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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Régression.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Régression logarithmique

2 Introduction Nous allons maintenant établir une démarche rigoureuse permettant de définir une relation entre deux variables à partir dune liste de données et, pour ce faire, nous présenterons les échelles logarithmiques. Ces échelles ont une particularité intéressante qui est mise à profit dans les papiers graphiques appelés semi-log et log-log. La représentation graphique dune fonction exponentielle sur papier semi-log donne une droite et la représentation graphique dune fonction puissance sur papier log-log donne une droite. Les représentations graphiques constituent un outil important de détection du lien entre deux variables puisque la forme graphique la plus facile à reconnaître est la droite. La régression logarithmique nous permettra de déterminer les paramètres du modèle mathématique pour un lien exponentiel, un lien logarithmique ou un lien de puissance.

3 S Échelle linéaire On dit quune échelle est linéaire lorsque son pas est constant. Cela signifie que chaque nombre est situé à une distance de lorigine proportionnelle à sa valeur. Illustrons ce propos à laide dune droite comportant un point dorigine O et un point A qui détermine la valeur unitaire ou longueur du pas de léchelle. A S Sur une droite graduée avec une échelle linéaire, deux nombres positifs M et N sont représentés à des distances d 1 et d 2 de lorigine, en respectant la proportionnalité. Leur somme est un nombre V = M + N représenté par un point à une distance d 1 + d 2 de lorigine. De plus, si on considère un nombre N > 0 représenté à une distance d de lorigine et un nombre k > 0, alors le nombre kN sera représenté à une distance kd de lorigine. S

4 Échelle logarithmique Sur une échelle logarithmique, la position dun nombre est déterminée de telle sorte que sa distance à lorigine est proportionnelle au logarithme du nombre. Lorigine est indiquée par le nombre 1, car (0; 0) = (0; log 1). S La disposition relative des nombres se conforme alors aux propriétés des logarithmes. 1. log b MN = log b M + log b N 3. log b N p = p log b N 2. log b MNMN = log b M – log b N S S

5 Échelle logarithmique De plus, puisque le logarithme de 100 est 2, la distance de 1 à 100 est égale à deux fois la distance de 1 à 10. De la même façon, la distance entre 0,1 et 1 est égale à la distance entre 1 et 10 puisque le logarithme de 0,1 est égal à –1. Chacun des intervalles représentant une unité logarithmique est appelé un cycle. Ainsi, lintervalle de 0,1 à 1 est un cycle, tout comme lintervalle de 1 à 10 et lintervalle de 10 à 100. S

6 La représentation graphique dune fonction exponentielle sur un papier dont léchelle verticale est logarithmique donne une droite. Échelle logarithmique et modélisation Un papier quadrillé comportant une échelle linéaire et une échelle logarithmique est appelé papier semi-log et un papier quadrillé dont les deux échelles sont logarithmiques est appelé papier log-log. Sur ces papiers quadrillés, il ny a pas de nombres indiquant les graduations; léchelle peut commencer à nimporte quel nombre suivant les besoins du problème. Pour illustrer ce propos, représentons la fonction f(x) = 2 x sur un papier semi-log à deux cycles.

7 Papier semi-log Un papier quadrillé comportant une échelle linéaire et une échelle logarithmique est appelé papier semi-log et un papier quadrillé dont les deux échelles sont logarithmiques est appelé papier log-log. Sur ces papiers quadrillés, il ny a pas de nombres indiquant les graduations; léchelle peut commencer à nimporte quel nombre suivant les besoins du problème. S (–3; 0,125) (–2; 0,25) (–1; 0,5) (0; 1) (1; 2) (2; 4) (3; 8) x f(x)f(x) –3 –2 – ,125 0,25 0, Le point désigné par (2; 4) correspond en réalité au point (2;log 4).

8 Échelle logarithmique et modélisation La base de la fonction exponentielle peut être différente de 10. La représentation graphique donnera quand même une droite. La raison en est fort simple. Considérons une fonction exponentielle de la forme : S y = ab x log y = log(ab x ), en prenant le logarithme des deux membres; log y = log a + log b x,logarithme dun produit; log y = log a + x log b, logarithme dune puissance; log y = x log b + log a, commutativité de laddition; Y= Ax + B, en posant log y = Y, log b = A et log a = B. Puisque log b et log a sont des constantes, on a donc une relation affine entre x et log y et cest pourquoi la représentation graphique sur papier semi-log donne une droite. En prenant plutôt le logarithme naturel, on obtient la relation : ln y = x ln b + ln a On peut effectuer les calculs dans lune ou lautre des bases, on obtient le même modèle. Les caractéristiques des échelles logarithmiques nous indiquent comment utiliser le papier semi-log pour déceler un lien exponentiel entre des variables et comment trouver la règle de correspondance décrivant ce lien. Lexemple suivant illustre cette procédure. On représente graphiquement les données et si le nuage de points forme une droite, le modèle exponentiel est pertinent. Lexemple suivant illustre cette procédure.

