Jeux sous forme extensive

Jeux sous forme extensive

Objectif Modéliser des interactions où la structure temporelle et l’information dont disposent les joueurs paraissent importants. Structure temporelle: caractère séquentiel des décisions Information: Ce que le joueur sait lorsqu’il doit décider

Illustration guerre (-25,75) FT entre paix DT (50,150) n’entre pas
(0,300)

Le caractère séquentiel des décisions est-il important ?
Pas autant qu’on pourrait le croire On peut représenter l’interaction sous-jacente à cet exemple dans un jeu sous forme normale On doit pour se faire réinterpréter quelque peu la notion de stratégie Une stratégie devient un plan d’actions contingents à l’atteinte d’un nœud de décision (ex: la stratégie « guerre » de FT n’a de prise sur le réel que si DT décide d’entrer)

Menace à l’entrée sous forme normale
FT paix guerre (-25,75) (50, 150) (0,300) Entre DT n’entre pas

Un autre exemple séquentiel (Kreps)
Deux fabricants de jouets A et B envisagent de lancer un jeu différent avant noël. Si A lance son jeu, il doit dépenser (coûts fixes) euros en conception, commercialisation, et production. Le coût correspondant pour B est de euros. Le marché du jouet est incertain. Avec probabilité 2/5, il sera bon (ventes totales de unités). Avec probabilité 3/5, il sera mauvais (ventes de 6000 unités).

Un autre exemple séquentiel (Kreps)
Si les 2 firmes lancent le jouet, le prix d’équilibre est de 10 euros. Si une seule des deux firmes lance le jeu, le prix d’équilibre est de 12 euros Si les 2 firmes sont présentes, elles se partagent le marché moitié moitié! Coût marginal de 5 euros pour firme A et 3 euros pour firme B (en + des coûts fixes) La firme B a un avantage: Elle a fait une étude de marché qui lui permet de connaître avant de lancer son jeu l’état du marché (bon ou mauvais).

Forme extensive (0,120) (10,10) in B B in (100,0) (0,0) good out out
0,4 0,4 out in nature nature A bad bad in 0,6 0,6 (0,-6) in (-25,-39) (0,0) B B (2,0) out out

L’aspect séquentiel: fondamental ?
B in,in in, out out,out out,in -11; -19,4 5,2; 4 35;-23,4 41,2;0 0;44,4 0;48 0;-3,6 0,0 in A out

B in,in in, out out,out out,in -11; -19,4 5,2; 4 25;-23,4 41,2;0 0;44,4 0;48 0;-3,6 0,0 in A out =0,4x10+0,6x(-25)

Un autre exemple: Information imparfaite
Sylvester aime se battre contre des mauviettes, mais ne sais pas distinguer une mauviette d’un homme viril avant d’engager le combat (en moyenne 2/3 des hommes sont mes mauviettes, 1/3 sont virils) Sylvester est devant un café et envisage de taper sur la première personne qu’il pense être une mauviette. Tartarin est dans le café et sait qu’il va passer sur le chemin de Sylvester; Tartarin n’aime pas se battre (qu’il soit ou non une mauviette) Sylvester peut observer la consommation de Tartarin Il sait que les mauviettes préfèrent le lait grenadine alors que les hommes virils préfèrent la bière

Forme extensive combat combat (1,-1) (-1,1) Sylvester (2,0) (3,0) paix
fort (1/3) faible (2/3) bière bière Tartarin Tartarin Nature lait lait combat (0,-1) combat (0,1) (2,0) Sylvester (3,0) paix paix

Forme normale: S C,C C,P P,P P,C -1/3, 1/3 -1/3,1/3 7/3,0 -2/3,1/3
0,1/3 4/3,-1/3 2,0 1/3,1/3 7/3,-1/3 1,2/3 3,0 8/3,0 bière, bière lait, bière bière, lait lait, lait

Forme normale: S C,C 2/3 C,P P,P P,C 1/3 -1/3, 1/3 -1/3,1/3 7/3,0
-2/3,1/3 0,1/3 4/3,-1/3 2,0 1/3,1/3 7/3,-1/3 1,2/3 3,0 8/3,0 bière, bière lait, bière bière, lait lait, lait

Forme normale: S C,C 2/3 C,P P,P P,C 1/3 bière, bière 1/2 -1/3, 1/3
-1/3,1/3 7/3,0 -2/3,1/3 0,1/3 4/3,-1/3 2,0 1/3,1/3 7/3,-1/3 1,2/3 3,0 8/3,0 lait, bière bière, lait 1/2 lait, lait

Forme normale ou forme extensive ?
On peut toujours décrire sous forme normale un jeu initialement décrit sous sa forme extensive. La réciproque est également valable: On peut représenter sous forme extensive un jeu initialement décrit sous forme normale. Il existe en fait plusieurs représentations sous forme extensive différentes d’un jeu sous forme normale. La forme extensive fournit donc plus de détails sur l’interaction que la forme normale. Une seule forme normale est associée à une forme extensive mais plusieurs formes extensives différentes peuvent être associées à une même forme normale

