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Apprentissage des mathématiques Cycle 3 Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 20111 Difficultés des élèves Apprendre à partir de problèmes Pistes de travail.

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1 Apprentissage des mathématiques Cycle 3 Roland CHARNAY / Georges COMBIER – Difficultés des élèves Apprendre à partir de problèmes Pistes de travail

2 À propos des programmes Deux points importants pour penser leur mise en œuvre 2 Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

3 Sur les enjeux Roland CHARNAY / Georges COMBIER – La pratique des mathématiques développe le goût de la recherche et du raisonnement, limagination et les capacités dabstraction, la rigueur et la précision. Lacquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification. (Académie des Sciences, janvier 2007) La pratique des mathématiques développe le goût de la recherche et du raisonnement, limagination et les capacités dabstraction, la rigueur et la précision. Lacquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification. (Académie des Sciences, janvier 2007)

4 Sur la résolution de problèmes Roland CHARNAY / Georges COMBIER – La maîtrise des principaux éléments de mathématiques s'acquiert et s'exerce essentiellement par la résolution de problèmes, notamment à partir de situations proches de la réalité. (Socle commun, 2006) La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans lactivité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et sexerce à tous les stades des apprentissages. (Programmes, 2008) La maîtrise des principaux éléments de mathématiques s'acquiert et s'exerce essentiellement par la résolution de problèmes, notamment à partir de situations proches de la réalité. (Socle commun, 2006) La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans lactivité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et sexerce à tous les stades des apprentissages. (Programmes, 2008)

5 Quelques préalables… Roland CHARNAY / Georges COMBIER – Sur lévaluation et ses limites Sur la maîtrise dun concept Sur lévaluation et ses limites Sur la maîtrise dun concept

6 Roland CHARNAY / Georges COMBIER – Evaluation dune compétence… ou dun exercice ? x O Y 70 % Tracer la bissectrice de XOY A C B 28 % Tracer la bissectrice de BAC

7 Contexte de la situation support à lévaluation Je déplace un pion sur une piste graduée. En partant de 0, je fais des bonds tous pareils de 8 cases chacun. Javance de 36 bonds. Sur quelle case vais-je arriver ? Jai collé 8 images sur chaque page dun album qui a 36 pages. Combien dimages ai-je collées ? 7Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

8 Qu'évalue-t-on dans une tâche complexe ? 8 Sur ce dessin à main levée, on a représenté un rectangle ABCD et un cercle de centre A qui passe par D. Ce cercle coupe le segment [AB] au point E. Trouve la longueur du segment [EB] …………………………………….. Explique ta réponse : ….…………………………………………………… Trouve la longueur du segment [EB] …………………………………….. Explique ta réponse : ….…………………………………………………… Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

9 Annoncé par la DEP Organiser une démarche Résoudre un problème à étapes Egalement en jeu Lire et comprendre le texte, en relation avec le schéma Comprendre un schéma à main levée Savoir qu'une longueur peut se mesurer… mais aussi se calculer Savoir qu'un cercle a un rayon constant Savoir que les côtés opposés dun rectangle ont même longueur Elaborer la démarche Expliquer la démarche… 9 Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

10 Doù limportance du travail danalyse de la tâche 10 Suite des actions nécessaires pour répondre Procédures possibles pour répondre (souvent diverses) Connaissances requises pour les mener à bien Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

11 11 Résultats, procédures et techniques - à mémoriser, à automatiser - à savoir élaborer Résultats, procédures et techniques - à mémoriser, à automatiser - à savoir élaborer Langage - analogique - verbal - symbolique Langage - analogique - verbal - symbolique Propriétés - utilisées implicitement - explicitées Propriétés - utilisées implicitement - explicitées Problèmes qu'il permet de résoudre Problèmes qu'il permet de résoudre Maîtrise dun concept : différents aspects Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

12 Analyse des difficultés 12Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

13 Evaluation 6 e objets identiques coûtent 22. Combien coûtent 15 de ces objets ? Procédure et réponse correctes : 35 % Procédure correcte : 30,5 % Calcul 22 x 15 : 11 % 10 objets identiques coûtent 22. Combien coûtent 15 de ces objets ? Procédure et réponse correctes : 35 % Procédure correcte : 30,5 % Calcul 22 x 15 : 11 % Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