9 S SSS Exemple Au cours dune expérience de laboratoire, on a obtenu les grandeurs physiques ci-contre. Vérifier graphiquement lhypothèse dun lien exponentiel entre ces variables. La représentation graphique sur papier semi-log donne un nuage de points qui semblent alignés. Lhypothèse dun lien exponentiel est donc plausible. x Pour vérifier lhypothèse, représen- tons graphiquement les données sur papier semi-log. Déterminer la règle de correspon- dance décrivant le lien entre les variables. On doit dabord établir la relation affine entre les couples (x; log y) ou entre les couples (x; ln y), selon la base de calcul utilisée. A =A = n x i ln y i – ( x i )( ln y i ) n x i 2 – ( x i ) 2 B =B = lny i – A x i n A =A = 6 (30,6149) – 21 7, – 21 2 B =B = 7,0644 – 0, = 0,3365 = –0,00048 Puisque la valeur de B est négligeable, le lien affine est alors : ln y = 0,3365x y ,40 1,96 2,74 3,84 5,38 7,53 0,3365 0,6729 1,0080 1,3455 1,6827 2,0189 0,3365 1,3459 3,023 5,3819 8, , x y ln yx ln yx2x2 2122,857,064430, En exprimant le modèle sous forme exponentielle, on obtient : y = e 0,03365x = 1,4 x REMARQUE En représentant graphiquement les couples (x; ln x) ou les couples (x; log y) dans un système daxes bilinéaire, le nuage de points aurait également donné une droite.

10 S S Exemple On désire analyser les capacités dabsorption des rayons X dun matériau. Pour ce faire, on bombarde des plaques de différentes épaisseurs de ce matériau et on mesure lintensité I(x) des radiations de lautre côté de la plaque. La représentation graphique étant une courbe, on peut conclure quil ne sagit pas dune correspondance affine Trouver le type de correspondance entre les variables. 0,00 2,00 5,00 6,50 9,00 12,00 16,00 22,00 1,00 0,84 0,65 0,57 0,46 0,35 0,25 0,15 x I x Utilisons un quadrillage semi-log. La représentation graphique sur papier semi-log donne un nuage de points qui semblent alignés. On peut donc faire lhypothèse dun lien exponentiel. I

11 S S Exemple Déterminer la règle de correspon- dance. Établissons la relation affine entre les couples (x; ln I). A =A = n x i ln I i – ( x i )( ln I i ) n x i 2 – ( x i ) 2 B =B = ln I i – A x i n A =A = 8 (–89,6604) – 72,50 –6, ,50 – 72,50 2 B =B = –6,2770 – (–0, ,50) 8 = –0, = –0, ,00 2,00 5,00 6,50 9,00 12,00 16,00 22,00 1,00 0,84 0,65 0,57 0,46 0,35 0,25 0,15 0,0000 –0,1744 –0,4308 –0,5621 –0,7765 –1,0498 –1,3863 –1,8971 0,0000 –0,3487 –2,1539 –3,6538 –6,9888 –12,5979 – –41,7366 0,00 4,00 25,00 42,25 81,00 144,00 256, x I ln Ix ln Ix2x2 72,504,27–6,2770–89, ,25 En exprimant le modèle sous forme exponentielle, on obtient : I = e –0,086428x = 0,917 x I x B est négligeable, le lien affine est alors : ln I = –0,086428x

12 Fonction puissance Détection du lien entre variables Une fonction puissance est de la forme y = ax b. En prenant le logarithme des deux membres de léquation, on a : S log y = log(ax b ) log y = log a + log x b, logarithme dun produit; log y = log a + b log x, logarithme dune puissance; log y = b log x + log a, par commutativité de laddition Y = AX + B, en posant Y = log y, b = A, X = log x et B = log a. Il y a donc correspondance affine entre log x et log y, correspondance que lon peut détecter visuellement en représentant les données sur un papier log-log. Une fonction logarithmique est de la forme : Fonction logarithmique y = a log x + b (ou y = a ln x + b) On voit directement quil doit y avoir une relation affine entre y et log x que lon peut écrire symboliquement : y = AX + B, où A = a, X = log x et B = b. On détecte une telle relation sur un papier semi-log en représentant la variable indépendante sur léchelle logarithmique. Si le nuage forme une droite, le modèle est logarithmique.

