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Hamid Meghdadi Directeurs: Jean-Pierre Cances Vahid Meghdadi

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Présentation au sujet: "Hamid Meghdadi Directeurs: Jean-Pierre Cances Vahid Meghdadi"— Transcription de la présentation:

1 Hamid Meghdadi Directeurs: Jean-Pierre Cances Vahid Meghdadi
Formation de faisceaux coopératifs pour transmissions multiutilisateurs par relais Bonjour, et merci d’être venu à la soutenance de ma thèse intitulée : Formation de faisceaux coopératifs pour transmissions multiutilisateurs par relais.

2 Plan Introduction Optimisation mathématique à l’aide de multiplicateurs de Lagrange Cas particulier : Tous les SNR égaux  Pseudo inverse Annulation d’interférences à l’aide de procédé de Gram Schmidt Optimisation de SNR en se basant sur les statistiques d’ordre deux des coefficients du canal Conclusions Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Voici le plan de ma présentation : Après une brève introduction, nous allons utiliser la méthode de multiplicateurs de Lagrange pour améliorer les performances d’un système de télécommunication, ensuite nous allons traiter un cas particulier et donner les expressions théorique sur les performances du système. Nous allons ensuite annuler les interférences entre utilisateurs en utilisant le procédé d’orthonormalisation de Gram Schmidt. Ensuite nous allons maximiser le rapport « signal à bruit plus interférences » en se basant uniquement sur les statistiques d’ordre deux du canal, et en fin nous allons conclure sur les travaux présentés au cours de cette séance.

3 Introduction Enjeux et motivations: Loi de Nielsen
Usage de Data sur les téléphones portables Introduction Motivations MIMO distribué Systèmes coopératifs Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion La demande en moyens de communications toujours plus rapides et plus fiables Tout d’abord nous allons voir les motivations derrière la création des systèmes coopératifs à travers de deux exemples : Le premier est la loi de Nielson qui dit que la vitesse moyenne d’internet s’augmente de 50 pourcent tous les ans. Ce qui est équivalent de multiplier la vitesse d’internet par à peu près 58 tous les 10 ans. L’autre exemple est l’utilisation de téléphone portable par un abonné lambda pour les applications de transfert de données. On peut voir que l’utilisation des téléphones portables pour les appels vocaux reste pratiquement constante au cours des années, mais l’utilisation de largeur de bande sur les portables pour le transfert de donnée, s’augmente de manière exponentielle. Donc on peut dire que la recherche pour trouver des moyens de communications toujours plus rapide et plus fiable ne cessera jamais. Une solution assez prometteuse est d’utiliser les systèmes MIMO. Systèmes MIMO

4 Introduction But : Obtenir un moyen de communication fiable
Problème: obstacle Introduction Motivations MIMO distribué Systèmes coopératifs Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Source Destination MIMO Tous les canaux sont faibles obstacle Source 1 Un problème avec les systèmes MIMO, est que si un obstacle venait à apparaitre entre la source et la destination, comme normalement les antennes ne sont pas suffisamment éloignées sur la source ou sur la destination, tous les canaux vont se trouver en atténuation profonde, et la qualité de la liaison va être fortement dégradée. Pour résoudre ce problème, on peut utiliser les systèmes MIMO distribués. Dans ce cas, même en présence d’un obstacle entre l’une des sources et la destination, l’autre source peut toujours assurer la transmission et la qualité de la liaison sera beaucoup moins dégradée que le cas précédant. Destination Solution: MIMO distribué Source 2 Transmet toujours

5 Amplify-and-Forward :
Introduction Principe des systèmes coopératifs Introduction Motivations MIMO distribué Systèmes coopératifs Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion R D S Nous allons maintenant très brièvement présenter les différentes stratégies coopératives. Ici on peut voir un système coopératif conventionnel. Pendant la première phase, la source envoie un message vers le relai et la destination. Pendant la deuxième phase le relai envoie un signal vers la destination. La nature de ce signal définit la stratégie coopérative utilisée. Notamment on parle de amplify-and-forward quand le relai envoie une version amplifiée de son signal reçu. Et on parle de decode-and-forward quand le relai d’abord décode le signal reçu et envoie un signal proportionnel au signal qu’il estime être envoyé à l’origine par la source. Amplify-and-Forward : Decode-and-Forward :

6 Introduction Principe des systèmes coopératifs R D S
Motivations MIMO distribué Systèmes coopératifs Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion R D S Après la fin de deuxième phase, la destination a deux signaux à sa disposition. Le critère utilisé par la destination pour trouver le signal envoyé à l’origine par la source détermine la technique de combinaison, notamment on parle de selection combining qui consiste à simplement choisir le trajet le plus fiable, equal gain combining qui consiste à additionner les deux signaux sans pondération, et finalement maximal ratio combining qui prend en compte la qualité de chaque trajet pour attribuer les coefficients de pondération. Ici on peut voir les résultats de simulation de ces techniques et stratégies, on peut voir qu’en général amplify-and-forward donne de meilleurs performances par rapport à decode-and-forward, et bien évidemment MRC est la technique de combinaison la plus performante. Selection combining (SC) Equal gain combining (EGC) Maximal ratio combining (MRC)

7 Plan Introduction Optimisation mathématique à l’aide de multiplicateurs de Lagrange Modèle du système Objectifs Les vecteurs de précodage Optimisation des précodeurs Algorithme Cas particulier : Tous les SNR égaux  Pseudo inverse Annulation d’interférences à l’aide de procédé de Gram Schmidt Optimisation de SNR en se basant sur les statistiques d’ordre deux des coefficients du canal Conclusions Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Nous allons maintenant utiliser les multiplicateurs de Lagrange pour améliorer les performances d’un système de télécommunication.

