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François Longin www.longin.frwww.longin.fr Formation ESSEC Gestion de patrimoine Séminaire « Placements financiers » Présentation des options.

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1 François Longin Formation ESSEC Gestion de patrimoine Séminaire « Placements financiers » Présentation des options

2 François Longin Plan Les options standards (options de 1 ère génération) Les produits de base : calls et puts Fonction pay-off et fonction de profit et de perte Utilisation : couverture et spéculation Les options exotiques (options de 2 ème génération) Options sur un seul actif sous-jacent avec des fonctions pay- off complexes Options sur plusieurs actifs sous-jacents Utilisation dun pricer: Calcul du prix dune option Calcul de la volatilité implicite

3 François Longin Objectifs dapprentissage Après avoir suivi cette partie sur les options, vous devez être capable de : Utiliser un pricer doptions pour calculer le prix dune option Evaluer la marge prise par une institution financière Construire une stratégie de couverture pour une position simple Définir une stratégie dinvestissement en fonction danticipations de marché données

4 François Longin Intentions pédagogiques Pendant cette partie sur les options, lintervenant insistera sur les messages suivants : Limportance de la couverture Leffet de levier (financier) lié aux options La volatilité (le risque) : un actif en tant que tel La différence entre la volatilité historique et la volatilité implicite Lutilisation des modèles en pratique : mapping ou pricing

5 François Longin Produits dérivés Les options sont des produits dérivés. Un produit dérivé est un produit dont la valeur est obtenue (dérivée) de la valeur dun autre produit (appelé actif sous- jacent). Exemples de produits dérivés Les contrats à terme Les options

6 François Longin Options standards Deux types doptions : les calls et les puts Les options dachat (call options) : le droit (mais non lobligation) dacheter un actif à une date donnée ou pendant une période donnée à un prix donné (strike price). Les options de vente (put options) : le droit (mais non lobligation) de vendre un actif à une date donnée (ou pendant une période donnée) à un prix donné. Les calls et les puts peuvent être émis (sur le marché primaire), exercés et achetés ou vendus (sur le marché secondaire). Exemples : Bons de souscription daction (BSA) émis par les entreprises (sur ses propres actions), stock options émises par les entreprises, options négociables échangées sur les bourses et les warrants émis par les institutions financières (sur divers actifs sous-jacents)

7 François Longin Principales caractéristiques des options Caractéristiques dun contrat doption Lactif sous-jacent : action, panier dactions, indice dactions, obligation, indice dobligations, taux dintérêt, fonds, matière première, produit agricole, taux de change, or, etc. Le prix dexercice (strike price ou strike) La maturité Le type dexercice : européen, américain ou bermudien Le mode de livraison (delivery) : physique ou monétaire Le prix de loption : la prime (montant et modalités de paiement) Exercice Internet : visiter le site dune bourse (CME, CBOT, Liffe, Monep, etc.) et étudier un contrat doption.

8 François Longin Le prix dexercice (1) Fixation du prix dexercice (à lémission de loption) Sur les marchés de gré à gré (over the counter ou OTC), le prix dexercice est fixé dun commun accord entre les parties. Sur les marchés organisés, les bourses fixent un ensemble de prix dexercice pour les options cotées selon les conditions de marché (la valeur du sous-jacent à un instant donné). Exercice Internet : visiter le site dune bourse (CME, CBOT, Liffe, Monep, etc.) ou dun courtier en ligne et trouver les prix dexercice des options actuellement cotées sur les indices dactions (SP 500, FTSE 100, CAC 40, etc.). Exercice : pour quel prix dexercice, la liquidité du marché est-elle la plus élevée ?

9 François Longin Le prix dexercice (2) Terminologie Option à la monnaie : le prix de lactif sous-jacent est égal au prix dexercice de loption. Option dans la monnaie : le prix de lactif sous-jacent est supérieur au prix dexercice de loption pour un call et inférieur au prix dexercice de loption pour un put. Option en dehors de la monnaie : le prix de lactif sous-jacent est inférieur au prix dexercice de loption pour un call et supérieur au prix dexercice de loption pour un put.

