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David Rolland, formateur en Mathématiques. I/ Contenus enseignés 1/ Grandeurs à travailler De façon générale, le maître doit aider les élèves à percevoir.

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1 David Rolland, formateur en Mathématiques

2 I/ Contenus enseignés 1/ Grandeurs à travailler De façon générale, le maître doit aider les élèves à percevoir les différences quil y a entre « un objet », « une grandeur » et « une mesure ». Les difficultés à comprendre que lon peut associer plusieurs grandeurs à un même objet sont une des principales sources derreurs chez les élèves.

3 Lélève doit aussi être capable de mettre en place des procédures de comparaisons de grandeurs sans faire appel aux nombres. Enfin, il doit comprendre que la notion de mesure intervient lorsque les procédures de comparaisons précédentes deviennent insuffisantes pour comparer des grandeur.

4 En conséquence, dès lécole maternelle, les programmes demandent daborder la notion de grandeur au travers des activités de classement, de rangements dobjets ou à travers des activités de repérage dévénements dans le temps. Ces premières activités visent à construire chez les élèves le sens de la grandeur, indépendamment de la mesure et avant que celle-ci nintervienne.

5 Au cycle 2 sont introduites les notions de mesures de longueur, de masses, de durées. Au cycle 3 sont abordées les mesures daires et de capacité.

6 2/ Le vocabulaire des grandeurs Le maître doit exercer une certaine vigilance sur le langage utilisé pour évoquer les grandeurs. Le mot grandeur na pas à être utilisé en classe : il est remplacé par longueur, masse, etc. selon le contexte. Les mots du domaine des longueurs sont assez nombreux. Citons hauteur dun monument, dun arbre (attention la hauteur du soleil est un angle); altitude dun sommet, dun avion en vol; dénivelé dune route; profondeur dune piscine; taille dune personne; tour de cou; distance entre deux lieux; largeur dun fleuve; … Il est important pour lélève que tous ces mots, utilisés dans des contextes différents, se réfèrent au même concept, appelé en mathématiques longueur.

7 Certains mots désignant des unités de longueur (mètre, décimètre, décamètre) sont aussi utilises pour nommer un outil de mesure : mètre ruban, mètre de couturière, double-décimètre de lélève, décamètre darpenteur. Le mot aire doit être différencié de ses homonymes : lair que nous respirons, lair quon fredonne, laire géographique (apparentée à une surface), lère (lépoque). Dans le domaine des volumes, le terme contenance désigne un volume intérieur, les deux termes contenance et volume peuvent être utilisés, tout en soulignant leur différence avec le volume du son (qui évoque son intensité), le volume posé sur létagère (le livre)… A lécole primaire, le mot masse est considéré comme synonyme de poids, comme dans le langage courant.

8 3/ Compétences visées LongueursAiresContenances Comparer de manière directe -par exemple : des objets rectilignes, les tailles de élèves, des morceaux de ficelles -par superposition -par transvasement du contenu dun récipient dans chacun des autres Comparer de manière indirecte -Comparer les longueurs de segments à laide de papier calque, dun compas, de bandes de papier. -reporter des longueurs sur une ligne droite à partir de la même origine -Utiliser une ficelle ou une bande de papier pour comparer les longueurs de lignes courbes. -Utiliser le papier calque -Découper les surfaces données en morceaux, les réassembler de manière à obtenir des surfaces dont les aires sont comparables directement -Verser le contenu de chaque récipient dans un récipient de référence, noter le niveau atteint pour chaque récipient vide Mesurer avec des unités appropriées -Utiliser un étalon -Utiliser une règle graduée ou un mètre souple -Connaître des ordres de grandeur -Paver la surface à laide de surfaces de références (ayant une aire dune unité) -Utiliser du papier quadrillé -Connaître des ordres de grandeur -Utiliser un étalon (récipient dunité) -Utiliser un verre doseur -Connaître des ordres de grandeur Connaître les relations entre les unités usuelles -Connaître les équivalences entre les unités les plus courantes (km / m ; m / cm ; cm / mm) -Gérer mentalement les conversions entre unités voisines (m / dm ; dm / cm …) -Connaître les unités légales du système métrique -Connaître les équivalences entre les unités les plus courantes (km² / m² ; m² / dm² ; dm² / cm² ; cm² / mm²) -Les conversions systématiques avec toutes les unités daires relèvent plutôt du collège. -Connaître les équivalences entre les unités les plus courantes (L / cL / mL) -Connaître les multiples et sous- multiples du litre. Utiliser le calcul -Pour trouver le périmètre, la longueur dune ligne brisée. -Pour trouver une longueur ou une épaisseur moyenne -Pour trouver laire dun rectangle (un de ses côtés est de dimension entière -Mélange de liquides, nombre de verres dans une bouteille

