Modèles statistiques en sciences humaines et sociales

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1 Modèles statistiques en sciences humaines et sociales

2 Plan de l’exposé 1-Introduction sur les modèles statistiques.
2-Régressions linéaires simples ou bi variés. 3-Régressions linéaires multiples. 4-Régressions non linéaires. Plan de l’exposé

3 1-INTRODUCTION

4 Les grands domaines des statistiques
Statistique descriptive: Tableaux, graphiques, indicateurs mathématiques,… (AMETICE-TCPRUE11) Statistique confirmatoire: évalue la probabilité pour qu’un résultat empirique obtenu soit du au hasard (Student, Khi2, tests de corrélation, ANOVA,…) (AMETICE-TCPRUE21) Statistique exploratoire: Analyse Composante Principales, Analyse Factorielle des Correspondances,… Modélisation Statistique: objet de la présentation… Les grands domaines des statistiques

5 C’est quoi un modèle Statistique?
On étudie un phénomène dont on suppose qu’il dépend de n variables. On cherche à exprimer une variable Y (variable expliquée) en fonction des n-1 autres variables Xi (variables explicatives). On part des données empiriques prélevées sur un échantillon pour établir cette relation. On établit les lois qui permettent d’étendre le résultat à toute la population. C’est quoi un modèle Statistique?

6 Modèles en sciences exactes
Modèles en sciences exactes

7 Modèles en sciences humaines et sociales
Modèles en sciences humaines et sociales

8 Modèles en sciences humaines et sociales
Modèles en sciences humaines et sociales

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10 REMARQUE: Variables « fortes » variables « faibles »
Quand on veut « modéliser » un phénomène en SHS il faut commencer par « retenir » les variables qui agissent sur le phénomène. On dira qu’il y a des variables « fortes » qui doivent obligatoirement être prises en compte dans le modèle et des variables « faibles » souvent non identifiées qui agiront à travers le terme aléatoire. REMARQUE: Variables « fortes » variables « faibles »

11 Le nuage de points empirique 2D
Par exemple une expérimentation conduit à des prélèvements 2D (xi, yi) auprès de n individus. A chaque individu est associé en point (xi, yi) dans le plan. On obtient un nuage de points. Si ce nuage s’organise autour d’une courbe… Le nuage de points empirique 2D

12 Nuage de point-Courbe de régression
… vouloir modéliser le phénomène consiste d’abord à déterminer l’équation de la courbe qui représente « au mieux » le nuage de points empiriques. Cette courbe est une « courbe  moyenne » qui reflète en moyenne le lien entre les deux variables pour les points de l’échantillon. Il arrive que le nuage de point soit très dispersé. Dans ce cas il n’y a pas de courbe moyenne représentative et donc pas de lien entre les variables étudiées. Nuage de point-Courbe de régression

13 Un exemple

14 Régressions multiples
Régressions multiples

15 Régression Linéaire

16 Plan de l’exposé 1-Introduction sur les modèles statistiques.
2-Régressions linéaires simples ou bi variés. 3-Régressions linéaires multiples. 4-Régressions non linéaires. Plan de l’exposé

17 2- REGRESSION LINEAIRE SIMPLE:
2-1 Problème posé dans un échantillon: 2-1-1 Estimation des paramètres de la droite de régression. 2-1-2 Qualité de la représentation. 2-2 Inférence de la régression d’échantillon sur l’ensemble de la population. Plan de la partie 2.

18 Prélèvement et nuage de point
Prélèvement et nuage de point

19 Principe: Méthode MCO

20 Expression des estimateurs
Expression des estimateurs

21 On cherche la relation qui existe, dans une région donnée, entre le prix des terrains (PRIX=Y) et la superficie des terrains (SUPERF=X) Exemple: fil rouge…

22 Exemple: Fil rouge

23 Les points du nuages ne sont généralement pas sur la droite
Les points du nuages ne sont généralement pas sur la droite. On définit le résidu empirique. Résidus empiriques ei

24 Les résidus

25 Somme des carrés des résidus
Somme des carrés des résidus

26 2- REGRESSION LINEAIRE SIMPLE:
2-1 Problème posé dans un échantillon: 2-1-1 Estimation des paramètres de la droite de régression. 2-1-2 Qualité de la représentation. 2-2 Inférence de la régression d’échantillon sur l’ensemble de la population. Plan de la partie 2.

