Auteur : Patrice LEPISSIER Les probabilités  Notions de base Notions de base  Variable aléatoire Variable aléatoire  La loi Normale La loi Normale.

Présentation au sujet: "Auteur : Patrice LEPISSIER Les probabilités  Notions de base Notions de base  Variable aléatoire Variable aléatoire  La loi Normale La loi Normale."— Transcription de la présentation:

1 Auteur : Patrice LEPISSIER Les probabilités  Notions de base Notions de base  Variable aléatoire Variable aléatoire  La loi Normale La loi Normale

2 Auteur : Patrice LEPISSIER Les probabilités 1. Notions de base 1.DéfinitionDéfinition 2.ExempleExemple 3.PropriétésPropriétés

3 Auteur : Patrice LEPISSIER Les probabilités 1. Notions de base La probabilité pour qu’un évènement se produise s’écrit : Nombre de cas favorables p{X=n} = ------------------------------------ Nombre de cas possibles avec : - X : la variable - n : valeur cherchée pour la variable - p{X} : probabilité pour la valeur de cette variable Définition

4 Auteur : Patrice LEPISSIER Les probabilités 1. Notions de base Exemple Exemple : nombre de commandes reçues par un vendeur LundiMardiMercrediJeudiVendredi Semaine 102302 Semaine 231041 Semaine 321632 Semaine 413560 Calculer les valeurs de p{X=n}

5 Auteur : Patrice LEPISSIER Les probabilités 1. Notions de base Exemple Soit les valeurs de p{X=n} np{n}n 04/20 = 0,2041/20 = 0,05 14/20 = 0,2051/20 = 0,05 24/20 = 0,2062/20 = 0,10 34/20 = 0,2070/20 = 0,00

6 Auteur : Patrice LEPISSIER Les probabilités 1. Notions de base Propriétés la probabilité d’un évènement est comprise entre 0 et 1 la probabilité d’un évènement impossible est égale à 0 la probabilité d’un évènement certain est égale à 1 la somme des probabilités est égale à 1 la probabilité de la réunion de 2 évènements incompatibles est égale à la somme des probabilités de chaque évènement

7 Auteur : Patrice LEPISSIER Les probabilités 1. Notions de base Propriétés : exemples à partir de la série précédente p{X=2 ou X=3} = p{X=2} + p{X=3} = 0,20 + 0,20 = 0,40 p{X>2} = p{X=3} + p{X=4} + p{X=5} + p{X=6} = 0,20 + 0,05 + 0,05 + 0,10 = 0,40 p{X<>2} = 1 - p{X=2} = 1 - 0,20 = 0,80

8 Auteur : Patrice LEPISSIER Les probabilités Notions de base  Variable aléatoire Variable aléatoire  La loi Normale La loi Normale

9 Auteur : Patrice LEPISSIER Les probabilités 2. Variable aléatoire 1.DéfinitionDéfinition 2.Espérance mathématiqueEspérance mathématique 3.Fonction de distributionFonction de distribution 4.Fonction de répartitionFonction de répartition 5.La loi de probabilitéLa loi de probabilité

10 Auteur : Patrice LEPISSIER Les probabilités 2. Variable aléatoire Définition Une variable aléatoire est une variable statistique à laquelle on peut attribuer, pour chaque valeur, une probabilité connue. Il existe donc des variables aléatoires discrètes et des variables aléatoires continues.

11 Auteur : Patrice LEPISSIER Les probabilités 2. Variable aléatoire Espérance mathématique c’est la moyenne arithmétique des différentes valeurs de la variable, pondérée par les probabilités correspondantes Calculer l’espérance mathématique à partir de la série précédente

12 Auteur : Patrice LEPISSIER Les probabilités 2. Variable aléatoire Espérance mathématique Nb de cdesProbabilitéPiXiPiXi 00,200,00 10,20 2 0,40 30,200,60 40,050,20 50,050,25 60,100,60 Total1,002,25 L’espérance mathématique E(X) = 2,25 soit le vendeur obtient en moyenne 2,25 commandes par jour

13 Auteur : Patrice LEPISSIER Les probabilités 2. Variable aléatoire Fonction de distribution C’est la représentation graphique de la série statistique des probabilités attachées aux valeurs de la variable Exemple : distribution de la série précédente

14 Auteur : Patrice LEPISSIER Les probabilités 2. Variable aléatoire Fonction de répartition Elle fait correspondre à toute valeur de X, la probabilité de l’évènement {X<=x}. Nb commandesProbabilitéProb. cumulée 00,20 1 0,40 20,200,60 30,200,80 40,050,85 50,050,90 60,101,00 Exemple : à partir de l’exemple précédent

15 Auteur : Patrice LEPISSIER Les probabilités 2. Variable aléatoire Fonction de répartition Ce qui permet d’obtenir la représentation graphique de la variable aléatoire X

16 Auteur : Patrice LEPISSIER Les probabilités 2. Variable aléatoire Loi de probabilité Elle est constituée par l’ensemble des valeurs de la variable aléatoire associées aux probabilités correspondantes, soit les {x i,p i }. Les lois les plus souvent observées sont : - la lois Binomiale - la loi de Poisson, pour des variables discrètes - la loi Normale pour les variables continues

17 Auteur : Patrice LEPISSIER Les probabilités Notions de base Variable aléatoire  La loi Normale La loi Normale

18 Auteur : Patrice LEPISSIER Les probabilités 3. Loi Normale 1.CaractéristiquesCaractéristiques 2.ParamètresParamètres 3.La table de la loi normaleLa table de la loi normale 4.UtilisationUtilisation

19 Auteur : Patrice LEPISSIER Les probabilités 3. Loi Normale Caractéristiques Une variable aléatoire suit une loi de probabilité dite normale lorsque les valeurs qu’elle prend sont très proches de sa moyenne et que les valeurs supérieures sont sensiblement en même nombre que les valeurs inférieures à la moyenne. Cette loi a permis de déterminer la règle du « 20x80 » utilisée pour la gestion des stocks et dans la détermination des actions commerciales. La représentation graphique de la distribution statistique permet, par sa forme significative, de déceler un loi Normale.