9 AnglesMassesTemps Comparer de manière directe -par superposition des secteurs angulaires -balance de Roberval -Dans le cas où deux événements ont débuté en même temps, dire lequel a duré le plus longtemps Comparer de manière indirecte -Utilisation du papier calque. -Utilisation dun gabarit -Utilisation dun faux-compas -raisonner par transitivité Mesurer avec des unités appropriées -Utilisation dun étalon (gabarit dangle pris comme unité) -Lutilisation du rapporteur relève du collège -balance de Roberval avec des masses marquées -Utiliser une balance à lecture directe -Connaître les ordres de grandeur -Utilisation dun instrument (horloge, réveil, montre, chronomètre) -Lire lheure -Connaître les ordres de grandeurs Connaître les relations entre les unités usuelles -Connaître les équivalences entre les unités les plus courantes (kg / g ; t / kg ) -Connaître les unités légales du système métrique -Connaître les noms des jours, des mois. -Connaître les équivalences entre les unités (j / h, h / min, min / s ) Utiliser le calcul-Utilisation à bon escient de lune ou lautre des 4 opérations pour calculer la masse dun objet -En particulier, masse dun contenu par différence -Calcul dune durée par différence

10 Comme dans tous les domaines mathématiques, les problèmes doivent occuper une place importante, autant des problèmes pratiques comme par exemple celui qui consiste à trouver la masse de sable contenu dans un bocal sans le vider, que des problèmes permettant de réinvestir les opérations classiques comme la recherche de la masse dune dragée sachant que 10 dragées pèsent 20 g.

11 Les programmes insistent sur la nécessité de pratiquer des activités de comparaison de grandeurs, de rangement, de classement, destimation avant de faire intervenir des mesures. Mesurer une grandeur suppose la maîtrise pratique dun instrument et la connaissance des moyens pour exprimer cette mesure. Cela doit conduire les élèves au choix de linstrument le plus pertinent et des unités appropriées, à la notion de mesure approchée, aux sources dimprécision. 4/ Remarques sur ces compétences :

12 Le travail sur les grandeurs doit être pratique, en liaison avec les autres champs disciplinaires du programme de lécole élémentaire (sciences et technologie, histoire- géographie …) Aucune virtuosité technique nest exigible pour les conversions : celles-ci doivent porter sur les unités les plus usuelles et pouvoir être obtenues sans le recours systématique au tableau de conversion.

13 5/ Progression générale non détaillée à adapter pour chacune des grandeurs : 1 ère étape : comparaisons (directes ou indirectes) permettant de « faire apparaître » la nouvelle grandeur que lon veut étudier. Prenons lexemple de la masse.

14 Etant donnés deux objets A et B, il est possible, en utilisant une balance, darriver à la conclusion du type : Lobjet A est aussi lourd que lobjet B Ou Lobjet A est plus lourd que lobjet B Ou Lobjet A est moins lourd que lobjet B On peut donc regrouper les objets aussi lourds les uns que les autres entre eux. Par un effort dabstraction, on sera amené à dire que ces objets ont « quelque chose en commun » que lon appellera masse de ces objets.

