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MS Base Station RelayRelay RelayRelay RelayRelay MS 6 décembre 2011 Formation de faisceaux coopératifs pour transmissions multiutilisateurs par relais.

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1 MS Base Station RelayRelay RelayRelay RelayRelay MS 6 décembre 2011 Formation de faisceaux coopératifs pour transmissions multiutilisateurs par relais Hamid Meghdadi Directeurs: Jean-Pierre Cances Vahid Meghdadi

2 Hamid Meghdadi Plan Introduction Optimisation mathématique à laide de multiplicateurs de Lagrange Cas particulier : Tous les SNR égaux Pseudo inverse Annulation dinterférences à laide de procédé de Gram Schmidt Optimisation de SNR en se basant sur les statistiques dordre deux des coefficients du canal Conclusions Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques dordre deux Conclusion 2/54

3 Hamid Meghdadi Introduction Enjeux et motivations: – Loi de Nielsen – Usage de Data sur les téléphones portables Introduction Motivations MIMO distribué Systèmes coopératifs Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques dordre deux Conclusion 3/54 La demande en moyens de communications toujours plus rapides et plus fiables Systèmes MIMO

4 Hamid Meghdadi Introduction But : Obtenir un moyen de communication fiable Introduction Motivations MIMO distribué Systèmes coopératifs Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques dordre deux Conclusion 4/54 MIMO Source Destination Tous les canaux sont faibles Solution: MIMO distribué Source 1 Source 2 Destination Transmet toujours

5 Hamid Meghdadi Introduction Principe des systèmes coopératifs Introduction Motivations MIMO distribué Systèmes coopératifs Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques dordre deux Conclusion 5/54 S S D D R R Amplify-and-Forward : Decode-and-Forward :

6 Hamid Meghdadi Introduction Principe des systèmes coopératifs 6/54 S S D D R R Selection combining (SC) Equal gain combining (EGC) Maximal ratio combining (MRC) Introduction Motivations MIMO distribué Systèmes coopératifs Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques dordre deux Conclusion

7 Hamid Meghdadi Plan Introduction Optimisation mathématique à laide de multiplicateurs de Lagrange – Modèle du système – Objectifs – Les vecteurs de précodage – Optimisation des précodeurs – Algorithme Cas particulier : Tous les SNR égaux Pseudo inverse Annulation dinterférences à laide de procédé de Gram Schmidt Optimisation de SNR en se basant sur les statistiques dordre deux des coefficients du canal Conclusions 7/54 Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques dordre deux Conclusion

8 Hamid Meghdadi Modèle du système Le système est composé de : – Une station de base à M antennes – L relais à R antennes – N stations mobiles mono-antennes 8/54 Introduction Multiplicateurs de Lagrange Modèle du système Objectifs Hypothèses Les vecteurs de précodage Optimisation de précodeurs Algorithme Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques dordre deux Conclusion

9 Hamid Meghdadi Modèle du système La BS envoie N messages à N utilisateurs mobiles : 1.BS envoie les signaux aux relais. 2.Chaque relai décode son signal reçu et le multiplie par un vecteur de précodage. 3.Les relais envoient les signaux vers les mobiles. 9/54 Introduction Multiplicateurs de Lagrange Modèle du système Objectifs Hypothèses Les vecteurs de précodage Optimisation de précodeurs Algorithme Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques dordre deux Conclusion

10 Hamid Meghdadi Modèle du système Introduction Multiplicateurs de Lagrange Modèle du système Objectifs Hypothèses Les vecteurs de précodage Optimisation de précodeurs Algorithme Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques dordre deux Conclusion Notations: – s = [ s 1 s 2 … s N ] est le message à envoyer – x i of size R 1 est le signal envoyé par i ème relai – y j est le signal reçu par la j ème station mobile – h ij ~ CN (0, I R ) sont les coefficients du canal entre le i ème relai et la j ème station mobile – 10/54 ( R 1) sont les vecteurs de précodage du i ème relai.

