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1 Mécanique non linéaire Les méthodes dencadrement

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Présentation au sujet: "1 Mécanique non linéaire Les méthodes dencadrement"— Transcription de la présentation:

1 1 Mécanique non linéaire Les méthodes dencadrement

2 2 Les méthodes dencadrement Pour un matériau à comportement rigide parfaitement plastique : Statiquement Admissible PFD CLF Compatiblité CLD Cinématiquement Admissible

3 3 Les méthodes dencadrement Théorème des travaux virtuels Pour tout champ de contrainte statiquement admissible associé à un champ de déformation cinématiquement admissible, le travail des efforts extérieurs est égal au travail de déformation de la structure augmenté du travail des quantités d'accélération galiléennes. Travail des efforts surfaciques imposés à déplacements inconnus Travail des efforts surfaciques inconnus à déplacements imposés

4 4 Les méthodes dencadrement Théorème des puissances virtuelles Pour tout champ de contrainte statiquement admissible associé à un champ de déformation cinématiquement admissible, la puissance des efforts extérieurs est égal à la puissance de déformation de la structure augmentée de la puissance des quantités d'accélération galiléennes.

5 5 Les méthodes dencadrement Définitions Principe fondamental de la dynamique Conditions aux limites sur les forces Champ statiquement admissible Critère de plasticité en tout point : Champ plastiquement admissible Champ statiquement et plastiquement admissible Ensemble des champs de contrainte Champ de contrainte licite

6 6 Les méthodes dencadrement Définitions Ensemble des champs de déformation Equations de compatibilité Conditions aux limites sur les déplacements Champ cinématiquement admissible Champ plastiquement admissible Ensemble des champs de contrainte Champ cinématiquement et plastiquement admissible Champ de déformation licite

7 7 Les méthodes dencadrement Théorème cinématique « Théorème de la borne supérieure » Champ de déformation actuelle licite Vecteur déplacement associé La fonctionnelle est minimale pour le champ de déplacement solution du problème. Tenseur contrainte lié par la loi découlement plastique

8 8 Les méthodes dencadrement Théorème statique « Théorème de la borne inférieure » Champ de contrainte licite Vecteurs contrainte sur la surface La fonctionnelle est maximale pour le champ de contrainte solution du problème.

9 9 Applications à la mise en forme Méthode des tranches Découpe virtuelle en tranches infiniment minces Choix dun modèle de frottement au contact Equations déquilibre dune tranche Choix dun critère de plasticité Loi découlement Résolution déquations différentielles EFFORT RESULTANT

10 10 Applications à la mise en forme Méthode des tranches Modèle de frottement Modèle de Coulomb La contrainte tangentielle est proportionnelle à la contrainte normale de la surface de contact mais reste limitée à la valeur de glissement En pratique on prend :

11 11 Applications à la mise en forme Méthode des tranches Modèle de frottement Modèle de la couche limite La contrainte tangentielle est proportionnelle à la limite découlement du matériau contact parfaitement lubrifié :m = 0 contact parfaitement collant :m = 1

12 12 Applications à la mise en forme Méthode des tranches Exemple : forgeage dune barre Barre parallélépipédique Hauteur h Largeur 2a Longueur l h a a Longueur très grande Plateaux de presse indéformables Matériau rigide parfaitement plastique Axes principaux Frottement outil - pièce

13 13 Applications à la mise en forme Méthode des tranches Exemple : forgeage dune barre x dx Equilibre dune tranche dépaisseur dx

14 14 Applications à la mise en forme Méthode des tranches Exemple : forgeage dune barre x dx Equilibre dune tranche dépaisseur dx h a a xx (x) xx (x + dx) yy (x) (x)

15 15 Applications à la mise en forme Méthode des tranches Exemple : forgeage dune barre Loi de normalité h a a xx (x) xx (x + dx) yy (x) (x) Critère Von Misès

16 16 Applications à la mise en forme Méthode des tranches Exemple : forgeage dune barre Déformation axiale actuelle h a a xx (x) xx (x + dx) yy (x) (x) Etat plan de déformation

17 17 Applications à la mise en forme Méthode des tranches Exemple : forgeage dune barre Critère Von Misès h a a xx (x) xx (x + dx) yy (x) (x)

