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CHAPITRE 2 Théorème de Pythagore. Objectifs: -Dans un triangle rectangle savoir donner une valeur exacte de la longueur d'un côté connaissant la longueur.

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1 CHAPITRE 2 Théorème de Pythagore

2 Objectifs: -Dans un triangle rectangle savoir donner une valeur exacte de la longueur d'un côté connaissant la longueur des deux autres. -Démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle connaissant la longueur de ses côtés. -Savoir démontrer qu'un triangle est rectangle connaissant la longueur de ses trois côtés.

3 Pythagore de Samos (-569 à -475) a fondé lécole pythagoricienne (à Crotone, Italie du Sud). Le théorème de Pythagore bien connu des élèves de 4e, n'est en fait pas une découverte de Pythagore, il était déjà connu par les chinois et les babyloniens 1000 ans avant lui. Pythagore (ou ses disciples) aurait découvert la formule générale. Les Egyptiens connaissaient aussi le théorème. Ils utilisaient la corde à 13 noeuds (régulièrement répartis) qui une fois tendue formait le triangle rectangle 3 ; 4 ; 5 et permettait dobtenir un angle droit entre deux « longueurs ». Corde qui sera encore utilisée par les maçons du XXe siècle pour sassurer de la perpendicularité des murs.

4 I.Vocabulaire autour du triangle rectangle On dit quun triangle est rectangle quand lun de ses 3 angles est droit. A B C ABC est un triangle rectangle en A. BÂC est langle droit. [AB] et [AC] sont les cotés de langle droit. [BC] est lhypoténuse.

5 II. Théorème de Pythagore 1) Lénoncé du théorème Si un triangle est rectangle, alors la longueur de lhypoténuse au carréest égale à la somme des carrés des longueurs des côtés de langle droit. A B C Autrement dit : Si un triangle ABC est rectangle en A, alors AB² + AC² = BC² Remarque : Le théorème de Pythagore sert à calculer la longueur dun des trois côtés dans un triangle rectangle connaissant les longueurs des deux autres. Voir une démonstration de ce théorème en cliquant sur ce lien: Source: © 2003 ACL - les Éditions du Kangourou

6 2) Calcul de la longueur de lhypoténuse C 4 cm 3 cm AB ? Comme ABC est un triangle rectangle en A avec AC = 3cm et AB = 4cm, daprès le théorème de Pythagore, on a : BC² = AC² + AB² BC² = 3² + 4² BC² = BC² = 25 Donc BC = 5 cm. en tapant avec la calculatrice

7 3) Calcul de la longueur dun des côtés de langle droit G 10,3 cm 5,4 cm EF ? Comme EFG est un triangle rectangle en E avec GE = 5,4 cm et GF = 10,3 cm, daprès le théorème de Pythagore, on a : GF² = GE² + EF² 10,3² = 5,4² + EF² 106,09 = 29,16 + EF² EF² = 106, ,16 EF² = 76,93 Donc EF 8,8 cm. en tapant avec la calculatrice

8 III. Réciproque du théorème de Pythagore 1) Lénoncé de la réciproque Si, dans un triangle, le carré de la longueur du côté le plus long est égal à la somme des carrés des longueurs des 2 autres côtés, alors le triangle est rectangle. Autrement dit : Si, dans le triangle ABC, AB² + AC² = BC² alors le triangle ABC est rectangle en A. Nous admettons désormais que cette réciproque est connue pour pouvoir lutiliser. Remarque : Cette réciproque permet de démontrer quun triangle est rectangle.

9 2) Démontrer quun triangle est rectangle ABC est un triangle tel que AB = 5 cm, AC = 12 cm et BC = 13cm. A 5 cm 12 cm 13 cm B C Démontrer que ABC est un triangle rectangle. Vérifions siAB² + AC² = BC² Dune part :AB² + AC² =5² + 12² = = 169 Dautre part :BC² =13² = 169 Puisque AB² + AC² = BC², Alors,daprès la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en A.

10 3) Démontrer quun triangle nest pas rectangle MNP est un triangle tel que MN = 4 cm, NP = 8 cm et PM = 9 cm. N 4 cm 8 cm 9 cm M P MNP est-il un triangle rectangle ? Vérifions siPN² + NM² = PM² Dune part :PN² + NM² =8² + 4² = = 80 Dautre part :PM² =9² = 81 Puisque PN² + NM² PM² Alors MNP nest pas un triangle rectangle. Remarque : ici, on ne peut pas utiliser la réciproque du théorème de Pythagore puisque PN² + NM² = PM² nest pas vérifiée.


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