan complet Calculer tous les effets : facteurs principaux et interactions Tracer le diagramme des effets Construire le modèle mathématique associé 35

36 Exemple numérique Le modèle s’écrit : Niveau -1 Niveau +1 -1 +1 17.7
Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Exp Moy X1 X2 X1X2 Yexp 1 +1 -1 17,7 2 12,9 3 10,3 4 2,5 Diviseur Effets 10,85 -3,15 -4,45 -0,75 Le modèle s’écrit : X1 X2 Niveau -1 14 15,3 Niveau +1 7,7 6,4 X2 X1 X1 -1 +1 X2 17.7 12.9 10.3 2.5 36

37 Les facteurs : X1 : la température, X2 : le nombre de cycles,
Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Construction d’un plan 23 pour un test en fatigue mettant en jeu 3 facteurs. Niveau bas : -1 Niveau haut : +1 X1 20 °C 120 °C X2 1 200 X3 10 MPa 50 MPa Les facteurs : X1 : la température, X2 : le nombre de cycles, X3 : la charge appliquée. N° des essais 1 2 3 4 5 6 7 8 Déformation (mm) Construire la matrice d'expériences correspondant à ce plan complet Calculer tous les effets : facteurs principaux et interactions Tracer le diagramme des effets Déterminer une loi de comportement du matériau testé 37

38 Exemple numérique Le modèle s’écrit : Exp Moy X1 X2 X3 X1X2 X1X3 X2X3
Yexp 1 +1 -1 2 3 4 5 7 6 8 Diviseur Effets a0=3,75 a1=-0,75 a2=0,75 a3=1,25 a12=0,75 a13=-0,25 a23=-0,25 a123=0,75 Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Le modèle s’écrit : 38

39 Tableau des réponses moyennes
Exemple numérique Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Tableau des réponses moyennes X1 X2 X3 Niveau -1 3 2,5 Niveau +1 4,5 5 X1=-1 X1=+1 X1 X2 X3 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 Graphe des effets Visualisation de l’interaction X1X2 39

40 Statistique & interprétation des résultats
Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe 40

41 Statistique - Rappels Rappels élémentaires Moyenne
Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Rappels élémentaires Moyenne Variance s² : moyenne des carrées des écarts à la moyenne - Pour un échantillon  variance vraie : où est la moyenne exacte de l’échantillon et n l’effectif total ou nombre total de ddl. - Pour une population  variance estimée : où M est la moyenne estimée de la population : N nombre d’échantillons n-1 : effectif total ou nombre effectif de ddl dont on dispose (-1 pour la moyenne) 41

42 On forme le rapport de Fisher-Snedecor :
Statistique - Rappels Test de comparaison de deux variances Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe On cherche à comparer deux distributions statistiques normales (les deux échantillons sont ils issus d’une même loi normale ?) On observe n1 individus 1ier échantillon Variance s12 On observe n2 individus 2ième échantillon Variance s22 On forme le rapport de Fisher-Snedecor : Le rapport de Fisher suit une loi de probabilité et ne dépend que des nombres de ddl de chacun des échantillons n1 et n2 avec n1=n1-1 et n2=n2-1. F est tabulé pour différentes valeurs du risque de première espèce a, c’est-à-dire le risque d’accepter une hypothèse fausse alors qu’elle est vraie. Si on désire évaluer le risque à 5%  table à 0,95 On cherche dans la table la valeur de que l’on compare à Fcalculé. On accepte l’hypothèse d’identité des variances si : 42

43 Statistique - Rappels Exemple : Introduction
Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Deux agents dosent un composant dans des échantillons provenant d’un même produit. Pour chaque échantillon les analyses sont doublées. Les agents travaillent ils de la même façon ? B est-il meilleur que A ? Agent A : 11 échantillons sA2 = 3,02 Agent B : 22 échantillons sB2 = 1,22 Table de Snedecor pour un risque de 5%. ddl(sA2) = 11-1 = 10 = n1 ddl(sB2) = 22-1 = 21 = n2 La différence des variances est significative (au seuil de 5%) On en déduit que l’agent A travaille d’une façon moins précise que l’agent B. 43