15 De façon générale, la notion de grandeur prend naissance à loccasion de comparaisons (directes ou indirectes) concernant des objets.

16 Exemples : La notion de longueur est construite à loccasion de comparaisons de segments. La notion de masse est construite à loccasion de comparaisons dobjets variés à laide dune balance. La notion de durée est construite à loccasion de comparaisons dévénements qui se prolongent dans le temps. La notion de volume est construite à loccasion de comparaisons de solides creux.

17 2 ème étape : mesurages en utilisant un « objet » choisi arbitrairement, appelé objet étalon (la grandeur de cet objet est lunité choisie pour effectuer le mesurage). Si u est lunité choisie, il sagit de trouver combien de fois il faut utiliser u pour obtenir la grandeur que lon veut mesurer.

18 Exemple avec la longueur dun segment u : La longueur du segment vaut 3 si on prend u comme unité de longueur.

19 Remarque fondamentale : il est important de faire comprendre que le résultat dépend de lunité choisie, voire même de faire comprendre que plus lunité est petite plus le résultat est grand.

20 3 ème étape : introduction dune unité « légale » Il sagit de se mettre daccord pour que tout le monde utilise le même étalon, et donc la même unité.

21 4 ème étape : utilisation de tout un système dunités Il sagit dexpliquer pourquoi une seule unité ne suffit pas puis de bâtir tout un système décimal dunités.

22 5 ème étape : établissement de formules (exemple : formule donnant laire dun rectangle)

23 6 / Exemple pour la notion daire cycle 3 (deux premières étapes uniquement) Il ne sagit pas de donner ici une progression détaillée et encore moins de proposer des documents utilisables en classe, mais simplement dillustrer une partie de la démarche.

24 1 ère étape pour construire la notion daire : a/ Quelle surface a la plus grande aire ? b/ Quelle surface a la plus grande aire ?

25 c/ Quelle surface a la plus grande aire ? Ce 3° est une situation-problème. Il sagit de découvrir quon peut découper la première surface en deux morceaux er réassembler les morceaux pour obtenir la deuxième surface.

26 d/ Pour aller vers la deuxième étape (qui consistera à mesurer des aires à laide dunités variées), quelle surface a la plus grande aire ?

27 2 ère étape a/ Mesurer les aires de deux surfaces en utilisant lunité 1. b/ Mesurer les aires de deux surfaces en utilisant lunité 2. c/ Mesurer les aires de deux surfaces en utilisant lunité 3.

28 Autre exercice possible : Vanina, Tania et Eric ont mesurés laire de la surface coloriée. Vanina a trouvé 8, Tania a trouvé 16 et Eric a trouvé 32. Quelles unités ont-ils utilisées ?

29 Exercice : Proposez une progression au CE1 en suivant les étapes précédentes (comparaison directe ou indirecte, mesurages à laide dun outil, introduction de lunité légale, introduction du système international et établissement de formules) pour la longueur.

30 7 / Points de repère par niveau de scolarité A propos des niveaux où chaque grandeur peut être travaillée, les documents dapplication donnent trois indications : un niveau où une première approche de la grandeur est possible, un deuxième niveau de construction, de structuration et enfin un troisième niveau de consolidation. Dans le tableau suivant, les pointillés signalent quune première approche est possible un peu avant et après pour rappeler quil est nécessaire de poursuivre lenseignement pour consolider les apprentissages. Ainsi par exemple, la comparaison directe des longueurs est vraiment travaillée au CP mais peut tout à fait être amorcée en maternelle. De même, létude des unités du système métrique pour les longueurs nest pas achevée au CM1

31 Grandeurs Cycle 2Cycle 3 GSCPCE1CE2CM1CM2 Longueurs ………Comparaison directe …………………………………………….…… ………Comparaison indirecte ……………………….. ………Règle graduée …………………………….. …….. ………Mètre souple ……………….. ………Calcul du périmètre dun polygone ………cm, m……..mmSystème métrique..

