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Le recours à linformatique sur un problème dEuler et de Lucas Christian Boyer Conférence du 31 mars 2005, à Amiens Jules Verne, le Centenaire (1905 –

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2 Le recours à linformatique sur un problème dEuler et de Lucas Christian Boyer Conférence du 31 mars 2005, à Amiens Jules Verne, le Centenaire (1905 – 2005) ASSOCIATION pour le DEVELOPPEMENT de la CULTURE SCIENTIFIQUE Union Régionale des Ingénieurs et Scientifiques de Picardie

3 31 mars 2005 © Christian Boyer 2 Jules Verne - Edouard Lucas Jules Verne - Edouard Lucas (Nantes 1828 – Amiens 1905) (Amiens 1842 – Paris 1891)

4 31 mars 2005 © Christian Boyer 3 E. Lucas Amiens Paris Edouard Lucas 1842 : Naissance à Amiens, et études au lycée impérial dAmiens (actuel lycée Louis Thuillier) 1842 : Naissance à Amiens, et études au lycée impérial dAmiens (actuel lycée Louis Thuillier) 1859 : Bac scientifique à Amiens, puis math sup au lycée de Douai 1859 : Bac scientifique à Amiens, puis math sup au lycée de Douai 1861 : Est reçu à Polytechnique et à Normale Sup, choisit Normale Sup, et quitte Amiens 1861 : Est reçu à Polytechnique et à Normale Sup, choisit Normale Sup, et quitte Amiens 1864 : Observatoire de Paris 1864 : Observatoire de Paris 1870 : Lieutenant dartillerie, participe aux combats de la Loire (Orléans, Blois, Le Mans, …) 1870 : Lieutenant dartillerie, participe aux combats de la Loire (Orléans, Blois, Le Mans, …) 1872 : Prof de math spé au lycée de Mougins 1872 : Prof de math spé au lycée de Mougins 1876 : Prof de math élém/spé au lycée Charlemagne et au lycée Saint-Louis, à Paris 1876 : Prof de math élém/spé au lycée Charlemagne et au lycée Saint-Louis, à Paris 1891 : Mort accidentelle suite à un banquet 1891 : Mort accidentelle suite à un banquet J. Verne Nantes Paris Le Crotoy / Amiens

5 31 mars 2005 © Christian Boyer 4 Problème non résolu de Martin Gardner Est-il possible de construire un carré magique 3x3 composé de 9 entiers carrés distincts ? Est-il possible de construire un carré magique 3x3 composé de 9 entiers carrés distincts ? Gardner pose cette question dans Quantum, 1996 puis à nouveau dans Scientific American, 1998 Gardner pose cette question dans Quantum, 1996 puis à nouveau dans Scientific American, 1998 Il attribue le problème initial à Martin LaBar, Southern Wesleyan University, USA Il attribue le problème initial à Martin LaBar, Southern Wesleyan University, USA problème n°270 paru sur 2 lignes dans The College Mathematics Journal, 1984problème n°270 paru sur 2 lignes dans The College Mathematics Journal, 1984 Il offre 100$ depuis 1996 Il offre 100$ depuis 1996

6 31 mars 2005 © Christian Boyer 5 Deux façons de voir le problème 1)Imposer quil y ait les 8 sommes magiques (3 lignes, 3 colonnes, et 2 diagonales sommes = 3a) Et essayer dutiliser le maximum dentiers carrés sur les 9 entiers distincts utilisésEt essayer dutiliser le maximum dentiers carrés sur les 9 entiers distincts utilisés 2)Imposer quil y ait les 9 entiers carrés distincts Et essayer dobtenir le maximum de sommes magiques sur les 8 possiblesEt essayer dobtenir le maximum de sommes magiques sur les 8 possibles

7 31 mars 2005 © Christian Boyer 6 Solution proche avec les 9 carrés OK pour les 9 entiers carrés, mais… 7 sommes correctes sur 8 OK pour les 9 entiers carrés, mais… 7 sommes correctes sur 8 S2 = = 147² pour 3 lignes, 3 colonnes, 1 diagonaleS2 = = 147² pour 3 lignes, 3 colonnes, 1 diagonale Hélas S2 = pour lautre diagonaleHélas S2 = pour lautre diagonale Par informatique, et indépendamment Par informatique, et indépendamment 1996 : Lee Sallows, Université de Nijmegen, Pays-Bas1996 : Lee Sallows, Université de Nijmegen, Pays-Bas 1996 : Michaël Schweitzer, Göttingen, Allemagne1996 : Michaël Schweitzer, Göttingen, Allemagne Beaucoup dautres solutions connues de ce type Beaucoup dautres solutions connues de ce type S2 est souvent un carré, comme dans cette solutionS2 est souvent un carré, comme dans cette solution

