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Université dAngers DEUG STU2 P1 – Propagation dans les solides III – Propagation dans les solides Pour étudier la propagation des ondes dans un milieu.

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1 Université dAngers DEUG STU2 P1 – Propagation dans les solides III – Propagation dans les solides Pour étudier la propagation des ondes dans un milieu solide, il nous faut connaître les propriétés mécaniques des milieux déformables : la propagation dune onde génère une contrainte dynamique qui déforme localement le solide. 1 – Propagation dans un solide illimité isotrope La force sexerçant sur une surface peut toujours se décomposer en : - une composante normale () - deux composantes tangentielles (//) 1/25

2 Université dAngers DEUG STU2 P1 – Propagation dans les solides Considérons un élément de volume solide, de forme parallélépipédique rectangle : x y z sont les contraintes sexerçant sur les différentes faces… force par unité de surface (pression) … et chacune des contraintes est repérée par 3 composantes. 2/25

3 Université dAngers DEUG STU2 P1 – Propagation dans les solides On a donc 9 composantes, notées ij, qui peuvent se regrouper sous la forme dun tenseur : tenseur des contraintes Remarque : Pour un élément ij, le premier indice (i) repère la direction suivant laquelle sexerce la contrainte ; le second indice (j) indique la direction normale à la surface sur laquelle sexerce la contrainte. Remarque : Les élément ii (sur la diagonale du tenseur) sont appelés contraintes normales ; les éléments ij avec ji (hors-diagonale) sont appelés contraintes tangentielles. Remarque : Le tenseur est toujours symétrique, donc : ij = ji 3/25

4 Université dAngers DEUG STU2 P1 – Propagation dans les solides Lapplication dune contrainte provoque alors une déformation de lélément de volume solide. Cette déformation peut également être décrite au moyen dun tenseur : tenseur des déformations Remarque : Le tenseur est aussi toujours symétrique, donc : ij = ji Comme on a défini U x la vibration dune particule fluide dans la direction de propagation, dans un solide il nous faut définir 3 vibrations correspondant aux 3 directions de lespace : U x, U y et U z au passage de londe, le solide peut se déformer dans les trois directions de lespace. 4/25

5 Université dAngers DEUG STU2 P1 – Propagation dans les solides Le tenseur des déformations sexplicite alors en fonction de ces vibrations : Remarque : Les éléments diagonaux définissent les déformations délongation. La somme des 3 éléments diagonaux correspond alors à la dilatation : variation relative de volume 5/25

6 Université dAngers DEUG STU2 P1 – Propagation dans les solides Remarque : Les éléments en dehors de la diagonale définissent les déformations qui ne sont pas dans laxe de lélongation : ce sont les déformations de cisaillement. élongation cisaillement la déformation de lélément de volume solide est une combinaison délongations et de cisaillements dans les 3 dimensions de lespace. Les déformations résultent des contraintes appliquées. Il existe une relation entre les deux : loi de Hooke où est le tenseur des constantes élastiques (caractéristiques intrinsèques du matériau). 6/25

7 Université dAngers DEUG STU2 P1 – Propagation dans les solides Remarque : Le rang dun tenseur correspond au nombre dindices nécessaires pour identifier une de ses composantes. ij tenseur de rang 2 ij = c ijkl kl tenseur de rang 4 Le nombre déléments composant un tenseur de rang n est donné par : 3 n Par conséquent, on vérifie bien que ij et ij contiennent 3 2 = 9 composantes. Et on trouve que c ijkl contient 3 4 = 81 composantes !!! Par exemple : Mais : les propriétés de symétrie du matériau, ainsi que la symétrie des tenseurs vont permettre de diminuer considérablement le nombre de composantes indépendantes à manipuler. 7/25

8 Université dAngers DEUG STU2 P1 – Propagation dans les solides Astuce : Afin de simplifier lécriture de ces tenseurs et des relations qui les lient, on utilise lastuce suivante : au tenseur symétrique de rang 2, on associe un vecteur à 6 composantes : tenseur de rang 1 On peut procéder de même pour : tenseur de rang 1 8/25

9 Université dAngers DEUG STU2 P1 – Propagation dans les solides En notation contractée, la loi de Hooke sexprime alors comme : où, = 1,2,3,4,5 ou 6. est donc réduit à un tenseur de rang 2 correspondant à une matrice 6x6 : On a ainsi par exemple : Remarque : Comme le tenseur est symétrique, c ne compte que 21 composantes indépendantes. 9/25

10 Université dAngers DEUG STU2 P1 – Propagation dans les solides Voyons comment il est possible de réduire encore le nombre de composantes indépendantes en tenant compte de la symétrie du milieu solide : Si le milieu présente une symétrie cubique, alors il ne reste plus que 3 composantes indépendantes : Si, en outre, le milieu est parfaitement isotrope, alors on doit vérifier : il ne reste plus que 2 composantes indépendantes : les coefficients de Lamé 10/25

11 Université dAngers DEUG STU2 P1 – Propagation dans les solides Toutes les propriétés élastiques du solides se résument donc aux deux coefficients de Lamé : module de cisaillement (viscosité pour un fluide) module dincompressibilité (1/ pour un fluide) Pour comprendre la propagation dune onde dans le milieu solide, il nous faut alors poser les équations relatives à la dynamique du processus : cela revient à considérer le Principe Fondamental de la Dynamique sur un élément de volume. la démarche consiste à faire le bilan des forces qui sexercent (contraintes normales et tangentielles) et égaler la résultante au produit de la masse par laccélération… … après calcul, on trouve… 11/25