14 14 Analyse de la tâche Lire, comprendre, interpréter Imaginer une stratégie possible parmi plusieurs (raisonnement) Gérer la stratégie Interpréter le résultat Communiquer la réponse Lire, comprendre, interpréter Imaginer une stratégie possible parmi plusieurs (raisonnement) Gérer la stratégie Interpréter le résultat Communiquer la réponse 10 objets identiques coûtent 22. Combien coûtent 15 de ces objets ? 10 objets identiques coûtent 22. Combien coûtent 15 de ces objets ? Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

15 Quelques erreurs Calcul multiplicatif : 22 x 10 ou 22 x 15 Référence à un problème connu sans essayer de comprendre la situation Texte interprété comme "10 objets coûtent 22 chacun" (légitime !) Calcul additif Réponse : 27 (5 de plus), obstacle classique Calcul avec toutes les données numériques Stratégie qui "marche souvent" Autres Calcul multiplicatif : 22 x 10 ou 22 x 15 Référence à un problème connu sans essayer de comprendre la situation Texte interprété comme "10 objets coûtent 22 chacun" (légitime !) Calcul additif Réponse : 27 (5 de plus), obstacle classique Calcul avec toutes les données numériques Stratégie qui "marche souvent" Autres objets identiques coûtent 22. Combien coûtent 15 de ces objets ? ? 10 objets identiques coûtent 22. Combien coûtent 15 de ces objets ? ? Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

16 Evaluation 6 e Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur. Chaque page contient 6 photos. a) Combien y a-t-il de pages complètes ? b) Combien y a-t-il de photos sur la page incomplète ? Il y a ……… pages complètes. 54 % Il y a ……… photos sur la page incomplète. 57 % Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

17 17 Procédures possibles Division par 6 Division (CE2/CM1) Encadrement par deux multiples de 6 Table de multiplication (CE2) Addition de 6 en 6 Addition (CP/CE1) Schématisation des pages et des photos Dénombrement (CP) Division par 6 Division (CE2/CM1) Encadrement par deux multiples de 6 Table de multiplication (CE2) Addition de 6 en 6 Addition (CP/CE1) Schématisation des pages et des photos Dénombrement (CP) Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur. Chaque page contient 6 photos. a) Combien y a-t-il de pages complètes ? b) Combien y a-t-il de photos sur la page incomplète ? Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur. Chaque page contient 6 photos. a) Combien y a-t-il de pages complètes ? b) Combien y a-t-il de photos sur la page incomplète ? Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

18 Une question Pourquoi des élèves qui disposent de lune ou lautre des connaissances permettant de résoudre ce problème… -ne pensent-ils pas… -nosent-ils pas… -ne se croient-ils pas autorisés… … (à) les utiliser pour répondre à la question ? Pourquoi des élèves qui disposent de lune ou lautre des connaissances permettant de résoudre ce problème… -ne pensent-ils pas… -nosent-ils pas… -ne se croient-ils pas autorisés… … (à) les utiliser pour répondre à la question ? 18Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

19 Lorsquil est demandé aux élèves une prise dinitiative (essais à faire), la réussite française est relativement faible. La pratique de lexpérimentation en mathématiques (faire des essais, critiquer, recommencer…) est peu développée… Note de la DEP n° Lorsquil est demandé aux élèves une prise dinitiative (essais à faire), la réussite française est relativement faible. La pratique de lexpérimentation en mathématiques (faire des essais, critiquer, recommencer…) est peu développée… Note de la DEP n° Commentaire sur PISA 2003 Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

20 Évaluation PISA – (Élèves de 15 ans) 20 Estimez laire de lAntarctique en utilisant léchelle de la carte. Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

21 Julie (évaluation 6 e ) Julie a acheté pour un goûter : -deux tablettes de chocolat à 8 F. chacune -quatre bouteilles de limonade à 6 F. chacune -un sac de brioches. Elle a payé 56 F. Quel est le prix du sac de brioches ? 8 F x 6 F = 54 F Le prix du sac de brioches est 2 F. Julie a acheté pour un goûter : -deux tablettes de chocolat à 8 F. chacune -quatre bouteilles de limonade à 6 F. chacune -un sac de brioches. Elle a payé 56 F. Quel est le prix du sac de brioches ? 8 F x 6 F = 54 F Le prix du sac de brioches est 2 F. 21Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

22 Schéma danalyse sommaire 22 Connaissances et compétences en lecture (ordre des informations, place de la question ) sur le contexte sur les concepts mathématiques relatives aux raisonnement en calcul Connaissances sur ce qui est attendu sur ce qui est permis sur ce qui marche souvent sur "l'accueil" des erreurs Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