10 François Longin La maturité des options Fixation de la maturité (à lémission de loption) Sur les marchés de gré à gré (over the counter ou OTC), la maturité est fixée dun commun accord entre les parties. Sur les marchés organisés, les bourses fixent un ensemble de maturités pour les options cotées selon loffre et la demande des intervenants. Exercice Internet : visiter le site dune bourse (CME, CBOT, Liffe, Monep, etc.) ou dun courtier en ligne et trouver la maturité des options actuellement cotées sur les indices dactions (SP 500, FTSE 100, CAC 40, etc.). Exercice : quelle est la maturité la plus longue des options cotées sur le marché ? Pour quelle maturité, la liquidité du marché est-elle la plus élevée ?

11 François Longin Le type dexercice Option européenne Une option européenne ne peut être exercée quà maturité. Option américaine Une option américaine peut être exercée à nimporte quel moment avant maturité. Exemple: options traitées sur les marchés organisés (en général). Options bermudéennes Une option bermudéenne peut être exercée à certaines dates ou sur certaines périodes avant maturité. Exemple: stock options données par les entreprises à leurs employés. Exercice: ordonner le prix des options selon leur type dexercice.

12 François Longin Fonction pay-off pour les options standards (1) Définition La fonction pay-off donne la valeur de loption à la date de maturité (ou à la date dexercice) en fonction de le prix de lactif sous-jacent à cette date. Le pay-off représente le flux de trésorerie entre lémetteur / le vendeur de loption (décaissement) et lacheteur (encaissement). Fonction pay-off pour les options standards Pour lacheteur dun call : Pour lacheteur dun put : où C T et P T sont les valeurs dun call et dun put à maturité T, S T le prix de lactif sous-jacent et K le prix dexercice.

13 François Longin Fonction pay-off pour lacheteur dun call (1) Pour un call de prix dexercice égal à 50

14 François Longin Fonction pay-off pour lacheteur dun call (2)

15 François Longin Fonction pay-off pour lacheteur dun put (1) Pour un put de prix dexercice égal à 50

16 François Longin Fonction pay-off pour lacheteur dun put (2)

17 François Longin Fonction pay-off pour les options standards (2) Exercice: calculer la fonction pay-off pour le vendeur dun call. Exercice: représenter graphiquement la fonction pay-off pour le vendeur dun call. Exercice: calculer la fonction pay-off pour le vendeur dun put. Exercice: représenter graphiquement la fonction pay-off pour le vendeur dun put.

18 François Longin Fonction de profit et de perte pour les options standards (1) Définition La fonction de profit et de perte (profit and loss or P&L) prend en compte le prix de loption payé par lacheteur au vendeur. Fonction de profit et de perte pour les options standards Pour lacheteur dun call : Pour lacheteur dun put : où C 0 et P 0 représentent la valeur à lémission (date 0) du call et du put.

19 François Longin Fonction de profit et de perte pour un call

20 François Longin Fonction de profit et de perte pour un put

21 François Longin Fonction de profit et de perte pour les options standards (2) Exercice: déterminer la perte maximum pour lacheteur dun call. Exercice: déterminer la perte maximum pour le vendeur dun call. Exercice: déterminer la perte maximum pour lacheteur dun put. Exercice: déterminer la perte maximum pour le vendeur dun put.

22 François Longin Evaluation doptions standards (1) Le problème La valeur dune option est connue à maturité T. Elle est donnée par la fonction pay-off (contrat). Quelle est la valeur dune option à une date quelconque t (t T) ? En particulier, quelle est la valeur de loption à la date démission (t = 0) ? Quelle est la prime payée par lacheteur de loption au vendeur ? Lapproche classique Jusque dans les années 1970, la méthode consistait à valoriser une option en actualisant ses flux de trésorerie anticipés avec un taux dactualisation qui prenait en compte le risque de loption. Exercice: formaliser lapproche classique pour un call.