18 18 Applications à la mise en forme Méthode des tranches Exemple : forgeage dune barre Effort de compression

19 19 Applications à la mise en forme Méthode de la borne supérieure Travail réel des réactions dappui Tenseur déformation licite Travail virtuel de déformation Travail virtuel des quantités daccélération Travail virtuel des forces de volume Travail virtuel des forces de surface imposées Nul ou positif Nul en quasi statique Souvent négligeable

20 20 Applications à la mise en forme Méthode de la borne supérieure Quel que soit le champ de déformation licite choisi, l'énergie dissipée par déformation plastique et frottement est supérieure à l'énergie motrice

21 21 Applications à la mise en forme Méthode de la borne supérieure Exemple : poinçonnement dun massif semi infini Poinçon infiniment rigide Massif rigide parfaitement plastique

22 22 Applications à la mise en forme Méthode de la borne supérieure Exemple : poinçonnement dun massif semi infini Poinçon infiniment rigide Massif rigide parfaitement plastique Formation dun bourrelet

23 23 Applications à la mise en forme Méthode de la borne supérieure Exemple : poinçonnement dun massif semi infini Coin sous le poinçon Zones découlement latéral Métal remontant (formation du bourrelet) Métal immobile A BB CC D

24 24 Applications à la mise en forme Méthode de la borne supérieure Exemple : poinçonnement dun massif semi infini Coin sous le poinçon Zones découlement latéral Métal remontant (formation du bourrelet) Métal immobile D Les zones ont un comportement de solides indéformables Lénergie est essentiellement dissipée aux frontières Triangles rectangles isocèles

25 25 Applications à la mise en forme Méthode de la borne supérieure Exemple : poinçonnement dun massif semi infini D A B C U x U y d a b c Déplacement A / D : Déplacement B / A : Déplacement C / B : Déplacement D / C : Calcul des déplacements relatifs Déplacement B / D :

26 26 Applications à la mise en forme Méthode de la borne supérieure Exemple : poinçonnement dun massif semi infini D A B C Calcul des énergies dissipées aux contacts I : solide indéformable immobile III : solide indéformable mobile II : couche dinterface

27 27 Applications à la mise en forme Méthode de la borne supérieure Exemple : poinçonnement dun massif semi infini D A B C Calcul des énergies dissipées aux contacts Dans la couche II Avec Von Misès

28 28 Applications à la mise en forme Méthode de la borne supérieure Exemple : poinçonnement dun massif semi infini D A B C Calcul des énergies dissipées aux contacts Energie dissipée par unité de volume Energie dissipée par unité de surface de contact

29 29 Applications à la mise en forme Méthode de la borne supérieure Exemple : poinçonnement dun massif semi infini D A B C Calcul des énergies dissipées aux contacts LignesSurface (longueur) entre A et B entre B et C entre C et D entre D et B

30 30 Applications à la mise en forme Méthode de la borne supérieure Exemple : poinçonnement dun massif semi infini D A B C Calcul des énergies dissipées aux contacts Energie totale dissipée Si choix de triangles isocèles simples

31 31 Applications à la mise en forme Méthode de la borne supérieure Exemple : poinçonnement dun massif semi infini D A B C Calcul de la force motrice Force motrice réelle Application du théorème de la borne supérieure Pression moyenne maximale

32 32 Applications à la mise en forme Méthode de la borne inférieure La fonctionnelle est maximale pour le champ de contrainte réel Lénergie motrice obtenue à partir dun champ de contrainte licite est inférieure à lénergie motrice réelle.

33 33 Applications à la mise en forme Méthode de la borne inférieure Exemple : poinçonnement dun massif semi infini Poinçon infiniment rigide Massif rigide parfaitement plastique Zone sous le poinçon Autre zone

34 34 Applications à la mise en forme Méthode de la borne inférieure Exemple : poinçonnement dun massif semi infini Etat plan de déformation Critère Von Misès Zone sous le poinçon Pression de contact

35 35 Applications à la mise en forme Méthode de la borne inférieure Exemple : poinçonnement dun massif semi infini Zone sous le poinçon Autre zone Autre solution

36 36 Applications à la mise en forme Conclusion Exemple : poinçonnement dun massif semi infini Méthodes donnant un encadrement de la solution Solution exacte Méthode de la borne supérieure plus évidente et plus sécurisante


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