11 Hamid Meghdadi Objectifs 1.Annulation dinterférences entre utilisateurs, chaque MS doit recevoir uniquement le signal qui lui à été destiné (MS 1 ne reçoit que s 1 … ) 2.Addition cohérente 3.Respecter la contrainte de puissance Introduction Multiplicateurs de Lagrange Modèle du système Objectifs Hypothèses Les vecteurs de précodage Optimisation de précodeurs Algorithme Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques dordre deux Conclusion 11/54

12 Hamid Meghdadi Les hypothèses – Pas de liaison directe entre la BS et les mobiles – Liaisons BS-RS idéales. – Les canaux de Rayleigh entre les RS et les MS – Les coefficients du canal connus aux relais. Introduction Multiplicateurs de Lagrange Modèle du système Objectifs Hypothèses Les vecteurs de précodage Optimisation de précodeurs Algorithme Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques dordre deux Conclusion 12/54 Relay 1 Relay 2 BS MS 1 MS 2 MS N

13 Hamid Meghdadi Annulation dinterférences : Vecteurs de précodage Introduction Multiplicateurs de Lagrange Modèle du système Objectifs Hypothèses Les vecteurs de précodage Optimisation de précodeurs Algorithme Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques dordre deux Conclusion 13/54 Relay 1 Relay 2 BS MS 1 MS 2 MS N

14 Hamid Meghdadi Optimisations des précodeurs Introduction Multiplicateurs de Lagrange Modèle du système Objectifs Hypothèses Les vecteurs de précodage Optimisation de précodeurs Algorithme Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques dordre deux Conclusion 14/54 Maximize: Subject to : Annulation dinterférences Addition cohérente Contrainte de puissance

15 Hamid Meghdadi Minimize: Optimisations des précodeurs Introduction Multiplicateurs de Lagrange Modèle du système Objectifs Hypothèses Les vecteurs de précodage Optimisation de précodeurs Algorithme Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques dordre deux Conclusion 15/54 Subject to : Annulation dinterférence Addition cohérente le SNR

16 Hamid Meghdadi Optimisations des précodeurs On définit : Annulation dinterférences : Addition cohérente : Autres conditions : Introduction Multiplicateurs de Lagrange Modèle du système Objectifs Hypothèses Les vecteurs de précodage Optimisation de précodeurs Algorithme Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques dordre deux Conclusion 16/54

17 Hamid Meghdadi Ecrire les contraintes du système : Ecrire léquation à résoudre : Résoudre cette équation : u i = A i -1 b i et prendre les 2N premiers éléments pour Trouver les à partir de Normaliser les vecteurs de précodage pour obtenir le maximum de puissance disponible aux relais. Algorithme Introduction Multiplicateurs de Lagrange Modèle du système Objectifs Hypothèses Les vecteurs de précodage Optimisation de précodeurs Algorithme Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques dordre deux Conclusion 17/54 avec

18 Hamid Meghdadi Plan Introduction Optimisation mathématique à laide de multiplicateurs de Lagrange Cas particulier : Tous les SNR égaux Pseudo inverse – Calcul des vecteurs de précodage – Analyse de performances Approximation de TEB à forte SNR Diversité pour le cas de deux utilisateurs Performances théoriques pour nombre utilisateurs arbitraire Expectation – maximization pour approximation du SNR – Résultats de simulation Annulation dinterférences à laide de procédé de Gram Schmidt Optimisation de SNR en se basant sur les statistiques dordre deux des coefficients du canal Conclusions Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques dordre deux Conclusion 18/54

19 Hamid Meghdadi Cas particulier Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques dordre deux Conclusion n j ~ CN (0, N 0 ) 19/54 Un cas particuliers : même SNR pour tous les mobiles

