Ingénierie didactique des curriculums (2) Rationnels et Décimaux

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1 Ingénierie didactique des curriculums (2) Rationnels et Décimaux
Cours diaporama 12 Ingénierie didactique des curriculums (2) Rationnels et Décimaux

2 I. Rationnels et leurs représentations
Représentations mathématiques Questions de didactique cours de Sao Paolo 2009

3 introduction Des notions anciennes et qui paraissent élémentaires, comme celles de fractions, de rationnels ou de décimaux sont en fait très complexes. Elles offrent un bon champ pour observer les différents types de représentations que nous avons envisagés précédemment et le rôle qu’ils peuvent jouer dans l’enseignement: les facilités et les difficultés… cours de Sao Paolo 2009

4 Types de représentations envisagés
I. Ostension d’éléments dits « équivalents » * II. Classe et éléments ** III. Représentations d’une même structure* IV. Définitions équivalentes d’un même objet* ou problèmes ayant la même solution V. Représentation par un voisin (en topologie) VI. Changements de « langage » de cadre ou de registre VII. Représentation de situations et de processus VIII. Et la même dénomination pour des objets différents ? cours de Sao Paolo 2009

5 fractions, rapports, fonctions
Les « fractions » ont été d’abord un moyen d’exprimer des mesures non entières à l’aide d’entiers. Elles doivent être alors accompagnées d’une unité: Définition 1 Nombre de quantièmes, unité intermédiaire. Ex. 7/3 d’acre exprime 7 fois le quantième 1/3 d’acre. Définition 2: la « commensuration »: ex. 3 fois la quantité mesurée coïncide avec 7 acres (pas de division explicite) Elles ont exprimé des rapports (ratios) Soit, scalaires, sans unité, (dits rapports internes) Ex et 2807 sont dans le rapport de 3 à 7. Soit avec une dimension ± complexe (rapport externe) Ex. : 3m/s Elles expriment des applications linéaires: ex: Cet actionnaire prélèvera 21/100 des bénéfices obtenus cours de Sao Paolo 2009

6 des Fractions aux… 7/3 est une fraction
14/6 en est une autre, ainsi que 21/9 etc. Ces fractions, et toutes celles obtenues en multipliant le numérateur et le dénominateur par un même nombre ont certaines propriétés en commun: dans les opérations arithmétiques ou dans les mises en ordre, on peut toujours en remplacer l’une d’elle par une autre, sans changer autre chose que la longueur des calculs. Les résultats sont équivalents De ce point de vue, ces fractions, toutes différentes, (donc pas égales) sont équivalentes : 7/3  28/12 cours de Sao Paolo 2009

7 … rationnels 7/3 peut représenter ( (sens I: remplacer dans les calculs ) chacune des fractions de cette classe La classe (l’ensemble) de toutes ces fractions est le rationnel [7/3]. Il peut être représenté (sens II) par n’importe laquelle des fractions qui le composent par ex. par 7/3 ou par 2807/1203 les mêmes calculs seront possibles et donneront des résultats équivalents On les confond dans la pratique mais on peut être amené à distinguer la fraction, le rationnel et les rationnels : fraction : 7/3 rationnel : {7/3, 14/6, …} Ce rationnel peut être aussi « désigné » exactement (sens VI) par des procédés qui ne sont pas formellement des fractions : 2,333. Il peuvent être approchés par un autre rationnel : 233/100 etc. cours de Sao Paolo 2009

8 Les rationnels 1203 et 2807 sont dans le rapport de 3 à 7.
Le rapport de 3 à 7 est exprimé par 7/3 mais aussi par 14/6 et par … 2807/1203! Le rapport 7/3 est donc aussi le rationnel [7/3] Finalement le rationnel a/b est a/b = { (n, m) N2 : a x m = b x n} Et l’ensemble des rationnels est Q = { a/b, (a, b)  N2 : b  0} L’usage qui consiste à calculer sur les rationnels avec les opérations des rationnels conduit à opérer sur des fractions qui les représentent cours de Sao Paolo 2009

9 Les applications linéaires rationnelles
Une application de Q dans Q, est linéaire si elle fait correspondre la somme des images de deux nombres à l’image de la somme de ces deux nombres: f(a+b) = f(a) + f(b) ex. : 7/3(a +b) = 7/3 a + 7/3 b La somme de deux applications linéaires f et g est l’application qui fait correspondre au nombre a le nombre f(a) + g(a). (f+g)(a) = f(a) + g(a). ex. : (7/3 + 2/5)(a) = 7/3 a + 2/5 a Elle est linéaire : (f+g)(a+b) = (f+g)(a) + (f+g)(b) La composition g ° f de deux applications linéaires f et g est une application qui au nombre a fait correspondre le nombre g(f(a)) elle est linéaire et elle a toutes les propriétés nécessaires pour être une multiplication de deux applications rationnelles (distributivité, commutativité, etc.) son unité est l’identité 1(a) = a cours de Sao Paolo 2009

10 Une représentation Application linéaire 7/3 3 7 9 21 12 28
Un petit puzzle est représenté par un grand 7/3 est une représentation cours de Sao Paolo 2009

11 Une autre représentation
Application linéaire 7/3 3 7 9 21 12 28 7/3 est une représentation Mesure 7/3 u L’application linéaire 7/3 représente aussi la mesure 7/3 cours de Sao Paolo 2009

12 Beaucoup de représentations
Mesures rationnelles Applications linéaires rationnelles 7/3 u 7/3 3/4 u 3/4 L’ensemble des applications linéaires représente l’ensemble des mesures cours de Sao Paolo 2009