8 Modèle du système Le système est composé de :
Introduction Multiplicateurs de Lagrange Modèle du système Objectifs Hypothèses Les vecteurs de précodage Optimisation de précodeurs Algorithme Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Le système est composé de : Une station de base à M antennes L relais à R antennes N stations mobiles mono-antennes Voici le modèle de notre système qui est composé de: Une station de base à M antennes L relais, chacun équipé de R antennes N e destinations mono-antennes

9 Modèle du système 2 3 Introduction Multiplicateurs de Lagrange Modèle du système Objectifs Hypothèses Les vecteurs de précodage Optimisation de précodeurs Algorithme Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion 1 La BS envoie N messages à N utilisateurs mobiles : BS envoie les signaux aux relais. Chaque relai décode son signal reçu et le multiplie par un vecteur de précodage. Les relais envoient les signaux vers les mobiles. La transmission s’effectue en trois phases : Première phase consiste à la source envoyer N messages aux relais Pendant la deuxième phase, les relais calculent les vecteurs de pondérations, et multiplient les signaux de message par ces coefficients, … Avant de les envoyer vers les stations mobiles pendant la troisième phase.

10 Modèle du système Notations: s = [s1 s2 … sN] est le message à envoyer
Introduction Multiplicateurs de Lagrange Modèle du système Objectifs Hypothèses Les vecteurs de précodage Optimisation de précodeurs Algorithme Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Notations: s = [s1 s2 … sN] est le message à envoyer xi of size R1 est le signal envoyé par ième relai yj est le signal reçu par la jème station mobile hij ~ CN (0, IR) sont les coefficients du canal entre le ième relai et la jème station mobile On appelle s le vecteur de n messages à envoyé, xi est le signal envoyé par le ième relai, yj est le signal reçu par la station mobile numéro j, hij est le vecteur de coefficients du canal entre le relai numéro i et le mobile numéro j, et finalement wij est le vecteur de précodage du relai numéro i pour le message numéro j. (R1) sont les vecteurs de précodage du ième relai.

11 Objectifs Introduction Multiplicateurs de Lagrange Modèle du système Objectifs Hypothèses Les vecteurs de précodage Optimisation de précodeurs Algorithme Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Annulation d’interférences entre utilisateurs, chaque MS doit recevoir uniquement le signal qui lui à été destiné (MS1 ne reçoit que s1 … ) Addition cohérente Respecter la contrainte de puissance Notre objectif est de calculer les vecteurs de précodage de manière à Annuler l’interférence entre utilisateurs, c'est-à-dire que MSj doit recevoir uniquement sj. De plus on souhaite avoir une addition cohérente, c'est-à-dire que les signaux qui arrivent en même temps à la station mobile numéro j doit arriver en phase pour qu’on puisse avoir un superposition constructive, Et bien évidemment tout ça en respectant la contrainte de puissance.

12 Les hypothèses Pas de liaison directe entre la BS et les mobiles
Relay 1 Relay 2 BS MS1 MS2 MSN Introduction Multiplicateurs de Lagrange Modèle du système Objectifs Hypothèses Les vecteurs de précodage Optimisation de précodeurs Algorithme Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Pas de liaison directe entre la BS et les mobiles Liaisons BS-RS idéales. Les canaux de Rayleigh entre les RS et les MS Les coefficients du canal connus aux relais. On assume qu’il n’y a pas de liaison directe entre la source et les mobile, on considère que les liaisons entre la source et les relais sont idéales. On assume les canaux de Rayleigh entre les relais et le mobiles, et que ces canaux sont connus aux relais.

13 Vecteurs de précodage BS Annulation d’interférences : Relay 1 Relay 2
MS1 Introduction Multiplicateurs de Lagrange Modèle du système Objectifs Hypothèses Les vecteurs de précodage Optimisation de précodeurs Algorithme Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion MS2 BS Relay 2 MSN On prend un cas simplifié où on considère uniquement deux relais mais un nombre arbitraire des mobiles. Ici on a l’expression du signal reçu par la station mobile numéro j. Le x1 et x2 dans ces expressions peuvent être remplacés par leurs formules. La condition d’annulation d’interférences impose que dans cette formule, la somme de tous les termes interférant doit être égale à zéro. En respectant cette condition, on peut réécrire cette formule en gardant uniquement les termes venant du signal sj. Maintenant, pour avoir un maximum de rapport signal à brui, on doit maximiser les termes hijwij. Annulation d’interférences :

14 Optimisations des précodeurs
Maximize: Linéaire Introduction Multiplicateurs de Lagrange Modèle du système Objectifs Hypothèses Les vecteurs de précodage Optimisation de précodeurs Algorithme Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Subject to : Annulation d’interférences Linéaire Non-linéaire Addition cohérente Linéaire On écrit le problème d’optimisation pour le premier relai. On doit maximiser le rapport signal à bruit donc h1jw1j. Pour les contraintes, on doit d’abords s’assurer que les interférences entre utilisateurs sont annulées, c’est la même équation que tout à l’heure mais avec les parties réelle et imaginaire séparées. Pour l’addition cohérente, on doit garantir que la partie imaginaire de h1jw1j est nulle et que la partie réelle est supérieure à zéro. Et la contrainte de puissance dit que la puissance totale dissipée dans le premier relai doit être inférieure à un seuil donné. Maintenant si on regarde ces expressions, on peut voir que la fonction objective est une fonction linéaire, ainsi que la première et la deuxième contraintes. Mais par contre da dernière contrainte est une équation non linéaire, ce qui fait que l’ensemble de ces équation résulte en un système non linéaire qui est très difficile à résoudre. Pour subvenir à ce problème, on peut échanger la dernière contrainte et la fonction objective. Contrainte de puissance Non-linéaire