23 À la bonne place (Evaluation CE2) 23 Ecris, dans le bon ordre, chaque nombre à la place qui convient Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

24 Pour quun problème permette dengager un apprentissage, il faut donc 2 conditions… Du côté de la situation elle-même, en relation avec les connaissances des élèves Du côté du contrat didactique et de la responsabilité de lélève dans la production de la solution : Trouver une réponse correcte au problème posé par une procédure correcte Ou trouver une réponse attendue par lenseignant par une procédure reconnue par lenseignant Du côté de la situation elle-même, en relation avec les connaissances des élèves Du côté du contrat didactique et de la responsabilité de lélève dans la production de la solution : Trouver une réponse correcte au problème posé par une procédure correcte Ou trouver une réponse attendue par lenseignant par une procédure reconnue par lenseignant 24Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

25 Quelques pistes… 25Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

26 Apprendre ce quest chercher Clarifier le contrat Un mot à double sens Chercher parmi les solutions expertes déjà éprouvées Chercher, bricoler une solution nouvelle, originale, personnelle, comme le chercheur Un mot à double sens Chercher parmi les solutions expertes déjà éprouvées Chercher, bricoler une solution nouvelle, originale, personnelle, comme le chercheur 26Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

27 Favoriser lappropriation du problème Ne pas confondre lecture dénoncé et résolution de problème Plusieurs supports de présentation Vécu Dessin, schéma, document Oral Ecrit L'obstacle de la lecture doit être "atténué" pour certains élèves, à certains moments. à condition de clarifier le rôle du matériel Ne pas confondre lecture dénoncé et résolution de problème Plusieurs supports de présentation Vécu Dessin, schéma, document Oral Ecrit L'obstacle de la lecture doit être "atténué" pour certains élèves, à certains moments. à condition de clarifier le rôle du matériel 27 Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

28 Rôle du matériel Technique opératoire de la division par un nombre à un chiffre (CE2) Roland CHARNAY / Georges COMBIER – cartes « 1 dizaine » et 8 cartes « 1 unité » sont affichées au tableau. - Une première demande : « Ces cartes ont été gagnées par 4 joueurs. Combien cela représente-t-il de points ? » - Le problème : « Ces 78 points doivent être répartis entre les 4 joueurs. Chacun doit en avoir exactement le même nombre. Que recevra chaque joueur ? »

29 Roland CHARNAY / Georges COMBIER – Technique opératoire de la division par un nombre à un chiffre Aider à envisager une démarche (distribution) Illustrer la technique et ainsi aider à la compréhension de celle-ci d u d u Aider à envisager une démarche (distribution) Illustrer la technique et ainsi aider à la compréhension de celle-ci d u d u On partage dabord les 7 dizaines en 3 - donc 2 dizaines à chacun - on a donné 6 dizaines (2 3) - il en reste 1. Avec les 8 unités de départ, cela fait 18 unités à partager en 3 - donc 6 unités à chacun - on a donné 18 unités (6 3) - il en reste 0.

30 Roland CHARNAY / Georges COMBIER – Réel / Anticipation Réel Favorise lappropriation de la situation et du problème Réel Favorise lappropriation de la situation et du problème Anticipation Incite à l'expérience mentale Anticipation Incite à l'expérience mentale Permet la validation de la réponse ou d'une procédure Oblige à élaborer des procédures

31 Limiter les références possibles à des indices «extérieurs» au problème 31 Ne pas lier systématiquement les problèmes aux apprentissages en cours Éviter les indices de surface Ne pas lier systématiquement les problèmes aux apprentissages en cours Éviter les indices de surface Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

32 Accorder un autre statut à l'erreur Se tromper est normal… dans la phase d'apprentissage Dans cette phase, l'erreur ne doit donc pas être sanctionnée Lerreur informe On apprend aussi en travaillant sur les erreurs D'où l'importance de l'analyse des erreurs Se tromper est normal… dans la phase d'apprentissage Dans cette phase, l'erreur ne doit donc pas être sanctionnée Lerreur informe On apprend aussi en travaillant sur les erreurs D'où l'importance de l'analyse des erreurs 32Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

33 Quatre bandes (CM1) 33 4 bandes 8 cm 4 bandes 8 cm 8 bandes 12 cm 8 bandes 16 cm 12 bandes 16 cm12 bandes 24 cm Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