13 SSS Exemple On a obtenu les données ci- contre en laboratoire. Établir le type de lien entre les variables. Représentons graphiquement les données. Sur papier bilinéaire, le nuage forme une courbe. Le lien nest pas affine. 3,00 4,00 5,00 6,50 7,00 8,00 9,00 0,94 0,53 0,34 0,24 0,17 0,13 0,10 x I Utilisons maintenant un papier semi-log vertical. Sur papier semi-log vertical, le nuage forme une courbe. Le lien nest pas exponentiel. Utilisons maintenant un papier log-log. Sur papier log-log, le nuage forme une droite. On détecte donc une relation de puissance.

14 Décrire algébriquement cette relation. Établissons la relation affine entre les couples (ln x; ln I). SSS Exemple ,00 4,00 5,00 6,50 7,00 8,00 9,00 0,94 0,53 0,34 0,24 0,17 0,13 0,10 42,00 I A =A = n ln x i ln I i – ( ln x i )( ln I i ) n (ln x i ) 2 – ( ln x i ) 2 B =B = ln I i – A ln x i n = –9,3174 – ( –2, ,1087) 7 = 2, = –2, Le lien affine est alors : ln I = –2,0322 ln x + 2,1843 2,45 xln xln I ln x ln I (ln x) 2 1,0986 1,3863 1,6094 1,7918 1,9459 2,0794 2,1972 –0,0619 –0,6349 –1,0788 –1,4271 –1,7720 – – –0,0680 –0,8801 –1,7363 –2,5570 –3,4481 –4,2425 –5,0593 1,2069 1,9218 2,5903 3,2104 3,7866 4,3241 4, ,10187–9,3174–17,991321, –17,9913 – 12,1087 –9, ,8679 – (12,1087) 2 = Cela donne : ln I = x –2, ,1843I = x –2,0322 e 2,1843 I = 8,8844x –2,0322, doù : et : En tenant compte de la précision des données, le lien de puissance est alors : I =I = 8,88 x 2,0322

15 SSS Exemple On a obtenu les données ci- contre en laboratoire. Établir le type de lien entre les variables. Représentons graphiquement les données. Sur papier bilinéaire, le nuage forme une courbe. Le lien nest pas affine ,00 1,70 2,59 3,41 4,38 x y Utilisons maintenant un papier semi-log vertical. Sur papier semi-log vertical, le nuage forme une courbe. Le lien nest pas exponentiel. Utilisons maintenant un papier log-log. Sur papier log-log, le nuage forme une courbe. Ce nest pas un lien de puissance. S Utilisons maintenant un papier semi-log horizontal. Sur papier semi-log horizontal, le nuage forme une droite. Le lien est logarithmique.

16 Décrire algébriquement cette relation. Établissons la relation affine entre les couples (log x; y). SS Exemple A =A = n log x i y i – ( log x i )( y i ) n (log x i ) 2 – ( log x i ) 2 B =B = y i – A log x i n = 13,08 – ( 4,00359… 7,021) 5 = –3, = 4, Le modèle est alors : y = 4,004 log x – 3, ,08 log xy log x (log x) 2 1,000 1,176 1,398 1,602 1,845 1,000 1,999 3,621 5,463 8,081 1,000 1,383 1,954 2,567 3,404 7,021 20,165 10, ,165 – 7,021 13, ,308– (7,021) 2 = ,00 1,70 2,59 3,41 4,38 x y

17 Équation dArrhenius forme logarithmique où k est la constante de vitesse (L/mol·s), A, est une constante, E a, lénergie dactivation (J/mol), R, la constante molaire des gaz (R = 8,315 J/K·mol) et T, la température en degré kelvins (K). Considérons à nouveau léquation dArrhenius : k = Ae –E a /RT En prenant le logarithme des deux membres de cette équation, on obtient : On reconnaît la forme dune relation affine du type y = ax + b, où : ln k = ln A – EaREaR 1T1T = –+ ln A EaREaR 1T1T ou ln k la variable dépendante est : la pente est : la variable indépendante est : et lordonnée à lorigine est : y = ln k, a = –E a /R, x = 1/T b = ln A. + b + ln A a – EaREaR x 1T1T y = ln k = S