15 Optimisations des précodeurs
Minimize: Introduction Multiplicateurs de Lagrange Modèle du système Objectifs Hypothèses Les vecteurs de précodage Optimisation de précodeurs Algorithme Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Quadratique linéaire Subject to : Annulation d’interférence Linéaire C'est-à-dire, qu’on ne va pas maximiser le rapport signal à bruit tout en limitant la puissance, mais on va minimiser la consommation de puissance tout en gardant le rapport signal à bruit au dessus d’une valeur minimale. Les deux autres contraintes ne sont pas modifiées. Maintenant on va avoir un objectif quadratique, avec trois contraintes linéaires. Ce qui résulte à un système linéaire, beaucoup plus facile à résoudre. Addition cohérente Linéaire le SNR Linéaire

16 Optimisations des précodeurs
On définit : Annulation d’interférences : Addition cohérente : Autres conditions : Introduction Multiplicateurs de Lagrange Modèle du système Objectifs Hypothèses Les vecteurs de précodage Optimisation de précodeurs Algorithme Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Donc afin d’optimise notre système : On définit wi le vecteur colon de tous les vecteurs de précodages, et Hi une matrice regroupant les coefficients du canal entre le relai numéro i et tous les mobiles. Maintenant on écrit les contraintes de système sous forme matricielle : Annulation d’interférences qui est la même chose qu’avant mais écrite sous forme matricielle. Addition cohérente. Et toutes les autres conditions écrites sous forme matricielle comme des fonctions linéaires de wi.

17 Algorithme Ecrire les contraintes du système :
Ecrire l’équation à résoudre : Résoudre cette équation : ui = Ai-1bi et prendre les 2N premiers éléments pour Trouver les à partir de Normaliser les vecteurs de précodage pour obtenir le maximum de puissance disponible aux relais. avec Introduction Multiplicateurs de Lagrange Modèle du système Objectifs Hypothèses Les vecteurs de précodage Optimisation de précodeurs Algorithme Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion avec Finalement, l’algorithme d’optimisation se déroule de la façon suivante : On écrit les contraintes de système sous forme matricielle avec uniquement les termes réels. On écrit l’équation matricielle à résoudre. On résout cette équation à l’aide de matrice inverse et on prend les 2N premiers valeurs pour wi, sachant que les autres valeurs dans la réponse sont les fameux multiplicateurs de Lagrange. A partir de wi trouvé dans étape précédente, on calcul les wij. Et en fin, on normalise les précodeurs pour obtenir la puissance maximale disponible aux relais.

18 Plan Introduction Optimisation mathématique à l’aide de multiplicateurs de Lagrange Cas particulier : Tous les SNR égaux  Pseudo inverse Calcul des vecteurs de précodage Analyse de performances Approximation de TEB à forte SNR Diversité pour le cas de deux utilisateurs Performances théoriques pour nombre utilisateurs arbitraire Expectation – maximization pour approximation du SNR Résultats de simulation Annulation d’interférences à l’aide de procédé de Gram Schmidt Optimisation de SNR en se basant sur les statistiques d’ordre deux des coefficients du canal Conclusions Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion La méthode qu’on vient de voir et une méthode très flexible qui peut être utilisée pour traiter différents systèmes avec plusieurs sortes des contraintes, mais dû à cette flexibilité, on ne peut pas donner de prédictions théorique de performance de système. On va donc traiter un cas particulier qui va nous permettre de donner des prédictions théoriques sur les performances du système.

19 Cas particulier Un cas particuliers : même SNR pour tous les mobiles
Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Un cas particuliers : même SNR pour tous les mobiles On considère le cas particulier où on exige le même rapport signal à bruit pour tous les mobiles. On peut écrire le signal reçu par la station mobile numéro j. En définissant Wi et Hi comme des matrice regroupant tous le vecteurs de précodages et coefficients du canal du relai numéro i, on peut réécrire le signal reçu par la station mobile numéro j sous forme matricielle. nj ~ CN (0, N0 )

20 Calcul des vecteurs de précodage
Deux scénarios envisageables : Relais indépendants Moins cher Moins de degrés de liberté Performances dégradées Connaissance de tous les CSI aux relais : Plus cher Plus de de degrés de liberté Meilleures performances Nécessite de communiquer entre les relais Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Cette équation est répétée ici. Pour annuler les interférences entre utilisateur, on doit s’assurer que le premier élément de y dépend uniquement du premier élément du s et ainsi de suite. Ça veut dire que le terme entre parenthèses est une matrice diagonale, de plus comme on exige le même SNR pour tous les mobiles, cette matrice doit être une matrice d’identité à une constante de proportionnalité près. Deux scénarios sont envisageables : On peut considérer que les relais sont indépendants, ce qui veut dire que chaque relai doit garantir la véracité de cette équation indépendamment des autre relais, ça veut dire que pour chaque relai la matrice de coefficients du canal fois la matrice de précodeurs doit être une matrice d’identité, ce qui augmente le nombre des contrainte, et par conséquence limite les performances du système. Ou on peut considérer que tous relais ont accès aux coefficients du canal et vecteurs de précodage des autres relais, à ce moment là, on peut vérifier cette équation une foi pour l’ensemble des relais, ce qui en donnant plus de degrés de liberté à notre système améliore sa performance, mais en contre partie en nécessitant un calcul centralisé de précodeurs augmente la complexité et bien évidemment le coût du système. On va donc supprimer l’indice i de cette équation tout en sachant que si on est dans le premier cas, on doit résoudre L équations indépendantes de type HW égale I, et si on et dans le second cas, le H et le W sont en fait la somme de L H et W. Quoi qu’il en soit la réponse à cette équation est donnée par W égal au pseudo-inverse de Moore Penrose de H, g étant une constante de proportionnalité garantissant le respect de contrainte de puissance. On peut donc écrire le vecteur des signaux reçu par les stations mobiles. On peut voir que chaque élément de y est une version amplifiée de son élément correspondant dans s.