34 Apprendre à partir de problèmes 34Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

35 Une situation ouverte… nest pas une situation floue nest pas une situation complexe nest pas une situation à lissue incertaine est une situation que lélève comprend dont il perçoit ce que peut être une solution mais dont il na pas la solution immédiatement et dont il sait être responsable de lélaboration de la solution nest pas une situation floue nest pas une situation complexe nest pas une situation à lissue incertaine est une situation que lélève comprend dont il perçoit ce que peut être une solution mais dont il na pas la solution immédiatement et dont il sait être responsable de lélaboration de la solution 35Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

36 Deux catégories dobjectifs pour une situation ouverte méthodologiques Développer des stratégies de recherche, dinvestigation, de preuve Mettre en œuvre des solutions « personnelles » Travailler sur le contrat et la responsabilité de lélève dans le traitement du problème Développer des stratégies de recherche, dinvestigation, de preuve Mettre en œuvre des solutions « personnelles » Travailler sur le contrat et la responsabilité de lélève dans le traitement du problème notionnels Mettre en œuvre des solutions personnelles En percevoir les limites et les insuffisances Sapproprier des solutions plus expertes, parfois un nouveau concept 36Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

37 Exemples de « problèmes pour chercher » Objectifs méthodologiques (CM1) 37Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

38 Exemple de « problème pour chercher » Objectifs méthodologiques (CE2) Roland CHARNAY / Georges COMBIER – « Vous allez chercher à obtenir le plus possible de polygones différents en assemblant deux triangles par un côté. Les deux côtés qui se touchent doivent avoir même longueur et leurs extrémités doivent coïncider ». « Vous allez chercher à obtenir le plus possible de polygones différents en assemblant deux triangles par un côté. Les deux côtés qui se touchent doivent avoir même longueur et leurs extrémités doivent coïncider ».

39 39 Exemples de « problèmes pour apprendre » Objectifs notionnels (CM2) Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011 Voici un losange et un agrandissement de ce losange. La figure et son agrandis- sement restent affichés au tableau. Voici un losange et un agrandissement de ce losange. La figure et son agrandis- sement restent affichés au tableau.

40 40 Exemples de « problèmes pour apprendre » Objectifs notionnels (CM2) Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011 Par deux les élèves doivent se mettre daccord sur une méthode de construction ; Chacun réalise la construction sur sa feuille ; Les productions sont affichées et discutées ainsi que les méthodes utilisées Le calque de lagrandissement est ensuite utilisé pour valider Par deux les élèves doivent se mettre daccord sur une méthode de construction ; Chacun réalise la construction sur sa feuille ; Les productions sont affichées et discutées ainsi que les méthodes utilisées Le calque de lagrandissement est ensuite utilisé pour valider

41 Exemples de « problèmes pour apprendre » objectifs notionnels (CM2) 41 Validation expérimentale Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

42 Dans ces problèmes… La situation et la question sont simples à comprendre La résolution nest pas immédiate ou donne lieu à controverse, donc il y a quelque chose à apprendre Le choix des valeurs de certaines variables (et leur évolution) est primordial La validation nest pas le fait de lenseignant cest déterminant pour la responsabilité des élèves vis-à- vis de la résolution La situation et la question sont simples à comprendre La résolution nest pas immédiate ou donne lieu à controverse, donc il y a quelque chose à apprendre Le choix des valeurs de certaines variables (et leur évolution) est primordial La validation nest pas le fait de lenseignant cest déterminant pour la responsabilité des élèves vis-à- vis de la résolution 42Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

43 Apprentissage par résolution de problèmes (4 schémas) 43 Elève Situation Investigation Connaissances anciennes : limites, insuffisances Tentatives nouvelles Rétroaction de la situation Investigation Connaissances anciennes : limites, insuffisances Tentatives nouvelles Rétroaction de la situation Elève Elèves Confrontation Explicitation Controverse, argumentation Appropriation dautres stratégies Confrontation Explicitation Controverse, argumentation Appropriation dautres stratégies Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011

44 44 Elève Enseignant Mise en évidence, généralisation Apport : stratégie, langage, mise en forme… Réponses aux questions Mise en évidence, généralisation Apport : stratégie, langage, mise en forme… Réponses aux questions Elève Situations Exercices, entraînement Evaluation Adaptation des connaissances Exercices, entraînement Evaluation Adaptation des connaissances Roland CHARNAY / Georges COMBIER – 2011


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