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Mécanique non linéaire Les méthodes d’encadrement

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1 Mécanique non linéaire Les méthodes d’encadrement

2 Les méthodes d’encadrement
Pour un matériau à comportement rigide parfaitement plastique : PFD CLF s Statiquement Admissible Compatiblité CLD e Cinématiquement Admissible

3 Les méthodes d’encadrement
Théorème des travaux virtuels Pour tout champ de contrainte statiquement admissible associé à un champ de déformation cinématiquement admissible, le travail des efforts extérieurs est égal au travail de déformation de la structure augmenté du travail des quantités d'accélération galiléennes. Travail des efforts surfaciques imposés à déplacements inconnus Travail des efforts surfaciques inconnus à déplacements imposés

4 Les méthodes d’encadrement
Théorème des puissances virtuelles Pour tout champ de contrainte statiquement admissible associé à un champ de déformation cinématiquement admissible, la puissance des efforts extérieurs est égal à la puissance de déformation de la structure augmentée de la puissance des quantités d'accélération galiléennes.

5 Les méthodes d’encadrement
Définitions Ensemble des champs de contrainte Principe fondamental de la dynamique Conditions aux limites sur les forces Champ statiquement admissible Critère de plasticité en tout point : Champ plastiquement admissible Champ de contrainte licite Champ statiquement et plastiquement admissible

6 Les méthodes d’encadrement
Définitions Ensemble des champs de contrainte Ensemble des champs de déformation Equations de compatibilité Conditions aux limites sur les déplacements Champ plastiquement admissible Champ cinématiquement et plastiquement admissible Champ de déformation licite Champ cinématiquement admissible

7 Les méthodes d’encadrement
Théorème cinématique « Théorème de la borne supérieure » Champ de déformation actuelle licite Vecteur déplacement associé Tenseur contrainte lié par la loi d’écoulement plastique La fonctionnelle est minimale pour le champ de déplacement solution du problème.

8 Les méthodes d’encadrement
Théorème statique « Théorème de la borne inférieure » Champ de contrainte licite Vecteurs contrainte sur la surface La fonctionnelle est maximale pour le champ de contrainte solution du problème.

9 Applications à la mise en forme
Méthode des tranches Découpe virtuelle en tranches infiniment minces Choix d’un modèle de frottement au contact Equations d’équilibre d’une tranche Choix d’un critère de plasticité Loi d’écoulement Résolution d’équations différentielles EFFORT RESULTANT

10 Applications à la mise en forme
Méthode des tranches Modèle de frottement Modèle de Coulomb La contrainte tangentielle est proportionnelle à la contrainte normale de la surface de contact mais reste limitée à la valeur de glissement En pratique on prend :

11 Applications à la mise en forme
Méthode des tranches Modèle de frottement Modèle de la couche limite La contrainte tangentielle est proportionnelle à la limite d’écoulement du matériau contact parfaitement lubrifié : m = 0 contact parfaitement collant : m = 1

12 Applications à la mise en forme
Méthode des tranches Exemple : forgeage d’une barre h a Barre parallélépipédique Hauteur h Largeur 2a Longueur l Longueur très grande Plateaux de presse indéformables Matériau rigide parfaitement plastique Axes principaux Frottement outil - pièce

13 Applications à la mise en forme
Méthode des tranches Exemple : forgeage d’une barre x Equilibre d’une tranche d’épaisseur dx dx

14 Applications à la mise en forme
Méthode des tranches h a Exemple : forgeage d’une barre Equilibre d’une tranche d’épaisseur dx syy (x) t (x) x dx sxx (x) sxx (x + dx) t (x) syy (x)

15 Applications à la mise en forme
Méthode des tranches h a Exemple : forgeage d’une barre Loi de normalité syy (x) t (x) Critère Von Misès sxx (x) sxx (x + dx) t (x) syy (x)

16 Applications à la mise en forme
Méthode des tranches h a Exemple : forgeage d’une barre Déformation axiale actuelle syy (x) t (x) Etat plan de déformation sxx (x) sxx (x + dx) t (x) syy (x)

17 Applications à la mise en forme
Méthode des tranches h a Exemple : forgeage d’une barre Critère Von Misès syy (x) t (x) sxx (x) sxx (x + dx) t (x) syy (x)