23 François Longin Evaluation doptions standards (2) Lapproche par arbitrage (modèle de Black Scholes Merton) Sous certaines hypothèses, une position longue dans un call (achat) est équivalente à une position longue dans lactif sous-jacent (achat) et une position courte dans le titre sans risque (emprunt). Ce portefeuille (appelé portefeuille de couverture ou portefeuille darbitrage) permet de répliquer exactement le pay-off de loption à maturité. En labsence dopportunités darbitrage, la valeur de loption est alors égale à la somme des valeurs de ces positions (observables sur le marché).

24 François Longin La formule de Black Scholes Merton Formule pour un call Le prix dun call européen de prix dexercice K et de maturité T à la date t est donné par: où ln représente le logarithme népérien et N la distribution cumulée de la loi normale (loi de Gauss). Formule pour un put

25 François Longin Modèle de Black Scholes Merton: valeur du call

26 François Longin Modèle de Black Scholes Merton: valeur du put

27 François Longin Modèle de Black Scholes Merton : le portefeuille de couverture Décomposition du portefeuille de couverture A partir de la formule de Black-Scholes-Merton, le portefeuille de couverture peut sécrire comme suit: Interprétation Cette expression montre quun call peut être décomposé comme une position longue sur lactif sous-jacent (achat de actions) et une position courte dans lactif sans risque (emprunt dun montant B). Cette décomposition illustre le fait quun call est produit à effet de levier (utilisation dun emprunt pour acheter des actions) Exercice : mettre en évidence leffet de levier lié à un investissement en option. On considérera deux scénarios pour le prix de lactif sous- jacent : évolution à la hausse et à la baisse.

28 François Longin Facteurs influençant la valeur de loption Paramètres de loption Le prix dexercice de loption La maturité de loption Le type dexercice de loption Les conditions de marché Le prix de lactif sous-jacent Le taux dintérêt sans risque Les dividendes futurs La volatilité du prix de lactif sous-jacent

29 François Longin Analyse du prix dun call et du prix dun put Facteurs influençant le prix dune option Prix dexercice de loption : 100 Maturité de loption : 3 mois Type dexercice de loption : européen Prix de lactif sous-jacent : 100 Taux dintérêt sans risque : 5% Dividendes : 3% Volatilité du prix de lactif sous-jacent : 25% Question : quel est limpact de ces différents facteurs sur le prix dun call et sur le prix dun put ?

30 François Longin Influence du prix dexercice de loption Call Plus le prix dexercice du call est élevé, moins il y a de chances que le call finisse dans la monnaie et donc plus la valeur du call est faible. Put Plus le prix dexercice du put est élevé, plus il y a de chances que le put finisse dans la monnaie et donc plus la valeur du put est élevée.

31 François Longin Influence de la maturité de loption Call Plus la maturité du call est élevée, plus il y a de chances que le call finisse dans la monnaie et donc plus la valeur du call est élevée. Vrai pour les options américaines ou européennes de maturité courte ou moyenne Put Plus la maturité du put est élevée, plus il y a de chances que le put finisse dans la monnaie et donc plus la valeur du put est élevée.

32 François Longin Influence du type dexercice de loption Call Comme lacheteur dun call américain peut exercer son option à tout instant, alors que lacheteur dun call européen ne peut exercer son option quà maturité, le prix dun call américain est supérieur ou égal au prix dun call européen. Put Comme lacheteur dun put américain peut exercer son option à tout instant, alors que lacheteur dun put européen ne peut exercer son option quà maturité, le prix dun put américain est supérieur ou égal au prix dun put européen.

33 François Longin Influence du prix de lactif sous-jacent Call Plus le prix de lactif sous-jacent est élevé, plus il y a de chances que le call finisse dans la monnaie et donc plus la valeur du call est élevée. Put Plus le prix de lactif sous-jacent est élevé, moins il y a de chances que le put finisse dans la monnaie et donc plus la valeur du put est faible.

34 François Longin Influence du taux dintérêt sans risque Call Plus le taux dintérêt sans risque est élevé, plus la tendance du prix de laction est haussière, et plus il y a de chances que le call finisse dans la monnaie et donc plus la valeur du call est élevée. Put Plus le taux dintérêt sans risque est élevé, plus la tendance du prix de laction est haussière, et moins il y a de chances que le put finisse dans la monnaie et donc plus la valeur du put est élevée.