13 Beaucoup de représentations
Mesures rationnelles Applications linéaires rationnelles 7/3 u x(7/3) 3/4 u x(3/4) 7/3 + 3/4 x (7/3) + x (3/4) 7/3 x 3/4 (3/4)  (7/3) cours de Sao Paolo 2009

14 Représentation de L(Q) dans Q
L’ensemble des applications linéaires de Q dans Q est le groupe linéaire, L(Q). Q et L(Q) sont « isomorphes » autrement dit on peut nommer une application linéaire par son rationnel canonique (ou par l’une de ses fractions) et calculer sur les applications comme sur les rationnels, comme sur les rapports et comme sur les fractions. Q et L(Q) sont représentants l’un de l’autre (au sens III), c’est une même structure (un anneau unitaire) Nous rencontrerons par la suite d’autres formes de représentations des mêmes concepts cours de Sao Paolo 2009

15 Conclusion Ainsi les représentations sont omni présentes dans les mathématiques, non seulement comme une variété d’expressions de chaque objet, mais comme moyen de construction progressive des connaissances. Il est essentiel de les étudier dans ce rôle constitutif Et de considérer quelques uns des problèmes qu’elles posent à l’enseignement C’est ce que se proposaient les recherches que je vais évoquer maintenant cours de Sao Paolo 2009

16 Représentations et Rationnels
2. Questions de didactique cours de Sao Paolo 2009

17 Des notions et des interprétations…
Ainsi sous des aspects différents, les rationnels sont un seul et même objet. Mais par contre il existe un très grand nombre d’autre possibilités d’interprétation (et encore plus de formulation) Par exemple une fraction peut être : Le résultat d’une décimation (quantième) un programme de partage en parts égales d’une grandeur naturelle (une division) que l’on ne calcule pas, mais sur lequel on peut calculer… une échelle, un agrandissement une correspondance linéaire entre deux ensemble de mesures (non exprimée numériquement) etc. cours de Sao Paolo 2009

18 …Polymorphes et polysémiques
Nous sommes habitués à considérer toutes ces conceptions comme équivalentes – comme des représentations différentes d’un même objet mathématique et à passer de l’une à l’autre selon les circonstances pour concevoir plus facilement un problème ou un calcul. Pourtant il a fallu des siècles pour inventer toutes ces significations particulières adaptées à toutes sortes de situations et des siècles encore pour établir en quoi elles étaient équivalentes. cours de Sao Paolo 2009

19 Conséquences pour l’enseignement
Aujourd’hui, dans les mêmes conditions qu’autrefois, les élèves développent des connaissances aussi variées : l’équivalence entre les différents aspects ne leur apparaît pas et les obstacles épistémologiques ressurgissent D’ailleurs notre culture porte la trace de cette complexité et des tâtonnements historiques pour la résoudre. Elle donne aux élèves des termes pour exprimer ces différences : les mots presque synonymes abondent mais l’imprécision est quasi systématique Par contre les enseignants, qui connaissent les équivalences, les utilisent couramment et voudraient que les élèves les trouvent évidente, comme eux: Il s’ensuit des malentendus et des difficultés : cours de Sao Paolo 2009

20 sujet de recherches : vérifier ou contredire ces assertions
Exemples : Le professeur Voudrait, dès que possible, illustrer la notion par toutes ses formes et ses propriétés particulières Et donc utiliser la terminologie approximative, ambiguë, contradictoire même, fournie par la culture Mais il voudrait aussi que l’élève utilise correctement les algorithmes liés a la notion la plus générale dans tous les usages et exemples concrets, Et donc reconnaisse « spontanément » ce qui est équivalent et ce qui ne l’est pas Pour soutenir ce désir il adhère à des «croyances épistémologiques » favorables: il naturalise les représentations cours de Sao Paolo 2009

21 Résultats connus Les élèves ne disposent que de « représentations » particulières, inadéquates hors des conditions d’un champ très limité. Exemple : les fractions bien connues des élèves sont des mesures simples, et suffisamment inférieures à l’unité (1/2, 1/3, 3/4,…). Elles se réfèrent au partage en parts égales (quantièmes), c’est-à-dire au mesurage d’une grandeur « grande » avec une unité « petite »… Leurs propriétés ne s’étendent pas bien aux rapports externes, aux fractions supérieures à l’unité ou très voisines de l’unité, la compréhension des décimaux est limitée aux mesures Même dans des conditions très familière les conceptions peuvent être totalement inappropriées, métaphoriques. cours de Sao Paolo 2009

22 méthodes didactiques classiques
Les propositions habituelles opposent volontiers diverses « méthodes didactiques » Ex. « Du général au particulier » (concrétisation) Vs « Du particulier au général » (abstraction) méthode axiomatique Vs heuristique (problématique) Méthode axiomatique déductive (C Condition nécessaire) Vs inductive (C  C. Suffisante) Méthode descriptive Vs méthode constructive. etc. Toutes ces méthodes sont utiles et présentent un intérêt certain… cours de Sao Paolo 2009

23 Mode d’emploi ? Mais aucune n’est satisfaisante, toutes présentent des difficultés. Exemples. L’analogie comme moyen officiel d’enseignement (Diénès), les absurdités et les abus qui en découlent L’option constructiviste radicale et ses conséquences La méthode axiomatique et ses limites Elles paraissent opposées, elles ne sont incompatibles que localement Mais ce sont les utilisations systématiques qui le sont En fait, elles peuvent être conjuguées et intervenir à divers moments opportuns dans un même processus cours de Sao Paolo 2009