Plusieurs formes extensives pour une même forme normale ?
Kimura nord sud (2,-2) (1,-1) (3,-3) Kenney

forme extensive 1: Kimura Kenney nord 2,-2 nord sud 2,-2 nord 1,-1 sud
3,-3 sud

forme extensive 2: Kenney Kimura nord -2,2 nord sud -1,1 nord -2,2 sud
-3,3 sud

G = (N, T,  , i (.), A(.), α(.), I, U(.), ) N = {1,…,n} ensemble des joueurs (le nème joueur étant interprété comme étant « la nature » (n > 2)) T = ensemble des nœuds de décision (supposé fini)  est une relation d’arborescence reliant les nœuds entre eux en terme de « postériorité » : t  t’ signifie que le nœud t vient après le nœud t’

Propriétés de la relation d’arborescence
La relation stricte  est supposée transitive, asymétrique et telle que si t’’  t et t’’  t’, alors t  t’ ou t’  t

La relation stricte  est supposée transitive, asymétrique et telle que si t’’  t et t’’  t’, alors t  t’ ou t’  t Ceci n’est pas autorisé: t’ t’’ t

La relation stricte  est supposée transitive, asymétrique et telle que si t’’  t et t’’  t’, alors t  t’ ou t’  t Ceci non plus: t’ t t’’

Proposition: Si  satisfait ces propriétés et si t est un nœud dans T tel que {t’  T: t  t’} n’est pas vide, alors: #{t’  T: t  t’ et  t’’ t. q. t  t’’  t’} = 1 « Un nœud qui n’est pas initial n’a qu’un seul prédécesseur immédiat » Cette proposition nous permet de « remonter le long de l’arbre des branches à la racine »

W  T : L’ensemble des nœuds initiaux (sans prédécesseurs) Z  T : L’ensemble des nœuds finaux (sans successeurs) X = T\Z L’ensemble des nœuds qui ne sont pas finaux s(t) = {t’T:t’  t et t  t’’  t’’ tel que t’  t’’} (successeurs immédiats de t) p(t) = {t’T:t  t’ et t’’  t  t’’ tel que t’’  t’} (prédécesseurs immédiats de t) (singleton)

i: X  N, une fonction qui associe à chaque nœud non terminal l’identité du joueur (qui peut être la nature) appelé à jouer à ce nœud. A: X  C, une correspondance qui associe à chaque nœud non terminal un ensemble d’actions pouvant être adoptées à ce nœud Pour tout t  X, α: s(t)  A(t) (fonction biunivoque, qui associe à chaque successeur immédiat de t l’unique action qui y mène)

I: Une partition de T en ensembles d’information N’importe quels nœuds t et t’ appartenant au même ensemble d’information satisfont les deux propriétés suivantes: (a) i(t) = i(t’) (b) A(t) = A(t’) h(t): l’ensemble d’information du nœud t

U: N\{n}Z  fonction de paiement qui associe à chaque joueur (la nature mise à part) et à chaque nœud terminal un paiement numérique : une fonction qui associe à chaque nœud initial et à chaque nœud où la nature est amenée à jouer une probabilité.

Forme extensive et temporalité
Les ensembles d’information ne sont pas nécessairement ordonnés par la relation de « postériorité »

Forme extensive et temporalité
Les ensembles d’information ne sont pas nécessairement ordonnés par la relation de « postériorité » S’ 1/2 S’’ G’ G’ 2 S G’’ 3 G’’ S’ 1 G G S’’ 1/2 S

Forme extensive et mémoire
Le formalisme des formes extensives est a priori compatible avec de l’oubli de la part des joueurs Voici différents types d’oubli

Oubli immédiat d’action passée

Oubli non-immédiat d’action passée
1 g d 2 G D G D 1

Oubli non-immédiat d’action passée
1 g d 2 G D G D 1 Le joueur 1 a oublié qu’il a joué g!!

Oubli d’information passée
g 1 1 b b 2 G D G D 1

Oubli d’information passée
g 1 1 b b 2 G D G D 1 1 a oublié ce qu’il savait avant!!!

Hypothèse de mémoire parfaite
On exclut les trois types d’oublis précédents.

Equilibre-parfait en sous-jeu
Le concept clé d’équilibre pour les jeux sous forme extensive est le concept d’équilibre parfait en sous-jeu (subgame perfect equilibrium) Ce concept est du à Reinhart Selten (prix Nobel) s’applique surtout à des jeux à information complète ( les ensembles d’informations sont tous des singletons). Notion clé: sous jeu

Sous-jeu (définition)
Un sous-jeu d’une forme extensive est un nœud t et tous ses successeurs S(t) qui satisfont la propriété que h(t) = {t} et, pour tout t’ dans S(t), h(t’)  S(t)

Sous-jeux (exemple 1)

Sous-jeux (exemple 1) guerre (-25,75) FT entre paix DT (50,150)
n’entre pas (0,300)

Sous-jeux (exemple 1) guerre (-25,75) FT paix (50,150)