35 François Longin Influence des dividendes versés Call Plus les dividendes (versés pendant la vie de loption) sont élevés, plus le prix de laction à léchéance sera faible, et moins il y a de chances que le call finisse dans la monnaie et donc plus la valeur du call est faible. Put Plus les dividendes (versés pendant la vie de loption) sont élevés, plus le prix de laction à léchéance sera faible, et plus il y a de chances que le put finisse dans la monnaie et donc plus la valeur du put est élevée.

36 François Longin Influence de la volatilité du prix de laction Call Plus la volatilité de lactif sous-jacent est élevée, plus il y a de chances que le call finisse dans la monnaie et donc plus la valeur du call est élevée. Put Plus la volatilité de lactif sous-jacent est élevée, plus il y a de chances que le put finisse dans la monnaie et donc plus la valeur du put est élevée.

37 François Longin Définition des sensibilités (les Grecques) Sensibilité au prix de lactif sous-jacent : le delta et le gamma Le delta et le gamma représentent la première et la deuxième dérivée de la valeur du call par rapport au prix de lactif sous-jacent. Sensibilité au taux sans risque : le rho Sensibilité à la volatilité du prix de lactif sous-jacent : le vega Sensibilité au passage du temps : le theta Sensibilité au taux de dividende : lepsilon

38 François Longin Calcul des sensibilités (les grecques) Modèle de Black Scholes Merton (temps continu) Les sensibilités de la valeur du call aux différentes variables et paramètres du modèle peuvent être calculées analytiquement. Méthode binomial et méthode de simulation de Monte Carlo (temps discret) Les sensibilités de la valeur du call aux différentes variables et paramètres du modèle sont calculées par différence finie. La valeur de loption est recalculée en changeant la variable par rapport à la quelle on calcule la sensibilité. Exemple: calcul du delta: où correspond à une petite variation du prix de lactif sous-jacent.

39 François Longin Volatilité implicite (1) Les options standards écrites sur des actifs sous-jacents classiques (indices dactions, actions liquides, taux de change des principales devises, etc.) sont traitées sur les marchés financiers. Leur prix est la résultante de la confrontation de loffre et de la demande. Utilisation de la formule de Black Scholes Merton Pour les options dont le prix est fourni par le marché, la formule de Black Scholes Merton nest pas utilisée comme une formule de pricing (pour obtenir le prix à partir dune volatilité donnée) mais comme une formule de mapping (pour obtenir la volatilité implicite à partir du prix de marché de loption). Il y a une relation bijective entre le prix de loption et la volatilité de lactif sous-jacent. La volatilité ainsi calculée est appelée volatilité implicite. La volatilité implicite est la volatilité anticipée par la marché sur la période de loption.

40 François Longin Volatilité implicite (2) Faits stylisés sur la volatilité implicite Pour des options sur le même actif sous-jacent, la volatilité implicite nest pas constante : La volatilité implicite varie au cours du temps. La volatilité implicite dépend du prix dexercice et de la maturité de loption (effet « smile », « skew » et « smirk ») Courbe / surface de volatilité implicite

41 François Longin Volatilité (1) Pour des options pour lesquelles il ny a pas de prix de marché (sous- jacent exotique, maturité longue), le prix des options doit être déterminé à partir dun modèle. Utilisation de la formule de Black Scholes Merton La formule de Black Scholes Merton peut être utilisée comme une formule de pricing pour obtenir le prix de loption à partir de la volatilité. La volatilité de lactif sous-jacent doit être estimée à laide dun modèle statistique. Quelques modèles classiques : Volatilité historique Processus ARCH

42 François Longin Volatilité (2) Faits stylisés sur la volatilité (observée) Pour tous les actifs financiers, la volatilité des prix (ou des taux) nest pas constante au cours du temps. Il y a des périodes de forte volatilité et des périodes de faible volatilité. Après un grand choc, il y a plus de chances dobserver un grand choc quun petit choc. Après un petit choc, il y a plus de chances dobserver un petit choc quun grand choc.


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