21 Analyse de performance du système
Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Pour une modulation M-PSK, le taux instantané d’erreur est donné par : Avec k = 2sin2 (π/M) une constante dépendant de la modulation et étant le rapport signal à bruit Donc le signal reçu par la station mobile numéro j peut s’écrire sous cette forme, on peut en déduire le rapport signal à bruit instantané. Le taux d’erreur instantané s’écrit alors comme 2 fois Q-function de racine carré de k gamma. Donc pour trouver le taux d’erreur moyen, on doit moyenner ce taux d’erreur instantané sur toutes les valeurs possible du rapport signal à bruit, avec P gamma de gamma étant la densité de probabilité du rapport signal à bruit. Pour la simplicité on définit beta comme le rapport entre rapport signal à bruit instantané et le rapport signal à bruit moyen, ce qui nous permet de réécrire l’expression du taux d’erreur moyen. Définition Densité de probabilité (pdf) de γ

22 Une probabilité de Q-function
Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Sur la figure du haut on peut voire le pdf du rapport signal à bruit sur la même courbe que le Q-function. On peut voir que le Q-function tend vers zéro beaucoup plus rapidement que le pdf du rapport signal à bruit, donc pour évaluer le taux d’erreur à forte SNR il suffit de regarder l’évaluation du beta autour du point zéro. Donc en ce qui concerne le taux d’erreur à forte SNR, on peut approximer le pdf de beta avec une fonction polynomiale avec un seul terme. Q-function décroit beaucoup plus rapidement que la densité de probabilité, donc afin d’évaluer le taux d’erreur à forte SNR il suffit d’évaluer le comportement de la densité de probabilité autour de zéro.

23 Approximation de TEB pour fortes SNR
Q-function limit Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Définition de la fonction gamma Pour évaluer le taux d’erreur, d’abord on écrit la limite supérieure de Q-function, ensuite dans l’équation de taux d’erreur moyen, on remplace cette limite, ainsi que l’approximation du pdf de beta. Avec un changement de variable on obtient cette équation, on utilise la définition de la fonction Gamma. Et finalement on utilise une propriété de la fonction Gamma pour simplifier encore ces résultats. Et on peut obtenir le taux d’erreur binaire à partir du taux d’erreur symbole.

24 Calcul de diversité pour le cas N=2
Valeurs propres de H Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion On va maintenant calculer, de manière rigoureuse, la diversité de notre système pour le cas de deux utilisateurs, c'est-à-dire deux stations mobiles. On peut écrire beta, le rapport signal à bruit instantané sur le rapport signal à bruit moyen, en fonction de lambda 1 et lambda 2 les valeurs propre des matrices H1 et H2. En utilisation la loi de Wishart et après les calculs, on peut écrire la densité de probabilité de beta. On désigne par petit n, le nombre total des antennes émettrices. Maintenant on va calculer l’exposant le premier exposant non zéro de beta. En numérateur on a 2n moins 1, et en dénominateur on a ici le maximum de p qui est égal à m et ici le maximum de m qui est égal à n, donc le degré de dénominateur est égale à n-1, ce qui fait qu’au final, l’exposant le plus petit de beta est égal à n-1. Donc on aura une diversité de n-1, qui est égale au nombre total des antennes émettrices moins le nombre des utilisateurs, à savoir deux dans notre cas, plus 1. avec et Diversité est de n-1: RL-N+1

25 Performance pour N quelconque
Pour le cas du nombre arbitraires des mobiles, on ne peut pas calculer le pdf de SNR de façon analytique. Approximation: mixture des lois Nakagami Distribution de loi Nakagami: La mixture des lois Nakagami : Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Pour le nombre quelconque d’utilisateurs, le calcul analytique de pdf n’est pas envisageable, on va alors essayer d’approximer le pdf du rapport signal à bruit par une mixture des lois Nakagami. Ici on a l’expression d’une loi Nakagami. Donc la mixture des lois Nakagami s’écrit sous cette forme, où pi j est la probabilité que la loi Nakagami numéro j soit sélectionnée. On doit calculer maintenant les pi j, ainsi que les mu j et les oméga j, les paramètres de chaque loi Nakagami. Pour ce faire, on utilise l’algorithme d’Expectation-maximization. Expectaion Maximization