18 Applications à la mise en forme
Méthode des tranches Exemple : forgeage d’une barre Effort de compression

19 Applications à la mise en forme
Méthode de la borne supérieure Tenseur déformation licite Travail réel des réactions d’appui Nul ou positif Travail virtuel de déformation Travail virtuel des quantités d’accélération Nul en quasi statique Travail virtuel des forces de volume Souvent négligeable Travail virtuel des forces de surface imposées

20 Applications à la mise en forme
Méthode de la borne supérieure Quel que soit le champ de déformation licite choisi, l'énergie dissipée par déformation plastique et frottement est supérieure à l'énergie motrice

21 Applications à la mise en forme
Méthode de la borne supérieure Exemple : poinçonnement d’un massif semi infini Poinçon infiniment rigide Massif rigide parfaitement plastique

22 Applications à la mise en forme
Méthode de la borne supérieure Exemple : poinçonnement d’un massif semi infini Poinçon infiniment rigide Massif rigide parfaitement plastique Formation d’un bourrelet

23 Applications à la mise en forme
Méthode de la borne supérieure Exemple : poinçonnement d’un massif semi infini Coin sous le poinçon Zones d’écoulement latéral Métal remontant (formation du bourrelet) Métal immobile C A C B B D

24 Applications à la mise en forme
Méthode de la borne supérieure Exemple : poinçonnement d’un massif semi infini Coin sous le poinçon Zones d’écoulement latéral Métal remontant (formation du bourrelet) Métal immobile D L’énergie est essentiellement dissipée aux frontières Triangles rectangles isocèles Les zones ont un comportement de solides indéformables

25 Applications à la mise en forme
D A B C Méthode de la borne supérieure Exemple : poinçonnement d’un massif semi infini Calcul des déplacements relatifs c Déplacement A / D : dUy Déplacement B / A : d dUx b Déplacement C / B : Déplacement D / C : a Déplacement B / D :

26 Applications à la mise en forme
D A B C Méthode de la borne supérieure Exemple : poinçonnement d’un massif semi infini Calcul des énergies dissipées aux contacts I : solide indéformable immobile III : solide indéformable mobile II : couche d’interface

27 Applications à la mise en forme
D A B C Méthode de la borne supérieure Exemple : poinçonnement d’un massif semi infini Calcul des énergies dissipées aux contacts Avec Von Misès Dans la couche II

28 Applications à la mise en forme
D A B C Méthode de la borne supérieure Exemple : poinçonnement d’un massif semi infini Calcul des énergies dissipées aux contacts Energie dissipée par unité de surface de contact Energie dissipée par unité de volume

29 Applications à la mise en forme
D A B C Méthode de la borne supérieure Exemple : poinçonnement d’un massif semi infini Calcul des énergies dissipées aux contacts Lignes Surface (longueur) entre A et B entre B et C entre C et D entre D et B

30 Applications à la mise en forme
D A B C Méthode de la borne supérieure Exemple : poinçonnement d’un massif semi infini Calcul des énergies dissipées aux contacts Energie totale dissipée Si choix de triangles isocèles simples

31 Applications à la mise en forme
D A B C Méthode de la borne supérieure Exemple : poinçonnement d’un massif semi infini Calcul de la force motrice Force motrice réelle Application du théorème de la borne supérieure Pression moyenne maximale

32 Applications à la mise en forme
Méthode de la borne inférieure La fonctionnelle est maximale pour le champ de contrainte réel L’énergie motrice obtenue à partir d’un champ de contrainte licite est inférieure à l’énergie motrice réelle.

33 Applications à la mise en forme
Méthode de la borne inférieure Exemple : poinçonnement d’un massif semi infini Autre zone Poinçon infiniment rigide Zone sous le poinçon Massif rigide parfaitement plastique

34 Applications à la mise en forme
Méthode de la borne inférieure Exemple : poinçonnement d’un massif semi infini Etat plan de déformation Critère Von Misès Zone sous le poinçon Pression de contact

35 Applications à la mise en forme
Méthode de la borne inférieure Exemple : poinçonnement d’un massif semi infini Autre solution Autre zone Zone sous le poinçon

36 Applications à la mise en forme
Conclusion Exemple : poinçonnement d’un massif semi infini Méthodes donnant un encadrement de la solution Solution exacte Méthode de la borne supérieure plus évidente et plus sécurisante


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