24 Proposition d’études expérimentales
Nous avons montré dans l’expérience présentée plus loin qu’on peut alors corriger les erreurs dues aux utilisations aveugles et systématiques des méthodes classiques. Il ne s’agit pas de proposer la diffusion de notre expérience dans des classes ordinaires Car les professeurs ne peuvent pas Ignorer ou changer la culture ni se passer d’applications et de problèmes : Dans les relations didactiques, ils ont hérité, par tradition, d’un jeu très complexe de représentations, qu’ils doivent, soit utiliser, soit rejeter soit ignorer selon les circonstances. Quels sont leurs stratégies ? Quels en sont les effets ? Quels rôles y jouent les représentations, correctes ou abusives ? cours de Sao Paolo 2009

25 Comment? 1. Étudier a priori les effets prévisibles des divers abus signalés ici dans l’usage des diverses formes de représentations 2. Puis les repérer dans des ouvrages et par l’observation clinique de pratiques scolaires 3. Ensuite, les étudier, expérimentalement, c’est-à-dire à l’aide de d’observations cliniques et statistiques de leçons d’expériences d’enseignement bien définies De problèmes et de questionnaires posés aux élèves et à leurs professeurs (prévision des réponses) cours de Sao Paolo 2009

26 II. Le curriculum « Rationnels et décimaux de 9 à14 ans»
Introduction Les fractions-mesures cours de Sao Paolo 2009

27 Les expériences de 73-90 Présentation rapide du plan général de l’étude « expérimentale » menée à ce propos au COREM le processus s’étend sur 65 leçons La méthode utilisée consistait à choisir des processus d’enseignement « alternatifs » aux choix traditionnels et à en comparer les effets. Par exemple: nous avons enseigné les rationnels alors que nous pensons que cette connaissance est obsolète et inutile pour ce niveau : l’enseignement des décimaux suffirait. Nous avons choisi une définition inhabituelle des fractions pour savoir si elle constituait un obstacle à l’apprentissage de la conception usuelle. cours de Sao Paolo 2009

28 Principes Ainsi les divers aspects des rationnels (fractions, rapports, fonctions) étaient présentés séparément et successivement avec leurs opérations, suivant une « logique » des questions posées par les situations, suivant leurs fonctions mathématiques réciproques, de façon à former une genèse mathématique cohérente, justifiée du point de vue épistémologique et psychologique dans un quête attractive. cours de Sao Paolo 2009

29 Le Plan Première grande partie : les rationnels-mesures,
La deuxième: les rationnels applications linéaires, (cas III) Ces parties sont enseignées séparément avec leurs opérations « signifiantes », Dans chacune de ces parties les fractions précèdent les décimaux, qui sont inventés pour les décrire, pour les approcher : est-ce que 0,33 représente 1/3 ? (Cas V) Les rapports restent des nombres naturels jusqu’au moment de l’identification finale. Alors les calculs peuvent ignorer la nature mathématique des objets. La troisième partie étudie les situations des différentes conceptions des opérations arithmétiques, (cas IV) La quatrième fait l’identification de toutes les conceptions, abstraction et introduit à l’algèbre (cas VI et VII) cours de Sao Paolo 2009

30 1. Rationnels pour Mesurer
a) L’épaisseur d’une feuille de papier cours de Sao Paolo 2009

31 L’épaisseur d’une feuille de papier… Le dispositif
B C Jeanne Nicolas Nicolas ne voit pas Jeanne A Jeanne est attribué le papier C cours de Sao Paolo 2009

32 L’épaisseur d’une feuille de papier… la consigne 1
B C Jeanne Jeanne doit exprimer l’épaisseur de la feuille C (sans lettres) et l’écrire sur le message bleu cours de Sao Paolo 2009

33 L’épaisseur d’une feuille de papier… la consigne 2
B C Jeanne Nicolas Elle envoie le message à Nicolas cours de Sao Paolo 2009

34 L’épaisseur d’une feuille de papier… la consigne 3
B C Jeanne Nicolas ? Nicolas doit deviner quelle sorte de papier a Jeanne cours de Sao Paolo 2009

35 L’épaisseur d’une feuille de papier… la consigne 4
B C Jeanne Nicolas Ils gagnent si Jeanne a bien « représenté » le papier C par son épaisseur et si Nicolas a su lire cette représentation… cours de Sao Paolo 2009

36 L’épaisseur d’une feuille de papier… la consigne 5
B C Jeanne Nicolas Rq. Un autre élève pourrait contester le résultat et montrer qu’avec ce message on pouvait choisir une autre feuille de papier cours de Sao Paolo 2009

37 Dès qu’ils ont compris le jeu…
A B C … Jeanne et Nicolas étudient ensemble la façon de représenter l’épaisseur d’une feuille de papier La solution 25 f ; 3mm cours de Sao Paolo 2009

38 Solutions trouvées par les élèves
Le message ;3 indique qu’il a fallu empiler 25 feuilles pour atteindre 3 millimètres. Il s’agit bien d’une commensuration, Elle représente la mesure 3/25 de mm. le partage d’une si petite unité était inconcevable… Il y a plusieurs méthodes : fixer une épaisseur entière ou non ou fixer un nombre de feuilles Toutes les équipes trouvent une solution. Mais il suffirait qu’il y ait deux ou trois réussites. Il y a plusieurs variantes (fixer une épaisseur entière, ou le nombre de feuilles). Les résultats sont affichés dans un tableau, les élèves y relèvent les incohérences et des erreurs en utilisant des arguments de proportionnalité: cours de Sao Paolo 2009