44 Test de signification des effets
Effets : coefficients des facteurs et des interactions dans l'écriture du modèle. Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Les calculs statistiques permettent : savoir si les effets sont significatifs, calculer les intervalles de confiance, de valider la linéarité du modèle. Ils font intervenir d'une part les résidus ei, et d'autre part un estimateur sans biais de la variance commune des résidus, soit : n est le nombre d'expériences réalisées p est le nombre de coefficients du modèle On peut montrer que tous les effets ont même variance Si pour un plan complet n = p alors on ne peut pas calculer la variance commune des résidus s². Dans la pratique on néglige les interactions d’ordre élevé pour pouvoir évaluer s². 44

45 Test de signification des effets
Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Pour tester un effet on utilise le test de Student : Un effet sera dit significatif s'il est pour un risque donné, significativement différent de 0. On testera donc l'hypothèse : H0 = << ai = 0 >> contre l'hypothèse H1 = << ai ≠ 0 >> Pour cela on calcule : Pour le test on utilise la table de Student à n = n - p ddl où n est le nombre d'expériences réalisées, p est le nombre d'effets y compris la constante. Pour un risque de première espèce a (5% ou 1%), on lit dans la table de Student la valeur tcrit(a, n), en utilisant la partie de la table relative à un test bilatéral. D’où la règle :  si ti > tcrit(a, n), on rejette H0 au risque accepté.  si ti < tcrit (a, n), on accepte H0 au risque accepté. H0 accepté  l’effet en question n’est pas, au risque a, significativement différent de 0. La variable associée n’a pas d’influence sur la réponse. 45

46 Test de signification des effets
Exemple : Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe On considère une réaction chimique dont le rendement dépend de deux facteurs (température T, pression P), prenant respectivement pour niveau haut et bas 60 et 80°C pour T, et, 1 et 2 bars pour P. On cherche à déterminer la non influence d'une variable sur la réponse pour un risque choisit de 5 %. Exp Moy T P Y (%) 1 +1 -1 60 2 65 3 75 4 85 Diviseur Effets a0=71.25 a1=3.75 a2=8.75 Yest ei ei² 58.75 1.25 1.5625 66.25 -1.25 76.25 83.75 Yest ei ei² 58.75 1.25 1.5625 66.25 -1.25 76.25 83.75 Yest ei ei² 58.75 1.25 1.5625 66.25 -1.25 76.25 83.75 Le modèle : 3 coefficients Variance des résidus : Variance commune des estimateurs : 46

47 Test de signification des effets
Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Les ti sont calculés avec la relation : La table de Student donne pour un risque de 5% avec n = n - p = = 1 : Pour a1 = 3.75 (effet de T) on a t1 = 3 < : on accepte H0 au risque de 5 % et l'effet de la température T n'est pas significatif. - Pour a2 = 8.75 (effet de P) on a t2 = 7 < 12.71 : on accepte H0 au risque de 5 % et l'effet de la pression P n'est pas significatif. On peut donc considérer que les coefficients a1 et a2 ne sont pas significativement différents de 0 ; leur valeur est probablement due à un « bruit ». La conclusion est que l'on doit rejeter un modèle linéaire pour expliquer le rendement de cette réaction chimique. Il faudrait refaire une étude avec un modèle polynomial du second degré. 47

48 Intervalle de confiance des effets
a/ variance expérimentale connue Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe On suppose que compte tenu de nombreuses expériences faites on connaît l'écart type expérimental s. L'intervalle de confiance d'un effet est donné, par : risque 5% : [(ai - 1,96 si) ; (ai + 1,96 si)] risque 1% : [(ai - 2,58 si) ; (ai + 2,58 si)] où si² est la variance commune des estimateurs des coefficients. 48