20 Hamid Meghdadi Calcul des vecteurs de précodage Deux scénarios envisageables : – Relais indépendants Moins cher Moins de degrés de liberté Performances dégradées – Connaissance de tous les CSI aux relais : Plus cher Plus de de degrés de liberté Meilleures performances Nécessite de communiquer entre les relais Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques dordre deux Conclusion 20/54

21 Hamid Meghdadi Densité de probabilité (pdf) de γ Pour une modulation M-PSK, le taux instantané derreur est donné par : Avec k = 2sin 2 (π/M) une constante dépendant de la modulation et étant le rapport signal à bruit Analyse de performance du système Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques dordre deux Conclusion 21/54 Définition

22 Hamid Meghdadi Une probabilité de Q-function 22/54 Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques dordre deux Conclusion – Q-function décroit beaucoup plus rapidement que la densité de probabilité, donc afin dévaluer le taux derreur à forte SNR il suffit dévaluer le comportement de la densité de probabilité autour de zéro.

23 Hamid Meghdadi Approximation de TEB pour fortes SNR Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques dordre deux Conclusion 23/54 Q-function limit Définition de la fonction gamma

24 Hamid Meghdadi Calcul de diversité pour le cas N=2 24/54 Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques dordre deux Conclusion Valeurs propres de H avecet Diversité est de n-1 : RL-N+1

25 Hamid Meghdadi Performance pour N quelconque Pour le cas du nombre arbitraires des mobiles, on ne peut pas calculer le pdf de SNR de façon analytique. Approximation: mixture des lois Nakagami Distribution de loi Nakagami : La mixture des lois Nakagami : 25/54 Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques dordre deux Conclusion Expectaion Maximization

26 Hamid Meghdadi Expectation - Maximization Notations: – x : réalisations de SNR observées – z : la probabilité de choisir chacune des lois Nakagami (paramètres non observés) – θ : Les paramètres inconnus ( μ j et Ω j ) étapes: – Expectation: Calculer lespérance de la fonction log likelihood, par rapport à la distribution conditionnelle de z sachant x sous lestimation actuelle de θ, θ ( t ) – Maximization: Trouver les paramètres qui maximisent cette quantité 26/54 Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques dordre deux Conclusion

27 Hamid Meghdadi Calcul de la fonction Log Likelihood 27/54 Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques dordre deux Conclusion avec

28 Hamid Meghdadi Expectation 28/54 Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques dordre deux Conclusion avec (Théorème de Bayes)

29 Hamid Meghdadi Maximization 29/54 Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques dordre deux Conclusion NRπωμ

30 Hamid Meghdadi Résultats de lapproximation Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques dordre deux Conclusion 30/54 Distribution réelle Distribution calculée

31 Hamid Meghdadi Analyse de performance du système 31/54 Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques dordre deux Conclusion avec: On pose :

32 Hamid Meghdadi 32/54 Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques dordre deux Conclusion Résultats de simulation

33 Hamid Meghdadi Résultats de simulation Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques dordre deux Conclusion Nombre des copies du signal= R x L Nombre des contraintes: Cas 1 : N-1 Cas 2 : L(N-1) Diversité : Cas 1 : RL-N+1 Cas 2 : L(R-N+1) 33/54

34 Hamid Meghdadi Résultats de simulation La corrélation entre la diversité et larchitecture du système Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques dordre deux Conclusion 34/54

35 Hamid Meghdadi Résultats de simulation Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques dordre deux Conclusion Nombre des relaisPerformances Les performances du système pour les nombres différents de relais 35/54

36 Hamid Meghdadi Résultats de simulation Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Calcul de précodeurs Analyse de performances TEB à forte SNR Diversité pour N=2 N Quelconque Expectation Maximization Résultats de simulation Gram Schmidt Statistiques dordre deux Conclusion Nombre des mobiles Performances Performances du système pour différents nombres de stations mobiles 36/54