18 Équation dArrhenius forme logarithmique Lorsquon ne connaît que deux couples de valeurs correspondantes (T 1 ; k 1 ) et (T 2 ; k 2 ), le facteur a est obtenu à partir des correspondances (1/T 1 ; ln k 1 ) et (1/T 2 ; ln k 2 ). Le taux de variation (ou la pente) est alors : Pour déterminer lénergie dactivation E a dune réaction chimique, la méthode la plus utilisée est de mesurer la constante de vitesse à différentes températures. a =a = ln k 2 – ln k 1 1T21T2 1T11T1 – = ln k2 k1k2 k1 1T21T2 1T11T1 – On peut alors déterminer une relation affine entre le logarithme de la vitesse, ln k et linverse de la température, 1/T. Le paramètre a de cette relation affine est a = –E a /R, doù : E a = –Ra.

19 Exemple On a mesuré la vitesse de la réaction en phase gazeuse du méthane avec le soufre diatomique dont léquation est : SS CH 2 (g) + 2S 2 (g) CS 2 (g) + 2H 2 S(g) On a obtenu les résultats ci-contre. Déterminer lénergie dactivation de la réaction. a =a = ln k2 k1k2 k1 1T21T2 1T11T1 – = 10,8 1, – = –17426,85... Dans ce cas, on dispose de deux données, on trouvera donc la pente en calculant le rapport de la variation du logarithme naturel des vitesses sur la variation de linverse multiplicatif des températures en kelvins. Cela donne : Température (°C) Vitesse de réaction k (L/mol·s) 1,8 10,8 Puisque E a = –Ra, on obtient : E a = –8,315 –17426,85... = ,29.. Lénergie dactivation est de 1, J/mol.

20 Croissance exponentielle forme logarithmique Considérons que la population N dun certain organisme croît de façon exponentielle selon léquation suivante : N = N 0 b t En prenant le logarithme des deux membres de léquation, on obtient : log N = t log b + log N 0 ou log N = t ln b + ln N 0 On reconnaît la forme dune relation affine du type Y = Ax + B, où : Y = ln N et A = log b. Lorsquon ne connaît que deux couples de valeurs (t 1 ; N 1 ) et (t 2 ; N 2 ) de cette relation, le taux de variation (ou la pente) peut être obtenu de la façon suivante : A =A = log N 2 – log N 1 t 2 – t 1 On peut en déduire le temps de dédoublement (TD) : TD = log 2 log b = log 2 A = 0,301 A TD = log 2 A = ln 2 A ln 10 = 0,301 A 2,303 ou A =A = ln N 2 – ln N 1 t 2 – t 1 ou

21 Exemple Lors dune culture cellulaire, on a observé les quantités de cellules données dans le tableau ci-contre. SS Déterminer le temps de dédoublement de ces cellules. Déterminons dabord le taux de variation : A =A = log(6, ) – log(6, ) 6 – 3 = 9,806 – 9,519 3 = 0,0958 Le temps de dédoublement est alors donné par : Le temps de dédoublement est denviron 3,14 jours. TD = log 2 0,0958 = 3, Combien de cellules devraient être ensemencées le sixième jour si on désire obtenir environ 5 cellules cinq jours plus tard? Nombre de cellules 3, , Temps jours 3 6 Si le sixième jour on pose N = N 0 2 t/TD, on obtient N = N 0 2 t/3,14. Pour déterminer combien de cellules il faut ensemencer pour en obtenir cinq jours plus tard, il faut résoudre léquation : N 0 2 5/3,14 = 5 Cela donne : Il faut donc ensemencer environ 1, cellules. = N0 =N0 = 5 2 5/3,14

22 Conclusion La droite est la forme graphique la plus facile à reconnaître. Pour déceler un lien non affine entre deux variables, on peut utiliser un papier graphique dont lune des échelles ou les deux sont graduées à laide du logarithme en base 10. Par la régression logarithmique, on peut alors déterminer les paramètres de ces liens. La régression logarithmique est un outil très puissant pour la modélisation de données expérimentales. De cette façon, on peut détecter des liens exponentiels, des liens de puissance et des liens logarithmiques entre deux variables.

23 Exercices Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 5.2, p. 131 à 134. Lecture Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 5.1, p. 121 à 130.


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