49 Intervalle de confiance des effets
b/ variance expérimentale inconnue (cas le plus courrant) Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe La variance commune des résidus est estimée avec n = n-p degrés de libertés et en négligeant au moins un effet. et Si l’on choisit un risque a, on détermine à l’aide de la table de Student le nombre t(a,n) et l'intervalle de confiance d'un effet est donné, par : risque a% : [(ai – t(a,n) si) ; (ai + t(a,n) si)] 49

50 Exemple Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Considérons le plan d'expérience 23 suivant dans lequel on néglige l'interaction d'ordre 3 X1 X2 X3 X1X2 X1X3 X2X3 Yobservé -1 +1 5.2 4.7 5.1 5.5 4.9 4.6 4.8 5.3 Yi estimés ei e²i 5,1875 + 0,0125 0,000156 4,7125 - 0,0125 5,1125 5,4875 4,9125 4,5875 4,7875 5,3125 Le calcul des effets permet d’obtenir le modèle suivant : Y = X X2 – X X1X X1X3 - 0,0125 X2X3 à partir duquel on évalue Yestimé, puis les écarts. 50

51 Modèle à retenir : Y = 5,0125 + 0,1625 X2 + 0,2125 X1X2
Exemple Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Variance commune des résidus : Variance commune de tous les effets : Calcul du « t » de Student pour chaque effet : La table de Student t(a;n) = t(0,05;1)=12,71 pour un risque de 5%. Variable effet t Résultat Constante 5,0125 t0 = 401 > 12,71 significatif X1 a1 = 0,125 t1 = 1 < 12,71 non significatif X2 a2 = 0,1625 t2 = 13 X3 a3 = - 0,1125 t3 = 9 X1X2 a12 = 0,2125 t12 = 17 X1X3 a13 = 0,0375 t13 = 3 X2X3 a23 = - 0,0125 t23 = 1 Modèle à retenir : Y = 5, ,1625 X2 + 0,2125 X1X2 51

52 Lever le doute quant à la significativité des effets
Analyse de la variance Lever le doute quant à la significativité des effets Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe 52

53 Analyse de la variance Validité du modèle linéaire ?
Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Yi les réponses observées lors de la réalisation des expériences, la réponse estimée à l'aide du modèle linéaire, - Ymoy la moyenne des réponses. 1 - La variation due à la liaison linéaire : SCEL se lit : "somme des carrés des écarts dues à la liaison". 2 - La variation résiduelle : SCER se lit : "somme des carrés des écarts des résidus". 3 - La variation totale : SCET = SCEL + SCER STCE se lit : " somme totale des carrés des écarts". Le "carré moyen" est le quotient d'une somme de carrés par son degré de liberté. SCEL a (p-1) ddl (p : nombre de coefficients estimés à partir du modèle). SCER a (n-p) degrés de libertés (n est le nombre d'expériences réalisées). SCET a (n-1) degrés de liberté. 53

54 Analyse de la variance Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe n–1 SCET Total n–p SCER Résidus (intérieur échantillon) p–1 SCEL Liaison (entre échantillons) F Carré moyen ddl Somme des carrés Variation due à Le test F permet de comparer pour un risque fixé à l'avance le Fobs que l'on a calculé dans le tableau avec un F(critique) lu dans la table de Fisher-Snedecor avec (p - 1) et (n - p) degrés de liberté. Le test est : H0 : « les deux carrés moyens sont de même grandeur »  la régression n'est pas significative. H1 : « le carré moyen dû à la régression est significativement plus grand que le carré moyen dû aux résidus »  la régression est globalement significative. La règle du test est alors pour un risque a choisi : Si Fobs < F(critique), on accepte l'hypothèse H0 . Si Fobs > F(critique), on accepte l'hypothèse H1 avec la confiance 1-a. 54