27 Qualité de la représentation
Quel que soit le nuage de point les MCO donnent toujours une solution. - Il faut un ou des indicateurs de qualité de la représentation… Qualité de la représentation

28 Qualité de la représentation
Pour s’assurer de la qualité de la représentation il faut répondre à deux questions: Le lien entre les variables est il « avéré »? En d’autres termes: la relation existe-t-elle vraiment? Quel est le pourcentage d’explication de l’action de la variable explicative sur l’évolution de la variable expliquée? Qualité de la représentation

29 Le lien entre les variable est il avéré.
Remarque préalable: Une droite horizontale exprime l’absence totale de lien entre les deux variables prises en compte. Y Y=0X+b X Quelque soit X, Y ne change pas Le lien entre les variable est il avéré.

30 Le lien entre les variable est il avéré?
Le lien entre les variable est il avéré?

31 Le lien entre les variable est il avéré?
Le lien entre les variable est il avéré?

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33 Explicativité du modèle- Coefficient de détermination
Explicativité du modèle- Coefficient de détermination

34 Explicativité du modèle- Coefficient de détermination
Explicativité du modèle- Coefficient de détermination

35 Remarque à partir de l’analyse de la variance.
Remarque à partir de l’analyse de la variance.

36 La superficie explique 73,53% de la variance du prix des terrains dans la région étudiée…Plus du quart du prix s’explique autrement. (Calcul EXCEL) Exemple: Fil rouge

37 Que faut il maitriser pour en arriver la?
Représentation plane d’un nuage de points et équation d’une droite dans un plan. Notion de moyenne, variance, covariance et corrélation pour les données expérimentales prélevées sur un échantillon. Utilisation d’EXCEL… C’est le contenu de l’UE11 du M1 recherche Que faut il maitriser pour en arriver la?

38 Plan de la partie 2. 2- REGRESSION LINEAIRE SIMPLE:
2-1 Problème posé dans un échantillon aléatoire. 2-2 Inférence de la régression d’échantillon sur l’ensemble de la population. 2-1 Position du problème- échantillonnage aléatoire. 2-2 Estimation des paramètres de régression pour la population. 2-3 Intervalle de confiance. Plan de la partie 2.

39 Position du problème (1)
Nous avons travaillé sur un échantillon pris au hasard. Si l’on avait choisit un autre échantillon les paramètres obtenus (a, b, SCR) auraient été différents. On doit admettre que le «l’échantillonnage» a influencé le résultat. On doit introduire la notion de « statistique d’échantillonnage » due au hasard de l’échantillonnage. Position du problème (1)

40 Statistique d’échantillonnage.
Statistique d’échantillonnage.

41 Plan de la partie 2. 2- REGRESSION LINEAIRE SIMPLE:
2-1 Problème posé dans un échantillon aléatoire 2-2 Inférence de la régression d’échantillon sur l’ensemble de la population. 2-1 Position du problème- échantillonnage aléatoire. 2-2 Estimation des paramètres de régression pour la population. 2-3 Intervalle de confiance. Plan de la partie 2.

