Mesures de tendance centrale et mesures de dispersion.

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1 Mesures de tendance centrale et mesures de dispersion

2 Les mesures de tendance centrale servent à décrire le centre d’une distribution ordonnée et la position des données de la distribution par rapport à ce centre. On y retrouve :- le mode ( Mo ); - la médiane ( Md ); Les mesures de dispersion servent à décrire la dispersion ou la concentration des données d’une distribution. On y retrouve :- l’étendue; - l’étendue interquartile; - l’étendue des quarts. - la moyenne ( ). x

3 Mesures de tendance centrale La moyenne, la médiane et le mode sont appelés mesures de tendance centrale car ils permettent d’analyser les valeurs se retrouvant dans le centre d’une distribution. Exemple :Voici une liste de données représentant l’âge d’un groupe d’enfants à une garderie. 5, 4, 5, 6, 2, 3, 5, 2, 5, 5, 6, 7, 5, 8, 9, 10, 10, 7, 11, 12, 8. Avant de commencer l’analyse, il faut toujours mettre la liste en ordre croissant ( ou décroissant ). 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 12.

4 Le mode ( Mo ) est la donnée qui revient le plus souvent. Ici, le mode est 5 ans. Cette liste contient 21 données. n = 21 données Remarque : n est le symbole représentant le total des données. Remarque : Une distribution de données peut avoir plus d’un mode. Exemple : 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 12. Cette liste contient deux modes :5et 6.

5 est la donnée du milieu. elle sépare la distribution en deux paquets égaux. 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 12. 10 données La médiane ( Md ) Remarques : Dans une liste impaire de données, la médiane est la donnée du milieu. Elle fait donc partie de la liste. Dans une liste paire de données, la médiane est la moyenne des deux données du centre. 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 10, 11. Médiane : ( 6 + 7 ) ÷ 2 =6,5 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 10, 11. 6,5 Elle ne fait pas partie de la liste. n = 21 n = 20 10 données Md : 6 ans

6 Le total des données est un nombre pair : n = 8 61, 62, 62, 64, 65, 66, 66, 68 Remarque sur la médiane Dans une liste de données, pour trouver rapidement la médiane, on procède comme suit : Exemple : Divise le total par 2 :8 ÷ 2 = 4 ce résultat entier indique 2 paquets égaux. 61, 62, 62, 64,65, 66, 66, 68 Tu auras donc à calculer la moyenne arithmétique des deux données du centre. 4e4e 5e5e 64 + 65 2 = 64,5 Md : 64,5

7 Exemple : n = 9 61, 62, 62, 64, 65, 66, 66, 68, 71 Le total des données est un nombre impair : Divise le total par 2 : 9 ÷ 2 = 4,5 ce résultat décimal indique 2 paquets égaux, avec une donnée supplémentaire. 61, 62, 62, 64,66, 66, 68, 71 65 La médiane est donc cette donnée du milieu. Md : 65 En résumé :On divise le total des données de la liste par 2 : Résultat entier : on fait la moyenne arithmétique en utilisant la dernière donnée du premier paquet avec la première donnée du deuxième paquet. Résultat décimal : la médiane est la donnée entre les deux paquets.

8 La médiane Exemples : Une distribution de données contient 41 données.Où se situe la médiane? n = 41 n ÷ 2 = 20,5 la médiane est donc la 21 e donnée. Une distribution de données contient 40 données.Où se situe la médiane? n = 40 n ÷ 2 = 20 la médiane est donc la moyenne de la 20 e et 21 e données.

9 se calcule en additionnant toutes les données et en divisant par le nombre de données. Il existe une formule représentant la moyenne : x = ∑ x n moyenne faire la somme des données total des données divisée par Dans notre exemple : 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 12. 2+2+3+4+5+5+5+5+5+5+6+6+7+7+8+8+9+10+10+11+12 21 ≈ 6,43 x ≈ 6,43 ans La moyenne ( ) x

10 La moyenne : 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 12. La moyenne pourrait aussi se calculer de cette façon : ( 2X2 + 3X1 + 4X1 + 5X6 + 6X2 + 7X2 + 8X2 + 9X1 + 10X2 + 11X1 + 12 X 1 ) 21 On multiplie chaque donnée par le nombre de fois qu’elle apparaît : x ≈ 6,43 ans

11 Moyenne pondérée La moyenne d’un certain nombre de valeurs n’ayant pas toutes la même importance est appelée moyenne pondérée. Exemple :Avec la réforme, les compétences C1 et C2 n’ont pas la même importance relative. Tu as une note de 85 % en C1 et une note de 90 % en C2. C1 : 30 % de la note finale; C2 : 70 % de la note finale. Ta moyenne pondérée est, alors ( 0,85 X 0,30 + 0,90 X 0,70 ) = 0,885 = 88,5 % ≈ 89 %

12 Les mesures de dispersion servent à décrire la dispersion ou la concentration des données d’une distribution. L’étendue est une de ces mesures. Elle est très facile à calculer. 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 11, 12. On fait la différence entre le minimum et le maximum de la distribution. Étendue = max. – min. = 12 – 2 = 10 L’étendue de cette distribution est de 10 ans. Nous verrons plus tard d’autres mesures de dispersion. Dans notre exemple :

13 La moyenne, le mode, la médiane et l’étendue permettent de comprendre une distribution de données et facilitent la prise de décision. Exemple 1 : Voici une liste de salaire : 25 000 $, 30 000 $, 32 000 $, 34 000 $, 40 000 $, 42 000 $, 46 000 $. Dans cette liste, ce serait la moyenne qui nous donnerait la meilleure information sur le salaire moyen, soit 35 571,43 $. L’étendue vient appuyer cette moyenne. Étendue : 46 000 $ - 25 000 $ = 21 000 $.

14 La moyenne, le mode, la médiane et l’étendue permettent de comprendre une distribution de données et facilitent la prise de décision. Exemple 2 : Voici une autre liste de salaire : 25 000 $, 30 000 $, 35 000 $, 40 000 $, 45 000 $, 50 000 $, 2 400 000 $. Dans cette liste, la moyenne est trompeuse; cela est dû au seul salaire de 2 400 000 $. L’étendue vient appuyer ce fait. Étendue : 2 400 000 $ – 25 000 $ = 2 375 000 $. Moyenne : 375 000 $. Ici, ce serait la médiane qui serait le meilleur indicateur du salaire moyen soit 40 000 $.

15 La moyenne, le mode, la médiane et l’étendue permettent de comprendre une distribution de données et facilitent la prise de décision. Exemple 3 : Voici une distribution sur les différentes longueurs (cm) de skis vendus cet hiver chez « Ski doux » : 105, 110, 110, 110, 110, 110, 110, 110, 110, 115, 115, 120, 120, 120, 135, 135, 135, 140, 140, 140. Le propriétaire de ce magasin utilisera probablement le mode pour commander la grandeur de ski pour l’an prochain. Mo : 110 cm Les mesures de tendance centrale et les mesures de dispersion sont des outils permettant de comprendre une situation et de faire des prédictions. Il y en a encore beaucoup d’autres.