8 31 mars 2005 © Christian Boyer 7 Solution proche avec les 8 sommes OK pour les 8 sommes (3 lignes, 3 colonnes, 2 diagonales), mais… 7 entiers carrés sur 9 OK pour les 8 sommes (3 lignes, 3 colonnes, 2 diagonales), mais… 7 entiers carrés sur 9 S2 = 3 Centre = 3 425² = S2 = 3 Centre = 3 425² = Par informatique, et indépendamment Par informatique, et indépendamment 1997 : Lee Sallows, Université de Nijmegen, Pays-Bas1997 : Lee Sallows, Université de Nijmegen, Pays-Bas 1997 : Andrew Bremner, Arizona State University, USA1997 : Andrew Bremner, Arizona State University, USA Seule solution connue de ce type Seule solution connue de ce type

9 31 mars 2005 © Christian Boyer 8 Lien avec 3 autres problèmes mathématiques John Robertson, USA, Mathematics Magazine : John Robertson, USA, Mathematics Magazine : Progressions arithmétiquesProgressions arithmétiques Triangles rectangles de même aireTriangles rectangles de même aire Nombres congruents et courbes elliptiques y 2 = x 3 – n 2 xNombres congruents et courbes elliptiques y 2 = x 3 – n 2 x

10 31 mars 2005 © Christian Boyer 9 Aucune solution possible pour puissances 3 Dans tout carré magique 3x3, on doit avoir x n + y n = 2z n Dans tout carré magique 3x3, on doit avoir x n + y n = 2z n Car x n + z n + y n = Somme magique = 3 Centre = 3z nCar x n + z n + y n = Somme magique = 3 Centre = 3z n x 2 + y 2 = 2z 2 possible (ex: = ) x 2 + y 2 = 2z 2 possible (ex: = ) On ne peut rien conclureOn ne peut rien conclure x 3 + y 3 = 2z 3 impossible avec xyz (Euler) x 3 + y 3 = 2z 3 impossible avec xyz (Euler) Donc aucun carré magique 3x3 composé de cubesDonc aucun carré magique 3x3 composé de cubes x 4 + y 4 = 2z 2 impossible (Legendre) a fortiori 2z 4 impossible x 4 + y 4 = 2z 2 impossible (Legendre) a fortiori 2z 4 impossible Donc aucun carré magique 3x3 composé de puissances 4Donc aucun carré magique 3x3 composé de puissances 4 x n + y n = 2z n impossible pour n 3 (Noam Elkies, grâce à la preuve dAndrew Wiles du dernier théorème de Fermat) x n + y n = 2z n impossible pour n 3 (Noam Elkies, grâce à la preuve dAndrew Wiles du dernier théorème de Fermat) Donc aucun carré magique 3x3 composé de puissances 3Donc aucun carré magique 3x3 composé de puissances 3

11 31 mars 2005 © Christian Boyer 10 Recherches informatiques Duncan Buell Duncan Buell Department of Computer Science and Engineering, University of South Carolina, USADepartment of Computer Science and Engineering, University of South Carolina, USA Programme en tâche de fond pendant toute lannée 1998 Programme en tâche de fond pendant toute lannée 1998 Ordinateur multi-processeurs SGI Challenge de son universitéOrdinateur multi-processeurs SGI Challenge de son université Résultat… Résultat… Aucun « sablier magique » ayant 7 entiers carrés pour tout a < 2, Aucun « sablier magique » ayant 7 entiers carrés pour tout a < 2,

12 31 mars 2005 © Christian Boyer 11 Recherches informatiques Andrew Bremner, Acta Arithmetica, 2001 Andrew Bremner, Acta Arithmetica, 2001 Remarque simple Remarque simple Pour quun carré magique 3x3 puisse avoir 9 entiers carrés, il faut que toutes les combinaisons possibles de 6 entiers carrés, parmi 9, aient des solutionsPour quun carré magique 3x3 puisse avoir 9 entiers carrés, il faut que toutes les combinaisons possibles de 6 entiers carrés, parmi 9, aient des solutions Résultat… Résultat… Nombreuses solutions pour chacune de ces 16 combinaisons possiblesNombreuses solutions pour chacune de ces 16 combinaisons possibles Il ny a donc aucun « blocage » à ce niveauIl ny a donc aucun « blocage » à ce niveau