Sous-jeux (exemple 1) guerre (-25,75) FT paix (50,150) sous-jeu 1

n’entre pas (0,300) sous-jeu 1

n’entre pas (0,300) sous-jeu 1 sous-jeu 2

Sous-jeux (exemple 2) Un pirate de l’air rationnel veut détourner un avion à destination de Marseille sur Tripoli en menaçant de le faire exploser La menace n’est pas crédible au sens où le pirate n’a pas intérêt à mettre sa menace à exécution

Sous-jeux (exemple 2) rien (1,0) pirate Marseille (-1,-1) explose
pilote pirate rien (0,1) Tripoli explose (-1,-1)

Sous-jeux (exemple 2) sous-jeu 1 rien (1,0) pirate Marseille (-1,-1)
explose pilote pirate rien (0,1) Tripoli explose (-1,1)

Sous-jeux (exemple 2) sous-jeu 1 rien (1,0) pirate Marseille (-1,-1)
explose pilote pirate rien (0,1) Tripoli explose (-1,-1) sous jeu 2

Attention pas de sous jeu ici:

Attention: pas de sous-jeu ici:
combat combat (1,-1) (-1,1) Sylvester (2,0) (3,0) paix paix fort (1/3) faible (2/3) bière bière Tartarin Tartarin Nature lait lait combat (0,-1) combat (0,1) (2,0) Sylvester (3,0) paix paix

Equilibre-parfait en sous-jeux
Une combinaison de stratégies behaviorales est un équilibre (de Nash) parfait en sous-jeu si les stratégies sont des équilibres de Nash dans tous les sous-jeux du jeu

Equilibre parfait en sous-jeux (exemple 1)

guerre (-25,75) FT entre DT paix (50,150) n’entre pas (0,300)

guerre (-25,75) FT entre DT paix (50,150) n’entre pas (0,300) Deux équilibres de Nash de ce jeu:

guerre (-25,75) FT entre DT paix (50,150) n’entre pas (0,300) Deux équilibres de Nash de ce jeu: (1) n’entre pas, guerre

guerre (-25,75) FT entre DT paix (50,150) n’entre pas (0,300) Deux équilibres de Nash de ce jeu: (1) n’entre pas, guerre (2) entre, paix

guerre (-25,75) FT entre DT paix (50,150) n’entre pas (0,300) Deux équilibres de Nash de ce jeu: (2) entre, paix

guerre (-25,75) FT entre DT paix (50,150) n’entre pas (0,300) Deux équilibres de Nash de ce jeu: Seul celui-ci est parfait en sous jeu (2) entre, paix

rien (1,0) pirate Marseille (-1,-1) explose pilote pirate rien (0,1) Tripoli explose (-1,-1)

Nash 1: le pilote va à Tripoli, le pirate fait exploser l’avion à Marseille mais pas à Tripoli rien (1,0) pirate Marseille (-1,-1) explose pilote pirate rien (0,1) Tripoli explose (-1,-1)

Nash 2: le pilote va à Marseille, le pirate ne fait jamais exploser l’avion rien (1,0) pirate Marseille (-1,-1) explose pilote pirate rien (0,1) Tripoli explose (-1,-1)

Remarque sur la perfection en sous-jeu
Ce concept de solution coincide avec l’élimination itérative des stratégies faiblement dominées lorsque le jeu en forme extensive est représenté en forme normale Nous l’avons vu avec FT et DT Regardons le avec l’exemple du pirate de l’air

Forme normale du jeu du pirate de l’air
EE ER RE RR -1, -1 -1,-1 1,0 0,1 Marseille pilote Tripoli

Autres solutions pour des jeux sous forme extensive
La notion de perfection en sous-jeu s’applique principalement à des situations de jeux à information parfaite (ensembles d’information sont des singletons) Considérons les jeux suivants

Exemple 1 2 1 A a (3,3,0) D d 3 L R R L (4,4,4) (1,1,1) (5,5,0)
(2,2,2)

Un équilibre de Nash: D, a, L
Exemple 1 2 1 A a (3,3,0) D d 3 L R R L (4,4,4) (1,1,1) (5,5,0) (2,2,2) Un équilibre de Nash: D, a, L

Un équilibre de Nash: D, a, L
Exemple 1 2 1 A a (3,3,0) D d 3 L R R L (4,4,4) (1,1,1) (5,5,0) (2,2,2) Un équilibre de Nash: D, a, L Un autre: A,a,R

(2,2,2) Examinons D, a, L

(2,2,2) Cet équilibre n’est pas très plausible car il exige de 2 le choix, à un nœud non-atteint, de a qui ne serait pas rationnel étant donné le choix de L par 3

(2,2,2) On voudrait un critère qui élimine cet équilibre. La notion de perfection en sous-jeu ne peut être utilisée ici car ce jeu n’a pas de sous-jeu strict

Exemple 2 1 A (2,6) L R 2 l r r l (0,1) (3,2) (-1,3) (1,5)

A,l est un équilibre de Nash
Exemple 2 1 A (2,6) L R 2 l r r l (0,1) (3,2) (-1,3) (1,5) A,l est un équilibre de Nash

Exemple 2 1 A (2,6) L R 2 l r r l (0,1) (3,2) (-1,3) (1,5)
étant donné le choix de l par 2, 1 préfère jouer A et étant donné que 1 joue A, les préférences de 2 sur son choix d’action n’ont aucune importance

Exemple 2 1 A (2,6) L R 2 l r r l (0,1) (3,2) (-1,3) (1,5)
Comme dans l’exemple précédent, on ne trouve pas très plausible cet équilibre: 2, s’il devait jouer, devrait choisir r et ce, où qu’il soit dans son ensemble d’information !!