26 Expectation - Maximization
Notations: x: réalisations de SNR observées z: la probabilité de choisir chacune des lois Nakagami (paramètres non observés) θ: Les paramètres inconnus (μj et Ωj) étapes: Expectation: Calculer l’espérance de la fonction log likelihood, par rapport à la distribution conditionnelle de z sachant x sous l’estimation actuelle de θ, θ(t) Maximization: Trouver les paramètres qui maximisent cette quantité Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion On désigne par x, les réalisations du rapport signal à bruit, ou les variables observée de l’algorithme d’expectation-maximization. z est les paramètre cachés de chaine Markov, ici les pi j, les probabilités de choisir la loi Nakagami numéro j. téta est le vecteur des paramètres inconnus, qui sont dans notre cas les paramètres de chacune des lois Nakagami. L’algorithme d’expectation maximization se déroule de façon suivante : Pendant l’étape d’expectation, on calcul l’espérance de la fonction log-likelihood par rapport à la distribution conditionnelle de z sachant x et téta. Ensuite pendant l’étape de maximisation, on trouve le téta qui maximise cette quantité. EM s’effectue en itérant ces étapes jusqu’à ce qu’on converge vers les valeurs optimales des paramètres.

27 Calcul de la fonction Log Likelihood
Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion avec Pour le calcul de la fonction log-likelihood, on sait que likelihood de téta sachant x et z est égale à la probabilité conditionnelle de x et z sachant téta. On peut donc calculer cette fonction de likelihood. On peut maintenant calculer le logarithme naturel de cette fonction.

28 Expectation avec (Théorème de Bayes) Introduction
Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Le log-likelihood est répété ici. L’étape d’expectation consiste alors à moyenner ce log-likelihood sur les différentes valeurs de z, sachant x et téta. Voici le résultat. avec (Théorème de Bayes)

29 Maximization N R π ω μ Introduction Multiplicateurs de Lagrange
Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion N R π ω μ 3 4 5 6 7 8 10 L’étape de maximisation consiste à trouver les paramètres qui maximisent cette espérance. On trouve alors les pi, oméga, et mu de chaque loi de Nakagami. On peut voir ici les résultats obtenus pour différentes configurations du système.

30 Résultats de l’approximation
Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Distribution calculée Distribution réelle Cette figure montre que pour une configuration donnée, c'est-à-dire un nombre de relais et un nombre des stations mobiles, la distribution calculée par l’algorithme est très proche de la distribution obtenue avec la simulation Monte-Carlo.

31 Analyse de performance du système
Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion On pose : On peut maintenant calculer le taux d’erreur pour une distribution de Nakagami. On remplace distribution de Nakagami avec son expression. Avec un changement de variable et en séparant les partie entière et décimale de mu, on obtient : avec:

32 Résultats de simulation
Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Voici les résultats de simulation. Les lignes représentent les résultats théoriques et les points représentent les résultats de simulation Monte Carlo. On peut voir que les résultats de simulation confirment bien les formules théoriques.

33 Résultats de simulation
Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Nombre des copies du signal= R x L Cas 1 : N-1 Cas 2 : L(N-1) Ici on peut voir les résultats de simulation pour les deux cas, c'est-à-dire pour les relais indépendants et pour le calcul centralisé. Si on regarde la structure du système, on peut voir qu’il y à R fois L copies de signal envoyé à une station mobile donnée. Le nombre des contraintes est égale à N-1 pour le cas de structure centralisée, parce qu’il faut annuler les N-1 signaux interférents à chaque station mobile. Pour le cas des relais indépendants, comme chaque relai doit indépendamment des autres relais, le nombre total des contraintes va être L fois N-1. L’ordre de diversité est donc donné par le nombre des copies du signal moins le nombre des contraintes, ce qui fait RL-N+1 pour la structure centralisée, et L fois R-N+1 pour le cas des relais indépendants. Nombre des contraintes: Cas 1 : RL-N+1 Cas 2 : L(R-N+1) Diversité :

34 Résultats de simulation
Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Ici on peut voir la corrélation entre la diversité et l’architecture du système, et on peut voir que les résultats théoriques et ceux de simulations coïncident. La corrélation entre la diversité et l’architecture du système

35 Résultats de simulation
Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Nombre des relais Performances Voici les performances du système pour les nombres différents de relais pour un nombre donné de mobiles, on peut voir que plus on augmente le nombre des relais, et plus le système serai performante, ce qui est normal, parce que on augmente le nombre des copie du signal envoyé à la destination. Les performances du système pour les nombres différents de relais

36 Résultats de simulation
Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Nombre des mobiles Performances Voici les performances du système pour différents nombres de stations mobiles, pour un nombre donné d’antennes. Plus on augmente le nombre des mobile, et plus la performance du système est dégradée. C’est normal parce qu’on augmente le nombre des contraintes. Performances du système pour différents nombres de stations mobiles

37 Plan Introduction Optimisation mathématique à l’aide de multiplicateurs de Lagrange Cas particulier : Tous les SNR égaux  Pseudo inverse Annulation d’interférences à l’aide de procédé de Gram Schmidt Cas de deux relais – deux utilisateurs Cas général Calcul de précodeurs Analyse de diversité Approximation de la distribution du SNR Allocation de puissance optimale Résultats de simulation Optimisation de SNR en se basant sur les statistiques d’ordre deux des coefficients du canal Conclusions Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion On va maintenant essayer d’annuler les interférences entre utilisateurs en utilisant le procédé d’orthonormalisation de Gram Schmidt.