13 31 mars 2005 © Christian Boyer 12 Solution 4x4 Andrew Bremner, 2001 Andrew Bremner, 2001 S2 = 2823 pour les 4 lignes, 4 colonnes et 2 diagonales S2 = 2823 pour les 4 lignes, 4 colonnes et 2 diagonales

14 31 mars 2005 © Christian Boyer 13 De nombreuses recherches et publications de 1996 à 2004 Andrew Bremner Andrew Bremner Acta Arithmetica (2 articles)Acta Arithmetica (2 articles) Duncan Buell Duncan Buell Martin Gardner Martin Gardner Quantum puis Scientific AmericanQuantum puis Scientific American Richard Guy, problème D15 Richard Guy, problème D15 Unsolved Problems in Number Theory, 3 ème éditionUnsolved Problems in Number Theory, 3 ème édition American Math MonthlyAmerican Math Monthly Landon Rabern Landon Rabern Rose-Hulman Institute Math JournalRose-Hulman Institute Math Journal John Robertson John Robertson Mathematics MagazineMathematics Magazine Lee Sallows Lee Sallows The Mathematical IntelligencerThe Mathematical Intelligencer Tous citent Martin LaBar comme lauteur initial du problème Tous citent Martin LaBar comme lauteur initial du problème

15 31 mars 2005 © Christian Boyer 14 Mes propres recherches de Cas 3x3 : hélas aucune avancée Cas 3x3 : hélas aucune avancée Cas 4x4 : premières solutions paramétriques simples Cas 4x4 : premières solutions paramétriques simples Cas 5x5 : première solution connue Cas 5x5 : première solution connue Premières solutions avec des nombres premiers (^²) Premières solutions avec des nombres premiers (^²) Premières solutions avec des cubes Premières solutions avec des cubes Découverte que Euler, puis Lucas avaient déjà travaillé sur le sujet (donc bien avant LaBar et Gardner) Découverte que Euler, puis Lucas avaient déjà travaillé sur le sujet (donc bien avant LaBar et Gardner) = Publication en 2005 dun article dans The Mathematical Intelligencer = Publication en 2005 dun article dans The Mathematical Intelligencer

16 31 mars 2005 © Christian Boyer 15 Cas 3x3 : hélas aucune avancée Parmi les 8 configurations possibles de 7 entiers carrés, seule une configuration a permis de construire un exemple (mais déjà connu) Parmi les 8 configurations possibles de 7 entiers carrés, seule une configuration a permis de construire un exemple (mais déjà connu) Très nombreux essais avec des centres allant jusquà ou (mais toutefois non exhaustifs) pour rien… Très nombreux essais avec des centres allant jusquà ou (mais toutefois non exhaustifs) pour rien… Et donc encore très loin dune éventuel exemple de 8 entiers carrés Et donc encore très loin dune éventuel exemple de 8 entiers carrés (Sablier magique)

17 31 mars 2005 © Christian Boyer 16 S2 = 85(k² + 29) S2 = 85(k² + 29) Avec k = 3 S2 = 85(3² + 29) = 3230 Avec k = 3 S2 = 85(3² + 29) = 3230 Cas 4x4 : premières solutions paramétriques simples

18 31 mars 2005 © Christian Boyer 17 Cas 5x5 : première solution connue S2 = 1375 S2 = 1375 Entiers distincts de 1 à 31 (seulement 4, 18, 26, 28, 29, 30 manquent) Entiers distincts de 1 à 31 (seulement 4, 18, 26, 28, 29, 30 manquent)

19 31 mars 2005 © Christian Boyer 18 Premières solutions avec uniquement des nombres premiers (^²) Pourquoi ? Seulement pour corser la difficulté… Pourquoi ? Seulement pour corser la difficulté… 3x3 : impossible 3x3 : impossible 4x4 : OK ! S2 = x4 : OK ! S2 = x5 : OK ! S2 = x5 : OK ! S2 = Voir Voir