Exemple 2 1 A (2,6) L R 2 l r r l (0,1) (3,2) (-1,3) (1,5)
Mais si 2 joue r, 1 devrait jouer L, ce qui nous donne un nouvel équilibre de Nash: L,r

Intuition derrière ces exemples
Même idée que pour la perfection en sous-jeu: on se méfie des équilibres qui impliquent des comportements irrationels à des ensembles d’information qui ne sont pas atteints Difficulté technique: ces ensembles d’information ne sont pas des singletons Il faut donc formaliser de manière soigneuse les croyances (probabilistes) que peut avoir le joueur d’être aux différents nœuds d’un ensemble d’information

Equilibre séquentiel (Kreps & Wilson (1982))
Vise à traiter de tels exemples Un équilibre séquentiel est constitué, pour chaque joueur i, de deux ingrédients: 1. un profil de stratégies (mixtes) i qui prescrit, à toute action a de A(t) où i(t) = i, la probabilité it(a) qu’a l’action a d’être choisie. 2. un système de croyances probabilistes i qui associe, à chaque ensemble d’information h  I où i joue, une fonction de probabilité sur les nœuds de h. i(h;t): probabilité qu’attribue i d’être au nœud t, étant donné qu’il est dans l’ensemble d’information h.

Croyances probabilistes ?

2 1 A a (3,3,0) D d 3 L R R L (4,4,4) (1,1,1) (5,5,0) (2,2,2)

2 1 A a (3,3,0) D d 3 L R R L (4,4,4) (1,1,1) (5,5,0) (2,2,2) Elles sont triviales pour les joueurs 1 et 2, mais elles doivent être définies pour le joueur 3

2 1 A a (3,3,0) D d 3 L R R L (4,4,4) (1,1,1) (5,5,0) (2,2,2) S’il est amené à jouer, quelle probabilité devrait attribuer 3 au fait d’être à droite ou à gauche ?

Equilibre séquentiel: définition informelle
Un équilibre séquentiel est une combinaison de stratégies mixtes  et de croyances  telle que, à chaque ensemble d’information h du jeu, le joueur qui décide à cet ensemble le fait optimalement étant donné ce qui a été fait jusque là (compte tenu de ses croyances , et étant donné ce qui sera fait jusqu’à la fin du jeu, tel que spécifié par )

Equilibre séquentiel (illustration 1)

2 1 A a (3,3,0) D d 3 L R R L (4,4,4) (1,1,1) (5,5,0) (2,2,2)

2 1 A a (3,3,0) D d 3 L R R L (4,4,4) (1,1,1) (5,5,0) (2,2,2) (D, a, L) n’est pas un équilibre séquentiel

2 1 A a (3,3,0) D d 3 L R R L (4,4,4) (1,1,1) (5,5,0) (2,2,2) En effet, puisque 3 jouera L, 2 ne devrait pas jouer a s’il était amené à jouer, étant données ses croyances (triviales) d’être à l’unique nœud constitutif de son ensemble d’information

2 1 A a (3,3,0) D d 3 L R R L (4,4,4) (1,1,1) (5,5,0) (2,2,2) En revanche, A, a, R est un équilibre séquentiel

2 1 A a (3,3,0) D d 3 L R R L (4,4,4) (1,1,1) (5,5,0) (2,2,2) Si 1 pense que 2 jouera a et que 3 jouera R, il doit choisir A, étant données ses croyances (triviales)

2 1 A a (3,3,0) D d 3 L R R L (4,4,4) (1,1,1) (5,5,0) (2,2,2) Si 2 anticipe que 3 choisira R, il a raison choisir a plutôt que d, étant données ses croyances (triviales) d’être à l’unique nœud de son ensemble d’information

2 1 A a (3,3,0) D d 3 L R R L (4,4,4) (1,1,1) (5,5,0) (2,2,2) Finalement le choix de R par 3 est rationnel pour ce joueur s’il attribue une probabilité 3 au moins aussi grande que 3/5 au fait d’être au nœud de droite de son ensemble d’information

2 1 A a (3,3,0) D d 3 L R R L (4,4,4) (1,1,1) (5,5,0) (2,2,2) En effet, si 3  3/5, 32 + (1- 3)  (1- 3)4 Paiement espéré avec R Paiement espéré avec L

1 A (2,6) L R 2 l r r l (0,1) (3,2) (-1,3) (1,5)

1 A (2,6) L R 2 l r r l (0,1) (3,2) (-1,3) (1,5) L’équilibre de Nash (A,l) n’est pas séquentiel

1 A (2,6) L R 2 l r r l (0,1) (3,2) (-1,3) (1,5) A est une meilleure réponse à une anticipation de l mais, quelles que soient les croyances que 2 peut avoir sur le fait d’être à droite ou à gauche de son ensemble d’information, il n’est pas rationnel pour lui de jouer l

1 A (2,6) L R 2 l r r l (0,1) (3,2) (-1,3) (1,5) En revanche, (L, r) est un équilibre séquentiel car si 2 joue r, 1 a intérêt à jouer L et si 1 joue L, 2 a intérêt à jouer r lorsqu’il assigne une probabilité de 1 au fait d’être au nœud de gauche de son ensemble d’information.