12 accélération contrainte normale contraintes tangentielles Université dAngers DEUG STU2 P1 – Propagation dans les solides A ce stade, lobjectif est dobtenir les équations de propagation nimpliquant que les vibrations U x, U y et U z. Pour cela, appliquons la loi de Hooke sur les composantes ij : 12/25

13 Université dAngers DEUG STU2 P1 – Propagation dans les solides Soit : On trouve de même : et Pour les contraintes tangentielles, on a : Avant de remplacer ces 6 composantes dans le système des 3 équations différentielles issues du PFD, posons quelques hypothèses simplificatrices… 13/25

14 x z y Université dAngers DEUG STU2 P1 – Propagation dans les solides Hypothèses simplificatrices : On considérera une onde se propageant suivant laxe x, et générant des vibrations uniquement suivant les directions x et y. Dans ces conditions : (milieu isotrope) (onde plane) onde longitudinale onde transversale On a alors : et de même : 14/25

15 Université dAngers DEUG STU2 P1 – Propagation dans les solides Bilan : 15/25

16 Université dAngers DEUG STU2 P1 – Propagation dans les solides On a donc obtenu deux équations de propagation : onde longitudinale onde transversale Londe longitudinale se propage à la vitesse : Londe transversale se propage à la vitesse : 16/25

17 Université dAngers DEUG STU2 P1 – Propagation dans les solides Remarque : On peut facilement retrouver le résultat obtenu pour la vitesse de propagation dans un fluide : le module de cisaillement sapparente à la viscosité, donc 0 et on retrouve le fait que dans un fluide seules des ondes longitudinales peuvent se propager à la vitesse Ordre de grandeur des vitesses de propagation : Typiquement, les vitesses de propagation longitudinale sont de lordre de 5000 à 6000 m.s -1. Dans tous les cas, la propagation dondes transversales est moins rapide que celle dondes longitudinales : 17/25

18 Université dAngers DEUG STU2 P1 – Propagation dans les solides Conversion des coefficients de Lamé On a vu que les 2 seuls coefficients de Lamé, et, peuvent décrire le comportement élastique du solide dans lequel se propage londe. - le module dYoung : E Dun point de vue pratique, il est plus fréquent dutiliser deux autres coefficients : - le coefficient de Poisson : P La conversion avec les coefficients de Lamé seffectue ainsi : 18/25

19 Université dAngers DEUG STU2 P1 – Propagation dans les solides Expression des vitesses en fonction de E et P et On peut alors remarquer que : le rapport des deux vitesses ne dépend que dun seul coefficient : le coefficient de Poisson. P 00,250,30,49 vL/vTvL/vT 2 1/2 =1,43 1/2 =1,733,5 1/2 =1,8751 1/2 =7,14 19/25

20 L a Université dAngers DEUG STU2 P1 – Propagation dans les solides 2 – Propagation dans un solide de dimensions finies Définitions du module dYoung et du coefficient de Poisson dLdL dada On considère une tige homogène, de longueur L et dépaisseur a. Soumise à une force de traction F, la tige sallonge dune longueur dL, et son épaisseur se contracte de da. Lallongement relatif et la contraction relative sont alors fonction du module dYoung E et du coefficient de Poisson P du matériau. On a : Remarque : E a la dimension dune pression. P est sans dimension. 20/25

21 Université dAngers DEUG STU2 P1 – Propagation dans les solides Application à la propagation dune onde en milieu fini On considère un barre de hauteur h et de largeur D dans laquelle se propage longitudinalement une onde de longueur donde. Lanalyse dynamique que lon va effectuer nest valable que si : Dû à la propagation de londe, une tranche de cette barre est soumise, en x, à une force F x, et en x+dx, à une force F x+dx. h D x x x+dx 21/25

22 Université dAngers DEUG STU2 P1 – Propagation dans les solides Or Donc équation de propagation 22/25

23 Université dAngers DEUG STU2 P1 – Propagation dans les solides On peut alors formuler la vitesse de propagation dune onde longitudinale dans un milieu solide de dimensions finies : On remarque que la vitesse de propagation dune onde longitudinale est différente selon que le solide est limité ou illimité On admettra en revanche que la vitesse de propagation dune onde transversale est la même, que le solide soit limité ou illimité. onde longitudinale onde transversale milieu illimité milieu limité Bilan : 23/25

24 Université dAngers DEUG STU2 P1 – Propagation dans les solides Selon les dimensions du solide (limité ou illimité), la vitesse de londe longitudinale ne dépend alors que du coefficient de Poisson : 1 er cas limite : P 0 Cela signifie quil ny a pratiquement pas de variation des dimensions transversales, donc pas deffet de traction latérale la déformation locale na quasiment pas deffet sur les liaisons voisines. Cest le cas de matériaux comme léponge ou le liège. 2 ème cas limite : P 1/2 Au contraire, toute déformation agit directement sur les liaisons voisines. Cest le cas du caoutchouc. 24/25

25 Université dAngers DEUG STU2 P1 – Propagation dans les solides Quelques valeurs typiques : Matériaux P vL/vlvL/vl Liège, éponge 0 1 Valeurs courantes (principales roches) 0,25-0,301,10-1,16 Aluminium0,351,27 Laiton0,451,95 Caoutchouc0,494,41 25/25


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