20 31 mars 2005 © Christian Boyer 19 Premières solutions avec des cubes 3x3 prouvé impossible (Rappel : x 3 + y 3 = 2z 3 impossible avec xyz) 3x3 prouvé impossible (Rappel : x 3 + y 3 = 2z 3 impossible avec xyz) 4x4 première solution… hmmm… S3 = 0… 4x4 première solution… hmmm… S3 = 0… 5x5 première solution… hmmm… S3 = 0… 5x5 première solution… hmmm… S3 = 0… x est « distinct » de –x, et x 3 + (-x) 3 = 0

21 31 mars 2005 © Christian Boyer 20 Edouard Lucas a été le premier à proposer le problème 3x3 ! Edouard Lucas en 1876, dans la rarissime revue Nouvelle Correspondance Mathématique du mathématicien belge Eugène Catalan, donc plus dun siècle avant Martin LaBar Edouard Lucas en 1876, dans la rarissime revue Nouvelle Correspondance Mathématique du mathématicien belge Eugène Catalan, donc plus dun siècle avant Martin LaBar Jules Verne à Amiens : 1872 Le Tour du Monde en 80 Jours, 1874 LIle Mystérieuse, 1876 Michel StrogoffJules Verne à Amiens : 1872 Le Tour du Monde en 80 Jours, 1874 LIle Mystérieuse, 1876 Michel Strogoff Solution paramétrique dun carré semi-magique Solution paramétrique dun carré semi-magique 6 sommes correctes S2 = (p²+q²+r²+s²)²6 sommes correctes S2 = (p²+q²+r²+s²)² Exemple avec (p, q, r, s) = (6, 5, 4, 2) donc S2 = 81 2 = 3 8 Exemple avec (p, q, r, s) = (6, 5, 4, 2) donc S2 = 81 2 = 3 8 puis déplacement lignes et colonnespuis déplacement lignes et colonnes

22 31 mars 2005 © Christian Boyer 21 Plus petit carré possible avec la méthode de Lucas Avec 6 sommes Avec 6 sommes (p, q, r, s) = (1, 2, 4, 6)(p, q, r, s) = (1, 2, 4, 6) S2 = (1²+2²+4²+6²)² = 57²S2 = (1²+2²+4²+6²)² = 57² Avec 8 sommes, Lucas prouve mathématiquement que sa méthode ne le permet pas Avec 8 sommes, Lucas prouve mathématiquement que sa méthode ne le permet pas Mais avec 7 sommes, Lucas navait pas vu que sa méthode le permettait Mais avec 7 sommes, Lucas navait pas vu que sa méthode le permettait (p, q, r, s) = (1, 3, 4, 11), on retrouve exactement le carré de Sallows et Schweitzer !(p, q, r, s) = (1, 3, 4, 11), on retrouve exactement le carré de Sallows et Schweitzer ! Et cela explique pourquoi S2 y était un carré S2 = (1²+3²+4²+11²)² = 147²Et cela explique pourquoi S2 y était un carré S2 = (1²+3²+4²+11²)² = 147²

23 31 mars 2005 © Christian Boyer 22 Leonhard Euler a été le premier à construire un carré de carrés ! Lettre envoyée à Lagrange en 1770, sans la méthode Lettre envoyée à Lagrange en 1770, sans la méthode « Permettez-moi, Monsieur, que je vous parle dun problème fort curieux et digne de toute attention » « Permettez-moi, Monsieur, que je vous parle dun problème fort curieux et digne de toute attention » S2 = 8515 S2 = 8515

24 31 mars 2005 © Christian Boyer 23 Lettre dEuler à Lagrange de 1770 Original retrouvé à la Bibliothèque de lInstitut de France, dans la correspondance de Lagrange Original retrouvé à la Bibliothèque de lInstitut de France, dans la correspondance de Lagrange Bibliothèque de lInstitut de France Photo C. Boyer

25 31 mars 2005 © Christian Boyer 24 Méthode 4x4 dEuler Publiée en 1770 Publiée en 1770 Méthode liée à ses travaux pour tenter de démontrer que Méthode liée à ses travaux pour tenter de démontrer que tout entier positif est la somme dau plus 4 entiers carréstout entier positif est la somme dau plus 4 entiers carrés vieille conjecture de Diophante, puis Bachet et Fermatvieille conjecture de Diophante, puis Bachet et Fermat conjecture qui sera complètement démontrée par Lagrange à partir des résultats partiaux dEulerconjecture qui sera complètement démontrée par Lagrange à partir des résultats partiaux dEuler Précurseur de la théorie des quaternions de Hamilton Précurseur de la théorie des quaternions de Hamilton S2 = (a²+b²+c²+d²)(p²+q²+r²+s²) S2 = (a²+b²+c²+d²)(p²+q²+r²+s²) Carré envoyé à Lagrange Carré envoyé à Lagrange (a, b, c, d, p, q, r, s) = (5, 5, 9, 0, 6, 4, 2, -3)(a, b, c, d, p, q, r, s) = (5, 5, 9, 0, 6, 4, 2, -3) S2 = = 8515S2 = = 8515