1 A (2,6) L R 2 l r r l (0,1) (3,2) (-1,3) (1,5) Cet exemple suggère que des restrictions doivent être imposées aux croyances . Les seules croyances que 2 peut avoir est qu’il est au nœud de gauche avec probabilité 1

Restrictions sur les croyances probabilistes ?

1 A (2,6) L R 2 l r r l (0,1) (3,2) (-1,3) (1,5)

1 A (2,6) L R 2 l r r l (0,1) (3,2) (-1,3) (1,5) L’ensemble d’information de 2 est atteint avec probabilité nulle à la combinaison de stratégies A,l

Limites de l’équilibre séquentiel
Il restreint très peu les croyances que les joueurs peuvent avoir Considérons les deux exemples suivants

Un équilibre séquentiel pas intuitif
1 A (2,2) L R 2 l r r l (5,1) (0,0) (0,0) (1,3) (A,r) est un équilibre séquentiel

1 A (2,2) L R 2 l r r l (5,1) (0,0) (0,0) (1,3) 1 a intérêt à jouer A si elle croit que 2 jouera r.

1 A (2,2) L R 2 l r r l (5,1) (0,0) (0,0) (1,3) 1 a intérêt à jouer A si elle croit que 2 jouera r. Or 2, s’il croit être au nœud de droite de son ensemble d’information avec une proba supérieure à ¼, a effectivement intérêt à choisir r

1 A (2,2) L R 2 l r r l (5,1) (0,0) (0,0) (1,3) La croyance probabiliste de 2, si elle n’est pas exclue par la notion de cohérence sous-jacente à l’équilibre séquentiel, n’est quand même pas « raisonnable »

1 A (2,2) L R 2 l r r l (5,1) (0,0) (0,0) (1,3) Si 2 se fait donner l’occasion de jouer, il devrait comprendre que cet état de fait résulte d’une décision du joueur 1 de renoncer à un paiement de 2

1 A (2,2) L R 2 l r r l (5,1) (0,0) (0,0) (1,3) A cause de cela, 2 devrait comprendre que si 1 lui a passé la main, ce ne peut être qu’en choisissant L. 2 devrait donc attribuer une probabilité de 1 au nœud de gauche

On peut voir cela très bien avec la forme normale
2,2 5,1 0,0 1,3 A B C

2,2 5,1 0,0 1,3 A Nash (séquentiel) B C

2,2 5,1 0,0 1,3 A Nash (séquentiel) B Nash (séquentiel) C

2,2 5,1 0,0 1,3 A B C

2,2 5,1 0,0 1,3 A B C Strictly dominated

2,2 5,1 0,0 1,3 A B C

2,2 5,1 0,0 1,3 A B Weak domination C

2,2 5,1 0,0 1,3 A B C

Un exemple plus délicat: le jeu de la vérité
face face (3,1) (2,0) 2 (0,1) (1,0) pile pile face 0,8 pile 0,2 face face 1 1 Nature pile pile face (2,1) face (3,0) (0,0) 2 (1,1) pile pile

face face (3,1) (2,0) 2 (0,1) (1,0) pile pile face 0,8 pile 0,2 face face 1 1 Nature pile pile face (2,1) face (3,0) (0,0) 2 (1,1) pile pile un équilibre de Nash

face face (3,1) (2,0) 2 (0,1) (1,0) pile pile face 0,8 pile 0,2 face face 1 1 Nature pile pile face (2,1) face (3,0) (0,0) 2 (1,1) pile pile 1 annonce pile indépendamment du résultat du jet et 2 annonce face si 1 annonce pile et pile si 1 annonce face

face face (3,1) (2,0) 2 (0,1) (1,0) pile pile face 0,8 pile 0,2 face face 1 1 Nature pile pile face (2,1) face (3,0) (0,0) 2 (1,1) pile pile 1 annonce « pile » indépendamment du résultat du jet et 2 annonce « face » si 1 annonce « pile » et « pile » si 1 annonce « face »

face face (3,1) (2,0) 2 (0,1) (1,0) pile pile face 0,8 pile 0,2 face face 1 1 Nature pile pile face (2,1) face (3,0) (0,0) 2 (1,1) pile pile Cette combinaison de stratégies est évidemment un équilibre de Nash (si 1 croit que 2 va dire le contraire de ce qu’elle annonce, elle a intérêt à dire « pile » indépendamment du jet de la pièce)