55 Exemple Reprenons l’exemple précédent avec tous les effets et leurs interactions : Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Moy X1 X2 X3 X1X2 X1X3 X2X3 Y +1 -1 5.2 4.7 5.1 5.5 4.9 4.6 4.8 5.3 a0 a1 a2 a3 a12 a13 a23 5,0125 0,0125 0,1625 -0,1125 0,2125 0,0375 -0,0125 Variation due à Somme des carrés DDL Carré moyen F Liaison SCEL 7 – 1 Résidus SCER 8 – 7 Total SCET 8 – 1 0.0984 ici, p = 7 n = 8 n1 = 6 n2 = 1 d’où Fcrit = 234 pour a = 5% (Fobs = 91,667) < (Fcrit = 234)  on rejette l'hypothèse de linéarité du modèle. 55

56 Exemple Introduction Concepts Plan 2k Statistique Plan Frac. 56
. Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe 56

57 Exemple Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Effectuons une nouvelle analyse de la variance, avec le modèle ne contenant que les coefficients significatifs a2 et a12. Variation due à Somme des carrés DDL Carré moyen F Liaison SCEL 3 – 1 Résidus SCER 8 – 3 Total SCET 8 – 1 0.0984 ici, p = 3 n = 8 n1 = 3-1 = 2 n2 = 8-3 = 5 a = 5% On évalue Fcrit avec la table de Fischer Snédecor pour n1=2 et n2=5, pour un risque a=5% (Fobs = 12,3) > (Fcrit = 5,79)  on accepte donc l'hypothèse de linéarité du modèle. 57

58 Conditions nécessaires pour établir un plan fractionnaire,
Plans fractionnaires Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Constatation : Lorsque le nombre de facteurs ou le nombre de niveaux par facteur augmente, les plans complets donnent très vite un nombre d’essais peu compatible avec la réalité industrielle. Question : Doit on réaliser toutes les expériences du plan complet pour estimer le modèle du système ? En effet si l’on veut étudier un modèle à 3 facteurs à 2 niveaux mais sans interaction, il faut identifier 4 coefficients  4 essais et non 8 comme pour le plan complet 23. Le plan fractionnaire à 4 essais suppose les interactions nulles. Si l’une d’entre elles est ≠ 0 alors elle perturbera les coefficients du modèle. L’utilisation d’un plan fractionnaire n’est pas sans risque. Il faut pouvoir statuer sur les points suivants : Conditions nécessaires pour établir un plan fractionnaire, Quels sont les risques liés à l’utilisation d’un plan fractionnaire. 58

59 Condition sur le nombre de degrés de liberté
Plans fractionnaires Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Condition sur le nombre de degrés de liberté Le nombre de ddl d’un modèle indique le nombre de valeurs qu’il est nécessaire de calculer pour connaître l’ensemble des coefficient du modèle. D’une manière générale, pour pouvoir calculer X valeurs indépendantes il faut introduire dans les calculs au moins X expériences La règle : Le nombre minimal d’expériences à réaliser est égal au nombre de degrés de liberté du modèle étudié. 59

60 Condition d’orthogonalité
Plans fractionnaires Condition d’orthogonalité Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Condition indispensable pour pouvoir calculer les effets d’un facteur indépendamment des autres facteurs. Condition nécessaire et suffisante d’orthogonalité de 2 actions Deux actions disjointes sont orthogonales si à chaque niveau de l’une, tous les niveaux de l’autre sont associés le même nombre de fois dans le plan d’expériences. Orthogonalité d’un plan d’expérience Un plan d’expériences est orthogonal vis à vis d’un modèle, si toutes les actions disjointes du modèle sont orthogonales dans le plan d’expériences. 60

61 2k-p Plans fractionnaires
Loi de composition des colonnes des matrices d’expériences Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe On définit une multiplication dans E de la manière suivante. Le produit de deux vecteurs de E est un vecteur de E dont les composantes dans la base canonique sont les produits des composantes de même rang. Exemple dans IR4, si et alors Plans factoriels fractionnaires à 2 niveaux = 2k-p nombre total de facteur à étudier 2k-p nombre de fois où le plan complet est coupé en deux Choisir le nb de facteurs à étudier et le nb d’expériences à réaliser. Choisir le plan complet correspondant au nb d’expériences à réaliser. Affecter aux colonnes des interactions d’ordre le + élevé du plan complet le(s) facteur(s) supplémentaires à étudier. 61