26 31 mars 2005 © Christian Boyer 25 Carrés semi-magiques 3x3 dEuler Etudie aussi en 1770 les carrés semi-magiques de carrés 3x3 Etudie aussi en 1770 les carrés semi-magiques de carrés 3x3 Méthode liée à ses travaux de physique et mécanique Méthode liée à ses travaux de physique et mécanique Rotation dun corps solide autour dun point fixeRotation dun corps solide autour dun point fixe Seulement le cas des 6 sommes magiques Seulement le cas des 6 sommes magiques 3 lignes, 3 colonnes3 lignes, 3 colonnes Ne parle pas du problème des 8 sommes magiques Ne parle pas du problème des 8 sommes magiques 3 lignes, 3 colonnes, ET 2 diagonales3 lignes, 3 colonnes, ET 2 diagonales Lucas sera le premier à soumettre complètement le problème Lucas sera le premier à soumettre complètement le problème

27 31 mars 2005 © Christian Boyer 26 Publication dEuler de 1770 Académie des Sciences de Saint-Pétersbourg Académie des Sciences de Saint-Pétersbourg Bibliothèque de lÉcole Polytechnique Photos C. Boyer

28 31 mars 2005 © Christian Boyer 27 Plus petit carré possible avec la méthode dEuler En 1770 : S2 = 8515 En 1770 : S2 = 8515 Minimum trouvé par EulerMinimum trouvé par Euler En 1942 : S2 = 7150 En 1942 : S2 = 7150 Minimum trouvé par Gaston Benneton, Acad. des Sciences et SMFMinimum trouvé par Gaston Benneton, Acad. des Sciences et SMF En 2004 : S2 = 3230 En 2004 : S2 = 3230 Minimum absolu avec (a, b, c, d, p, q, r, s) = (2, 3, 5, 0, 1, 2, 8, -4)Minimum absolu avec (a, b, c, d, p, q, r, s) = (2, 3, 5, 0, 1, 2, 8, -4) Génère même carré que celui déjà vu à paramètre unique k = 3Génère même carré que celui déjà vu à paramètre unique k = 3

29 31 mars 2005 © Christian Boyer 28 Quelques problèmes non résolus Carrés magiques de carrés Carrés magiques de carrés Carrés magiques de cubes (dentiers positifs) Carrés magiques de cubes (dentiers positifs) 3x3 Qui ? 4x4 Euler, x5 Boyer, x6 Qui ? 7x7 8x8 et + Bimagiques connus 3x3Impossible 4x4 … 11x11 Qui ? 12x12 et + Trimagiques connus

30 31 mars 2005 © Christian Boyer 29 Problèmes non résolus (suite) Carré magique 3x3 avec 9 entiers carrés distincts ou preuve de son impossibilité Carré magique 3x3 avec 9 entiers carrés distincts ou preuve de son impossibilité Proposé par Lucas en 1876Proposé par Lucas en $ offerts par Gardner depuis 1996 !100$ offerts par Gardner depuis 1996 ! Si solution, son centre est > 2, Si solution, son centre est > 2, Ou problème « plus simple » : Autre carré magique 3x3 avec 7 entiers carrés distincts (différent du carré déjà connu de Sallows et Bremner, et de ses rotations, symétries, et k² multiples) ou carré magique 3x3 avec 8 entiers carrés distincts Ou problème « plus simple » : Autre carré magique 3x3 avec 7 entiers carrés distincts (différent du carré déjà connu de Sallows et Bremner, et de ses rotations, symétries, et k² multiples) ou carré magique 3x3 avec 8 entiers carrés distincts 100 offerts par Christian Boyer100 offerts par Christian Boyer + une bouteille de Champagne !+ une bouteille de Champagne !

31 31 mars 2005 © Christian Boyer 30 Dans (Springer, New York) Dans (Springer, New York) Dans Dans FIN A suivre… FIN A suivre…


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