face face (3,1) (2,0) 2 (0,1) (1,0) pile pile face 0,8 pile 0,2 face face 1 1 Nature pile pile face (2,1) face (3,0) (0,0) 2 (1,1) pile pile Si 1 dit « pile » indépendamment du résultat du jet, 2 a intérêt à dire « face » s’il entend pile car son paiement moyen est plus grand que celui qu’il obtiendrait en disant « pile ». Ce qu’il prévoit de faire s’il entend « face » est sans importance car cette éventualité ne se produit pas

face face (3,1) (2,0) 2 (0,1) (1,0) pile pile face 0,8 pile 0,2 face face 1 1 Nature pile pile face (2,1) face (3,0) (0,0) 2 (1,1) pile pile Evidemment, il faut se demander si le comportement de 2 à l’ensemble d’information non atteint peut être rationalisé par certaines croyances probabilistes.

face face (3,1) (2,0) 2 (0,1) (1,0) pile pile face 0,8 pile 0,2 face face 1 1 Nature pile pile face (2,1) face (3,0) (0,0) 2 (1,1) pile pile C’est le cas! Déclarer « pile » après avoir entendu « face » est rationnel pour 2 si celui-ci croit qu’il y a au moins 1 chance sur 2 que la pièce soit tombée sur « pile »

face face (3,1) (2,0) 2 (0,1) (1,0) pile pile face 0,8 pile 0,2 face face 1 1 Nature pile pile face (2,1) face (3,0) (0,0) 2 (1,1) pile pile Question: une telle croyance probabiliste est-elle rationnelle ?

face face (3,1) (2,0) 2 (0,1) (1,0) pile pile face 0,8 pile 0,2 face face 1 1 Nature pile pile face (2,1) face (3,0) (0,0) 2 (1,1) pile pile Réponse: Non! 1 a tout intérêt à dire « face » s’il voit « face » et « pile » s’il voit « pile » (il reçoit un bonus pour dire la vérité)

face face (3,1) (2,0) 2 (0,1) (1,0) pile pile face 0,8 pile 0,2 face face 1 1 Nature pile pile face (2,1) face (3,0) (0,0) 2 (1,1) pile pile Donc, si 2 entend 1 lui dire « face », il doit conclure qu’il y a au moins 8 chances sur 10 que la pièce soit tombée sur « face », dans lequel cas, il devrait plutôt répondre « face »

face face (3,1) (2,0) 2 (0,1) (1,0) pile pile face 0,8 pile 0,2 face face 1 1 Nature pile pile face (2,1) face (3,0) (0,0) 2 (1,1) pile pile Autre équilibre séquentiel: 1 annonce « face » indépendamment du résultat du jet et 2 dit la vérité

On voit, ici aussi, cela avec la forme normale

PP FF FP PF 14/5,4/5 4/5,1/5 3,4/5 13/5,1 7/5,0 1,0 2,4/5 2/5,0 8/5,1 0,1/5 11/5,4/5 1/5,1/5 FF FP PF PP

FP PP FF PF 14/5,4/5 4/5,1/5 3,4/5 13/5,1 7/5,0 1,0 2,4/5 2/5,0 8/5,1 0,1/5 11/5,4/5 1/5,1/5 FF FP PF PP dominé par une mixture de FF et PP (proba 3/7 à FF)

FP PP FF PF 14/5,4/5 4/5,1/5 3,4/5 13/5,1 7/5,0 1,0 2,4/5 2/5,0 8/5,1 0,1/5 11/5,4/5 1/5,1/5 FF FP PF PP dominée par FF

FP PP FF PF 14/5,4/5 4/5,1/5 3,4/5 13/5,1 7/5,0 1,0 2,4/5 2/5,0 8/5,1 0,1/5 11/5,4/5 1/5,1/5 FF FP PF PP Dominée par FP

Formalisons le critère dit « intuitif » de Cho et Kreps (1987)
S’applique à des jeux à 2 joueurs appelés « jeux de signaux » La nature joue en premier et sélectionne un nœud t dans un ensemble  avec une distribution de probabilité  Le joueur 1 est informé de l’état de la nature et envoie, avec une certaine probabilité, un signal s  S au joueur 2 Le joueur 2, ayant reçu le signal s, et connaissant la loi de proba , entreprends, avec une certaine probabilité, une action a A Paiement de 1: u(t,s,a), paiement de 2: v(t,s,a)

Formalisons le critère dit « intuitif » de Cho et Kreps (1987) (2)
1 : stratégie mixte de 1: 1(s;t) est la probabilité avec laquelle 1 envoie le signal s lorsqu’il est au nœud t. Evidemment, sS 1(s;t) = 1 pour tout t 2 : stratégie mixte de 2: 2(a;s) est la probabilité avec laquelle 2 choisit l’action a lorsqu’il a reçu un signal s. Ici aussi, aA 2(a;s) = 1 pour tout s (t;s) croyance probabiliste que 2 attribue au choix de t par la nature conditionnellement à la réception du signal s si le dénominateur de cette expression n’est pas nul si le dénominateur de cette expression est nul,on veut que (t;s) soit rationalisé par certaines croyances