62 C = AB  le facteur C est aliasé avec l’interaction AB.
Plans fractionnaires 23-1 Plan fractionnaire 23-1 pour étudier 3 facteur (notion d’aliase ou de contraste). Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Un plan complet pour étudier trois facteurs (A, B, C) est un plan 23 nécessitant 8 expériences, mais nous désirons réaliser seulement 4 expériences. Pour cela nous utiliserons une matrice d'expériences d'un plan 22. Le facteur C sera placé dans la colonne de l’interaction AB Exp Imoy A B AB 1 +1 -1 2 3 4 AB = C Exp A B C 1 -1 +1 2 3 4 Matrice du plan complet 22 Matrice du plan fractionnaire 23-1 La matrice 23-1 servira à calculer les effets de A, B et C + leurs interactions C = AB  le facteur C est aliasé avec l’interaction AB. 62

63 Plans fractionnaires 23-1
Nous avons : C = AB et donc CC = I = ABC Soit : I = CAB d’où AI = ACAB = C(AA)B = CIB et donc A = CB BI = BCAB = CA(BB) = CAI et donc B = CA Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe On a vu que C est aliasé avec l’interaction AB. On montre également que A est aliasé avec l’interaction CB et B avec CA. Les effets obtenus avec le plan fractionnaire ne sont pas des effets purs. L’égalité I = CAB fournit tous les aliases : c’est un générateur d’aliases Hypothèses d’interprétation retenues en général : Les interactions d’ordre supérieur (3ième ordre et +) sont négligeables. si deux effets sont faibles, leur interaction est faible. si deux effets sont forts, leur interaction peut également l’être. si un alias est nul - soit les effets aliasés sont tous nuls (++) - soit les effets se compensent 63

64 Plans fractionnaires 23-1
Exp I A B C Yexp ABC CB CA AB 1 +1 -1 y1 2 y2 3 y3 4 y4 effets a0 a1 a2 a3 Plan fractionnaire 23-1 Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Les lignes 1, 2, 3, 4 du plan fractionnaire correspondent aux lignes 5, 2, 3, 8 du plan complet. Exp I A B C AB AC BC ABC Yexp 1 +1 -1 z1 2 y2 3 y3 4 z4 5 y1 6 z6 7 z7 8 y4 effets a'0 a'1 a'2 a'3 a'12 a'13 a'23 a'123 Plan complet 23 64

65 Plans fractionnaires 23-1
Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe On sait que A est aliasé avec CB, calculons l’effet de CB : on remarque alors que a1=a’1+a’23 a1 obtenu avec le plan fractionnaire n’est pas un effet pur, d’où : Exp I A B C AB AC BC ABC Yexp 1 +1 -1 z1 2 y2 3 y3 4 z4 5 y1 6 z6 7 z7 8 y4 effets a'0 a'1 a'2 a'3 a'12 a'13 a'23 a'123 A = CB  a1 = a'1+a'23 B = CA  a2 = a'2 + a'13 C = AB  a3 = a'3 + a'12 65

66 Ainsi I = DABC est le générateur d’aliases
Plans fractionnaires 24-1 Utilisation de la matrice d’un plan 23 pour étudier l'influence de 4 facteurs sur la pureté d'un précipité ?? Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Les variables retenues sont : Variables Niveau –1 Niveau +1 A : quantité de base utilisé normale en excès B : vitesse d'addition de la base lente rapide C : température de la filtration à chaud à froid D : lavage du précipité normal prolongé Les trois premières variables (ABC) seront placées dans la trois premières colonnes de la matrice du plan 23. La quatrième variable D, sera mise à la place d’une des interactions. Elle sera dite aliasée avec l'interaction d'ordre la plus élevé du plan 23, c'est à dire l'interaction ABC. L’aliase est D=ABC Moy A B C ABC AB AC BC Y D Ainsi I = DABC est le générateur d’aliases 66