42 ON A a, b ,SCR dans l’échantillon…on met quoi si l’on veut étendre à toute la population….
Quel est le prix à payer

43 Régression dans la population
Régression dans la population

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45 Estimation sans biais…biaisée
Valeurs de Y pour un x donné pour des échantillons différents Si l’estimation est sans biais la valeur tourne autour de la valeur cible Si l’estimation est biaisée la valeur tourne autour d’une autre valeur x x x x x x x x x x x x x Estimation sans biais…biaisée

46 Hypothèses sur la distribution des erreurs aléatoires
Hypothèses sur la distribution des erreurs aléatoires

47 H1: Les distributions sont centrées
Conséquences des hypothèses H1, H2, H3 H1: Les distributions sont centrées H2: Les distribution ont même variance H3: Les distributions sont indépendantes

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49 Des compléments de calcul
Des compléments de calcul

50 Plan de la partie 2. 2- REGRESSION LINEAIRE SIMPLE:
2-1 Problème posé dans un échantillon aléatoire 2-2 Inférence de la régression d’échantillon sur l’ensemble de la population. 2-1 Position du problème- échantillonnage aléatoire. 2-2 Estimation des paramètres de régression pour la population. 2-3 Intervalle de confiance. Plan de la partie 2.

51 Position du problème:

52 T de Student…

53 T de Student tend vers la LNCR

54 T Student

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56 Intervalle de confiance de la droite de régression
Intervalle de confiance de la droite de régression

57 Intervalle de confiance de la droite de régression de la population

58 Hyperboles de confiances

59 Exemple: fil rouge

60 Plan de l’exposé 1-Introduction sur les modèles statistiques.
2-Régressions linéaires simples ou bi variés. 3-Régressions linéaires multiples. 4-Régressions non linéaires. Plan de l’exposé

61 3-Régressions linéaires multiples:
3-1 Régression linéaire 3-D 3-2 régression Linéaire Multi-D 3-3 Une ou plusieurs variables explicatives sont qualitatives Plan de la partie 3

62 Dans cette partie nous nous limitons à une présentation générale du cas 3-D. Suffisante toutefois pour apprécier les différences de fond avec le cas 2- D. Pour le reste les grandes lignes restent les mêmes que dans le cas 2-D avec toutefois des difficultés supplémentaires dues à une plus grande complexité du formalisme calculatoire. On cherche une relation du type: z= a x + b y +c z (variable expliquée), x et y (variables explicatives) Position du problème

63 Z=a x + b y + c x di zi x Mi yi xi Un point du nuage en 3-D

64 Principe du calcul des paramètres
Principe du calcul des paramètres

65 Calcul des paramètres

66 Analyse théorique de la variance
Analyse théorique de la variance

67 Qualité de la représentation Coefficient de détermination
Qualité de la représentation Coefficient de détermination

68 Exemple 3D Math=1,1999xPhys-0,1837xFrancais- 0,2408 R2= 0,99627 élèves
z:Math x:Phys y:Francais z=ax+by+c 1 6 5 2 8 cov(x,y)= 4, 3 7 11 cov(x,z)= 9, 4 14,5 14,4 15,5 cov(y,z)= 2, 14 12 10 5,5 a= 1, 13 12,5 8,5 b= -0, 9 9,5 c= -0, moyenne 9, 9, 10, variance 11, 8, 12, Math=1,1999xPhys-0,1837xFrancais- 0,2408 R2= 0,99627 R2 corrigé= 0, Exemple 3D

69 R2 cumulé= 1,0174 élèves z:Math x:Phys y:Francais 1 6 5 2 8 3 7 11 4
14,5 14,4 15,5 14 12 10 5,5 13 12,5 8,5 9 9,5 moyenne 9, 9, 10, variance 11, 8, 12, R2 cumulé= 1,0174

70 3-Régressions linéaires multiples:
3-1 Régression linéaire 3-D 3-2 régression Linéaire Multi-D 3-3 Une ou plusieurs variables explicatives sont qualitatives Plan de la partie 3

71 Régression Multi-D

72 Régression multi-D

73 Détermination des paramètres de la régression
Détermination des paramètres de la régression

74 Formalisme matriciel

75 La qualité de la représentation s’apprécie de la même façon avec le coefficient de détermination ou avec sa version corrigée. L’inférence s’effectue de la même façon… Mais la complexité et la lourdeur des calculs impose l’utilisation de logiciels spécialisés…pas toujours évidents à manipuler car les démos son peu claires….