Une paire de stratégies (1,2) est un équilibre séquentiel si, pour tout t  , 1(s;t) > 0 implique que s maximise aA 2(a;s’)u(t,s’,a) et, pour tout s  S, 2(a;s) > 0 implique que a maximise t (t;s)v(t,s,a’) Etant donné un équilibre séquentiel (1,2), on dit du signal s’ qu’il est dominé à l’équilibre conditionnellement à t si : maxsS aA 2(a;s)u(t,s,a) > maxaA 2(a;s’)u(t,s’,a) Paiement espéré de 1 à l’équilibre séquentiel si la nature choisit t meilleur paiement que 1 peut espérer obtenir de l’envoi du signal s’ après avoir observé t

L’équilibre séquentiel (1,2) viole le critère intuitif de Cho et Kreps s’il existe un nœud t et un signal s’ dominé à l’équilibre conditionnellement à t pour lesquels il est impossible de rationaliser la réponse d’équilibre de 2 au signal s’ avec des croyances probabilistes  qui attribuent une probabilité nulle à t.

L’équilibre PP, FP viole ce critère intuitif
face face (3,1) (2,0) 2 (0,1) (1,0) pile pile face 0,8 pile 0,2 face face 1 1 Nature pile pile face (2,1) face (3,0) (0,0) 2 (1,1) pile pile

face face (3,1) (2,0) 2 (0,1) (1,0) pile pile face 0,8 pile 0,2 face face 1 1 Nature pile pile face (2,1) face (3,0) (0,0) 2 (1,1) pile pile Le mieux que 1 puisse faire en annonçant « face » après avoir observé pile est 2 (alors qu’elle reçoit 3 en envoyant le signal pile)

face face (3,1) (2,0) 2 (0,1) (1,0) pile pile face 0,8 pile 0,2 face face 1 1 Nature pile pile face (2,1) face (3,0) (0,0) 2 (1,1) pile pile s’ = « face » est donc dominé à l’équilibre conditionnellement à t = « pile »

face face (3,1) (2,0) 2 (0,1) (1,0) pile pile face 0,8 pile 0,2 face face 1 1 Nature pile pile face (2,1) face (3,0) (0,0) 2 (1,1) pile pile Pour vérifier le critère intuitif, on devrait être capable de rationaliser le choix de « pile » par 2 en réponse à « face » par une croyance qui attribue une probabilité nulle au fait que la nature ait choisi « pile »

face face (3,1) (2,0) 2 (0,1) (1,0) pile pile face 0,8 pile 0,2 face face 1 1 Nature pile pile face (2,1) face (3,0) (0,0) 2 (1,1) pile pile Or nous en sommes incapables!!!

Education et Signal Le modèle célèbre de Spence (1974) fournit un bel exemple de jeu de signal Une population de travailleurs se décompose (disons en part égale) en 2 types: 1 (nul) et 2 (talentueux) Un travailleur connaît son type, l’employeur ne le connaît pas au moment de l’embauche La productivité d’un travailleur dépend à la fois de son type et de son niveau d’éducation Productivité d’un travailleur de type t (t = 1,2) est égale à te où e désigne le nombre d’années d’éducation supérieure (disons au dela de la troisième)

Education et Signal (2) Un travailleur aime le salaire (égal à sa productivité) mais n’aime pas étudier Les nuls détestent d’avantage les études que les talentueux Les préférences pour les différentes combinaisons d’éducation (e) et de salaire (w) d’un travailleur de type t sont représentées par la fonction d’utilité ut(e,w) ut est décroissante en e, croissante en w, et satisfait la condition (Spence Mirlees):

Condition de Spence-Mirlees
w nul talentueux w0 le nul requiert plus de compensation salariale que le talentueux pour étudier plus e éducation

Un équilibre de Spence Est constitué d’une fonction de salaire w(e) (croissante, et satisfaisant w(e) [e,2e]) De choix de niveaux d’éducation par les 2 types de travailleurs qui maximisent leur utilité, étant donné leur anticipation de la fonction de salaire La fonction de salaire doit être optimale ex post pour les entreprises (étant donnés les choix éducatifs des travailleurs) (au moins) deux types d’équilibres sont possibles: Séparateurs, et mélangeant

Equilibre séparateur naturel
w = 2e w w2 w = e w(e) w1 45° e1 e2 éducation

w = 2e w w2 w = e cette situation est efficace w(e) w1 45° e1 e2 éducation

w = 2e w w2 w = e Chaque type choisit son niveau d’étude préféré, étant donné l’impact de celui-ci sur la productivité w(e) w1 45° e1 e2 éducation

w = 2e w w2 w = e chaque type est content de son sort et n’a pas envie d’imiter l’autre w(e) w1 45° e1 e2 éducation

w = 2e w w2 w = e la fonction de salaire n’est pas contrainte mis à part aux point de tangence w(e) w1 45° e1 e2 éducation