32 GS CP CE1 CE2 CM1 CM2

33 II/ Les difficultés des élèves 1/ Difficultés à concevoir certaines grandeurs Décrivons quelques activités pour lesquelles les élèves de lécole élémentaire ou du début de collège manifestent souvent des hésitations ou des erreurs de jugement.

34 Activité n°1

35 Deux baguettes de même longueur sont présentées à un enfant, comme lindique la figure 1a. il est invité à dire si une baguette est plus longue que lautre. En général, lenfant répond que non. La même question lui est reposée ensuite après que les baguettes aient été placées, sous ses yeux, dans la disposition représentée sue la figure 1b. Beaucoup denfants (GS, CP) donnent alors une réponse positive ; pour eux, tout se passe comme si la longueur dune baguette au moins avait été modifiée, comme si elle ne sétait pas conservée entre les deux moments de lexpérience.

36 Activité n°2 Figure 2aFigure 2bFigure 2c

37 Deux ficelles de même longueur sont présentées à un enfant, comme lindique la figure 2a. Il est invité à dire si une ficelle est plus longue que lautre. En général, il convient facilement que non. La même question lui est reposée ensuite après que lune des ficelles ait été froissée (figure 2b) ou enroulée (figure 2c) sous ses yeux. Beaucoup denfants (GS, CP) donnent alors une réponse positive ; pour eux, tout se passe comme si la longueur dune ficelle au moins avait été modifiée, comme si elle ne sétait pas conservée entre les deux moments de lexpérience.

38 Ces deux expériences rappellent les expériences décrites et analysés par J. Piaget dans « la Géométrie spontanée de lenfant » (PUF, 1948). Pour lui, la « conservation » de la longueur nest en général atteinte quaux alentours de 6 ans et demi.

39 Activité n°3 Il sagit de lexercice n°14 de lévaluation nationale de début CE2 (septembre 1991). Entoure le chien qui suivra le chemin le plus court pour arriver à los

40 Absence de réponse ……….……………… 1,1 % En voici les résultats nationaux : Réponse juste (chien de gauche entouré) ……………………………………………………..… 58,9 % Chien de droite entouré …………………………………………..…………… 23,1 % Autres réponses…..……………………….… 16,9 %

41 Les élèves se laissent influencer par ce quils voient – le chien de droite est « à vol doiseau » plus près de los que le chien de gauche – mais en répondant ainsi ils ne prennent pas en compte la longueur des chemins.

42 Activité n°4 Il sagit de lexercice n°15 du livret dévaluation à lentrée en 6 e (1997). Le côté de la maille du réseau quadrillé mesure 1 cm.

43 56% pensent que le périmètre du carré est plus grand que celui de la croix. Les élèves semblent raisonner, à propos des périmètres, comme ils le font pour les aires. Or il leur serait facile de compter les segments unités le long de chaque contour pour contrôler leur réponse. Ils ne le font pas parce quils sont sûrs de leur jugement. 67% des élèves pensent que laire du carré est plus grande que celle de la croix, la réponse exacte est apportée par une majorité délèves mais pas par la totalité. 22% des élèves seulement pensent que le périmètre du carré est égal à celui de la croix.

44 Activité n°5 Il sagit de lexercice de G-S Close (in Childrens understanding of angle at the primary/ secondary transfer age, 1982) Les élèves sont invités à se prononcer sur léventuelle égalité dangles regroupés par paires ; dans six cas les angles sont bien égaux, dans deux cas la somme des mesures vaut 360°.

45

46 Il ny a que : 39% de réussite pour la paire {(c), (d)] et 44% de réussite pour la paire {(g), (h)]. Pour plus de la moitié dentre eux, tout se passe comme sils pensaient que plus les côtés dun angle sont longs, plus langle est grand. Pour des élèves de 6 e, le taux de réussite de cette activité est denviron 40%.