76 3-Régressions linéaires multiples:
3-1 Régression linéaire 3-D 3-2 régression Linéaire Multi-D 3-3 Une ou plusieurs variables explicatives sont qualitatives 3-3-1 Cas de variables dichotomiques 3-3-2 Cas de variables Polytomiques Plan de la partie 3

77 Cas 2-D variable explicative quantitative.
Cas 2-D variable explicative quantitative.

78 Cas 3-D une variable explicative est qualitative dichotomique
Cas 3-D une variable explicative est qualitative dichotomique

79 Jugement SCORE

80 Cas 4-D deux variables qualitatives dichotomiques
Cas 4-D deux variables qualitatives dichotomiques

81 Cas 4-D deux variables qualitatives dichotomiques-Pouvoir explicatif
Débat sur pouvoir explicatif…pp123 Cas 4-D deux variables qualitatives dichotomiques-Pouvoir explicatif

82 3-Régressions linéaires multiples:
3-1 Régression linéaire 3-D 3-2 régression Linéaire Multi-D 3-3 Une ou plusieurs variables explicatives sont qualitatives 3-3-1 Cas de variables dichotomiques 3-3-2 Cas de variables Poly-tomiques Plan de la partie 3

83 Variables polytomiques
Dans le cadre de la même étude sur le jugement (J) porté par les enseignants sur les élèves les premières variables prises en compte étaient: le score (S), le retard scolaire (R). On prend à présent en compte l’origine sociale au travers de la CSP du père qui comprend 6 modalités. ARTI, INTER, EMPL, OUVR, AUTR, CADRE/PROF LIB Variables polytomiques

84 (6-1) Variables muettes ARTI INTER EMPL OUVR AUTR 6 Modalités Art/commerçant 1 Intermédiaire Employé Ouvrier Autre Cadre sup/prof lib On définit (6-1)=5 variables muettes la 6ieme modalité sert de « référence »

85 Variables polytomiques
On doit procéder de la sorte car sinon les 6 variables muettes sont dépendantes linéairement et cela n’est pas toléré par le modèle. La 6ième modalité intervient indirectement par le fait que les réponses aux 5 premières variables muettes dépendent des réponses à la sixième modalité: « imaginer le cas limite où tous les pères sont cadre ou profession libérale » Variables polytomiques

86 On obtient 6 plans parallèles un par CSP
On obtient 6 plans parallèles un par CSP

87 On obtient 6 plans // un par CSP
On obtient 6 plans // un par CSP

88 Plan de l’exposé 1-Introduction sur les modèles statistiques.
2-Régressions linéaires simples ou bi variés. 3-Régressions linéaires multiples. 4-Régressions non linéaires. Plan de l’exposé

89 Plan de la partie 4 4-Régressions non linéaires.
4-1 Par changement de variable 4-2 Moindres carrés pour dépendance polynomiale 4-3 Traitement par morceaux linéaires. 4-3 Notion d’interaction-Variable modératrices Plan de la partie 4

90 Changement de variables
Changement de variables

91 Plan de la partie 4 4-Régressions non linéaires.
4-1 Par changement de variable 4-2 Moindres carrés pour dépendance polynomiale 4-3 Traitement par morceaux linéaires. 4-4 Notion d’interaction-Variable modératrices Plan de la partie 4

92 Dépendance polynomiale bivariée
Dépendance polynomiale bivariée

93 Plan de la partie 4 4-Régressions non linéaires.
4-1 Par changement de variable 4-2 Moindres carrés pour dépendance polynomiale 4-3 Traitement par morceaux linéaires. 4-4 Notion d’interaction-Variable modératrices Plan de la partie 4

94 Interaction /Variables modératrices
Il y a « interaction » quand l’effet d’une variable sur une autre est sous l’influence d’une 3ième variable. X1 X2 Y Interaction /Variables modératrices

95 Interaction /Variables modératrices
Interaction /Variables modératrices