38 Cas de deux relais et deux mobiles
Relay 1 MS1 Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Cas simplifié Cas général Calcul de précodeurs Analyse de diversité Approximation de SNR Puissance optimale Résultats de simulation Statistiques d’ordre deux Conclusion BS Relay 2 MS2 Dans un premier temps, on considère un système simplifié de deux relais et deux stations mobiles. On écrit les équations du système. Pour annuler les interférences, on doit s’assurer que le coefficient de s2 dans l’équation du haut ainsi que le coefficient de s1 dans l’équation du bas soient égales à zéro. On peut donc écrire que w12 doit être orthogonal à h11, et ainsi de suite. Pour maximiser le rapport signal à bruit on doit maximiser le coefficient de s1 dans l’équation du haut, et s2 dans l’équation du bas. En utilisant le théorème de projection orthogonale, et on obtient ces résultats. Annulation d’interférences Maximisation de SNR

39 Cas général – Procédé de Gram-Schmid
Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Cas simplifié Cas général Calcul de précodeurs Analyse de diversité Approximation de SNR Puissance optimale Résultats de simulation Statistiques d’ordre deux Conclusion Construire , la base orthonormée de Trouver le vecteur tel que soit la base orthogonale de Solution: Procédé de Gram-Schmidt On va maintenant traiter le cas général. En général, un vecteur de précodage, wlk, doit être orthogonal à l’ensemble de N-1 vecteurs de coefficient du canal, hl1 jusqu’à hlN, sauf hlk. Alors on construit d’abord la base orthonormée de l’ensemble Vl,kh, ensuite on trouve wlk, tel qu’il soit orthogonale à la base orthonormée trouvée précédemment. On utilise alors le procédé d’orthonormalisation de Gram Schmidt. On illustre les deux premières étapes de ce procédé : La première base, et le vecteur unitaire suivant hl1. Pour la deuxième base, on trouve d’abords la projection de hl2, sur e1. On trouve ensuite u2 le résultat de hl2 moins cette projection. Finalement on prend le vecteur unitaire dans le sens d’u2. En répétant ces étapes on peut trouver la base orthonormée de de l’ensemble Vl,kh

40 Calcul des précodeurs avec Introduction Multiplicateurs de Lagrange
Pseudo Inverse Gram Schmidt Cas simplifié Cas général Calcul de précodeurs Analyse de diversité Approximation de SNR Puissance optimale Résultats de simulation Statistiques d’ordre deux Conclusion On peut alors donner l’expression de wkl. On remplace la projection par sa formule mathématique. Ce signe correspond à la multiplication élément par élément de ces deux vecteurs. On peut donc donner le signal reçu par la station mobile numéro i. avec

41 Analyse de la diversité
Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Cas simplifié Cas général Calcul de précodeurs Analyse de diversité Approximation de SNR Puissance optimale Résultats de simulation Statistiques d’ordre deux Conclusion Diversité ? Caractérisation de λ2k,i Raisonnement par récurrence : i=1 i=2 Si λ2k,i-1 est une variable Χ2 avec 2[R− (i−2)] degrés de libérté : Χ2 avec 2R degrés de liberté λ2k,2 est une variable Χ2 avec 2(R-1) degrés de liberté Cette expression est répétée ici. Pour trouver la diversité de yi, on doit caractériser λ2k,i. On le fait en utilisant le raisonnement par récurrence : Pour i=1, c'est-à-dire pour le mobile numéro 1, on à ça. Donc λ2k,1 est une variable aléatoire chi 2 avec 2R degrés de liberté. Pour i=2, la deuxième station mobile, on obtient une variable chi 2 avec 2 fois R-1 degré de liberté. Si on assume que lambda carré de k et i-1 est une variable chi 2 avec 2 fois R moins i moins 2 degrés de liberté, on peut prouver que lambda carré de k et i est une variable chi 2 avec 2 fois R moins i moins 1 degrés de liberté. On a donc prouvé que λ2k,i est une variable chi-2. λ2k,i est une variable Χ2 avec 2[R− (i−1)] degrés de liberté

42 Approximation de la distribution de SNR
X2 est un cas particulier de la distribution gamma: Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Cas simplifié Cas général Calcul de précodeurs Analyse de diversité Approximation de SNR Puissance optimale Résultats de simulation Statistiques d’ordre deux Conclusion Expectation-Maximization (Mixture d’1 loi gamma) Les paramètres α et β Comme la distribution de chi-2 est un cas particulier de la distribution gamma, il nous faut trouver maintenant les paramètres alpha et beta. On utilise une foi de plus l’algorithme d’expectation-maximization avec une seule loi gamma, pour trouver alpha et beta. Sur cette figure, on peut voir que la distribution issue de l’algorithme, suit de très près les résultats de simulation. Cette même confirmation peut aussi se voir sur la courbe log-log.

43 Allocation de puissance optimale
Minimize : Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Cas simplifié Cas général Calcul de précodeurs Analyse de diversité Approximation de SNR Puissance optimale Résultats de simulation Statistiques d’ordre deux Conclusion Subject to : On va maintenant essayer d’optimiser l’allocation de puissance. Le problème d’optimisation est alors de minimiser le taux d’erreur moyen, tout en respectant la contrainte de puissance. On obtient donc la puissance optimale de chaque relai, avec A une constante qui garantie que la somme des puissances des relais soit égale à puissance totale disponible PT. constante

