Calcul Récursif de la Transformée de Fourier Rapide.

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1 Calcul Récursif de la Transformée de Fourier Rapide

2 Transformation d’une séquence d’un nombre N pair d’échantillons

3 Séparation deux séquences d’échantillons de numéro pair et impair x o,N/2 (t) x i,N/2 (t)

4 Séparation deux séquences d’échantillons de numéro pair et impair x o,N/2 (t) x i,N/2 (t)

5 Séparation deux séquences d’échantillons de numéro pair et impair x o,N/2 (t) x i,N/2 (t)

6 Séparation deux séquences d’échantillons de numéro pair et impair x o,N/2 (t) x i,N/2 (t)

7 Séparation deux séquences d’échantillons de numéro pair et impair x o,N/2 (t) x i,N/2 (t)

8 Séparation deux séquences d’échantillons de numéro pair et impair x o,N/2 (t) x i,N/2 (t)

9 Séparation deux séquences d’échantillons de numéro pair et impair x o,N/2 (t) x i,N/2 (t)

10 Séparation deux séquences d’échantillons de numéro pair et impair x o,N/2 (t) x i,N/2 (t)

11 Séparation deux séquences d’échantillons de numéro pair et impair x o,N/2 (t) x i,N/2 (t)

12 Calcul de la T. F. des échantillons de numéro pair (taille N/2) x o,N/2 (t) x i,N/2 (t) (récursivité; arrêt pour N=1 : X 1 (0)=x 1 (0)) X o,N/2 (k) T.F. taille N/2

13 Calcul de la T. F. des échantillons de numéro impair (taille N/2) x o,N/2 (t) x i,N/2 (t) X o,N/2 (k) X i,N/2 (k) T.F. taille N/2 (récursivité) T.F. taille N/2 T.F. taille N/2

14 Multiplication des échantillons X i,N/2 (k) (taille N/2) x o,N/2 (t) x i,N/2 (t) X o,N/2 (k) X i,N/2 (k) x  k,  exp(-2  j/N)     T.F. taille N/2 T.F. taille N/2 T.F. taille N/2

15 0 Obtention par addition des N/2 premiers termes de X N (k) (taille N) x o,N/2 (t) x i,N/2 (t) X o,N/2 (k) X i,N/2 (k) XN(k)XN(k) + + T.F. taille N/2 T.F. taille N/2 T.F. taille N/2 x  k,  exp(-2  j/N)    

16 0 1 Obtention par addition des N/2 premiers termes de X N (k) (taille N) x o,N/2 (t) x i,N/2 (t) X o,N/2 (k) X i,N/2 (k) XN(k)XN(k) + + + + T.F. taille N/2 T.F. taille N/2 T.F. taille N/2 x  k,  exp(-2  j/N)    

17 0 1 N/2-1 Obtention par addition des N/2 premiers termes de X N (k) (taille N) x o,N/2 (t) x i,N/2 (t) X o,N/2 (k) X i,N/2 (k) XN(k)XN(k) + + + + + + + + T.F. taille N/2 T.F. taille N/2 T.F. taille N/2 x  k,  exp(-2  j/N)    

18 0 1 Obtention par soustraction des N/2 derniers termes de X N (k) (taille N) x o,N/2 (t) x i,N/2 (t) X o,N/2 (k) X i,N/2 (k) XN(k)XN(k) + + + + + + + + + - T.F. taille N/2 T.F. taille N/2 T.F. taille N/2 N/2-1 N/2 x  k,  exp(-2  j/N)    

19 Obtention par soustraction des N/2 derniers termes de X N (k) (taille N) x o,N/2 (t) x i,N/2 (t) X o,N/2 (k) X i,N/2 (k) XN(k)XN(k) + + + + + + + + + - + - + - + - T.F. taille N/2 T.F. taille N/2 T.F. taille N/2 N/2 N-1 N/2-1 0 1 x  k,  exp(-2  j/N)    

20 x o,N/2 (t) x i,N/2 (t) X o,N/2 (k) X i,N/2 (k) XN(k)XN(k) + + + + + + + + + - + - + - + - T.F. taille N/2 T.F. taille N/2 T.F. taille N/2 0 1 N/2 N-1 0 N/2-1 0 0 0 N/2 N-1 N/2-1 0 x  k,  exp(-2  j/N)   N 

21  Calcul préalable et mémorisation des  k pour les calculs répétitifs (ne pas refaire le calcul des exponentielles s’il est déjà fait !)  Tenir compte d’une éventuelle perte de précision (quelques bits)  On peut commencer par effectuer tous les tris en séquences d’échantillons de numéros pairs et impairs avant de faire le calcul récursif (‘‘bit reversal ’’) : représentation binaire de t : b 0 b 1 b 2...b m, on range x(t) à l’adresse b m...b 2 b 1 b 0. 000 001 010 011 100 101 110 111 000 001 010 011 100 101 110 111

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