39 Les comparaisons de couples
Exemples du tableau 30 f ; 2 mm Type C 30 f ; 3mm, Type C “ça ne va pas : pour un même type de feuilles, au même nombre de feuilles doit correspondre la même épaisseur 30 f ; 3 mm Type C 15 f ; 1 mm Type C “ça ne va pas” , s’il y a 2 fois plus de feuilles, l’épaisseur doit être 2 fois plus grande. cours de Sao Paolo 2009

40 Les épaisseurs d’une feuille
Pour un même type de papier : 19 f ; 3 mm 20 f ; 4 mm « ça ne va pas parce qu’une feuille ne peut pas mesurer 1 mm » Des différences sur le nombre de feuilles ne doivent pas correspondre à des différences égales de mesures. Les élèves finissent par identifier les classes de couples représentant une même épaisseur; cours de Sao Paolo 2009

41 (45;3) et 3/45 Il leur faut bien distinguer
l’épaisseur d’un tas de 45 feuilles qui mesure 3 mm et l’épaisseur (45; 3) en mm d’une feuille, (couple et classe) Alors le professeur introduit une convention (45;3) représente un tas de 45 feuilles et l’épaisseur du tas 3/45 représente l’épaisseur d’une feuille Aucun élève ne fait allusion au fait que ce nombre pourrait représenter le résultat du partage de 3 mm entre les 45 feuilles. cours de Sao Paolo 2009

42 Leçons suivantes… Pourriez vous trouver d’autres écritures pour désigner l’épaisseur de chaque différent type de papier ? Les élèves finissent par identifier les classes de couples représentant une même épaisseur; Le processus se poursuit par l’étude de ce qu’on peut savoir avec la représentation écrite des épaisseurs de feuilles de papier, sur les papiers eux-mêmes Chaque défi prend du temps mais les élèves proposent et discutent des solutions. De temps à autre des jeux opposent des équipes où chaque joueur doit effectuer une part de travail. Ce procédé conduit les élèves à à s’aider et à s’encourager a apprendre. 42

43 1. Rationnels pour Mesurer
b) Les résultats des mesurages sont ils des nombres ? cours de Sao Paolo 2009 43

44 Est-ce que 3/25 est un nombre?
E: Oui disent les élèves, il y en a deux … P: Est que 3/25 est UN nombre E: … ??? P : Si on peut faire avec ces mesures tout ce que l’on fait habituellement avec les nombres, nous dirons que ce sont des nombres, d’accord? 44

45 Pour Compter ? P: Est-ce qu’on peut compter avec ? Quel est le premier de ces nombres? … E: ??? P : On ne peut pas compter avec les fractions. Les fractions ne sont pas des nombres entiers Est-ce qu’on peut les ajouter? Que faudrait-il faire pour que l’on doive ajouter deux épaisseurs E: … ah oui, il faudrait « ajouter les feuilles », … coller deux feuilles pour en faire une 45

46 On peut les additionner ?
P: Et bien voilà, je colle une feuille du paquet (50, 6) avec une feuille de (100; 10), quelle sera l’épaisseur de la nouvelle feuille? Si on sait le faire ce sera l’épaisseur somme de (50, 6) et de (100; 10) : / /100 E. il faut le même nombre de feuilles de chaque sorte ! P: oui, et combien, pour que vous connaissiez l’épaisseur du tas ? E : 100 ! Qui mesureront mm = 22 mm E : 50 ! Qui mesureront = 11 mm P: alors (50, 6) collée avec (100; 10)  (100; 22) E: ou encore (50, 6) collée avec (100; 10)  (50;11) P: l’épaisseur 6/ /100 = 22/100 46

47 Il faut que les enfants distinguent bien :
«ajouter » deux tas de feuilles : on obtient bien un paquet de 150 feuilles qui mesure une épaisseur de 16 mm, mais les feuilles n’ont pas toutes la même épaisseur et aucune n’est collée avec aucune Et … et « ajouter deux épaisseurs de feuilles ». On colle une feuille de chaque sorte et on veut mesurer l’épaisseur de cette nouvelle feuille. 47

48 Le tas (45;3) et l’épaisseur 3/45
Le professeur leur fait bien distinguer à nouveau La description d’un tas de 45 feuilles qui mesure 3 mm et l’épaisseur en mm d’une seule feuille qu’il écrit 3/45 Et que les élèves lisent : « une feuille d’épaisseur : 3 mm pour 45 feuilles » Il introduit une convention (45;3) représente, un tas de 45 feuilles et l’épaisseur de ce tas l’épaisseur seule d’une feuille s’écrira alors 3/45 Évidemment aucun élève ne fait allusion au fait que ce nombre pourrait représenter le résultat du partage de 3 mm entre les 45 feuilles. 48

49 Et les multiplier ? épaisseur (17; 3) 1 f ? 5 f
Le processus se poursuit par l’étude de ce qu’on peut savoir avec la représentation écrite des épaisseurs de feuilles de papier, sur les papiers eux-mêmes Comment peut on savoir avec les écritures si une feuille est plus épaisse qu’une autre? Et si je colle plusieurs feuilles différentes, est-ce que je peux prévoir l’épaisseur du carton obtenu?  addition Si les feuilles que je colle sont toutes semblables ?  multiplication par des entiers (17; 3) 5 f ? épaisseur 1 f 49