44 Résultats de simulation
Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Cas simplifié Cas général Calcul de précodeurs Analyse de diversité Approximation de SNR Puissance optimale Résultats de simulation Statistiques d’ordre deux Conclusion Théorie Simulation Ici on peut voir les résultats de simulation de taux d’erreur du premier mobile pour un système à deux relais et deux mobiles. Les lignes solides sont les résultats de formules, et les pointillés sont les résultats de simulation. On peut voir que les deux courbes sont très proches dans tous les cas. On peut aussi voir qu’on obtient une diversité de trois dans le cas de procédé Gram Schmidt. La courbe rouge représente le résultat de simulation d’un algorithme ZF, qui donne une diversité de deux. Donc en utilisant la méthode de Gram Schmidt, la première station mobile profite de plus de diversité par rapport au cas de ZF. Taux d’erreur symbole (2 stations mobiles, 2 relai avec 2 antennes i=1)

45 Résultats de simulation
Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Cas simplifié Cas général Calcul de précodeurs Analyse de diversité Approximation de SNR Puissance optimale Résultats de simulation Statistiques d’ordre deux Conclusion Théorie Simulation Ici on a les résultats de simulation de même système, mais pour deuxième mobile. On peut voir que la courbe rouge reste en place, donc la méthode ZF ne privilégie pas une station mobile plutôt que l’autre. Ce qui n’est pas le cas de l’algorithme Gram Schmidt. Pour le Gram Schmidt, on obtient une diversité de 1. Donc on peut dire que le Gram Schmidt permet de définir plusieurs niveaux de priorité d’utilisateurs. Il permet d’augmenter la diversité d’un utilisateur au coût de perte de la diversité pour les autres utilisateurs. Taux d’erreur symbole (2 stations mobiles, 2 relai avec 2 antennes i=2)

46 Plan Introduction Optimisation mathématique à l’aide de multiplicateurs de Lagrange Cas particulier : Tous les SNR égaux  Pseudo inverse Annulation d’interférences à l’aide de procédé de Gram Schmidt Optimisation de SNR en se basant sur les statistiques d’ordre deux des coefficients du canal Modèle du système Rapport signal à bruit Calcul des coefficient de pondération Cas particulier : contrainte sur puissance totale, canaux indépendants Résultat de simulation Conclusions Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Pour tous les systèmes qu’on a étudiés jusqu’ici, on a considéré que la liaison BS-RS était idéale, en plus on nécessitait une connaissance parfaite des coefficients du canal aux relais. Ces restrictions peuvent limiter l’intérêt pratique de ces travaux, de plus l’utilisation des relais multi-antenne ne permettait pas d’utiliser un utilisateur mobile inoccupé en tant que relai. Dans cette partie de la présentation, on va traiter le cas où la liaison BS-RS n’est pas idéale, et les relais ne dispose que les statistiques d’ordre deux du canal.

47 Modèle du système Introduction Multiplicateurs de Lagrange
Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Modèle du système Rapport signal à bruit Calcul des pondérations Cas particulier Résultat de simulation Conclusion On voit ici le schéma du système. Une source à M antennes envoie M messages à M utilisateurs mobiles à travers de R relais mono-antennes. On définit le vecteur gj, le vecteur ligne des coefficient du canal entre tous le relais et le mobile numéro j, et la matrice G regroupant tous les coefficients du canal entre les relais et les mobiles. On définit aussi la matrice H regroupant tous les coefficients du canal entre la station de base et les relais. Les lignes de cette matrice sont les coefficients du canal entre la source et un relai donné, et les colonnes de cette matrice sont les coefficients du canal entre une antenne de la source et tous les relais.

48 Rapport signal à bruit Puissance dissipée dans les relais Introduction
Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Modèle du système Rapport signal à bruit Calcul des pondérations Cas particulier Résultat de simulation Conclusion Puissance dissipée dans les relais Le rapport signal à bruit plus des interférences peut s’écrire sous cette forme avec les matrices P, Q, et G, ne dépendant que les statistiques d’ordre deux des canaux de transmission. On peut aussi calculer la somme de puissance consommée dans les relais.

49 Coefficients de pondération
Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Modèle du système Rapport signal à bruit Calcul des pondérations Cas particulier Résultat de simulation Conclusion On définit : On doit donc trouver les coefficients de pondérations w, ainsi que la puissance de source Ps, qui maximisent le rapport signal à bruit plus des interférences, tout en gardant la puissance de la source plus la puissance totale des relais en dessous d’une valeur limite. On peut prouver que pour les valeurs optimales de Ps et w, l’inégalité se transforme en égalité. En remplaçant cette égalité dans la fonction objective et en définissant C1 et C2, notre problème d’optimisation devient : Cette problème à la réponse 1 sur la valeur propre la plus petit de la matrice C1 puissance moins un demi C2 C1 puissance moins un demi. Cette valeur maximale et obtenue pour x égale à vecteur propre associé à cette valeur propre la plus petit. Il nous reste alors à trouver la puissance optimale de la source : il faut chercher dans toutes les valeurs propres de cette matrice, trouver le minimum, et maximiser ce minimum en trouvant la valeur optimale de Ps.

50 Cas I : Toutes les matrices sont diagonales
Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Modèle du système Rapport signal à bruit Calcul des pondérations Cas particulier Résultat de simulation Conclusion Algorithme : Construire les matrices Pj , Qj , Gj et D Calculer les R valeurs propres de C1-1/2C2C1-1/2 ,en fonction de k et de Ps Calculer Ps En fonction de Ps calculer la valeur optimale de C1-1/2C2C1-1/2 En fonction de la valeur optimale de C1-1/2C2C1-1/2 , calculer w Pour les raisons de temps, je n’expose que le cas où toutes les matrices sont diagonales, c'est-à-dire pour les canaux indépendants. Maximiser 1 sur lambda min revient à minimiser lambda min. maintenant on peut échanger les deux opérations de minimisation. L’algorithme d’optimisation se déroule alors de cette façon : En se basant sur les statistiques d’ordre deux du canal, on construit les matrices P, Q, G, et D. On calcul les R valeurs propre de la matrice C1 moins un demi C2 C1 moins un demi en fonction de leurs indices et de la puissance de la source. On calcul la valeur optimale de Ps En fonction de cette valeur, on calcul la valeur optimale de la matrice C1 moins un demi C2 C1 moins un demi. A partir de cette valeur optimale, on trouve le vecteur des pondérations, w. On a donc calculé les valeurs optimales de la puissance de source et des coefficients de pondération.