67 I = DABC est un générateur d’aliases
Plans fractionnaires 24-1 Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe I = DABC est un générateur d’aliases  Moy A B C ABC AB AC BC Y DBC DAC DAB D DC DB AD Si, comme il est d'usage, on néglige les interactions d'ordre 3, on obtient les effets principaux. 67

68 Plans fractionnaires 24-1
Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe La matrice des effets et des réponses est la suivante : Moy A B C ABC AB AC BC Y DBC DAC DAB D DC DB AD +1 -1 3, 1 4, 1 2, 2 1, 3 4, 0 -0, 1 0, 6 a0 aA aB aC aD aab-dc aac-db abc-ad 2,41 0,11 -1,41 -0,26 0,31 -0,16 0,09 -0,49 En négligeant les interactions d'ordre 3, on obtient les effets principaux : A  0,11 B  -1,41 C  -0,26 D  0,31 68

69 Plans fractionnaires 24-1
Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Soit la valeur de l’écart type expérimental telle que : L’écart type de l’estimateur d’un coefficient est : Un coefficient sera significatif au risque a=5% ssi : > ttable(n-p+1, a) × si Ici nous obtenons : et donc, Moy A B C ABC AB AC BC DBC DAC DAB D DC DB AD 2,41 0,11 -1,41 -0,26 0,31 -0,16 0,09 -0,49 Seuls les effets de la variable B et de l’aliase (BC,AD) sont significatifs. La question qui se pose est : Laquelle de ces 2 interactions est la plus plausible ? 69

70 Plans fractionnaires 24-1
Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Étude de l’interaction BC B = -1 B = +1 C = -1 P = (3,1 + 4,1) / 2 = 3,6 P = (2,2 + 1,3) / 2 = 1,7 C = +1 P = (4 + 4,1) / 2 = 4,05 P = (0,6 - 0,1) / 2 = 0,35 Étude de l’interaction AD A = -1 A = +1 D = -1 P = (3,1 - 0,1) / 2 = 1,5 P = (1,3 + 4,1) / 2 = 2,7 D = +1 P = (2,2 + 4) / 2 = 3,1 P = (4,1 + 0,6) / 2 = 2,35 A=+1 B=-1 A=-1 1,95 1,8 B=+1 70 -1 +1 -1 +1

71 Calculer tous les effets : facteurs principaux et interactions
Exercice Introduction . Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe Étude de la planéité de panneaux de structure fabriqués à l'aide d'un processus de moulage par injection. facteurs Niveau bas : -1 Niveau haut : +1 A : température de fusion 260 °C °C B : température du moule 26.67 °C 60°C C : temps de cuisson 150 s 200 s D : vitesse d'injection 1 s 2.25 s N° des essais 1 2 3 4 5 6 7 8 Planéité 1,37 1,4 1,17 1,27 1,14 0,76 0,61 Construire la matrice d'expériences correspondant à ce plan fractionnaire Calculer tous les effets : facteurs principaux et interactions Déterminer le paramètres influents avec un risque de 5% et Construire le modèle mathématique associé Vérifier la linéarité du modèle 71

72 Exercice Introduction Concepts Plan 2k Statistique Plan Frac. 1,11125
. Exemple Concepts Plan 2k . Concepts . Effets . Interaction . Yates Statistique . Rappels . Tests effets . Variance Plan Frac. . Principe I A B C ABC AB AC BC Y ABCD BCD ACD ABD D DC BD AD 1 -1 1,37 2 1,4 3 1,17 4 1,27 5 6 1,14 7 0,76 8 0,61 1,11125 -0,00625 -0,15875 -0,19125 -0,02375 -0,03875 -0,07625 72

73 FIN 73