37 Hamid Meghdadi Plan Introduction Optimisation mathématique à laide de multiplicateurs de Lagrange Cas particulier : Tous les SNR égaux Pseudo inverse Annulation dinterférences à laide de procédé de Gram Schmidt – Cas de deux relais – deux utilisateurs – Cas général Calcul de précodeurs Analyse de diversité Approximation de la distribution du SNR Allocation de puissance optimale Résultats de simulation Optimisation de SNR en se basant sur les statistiques dordre deux des coefficients du canal Conclusions Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques dordre deux Conclusion 37/54

38 Hamid Meghdadi Cas de deux relais et deux mobiles Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Cas simplifié Cas général Calcul de précodeurs Analyse de diversité Approximation de SNR Puissance optimale Résultats de simulation Statistiques dordre deux Conclusion 38/54 Relay 1 Relay 2 BS MS 1 MS 2 Annulation dinterférences Maximisation de SNR

39 Hamid Meghdadi Cas général – Procédé de Gram-Schmid Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Cas simplifié Cas général Calcul de précodeurs Analyse de diversité Approximation de SNR Puissance optimale Résultats de simulation Statistiques dordre deux Conclusion 39/54 Construire, la base orthonormée de Trouver le vecteur tel que soit la base orthogonale de Solution: Procédé de Gram-Schmidt

40 Hamid Meghdadi Calcul des précodeurs Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Cas simplifié Cas général Calcul de précodeurs Analyse de diversité Approximation de SNR Puissance optimale Résultats de simulation Statistiques dordre deux Conclusion 40/54 avec

41 Hamid Meghdadi λ 2 k,i est une variable Χ 2 avec 2[R (i1)] degrés de liberté Analyse de la diversité i=1 i=2 Si λ 2 k,i-1 est une variable Χ 2 avec 2[R (i2)] degrés de libérté : 41/54 Diversité ? Caractérisation de λ 2 k,i Raisonnement par récurrence : Χ 2 avec 2R degrés de liberté λ 2 k,2 est une variable Χ 2 avec 2 ( R-1) degrés de liberté Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Cas simplifié Cas général Calcul de précodeurs Analyse de diversité Approximation de SNR Puissance optimale Résultats de simulation Statistiques dordre deux Conclusion

42 Hamid Meghdadi Approximation de la distribution de SNR X 2 est un cas particulier de la distribution gamma: 42/54 Expectation-Maximization (Mixture d1 loi gamma) Les paramètres α et β Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Cas simplifié Cas général Calcul de précodeurs Analyse de diversité Approximation de SNR Puissance optimale Résultats de simulation Statistiques dordre deux Conclusion

43 Hamid Meghdadi Allocation de puissance optimale 43/54 Minimize :Subject to : constante Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Cas simplifié Cas général Calcul de précodeurs Analyse de diversité Approximation de SNR Puissance optimale Résultats de simulation Statistiques dordre deux Conclusion

44 Hamid Meghdadi Résultats de simulation 44/54 Taux derreur symbole (2 stations mobiles, 2 relai avec 2 antennes i=1) Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Cas simplifié Cas général Calcul de précodeurs Analyse de diversité Approximation de SNR Puissance optimale Résultats de simulation Statistiques dordre deux Conclusion Théorie Simulation

45 Hamid Meghdadi Résultats de simulation 45/54 Taux derreur symbole (2 stations mobiles, 2 relai avec 2 antennes i=2) Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Cas simplifié Cas général Calcul de précodeurs Analyse de diversité Approximation de SNR Puissance optimale Résultats de simulation Statistiques dordre deux Conclusion Théorie Simulation

46 Hamid Meghdadi Plan Introduction Optimisation mathématique à laide de multiplicateurs de Lagrange Cas particulier : Tous les SNR égaux Pseudo inverse Annulation dinterférences à laide de procédé de Gram Schmidt Optimisation de SNR en se basant sur les statistiques dordre deux des coefficients du canal – Modèle du système – Rapport signal à bruit – Calcul des coefficient de pondération Cas particulier : contrainte sur puissance totale, canaux indépendants – Résultat de simulation Conclusions Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques dordre deux Conclusion 46/54