51 Résultats de simulation
Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Modèle du système Rapport signal à bruit Calcul des pondérations Cas particulier Résultat de simulation Conclusion 3 utilisateurs Zero forcing 4 utilisateurs Ici on voit les résultats de simulation : les traits sont obtenu en se basant uniquement sur les statistiques d’ordre deux du canal et les pointillés sont les résultats de ZF avec une connaissance parfaite du canal au relais. Bien sur les résultats de ZF sont meilleurs par rapport aux résultats basés sur les statistique d’ordre deux. Mais ces deux résultats sont assez proches. Donc on peut voir que la méthode proposée est une technique très performante, qui donne de très bons résultats tenant compte de sa simplicité de mise en œuvre par rapport à la méthode très exigeante de ZF avec la connaissance parfaite du canal. On compare aussi deux types de contraintes de puissance : les contraintes de puissance individuelle par relais et la contrainte de puissance totale. On peut voir que quant la somme de puissance des relais plus la puissance de source est limitée, le système est plus performante comparé au cas où la puissance de chaque relai est limité. Mais cet écart est moins important quand on augmente le nombre des utilisateurs. Statistiques d’ordre deux Comparaison entre : ZF avec la connaissance parfaite du canal Méthode proposée avec statistiques d’ordre deux des coefficients du canal.

52 Plan Introduction Optimisation mathématique à l’aide de multiplicateurs de Lagrange Cas particulier : Tous les SNR égaux  Pseudo inverse Annulation d’interférences à l’aide de procédé de Gram Schmidt Optimisation de SNR en se basant sur les statistiques d’ordre deux des coefficients du canal Conclusions Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion On va maintenant conclure sur les travaux effectués.

53 Conclusions Chapitre 2 : Chapitre 3 : Chapitre 4 : Chapitre 5:
Multiplicateurs de Lagrange Méthode très flexible Pas de prédictions théoriques Chapitre 3 : Cas particulier : Pseudo inverse de Moore-Penrose Prédiction théorique : Maximisation de l’espérance Chapitre 4 : Procédé de Gram Schmidt Plusieurs niveaux de priorités Chapitre 5: Statistiques d’ordre deux Prise en compte de la liaison source-relais Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion En chapitre deux, nous avons modifié la méthode de multiplicateurs de Lagrange pour l’adapter aux applications vectorielle et matricielle, et nous l’avons utilisé pour optimiser un système de télécommunication multi-relais multiutilisateurs. Cette méthode permet de traiter de nombreux types de contraintes, mais il n’est pas possible de donner les prédictions théoriques de performances du système. Troisième chapitre traite un cas particulier où le même SNR est exigé pour tous les utilisateurs. Dans ce cas les vecteurs de précodage peuvent être calculés en utilisant le pseudo inverse de Moore-Penrose. Les performances théorique du système sont évaluées de manière rigoureuse pour le cas de deux utilisateurs, et en utilisant l’algorithme d’Expectation maximization avec une bonne approximation pour le cas de nombre d’utilisateurs quelconque. Quatrième chapitre couvre l’utilisation de procédé d’orthonormalisation de Gram Schmidt pour annuler les interférences entre utilisateurs. Cette méthode permet d’avoir différentes diversités pour les différents utilisateurs, donc plusieurs niveaux de priorités pour les utilisateurs. Le cinquième chapitre se base uniquement sur les statistiques d’ordre deux du canal pour optimiser le rapport signal à interférences plus bruit. On prend en compte la liaison source-relais, et on utilise les relais mono-antennes.

54 Merci de votre attention
Publications «Analog decoding of tail-biting convolutional codes on graphs », ISWCS '08 «Versatile graphs for tail-biting convolutional codes», ISCAS 2008 «Cooperative multiple access transmission using precoding vectors», Eusipco 2009 «Semi-analytic approach to evaluate performance of a precoded multiuser cooperative scheme», PIMRC 2010 «Performance analysis of a cooperative multiple access relaying scheme», IWCMC 2010 «Algorithmes de formation de faisceaux coopératifs pour systèmes multi-relais multiutilisateurs basés sur des statistiques du second ordre », GRETTSI 2011 «Simple precoding algorithms using gramschmidt orthonormalization process for multi-user relay communications with optimized power allocation», accepted in Annals of Telecommunication «Semi-analytic performance of a multiaccess MIMO scheme using precoding vectors», accepted in International Journal of Communications, Network, and System Sciences Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques d’ordre deux Conclusion Merci de votre attention Voici les communications qui ont été publié au cours de cette thèse. Les deux dernières communications ont été soumise pour publication au moment de rédaction du manuscrit, mais tout les deux on été accepté entre temps et vont apparaitre bientôt dans les journaux cités. Je vous remercie de votre attention et votre patience et je suis à votre disposition pour toutes questions éventuelles.


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