47 Toutes ces activités montrent que les élèves : Se laissent influencer par des aspects perceptifs de la situation (ce quils voient les pousse à une fausse interprétation de la tâche ou les abuse). Ou confondent certaines grandeurs voisines : longueur dune ligne / distance des extrémités ; aire / périmètre ; grandeur dun angle et longueur des côtés dessinés. Ou mettent difficilement en relation les grandeurs entre elles.

48 2/ Dautres difficultés sont dordre pratique : Lecture de la graduation dune règle ou dun verre doseur Mauvais positionnement de lorigine des graduations

49 3/ Malgré lemploi souvent intensif des tableaux de conversion, les erreurs ou les maladresses, à propos des unités sont fréquentes Oubli dindiquer les unités dans les réponses aux problèmes Oubli de convertir les mesures dans la même unité avant de calculer dans un problème (doù des réponses invraisemblables)

50 La confusion entre unités, fréquente à propos du poids et de la taille chez les jeunes élèves, se poursuit au cycle 3, entre celles de longueur et daire, entre les cL et les cm 3, etc. (doù labandon des unités issues du m 3 ) Seul le litre, ses multiples et ses sous-multiples sont au programme de lécole primaire.

51 La représentation des unités par des élèves est souvent stéréotypée : un cm² est presque toujours imaginé par les élèves comme un carré de un cm de côté ; on peut faire lhypothèse quun telle « définition » va faire obstacle pour comprendre ce que représente laire dune surface qui ne peut visiblement pas être recouverte de tels carrés Difficulté à comprendre que si lon change dunités, cest la mesure qui change et non la grandeur qui change

52 Méconnaissance de quelques ordres de grandeur de référence (hauteur dune maison, dun immeuble, dun arbre…) Difficultés sur les durées (elles ne sexpriment pas dans le système décimal)

53 III/ Les variables didactiques 1/ Rappels La notion de variable didactique a un sens précis en didactique des mathématiques et ne doit pas être confondue avec celle du paramètre dune situation. Quand un enseignant donne une tâche à des élèves, celle-ci est une tâche particulière dune famille de tâches dépendant dun certain nombre de paramètres.

54 Exemple : pour des CE1 Ajouter deux nombres inférieurs à 100. Quels sont les paramètres de cette tâche ? Les chiffres utilisés, la taille des nombres, le fait que ces nombres soient donnés à lécrit ou à loral, entre autres.

55 On appelle variable didactique un paramètre dans une tâche qui peut être modifié par le maître et dont la modification peut avoir un effet prévisible sur les procédures délèves, les faire évoluer, les rendre inadéquates, les bloquer, les favoriser…

56 Ainsi la taille des nombres dans lexemple précédent, le type de calcul demandé (écrit ou mental) sont des variables didactiques : en effet si les nombres sont grands, des procédures de calcul basées sur le dessin des collections deviennent laborieuses et peu fiables, de même les procédures de calcul mental sont différentes des procédures de calcul posé.

57 2/ les variables didactiques sur les grandeurs Pour les activités de comparaison : La nature des objets : objets physiques, dessins, courbes, objets rectilignes La taille de ces objets : objet appartenant au micro-espace (espace proche de lenfant) ou au méso-espace (espace accessible à une vision globale)

58 Le fait que ces objets soient déplaçables ou non, transformables ou non, superposables ou non, décomposables ou non Le matériel dont dispose les élèves : règle graduée ou non, compas, ficelle, papier quadrillé ou non …

59 - Pour les activités de recherche ou de calcul de la mesure : La nature de la figure : figure simple (carré, rectangle…) ou figure composée, figure pour laquelle des formules peuvent être aisément utilisées. La taille de la figure Le fait que la figure peut être facilement décomposable en éléments simples, le fait que lélève puisse mesurer ou non certaines dimensions Le matériel Les données de dimensions utiles ou inutiles La présence de traits parasites (diagonale par exemple) La mise à disposition ou non dun formulaire

60 FIN David Rolland, IUFM de la Polynésie française Cours sur les grandeurs et la mesure


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