47 Hamid Meghdadi Modèle du système Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques dordre deux Modèle du système Rapport signal à bruit Calcul des pondérations Cas particulier Résultat de simulation Conclusion 47/54

48 Hamid Meghdadi Rapport signal à bruit Puissance dissipée dans les relais Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques dordre deux Modèle du système Rapport signal à bruit Calcul des pondérations Cas particulier Résultat de simulation Conclusion 48/54

49 Hamid Meghdadi Coefficients de pondération On définit : Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques dordre deux Modèle du système Rapport signal à bruit Calcul des pondérations Cas particulier Résultat de simulation Conclusion 49/54

50 Hamid Meghdadi Cas I : Toutes les matrices sont diagonales Algorithme : 1.Construire les matrices P j, Q j, G j et D 2.Calculer les R valeurs propres de C 1 -1/2 C 2 C 1 -1/2,en fonction de k et de P s 3.Calculer P s 4.En fonction de P s calculer la valeur optimale de C 1 -1/2 C 2 C 1 -1/2 5.En fonction de la valeur optimale de C 1 -1/2 C 2 C 1 -1/2, calculer w Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques dordre deux Modèle du système Rapport signal à bruit Calcul des pondérations Cas particulier Résultat de simulation Conclusion 50/54

51 Hamid Meghdadi Résultats de simulation Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques dordre deux Modèle du système Rapport signal à bruit Calcul des pondérations Cas particulier Résultat de simulation Conclusion Comparaison entre : – ZF avec la connaissance parfaite du canal – Méthode proposée avec statistiques dordre deux des coefficients du canal. 51/54 Zero forcing Statistiques dordre deux 4 utilisateurs 3 utilisateurs

52 Hamid Meghdadi Plan Introduction Optimisation mathématique à laide de multiplicateurs de Lagrange Cas particulier : Tous les SNR égaux Pseudo inverse Annulation dinterférences à laide de procédé de Gram Schmidt Optimisation de SNR en se basant sur les statistiques dordre deux des coefficients du canal Conclusions Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques dordre deux Conclusion 52/54

53 Hamid Meghdadi Conclusions Chapitre 2 : – Multiplicateurs de Lagrange – Méthode très flexible – Pas de prédictions théoriques Chapitre 3 : – Cas particulier : Pseudo inverse de Moore-Penrose – Prédiction théorique : Maximisation de lespérance Chapitre 4 : – Procédé de Gram Schmidt – Plusieurs niveaux de priorités – Prédiction théorique : Maximisation de lespérance Chapitre 5: – Statistiques dordre deux – Prise en compte de la liaison source-relais Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques dordre deux Conclusion 53/54

54 Hamid Meghdadi Publications «Analog decoding of tail-biting convolutional codes on graphs », ISWCS '08 «Versatile graphs for tail-biting convolutional codes», ISCAS 2008 «Cooperative multiple access transmission using precoding vectors», Eusipco 2009 «Semi-analytic approach to evaluate performance of a precoded multiuser cooperative scheme», PIMRC 2010 «Performance analysis of a cooperative multiple access relaying scheme», IWCMC 2010 «Algorithmes de formation de faisceaux coopératifs pour systèmes multi-relais multiutilisateurs basés sur des statistiques du second ordre », GRETTSI 2011 «Simple precoding algorithms using gramschmidt orthonormalization process for multi-user relay communications with optimized power allocation», accepted in Annals of Telecommunication «Semi-analytic performance of a multiaccess MIMO scheme using precoding vectors», accepted in International Journal of Communications, Network, and System Sciences Introduction Multiplicateurs de Lagrange Pseudo Inverse Gram Schmidt Statistiques dordre deux Conclusion 54/54


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