50 A quoi sert la représentation?
Comment peut on savoir avec les écritures si une feuille est plus épaisse qu’une autre? Et si je colle plusieurs feuilles différentes, l’addition me permet de prévoir l’épaisseur du carton obtenu? Et si je colle des feuilles sont toutes semblables ? La multiplication par le nombre de feuilles me donne le résultat 3/17 15/17 5 f cours de Sao Paolo 2009

51 « Peut-on » aussi les diviser ?
Comment diviser 23/17 par 5 ? L’épaisseur 23/17 d’une plaque est telle que 17 feuilles mesurent 23 unités Pour pouvoir diviser pas 5 il faudrait pouvoir diviser le nombre de plaques par 5 En prenant une écriture équivalente où le nombre de feuilles est divisible par 5 on trouve l’épaisseur… On ne sait pas partager en une feuille dont l’épaisseur est 23/17 mm. On saurait peut être pour une plaque de 23/17 cm ? 51

52 La commensuration avec d’autres grandeurs
= 7/11 u A u verre Verre unité Représentation de la définition et des opérations avec… des capacités … cours de Sao Paolo 2009

53 … avec des masses… L’unité est U Que pèse B ? B Pèse 3/5 de U
cours de Sao Paolo 2009

54 1. Rationnels pour Mesurer
c) La mesure des longueurs L’équivalence entre fraction et commensuration cours de Sao Paolo 2009 54

55 Avec des longueurs plus grandes…
Le matériel est constitué de bandes de papier de longueurs de 1cm à plus d’un mètre. La « bande-unité » mesure environ 20 cm. Pour mesurer les bandes plus courtes que l’unité les élèves pratiquent la commensuration Pour mesurer les bandes longues les élèves reportent spontanément la bande- unité, puis s’approchent en la repliant pour obtenir des demis des quarts d’unités Ils doivent ensuite calculer la somme de ces longueurs. Le professeur leur demande de mesurer directement cette longueur par commensuration en la reportant sur une longue bande ou le long du mur. Les mesures sont elles égales ?

56 Équivalence des définitions
Pour le savoir les élèves comparent les fractions obtenues : elles sont presque égales Après avoir observé les résultats de plusieurs groupes qui avaient travaillé avec des longueurs différentes les élèves sont « convaincus » Le professeur entretient le doute et demande « une preuve ». Il faut montrer que les résultats ne devraient pas être différent.

57 Une première expérience
Considérons deux définitions des fractions comme mesure (il en existe d’autres) : La partition de l’unité : 3/7 est la part obtenue en « partageant » l’unité en 7 unités secondaires et en prenant 3 de ces unités secondaires La commensuration : 3/7 est la mesure d’une grandeur qui « reportée » 7 fois coïncide avec 3 unités mathématiquement équivalentes: (U : 7) x 3= (Ux3) : 7 le sont elles conceptuellement ? Est-ce une représentation (cas IV) ? cours de Sao Paolo 2009 57

58 Des conceptions différentes…
Pour réaliser une longueur de 3/7 u unité Par partition de l’unité: 1/7 u 3/7 u Par commensuration : unité 3 u 3u : 7 cours de Sao Paolo 2009 58

59 … ne permettent pas… ? ? Quelle est la mesure de a ? a
unité ? ? Par partition de l’unité Par commensuration cours de Sao Paolo 2009 59

60 … de résoudre… ? Quelle est la mesure de a ? Partition de l’unité a
Commensuration cours de Sao Paolo 2009 60

61 … les mêmes problèmes… Quelle est la mesure de a ?
Partition de l’unité Essais avec ½ u : échec unité Commensuration cours de Sao Paolo 2009 61

62 … Quelle est la mesure de a ? Partition de l’unité a
puis avec 1/3 u, échec puis 1/4 u… unité Commensuration cours de Sao Paolo 2009 62

63 … Quelle est la mesure de a ? Partition de l’unité a
Essais avec ½ u, puis 1/3 u, puis 1/4 , puis 1/5 etc. unité Commensuration cours de Sao Paolo 2009 63

64 … aussi facilement ! Quelle est la mesure de a ? Partition de l’unité
Il faut recommencer l’opération à chaque fois unité Commensuration S’il y a une solution on la trouve plus vite cours de Sao Paolo 2009 64

65 Et si on ne trouve pas de coïncidence ?
Partition de l’unité A U p/n U L’erreur est visible, elle est de plus en plus petite (inférieure à 1/n). Concrètement, le processus doit s’arrêter Commensuration n fois A p fois U A mesure moins de p/n U L’erreur est multipliée par p Il est plus visible qu’il n’y a pas égalité, l’ordre de grandeur de l’erreur n’est plus visible 65

66 La première démonstration
Le comptage de parties de l’unité et la commensuration ont des avantages différents suivant les questions et ils semblent donner des résultats voisins. Sont-ils équivalents? Comment être sûrs que les différences sont dues aux « erreurs » de manipulations et qu’ils devraient donner le même résultat ?

67 La preuve de l’équivalence
Regardez et comprenez ! cours de Sao Paolo 2009 67

68 La première ligne porte 3 unités (segments bleus)
La troisième ligne porte 7 segments rouges Chaque segment rouge mesure 3/7 unités. Chaque unité est partagée en 7 segments jaunes qui mesure 1/7 u Un segment rouge comprend 3 segments jaune et mesure donc 3/7 u. Les deux résultats sont identiques. On le voit. Mais pourquoi ? La ligne oblique mesure 21 segments de 1/3 u 7 segments de 3 sont égaux à 3 segments de 7 !