Equilibre séparateur pas naturel
w = 2e w w = e le nul préfère l’effort éducatif et le salaire du talentueux à celui qu’il choisirait sur sa droite de productivité w2 w1 45° e1 e2 éducation

w = 2e w w = e w(e) si la fonction de salaire passe par (e1,w1) et (e2,w2) les nuls voudront un salaire plus élevé que celui correspondant à leur productivité w2 w1 45° e1 e2 éducation

w = 2e w w = e w(e) Mais aucun employeur ne veut payer un nul à un salaire supérieur à sa productivité w2 w1 45° e1 e2 éducation

w = 2e w w = e w(e) w2 Si les employeurs ne peuvent observer les type, on ne peut pas construire une fonction de salaire qui conduit à des décisions d’éducation efficaces w1 45° e1 e2 éducation

w = 2e w w = e w(e) w2 On peut en revanche construire une fonction de salaire qui va séparer les nuls des talentueux qui entraînera une suréducation des talentueux w1 45° e1 e2 éducation

w = 2e w w = e w(e) w2 Voici comment: w1 45° e1 e2 éducation

w = 2e w w = e w2 Voici comment: w1 45° e1 e2 éducation

w = 2e w w = e w’2 Voici comment: w1 45° e1 e2 éducation

w = 2e w w = e w’2 Voici comment: w1 45° e1 e2 e’2 éducation

w = 2e w w = e w’2 w(e) En utilisant une fonction de salaire passant par e1,w1 et par e’2,w’2 et restant en dessous de la courbe d’indifférence du nul… w1 45° e1 e2 e’2 éducation

w = 2e w w = e w’2 w(e) On induit le talentueux et le nul à se séparer d’une manière compatible avec leur productivité w1 45° e1 e2 e’2 éducation

w = 2e w w = e w’2 w(e) Mais on induit chez le talentueux un effort éducatif e’2 “excessif” w1 45° e1 e2 e’2 éducation

Equilibre mélangeant ? w = 2e w w = 3e/2 w = e w(e) wm em éducation

choisissent le même niveau éducatif em et le même salaire
Equilibre mélangeant ? w = 2e w w = 3e/2 w = e les 2 types choisissent le même niveau éducatif em et le même salaire wm w(e) wm em éducation

Productivité moyenne dans la population pour le niveau éducatif em
Equilibre mélangeant ? w = 2e w w = 3e/2 w = e wm Correspond à la Productivité moyenne dans la population pour le niveau éducatif em w(e) wm em éducation

Un seul équilibre séquentiel de Spence satisfait le critère intuitif de Cho et Kreps:
L’équilibre séparateur où le nul choisit son niveau préféré d’éducation sur sa droite de productivité et le talentueux choisit son niveau préféré d’éducation sur sa droite de productivité parmi les niveaux sur cette droite que le nul n’envie pas

Equilibre séquentiel intuitif (Cho et Kreps)
w = 2e w w = e w’2 Combinaisons sur la droite de forte productivité faiblement dominées par (e1,w1) pour le nul et susceptibles d’être choisies par le talentueux w1 e1 e’2 éducation

w = 2e w w = e w’2 Ces combinaisons sur la droite de forte productivité sont aussifaiblement dominées par (e1,w1) pour le nul w1 e1 e’2 éducation

w = 2e w w = e w’2 mais elles ne sont pas susceptibles d’être choisies par un talentueux à cause de la condition de Spence-Mirlees w1 e1 e’2 éducation

w = 2e w w = e w’2 Quelle combinaison dans cette zone sera choisie par un talentueux ? w1 e1 e’2 éducation

w = 2e w w = e w’2 cela dépend des préférences du talentueux! w1 e1 e’2 éducation

w = 2e w w = e w’2 une possibilité est celle-ci w1 e1 e’2 éducation

w = 2e w w = e w’2 une autre est celle là w1 e1 e’2 éducation

Q: pourquoi l’équilibre mélangeant est-il éliminé par le critère intuitif ?

Considérons un équilibre mélangeant
w = 2e w w = 3e/2 w = e wm em éducation

w = 2e w w = 3e/2 w = e Peut on trouver une fonction de salaire supportant cet équilibre et basée sur des croyances probabilistes satisfaisant le critère de Cho et Kreps ? wm em éducation

w = 2e w w = 3e/2 w = e w’2 une telle fonction de salaire devrait passer par cette zone wm em e’2 e’’2 éducation

w = 2e w w = 3e/2 w = e w’2 en effet, tout niveau éducatif supérieur à e’2, même payé à un salaire de 2 e’2, est dominé à l’équilibre pour un nul wm em e’2 e’’2 éducation

w = 2e w w = 3e/2 w = e w’2 La seule croyance que peut avoir un employeur observant un effort éducatif supérieur à e’2, est que cet effort provient d’un talentueux avec probabilité 1 wm em e’2 e’’2 éducation

w = 2e w w = 3e/2 w = e w’2 Mais si la fonction de salaire passe par cette zone wm em e’2 e’’2 éducation

w = 2e w w = 3e/2 w = e w’2 Le talentueux n’a pas intérêt à choisir em,wm !! wm em e’2 e’’2 éducation

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