20 Auteur : Patrice LEPISSIER Les probabilités 3. Loi Normale Caractéristiques Exemple : nombre de commande en fonction du montant 1,00222Total 0,1023[2500 – 3000[ 0,1635[2000 – 2500[ 0,2453[1500 – 2000[ 0,2352[1000 – 1500[ 0,1737[500 – 1000[ 0,1022[0 – 500[ FréquenceNombreValeurs

21 Auteur : Patrice LEPISSIER Les probabilités 3. Loi Normale Caractéristiques La représentation obtenue en forme de « cloche » est significative d’une loi Normale.

22 Auteur : Patrice LEPISSIER Les probabilités 3. Loi Normale Paramètres Deux éléments caractérisent toute loi Normale : la moyenne l’écart type Par convention on notera : N(m ;  ) Avec : m = moyenne arithmétique  = écart type

23 Auteur : Patrice LEPISSIER Les probabilités 3. Loi Normale Paramètres Exemple : à partir de la série précédente, calculer les paramètres de la loi normale de la variable X. Rappel : Moyenne = Écart type = Il faut donc construire un tableau pour calculer la moyenne et l’écart type.

24 Auteur : Patrice LEPISSIER Les probabilités 3. Loi Normale Paramètres 222 Totaux 23 [2500 – 3000[ 35 [2000 – 2500[ 53 [1500 – 2000[ 52 [1000 – 1500[ 37 [500 – 1000[ 22 [0 – 500[ (Xi-X)²Ni(Xi-X)²Xi-XXiNiCentres Nombre Valeurs 2750 2250 1750 1250 750 250 333 000 63 250 78 750 92 750 65 000 27 750 5 500 0 1 250 750 250 - 250 - 750 - 1 250 Moyenne = 333 000 / 222 = 1 500 1 562 500 562 500 62 500 562 500 1 562 500 117 375 000 35 937 500 19 687 500 3 312 500 3 250 000 20 812 500 34 375 000 Écart type =  (117 375 000 / 222) = 727

25 Auteur : Patrice LEPISSIER Les probabilités 3. Loi Normale Paramètres La variable X (montant de commande) suit donc une Loi Normale de type : N(1500;727) Ces paramètres vont permettre de calculer la probabilité pour une obtenir une commande d’un montant donné.

26 Auteur : Patrice LEPISSIER Les probabilités 3. Loi Normale La table de la Loi Normale La table de la Loi Normale permet de calculer la probabilité d’une valeur inférieure à t, soit : p{< T} Avec : T = X - m  On a : p{<X} = p{< T} La probabilité d’avoir une valeur inférieure à X est égale à la probabilité d’avoir une valeur inférieure à T, cette valeur peut-être relevée dans la table de la Loi Normale.

27 Auteur : Patrice LEPISSIER Les probabilités 3. Loi Normale La table de la Loi Normale Exemple : à partir de la série précédente, qu’elle est la probabilité d’avoir une commande d’un montant inférieur à 1 750 €. T = (1 750 – 1500) / 727 = 0,34 Il suffit de lire la probabilité pour la valeur 0,34 dans la table de la Loi Normale. On obtient : p{<T} = 0,6331 Il y a donc 63% de chances d’obtenir une commande d’un montant inférieur à 1 750 €

28 Auteur : Patrice LEPISSIER Les probabilités 3. Loi Normale Utilisation La table de la Loi Normale ne donne que les probabilités des valeurs de T > 0 et que pour des valeurs inférieures à T. La table est « centrée réduite », elle est donc symétrique. La probabilité d’un événement inverse étant égal à 1 moins la probabilité de l’événement, on peut donc calculer : p{> X} = 1 – p{ < X} = 1 – p{< T} Si T > 0 : p{< X} = 1 – p{ < |T|}Si T < 0 : p{> X} = 1 – p{ < X} = p{< |T|}

29 Auteur : Patrice LEPISSIER Les probabilités 3. Loi Normale Utilisation p{> X} 1 – p{< |T|} T > 0 p{< X} T < 0 p{ < T} p{< |T|} RÉSUMÉ T = X - m  1 – p{< T} Calcul de T Utilisation de la table

30 Auteur : Patrice LEPISSIER Les probabilités 3. Loi Normale Utilisation Exemple : à partir de la série précédente, qu’elle est la probabilité d’avoir une commande d’un montant supérieur à 850 € T = (850 – 1500) / 727 = - 0,89 Donc p{ > 850} = p{< 0,89} = 0,8133 Il y a donc 81% de chances d’obtenir une commande d’un montant supérieur à 850 €

31 Auteur : Patrice LEPISSIER Les probabilités Notions de base Variable aléatoire La loi Normale F I N