69 Une conception qui fait obstacle à une autre…
Il s’agissait entre autres 1. de savoir si l’usage de la commensuration rendait difficile l’apprentissage de la partition et dans quelles circonstances 2. d’étudier les situations favorables à l’une, à l’autre et au changement de point vue 3. De savoir si la connaissance des deux était bénéfique Tout dépendait de la possibilité de créer les conditions adéquates. Voici un peu plus en détail les situations retenues pour les expériences cours de Sao Paolo 2009 69

70 … révèle le fonctionnement caché des connaissances
Ces deux notions mathématiques équivalentes n’offrent pas les mêmes facilités. Chacune est supérieure à l’autre dans certaines conditions: par ex. attribuer une mesure à une quantité est beaucoup plus facile avec la commensuration (il n’y a pas à diviser) par contre, les fractions permettent de mieux contrôler les approximations. Elles mobilisent les mêmes opérations et les mêmes objets mais avec des connaissances différentes. Par conséquent leur utilisation simultanées créée des méprises, des difficultés et provoque des erreurs persistantes. Leur étude nous a conduit à découvrir que l’histoire des mathématiques et l’enseignement pouvaient présenter aussi des obstacles épistémologiques ou didactiques. cours de Sao Paolo 2009 70

71 La fraction est une division… qu’on n’a pas effectuée
Le professeur demande l’épaisseur que l’on trouve en divisant une bande de 7 unités en 3 bandes égales: 3 fois ce qu’on trouve mesure 7 unités, ce qu’on trouve est donc 7/3 d’unités Si on divise 7 par 3 le résultat est 7/3 7/3 est la part obtenue en « partageant » l’unité en 3 unités secondaires (de 1/3) et en prenant 7 de ces unités secondaires Ce qui, multiplié par 3, égale 7 U peut se dire : 7/3 U ou 7 x 1/3 U ou 1/3 de 7U

72 Résultats de cette 1ère expérience
Cette première phase du processus à duré 15 séances Finalement nous avons montré dans cette première expérience : que les élèves utilisaient facilement la commensuration et l’utilisaient pour établir les relations et les calculs dans Q : (< , +, -, x et : par un nombre naturel) qu’effectivement cette première conception était un obstacle épistémologique pour la partition surtout pour les professeurs (moins pour les élèves) Et aussi qu’une représentation n’enrichit une connaissance que sous certaines conditions Et nous pouvons observer que la plupart des représentations ont des propriétés importantes qui leur sont spécifiques. Les considérer comme cognitivement équivalentes conduit à des méprises cours de Sao Paolo 2009

73 Attention ! Ici pas de balance !
À cette étape du curriculum, le problème ci-dessous est encore inintelligible pour les élèves. Pourquoi ? Attention ! Ici pas de balance ! 5 Kg de fruits pour 3Kg de sucre 10 Kg de fruits pour 6 Kg de sucre 15 Kg de fruits pour 9 Kg de sucre 8 kg de mélange avant la cuisson 5/8 de fruits et 3/8 de sucre Et seulement 6 Kg de confiture moitié fruits moitié sucre ! … pourquoi? cours de Sao Paolo 2009

74 2. Structure topologique de Q+
L’invention des décimaux 74

75 L’invention des décimaux
Le jeu de devinette : encadrer plus étroitement la fraction secrètement choisie par l’adversaire. (17/5) 3 4 ? Les premiers encadrements se font seulement entre deux entiers consécutifs (100/7) 14 ? 15 75

76 Le jeu peut continuer par des dichotomies successives
3 6/2 4 8/2 7/2 ? Pour resserrer l’encadrement entre deux entiers, il faut intercaler une fraction entre deux autres Trouver le milieu est facile (Le procédé a été découvert pour comparer les épaisseurs) Le jeu peut continuer par des dichotomies successives Lorsque le jeu s’arrête (temps limité à l’avance l’équipe qui tient la fractions de l’adversaire dans le plus petit intervalle a gagné. 76

77 Division décimale des intervalles
Assez rapidement pour ne pas avoir à refaire des calculs pour chaque question, nouvelles les élèves choisissent les intervalles en utilisant des dizaines puis des centaines. 30/10 ? 40/10 30/10 < ? < 35/10 30/10 40/10 77

78 30/10 ? 35/10 30/10 < ? < 35/10 OUI 32/10 35/10 32/10 < ? < 35/ OUI 34/10 < ? < 35/ NON 33/10 < ? < 34/10 NON…!...? 30/10 40/10 17/5 = 34/10 La fraction 17/5 est « attrapée » avec les décimaux … 100/7 ne l’est pas 78

79 Les décimaux représentent les rationnels
Finalement, pour faciliter cette recherche et éviter de fastidieux calculs avec les fractions générales, les élèves découpent les intervalles en 10, 100 ou 1000 et utilisent par conséquent les décimaux pour « approcher » les rationnels. Pour cela la méthode conduit les élèves à inventer une opération qui « ressemble » à une division classique. Un rationnel peut être ainsi « représenté » par un décimal voisin plus commode pour les calculs et pour les comparaisons Les opérations avec les décimaux sont celles définies sur les rationnels. L’écriture habituelle est alors introduite cours de Sao Paolo 2009

80 Conclusions Les élèves retrouvent et édictent les règles des opérations sur les écritures qu’ils pratiquaient avec le système décimal de mesures connues depuis deux ans. - « Oui, les décimaux sont des nombres mais dans la division l’unité peut changer si on en a besoin » ?? - La division sert à chercher un nombre décimal aussi près qu’on veut pour remplacer (représenter) la fraction - Mais diviser, c’est mesurer le dividende en prenant le diviseur comme unité

81 3. Applications linéaires rationnelles
a) Agrandissement d’un puzzle cours de Sao Paolo 2009 81

82 3. Une application linéaire
C’est la situation bien connue « de l’agrandissement du puzzle (présentée la semaine dernière). Remarquez que les élèves n’ont pas besoin de décrire l’application ni de la nommer, seules les intéressent les valeurs correspondant aux dimensions qu’ils veulent agrandir… Un problème d’agrandissement d’une autre figure posée deux jours plus tard soulève encore des difficultés similaires : une rencontre, même « critique » avec une situation ne suffit pas aux élèves pour construire une connaissance Le professeur lui, peut croire que la situation exemplaire suffit! cours de Sao Paolo 2009

83 L’agrandissement du puzzle
L’enseignant : « Vous devez découper un puzzle pour l’école maternelle. Il doit être semblable à celui-là mais plus grand Le côté de cette pièce du modèle mesure 4 centimètres Il doit mesurer 7 centimètres sur la reproduction” Chaque groupe n’agrandit qu’une seule pièce ». Vous les assemblerez après cours de Sao Paolo 2009

84 6 5 2 7 9 A Figure 1 cours de Sao Paolo 2009

85 cours de Sao Paolo 2009

86 cours de Sao Paolo 2009

87 Première idée 2  2 + 3 = 5 4  4 + 3 = 7 6  6 + 3 = 9
2  = 5 4  = 7 6  = 9 Et ce qui en résulte… cours de Sao Paolo 2009

88 D E C B F A Résultat Figure 2 cours de Sao Paolo 2009

89 Les élèves s’accusent mutuellement d’avoir mal mesuré,
d’avoir mal découpé (ils demandent à la maîtresse de découper à leur place) d’avoir mal calculé Ils recommencent… ça ne va toujours pas Certains finissent par incriminer leur méthode 89

90 cours de Sao Paolo 2009

91 Autres idées 4 --> 7, donc 8 -->14 et aussi 12 --> 21
(la proportionnalité, comme unique modèle familier, mais empirique, sans justification) 4 --> 2 x 4 – 1 = 7 6 --> 2 x 6 – 1 = 11 2 --> 2 x 2 – 1 = Qui parait satisfaisant Comme aussi des découpages « à l’œil » cours de Sao Paolo 2009

92 a c b Figure 3a cours de Sao Paolo 2009

93 A a Figure 3b cours de Sao Paolo 2009

94 b B Figure 3c cours de Sao Paolo 2009

95 c C Figure 3d cours de Sao Paolo 2009

96 a c b Figure 3e cours de Sao Paolo 2009

97 A C B Figure 3f cours de Sao Paolo 2009

98 Pourquoi ? 2  = 5  = 6  = 9 2 + 4 = 6 mais  9 !! cours de Sao Paolo 2009

99 La somme des images doit être l’image de la somme ! Figure 4 Modèle
cours de Sao Paolo 2009

100 cours de Sao Paolo 2009

101 Le calcul final 4  7 1  7/4 7/4 = 7x25/100 = 175/100 = 1.75
cours de Sao Paolo 2009

102 Nous pouvons voir ici des exemples de situations des trois principaux types la TSM
Action – Les élèves jouent le jeu spécifique qui leur est proposé et essaient des connaissances Formulation – Ils doivent utiliser le vocabulaire dans leurs communications ordinaires avec les autres élèves pour échanger leurs projets. Validation – Lorsqu’ils ont conçu un modèle ils doivent le justifier et le prouver auprès de leur camarades. cours de Sao Paolo 2009

103 Et voici un nouvel objet à reproduire, à agrandir ou à rapetisser
Remarquez que les élèves n’ont pas besoin de décrire l’application ni de la nommer, seules les intéressent les valeurs correspondant aux dimensions qu’ils veulent agrandir… Un problème d’agrandissement d’une autre figure (un élément de mosaïque) posée quelques jours plus tard soulève encore des difficultés similaires : une rencontre même « critique » avec une situation ne suffit pas aux élèves pour construire une connaissance Et voici un nouvel objet à reproduire, à agrandir ou à rapetisser 103

104 3. Applications linéaires rationnelles
b) L’agrandissement de « l’optimist » cours de Sao Paolo 2009 104

105 Un bateau vraiment utilisé par les enfants
« L’optimist » Un bateau vraiment utilisé par les enfants 105

106 Un agrandissement … Les élèves ont, à leur banc, le dessin d’un bateau. Ils peuvent mesurer et nommer tous les segments qui le composent : la hauteur du mât, la longueur de la bôme etc. Son « agrandissement » est affiché au tableau. Le professeur indique la mesure d’un segment sur la reproduction : le mat mesure 30 cm Les élèves doivent calculer les dimensions des autres segments du tableau depuis leur place en mesurant leur dessin. Ils peuvent aller vérifier leurs prévisions au tableau. L‘application linéaire est cette fois-ci l’objet d’une étude systématique, occasion d’utiliser les rapports naturels sur un même dessin ou entre deux dessins. Mais l’application n’a pas besoin d’être nommé ou identifiée. cours de Sao Paolo 2009 106

107 3. Les applications linéaires rationnelles
c) Toute une collection de dessins de l’optmist… c) cours de Sao Paolo 2009 107

108 puis beaucoup d’autres
Le professeur introduit d’autres agrandissements ou même des « rapetissements » de ce dessin (obtenus par photographie). Et même des images qui ne sont linéaires que sur une dimension (une affinité obtenue en soulevant le papier sensible) Il s’agit bientôt pour les élèves de distinguer et nommer ces agrandissements Ils voient l’utilité de désigner les agrandissements par l’image de 1 cm sur le dessin original Comment remplacer l’expression « rapetisser de 2 » par « agrandir de 0,5 » ? cours de Sao Paolo 2009

109 1 5 0,2 0,8 1,2 0,5 109

110 Original 1,2 1 0,8 0,5 0,2 5 Et que se passe-t-il si c’est l’image 0,8 qui prend le rôle d’original? cours de Sao Paolo 2009

111 Original 1,2 X 1,2 1 0,8 X 0,5 X 5 X 0,2 0,5 0,2 5 Et que se passe-t-il si c’est l’image 0,8 qui prend le rôle d’original? 111

112 Usages et formulations des applications linéaires
Après l’étude de nombreux problèmes et formulations diverses pour les applications linéaires (pourcentages, échelles, taux, titre, vitesse…) dans lesquels la représentation fait l’objet d’études spécifiques : par exemple l’invention du dessin à l’échelle pour mesurer un segment inaccessible Il faut l’inclure dans une figure indéformable que l’on peut reproduire en mesurant les segments accessibles pour calculer la longueur entre les drapeaux cours de Sao Paolo 2009

113 4. Les produits de rationnels
Les compositions d’applications linéaires c) cours de Sao Paolo 2009 113

114 Le pantographe cours de Sao Paolo 2009 114

115 1. Phase d’étude du pantographe
On peut "agrandir" ou "rapetisser" en échangeant la pointe et le crayon. L'image ne change pas de forme, quelle que soit la manière dont on dispose le pantographe… mais l’image d’un cercle se ferme rarement, à cause de petites erreurs. Il vaut mieux savoir ce qu’il faut obtenir et le dessiner que l’obtenir avec votre pantographe L'"agrandissement" ou le "rapetissement" varie suivant le réglage des pantographes. - Les nombres qui sont en face des trous indiquent les agrandissements et les rapetissements obtenus en y plaçant les axes…. 115

116 Après quelques utilisations…
Mesure Dessin (cm) Reproduction (cm) 3, ,4 Calcul 3, ,25 Résultats: « Tous les enfants » savent utiliser le pantographe. Tous aussi ont compris les remarques qui ont été faites. Tous savent calculer le résultat attendu. Tous ont éprouvé des difficultés à obtenir ce qu’ils pensent que l’on doit obtenir. 116

117 COMPOSITION d'APPLICATIONS
"Derrière cette feuille blanche, j'ai fait un dessin. Puis, avec ce pantographe, j'ai reproduit ce dessin qui m'a servi de modèle, sur cette feuille bleue. Enfin, j'ai reproduit le dessin de la feuille bleue sur cette feuille jaune à l'aide de cet autre pantographe (Les enfants ne voient pas les dessins qui sont au verso des feuilles)… Dans un moment, vous allez vous aussi, faire la même chose : vous ferez un dessin sur la feuille blanche, vous le reproduirez sur la feuille bleue avec le premier pantographe, puis vous reproduirez ce dernier dessin sur la feuille jaune avec l'autre pantographe. 117

118 Pour réussir l’agrandissement, il vaut mieux …
Mais avant, je vous donne 2 dimensions du modèle 4 2,5 Pouvez-vous prévoir les dimensions correspondantes sur la feuille jaune ?" Les enfants disent alors qu'il leur faut d'autres renseignements et demandent : soit de combien agrandissent les pantographes soit une dimension correspondante sur la feuille jaune. 118

119 1ère Méthode : les rapports Feuille Blanche Feuille Bleue
Feuille Jaune 2ème Méthode : les applications 119

120 …prévoir d’abord son résultat Le pantographe sert à vérifier
3ième méthode La composition L'enseignant écrit alors sur le tableau la conclusion des élèves : (x3) S (x1,5) = (x4,5) et dit : x3 suivi de x 1,5 fait comme x4,5 120

121 La composition "Pouvez-vous prévoir quel agrandissement feront deux pantographes réglés sur 3,5 et sur 2 ? Vous réfléchirez et vous donnerez le résultat dans la prochaine séance". 121

122 La COMPOSITION D'APPLICATIONS LINÉAIRES :
La DÉSIGNATION DES APPLICATIONS LINÉAIRES COMPOSÉES 122

123 Le produit de deux rationnels
Finalement le produit de deux rationnels est défini comme la composition de deux agrandissements effectués « à l’aide » d’un pantographe. Pour dessiner correctement l’image les élèves doivent calculer la composée (parce que le matériel est imprécis). X 3 X 2 X 3 X 1/3 X 6 cours de Sao Paolo 2009

124 Bibliographie Nadine et Guy Brousseau « Rationnels et décimaux dans la scolarité obligatoire », 1987, sur HAL : Voir une bibliographie complète sur ce sujet dans le Dossier n°8 : «  Les expériences sur l’enseignement des rationnels et des décimaux  » dans BROUSSEAU G., (2004) Les représentations, étude en théorie des situations didactiques », Revue des sciences de l’éducation Volume XXX n°2, 2004, , Montréal, Québec, Canada (Ed. Gisèle Lemoyne)

125 un bon sujet de réflexions !!
Bons et mauvais usages des représentations dans les processus didactiques un bon sujet de réflexions !! cours de Sao Paolo 2009