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D ES FRACTIONS AUX DÉCIMAUX Animation pédagogique Circonscription de Valenciennes –Bruay.

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1 D ES FRACTIONS AUX DÉCIMAUX Animation pédagogique Circonscription de Valenciennes –Bruay

2 L ES ENJEUX DIDACTIQUES

3 L A TRACE LAISSÉE PAR LA PREMIÈRE APPROCHE CONSTITUE - T - ELLE LA BASE DE TOUTES LES DIFFICULTÉS OU RÉUSSITES FUTURES ? Tâche proposée à des élèves depuis la fin du CM1 et jusquà la 5 e : Par rapport à 7, quel est le nombre le plus proche : 6,9 ou 7,08 ? * * Recherches de J. BOLON, dans une thèse de sciences de léducation

4 Classe CM1CM26e6e 5e5e Réussite 22%30%27%29%

5 Classe CM1CM26e6e 5e5e Réussite 22%30%27%29% Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que : 1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation des décimaux dès la fin du CM1.

6 Classe CM1CM26e6e 5e5e Réussite 22%30%27%29% Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que : 1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation des décimaux dès la fin du CM1. 2°) En revanche, ceux qui nont pas compris les décimaux à ce moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup mieux dans les années qui suivent.

7 Classe CM1CM26e6e 5e5e Réussite 22%30%27%29% Les résultats obtenus par J. Bolon conduisent à penser que : 1°) Un petit quart des élèves ont déjà une bonne conceptualisation des décimaux dès la fin du CM1. 2°) En revanche, ceux qui nont pas compris les décimaux à ce moment, ne les comprendront vraisemblablement pas beaucoup mieux dans les années qui suivent. Lenjeu des pratiques pédagogiques des maîtres de CM1 concernant les décimaux est donc crucial !

8 D ONNER DU SENS À CES NOUVEAUX NOMBRES Proposer des activités qui permettent de prendre conscience que: - les fractions et les nombres décimaux permettent de pallier à linsuffisance des nombres entiers (pour la résolution de problèmes de mesures ou de partage). - certains raisonnements ou certaines procédures correctes avec les nombres entiers ne peuvent plus lêtre avec les nombres décimaux et les fractions. - lensemble des nombres décimaux est un sous- ensemble de celui des fractions (ensemble des fractions décimales).

9 U N APPRENTISSAGE PARFOIS PERTURBÉ PAR DES REPRÉSENTATIONS LIÉES AUX NOMBRES ENTIERS … - Il nexiste aucun nombre entre 0 et 1. - Plus lécriture dun nombre est grande, plus sa valeur est grande. - Un nombre décimal, cest un couple de deux entiers, séparés par une virgule. - Le produit de deux nombres est toujours supérieur à chaque facteur du produit. - Multiplier un nombre par 10, 100, 1 000, cest écrire 0, 00, 000 à droite du nombre.

10 … OU PAR DES PRATIQUES MALADROITES - La façon courante de lire les nombres décimaux: 7,35 lu « sept virgule trente-cinq » ou « sept trente-cinq ». - Le fait dassimiler « fraction » et « quantité inférieure à lunité » - Le fait que lidée de fractionnement disparaisse derrière des mesures entières: 7,35 compris comme 7 euros 35 centimes. - Certains moyens mnémotechniques employés par les enseignants.

11 L ES NOMBRES DÉCIMAUX ET LES FRACTIONS OMNIPRÉSENTS DANS LA VIE COURANTE On rencontre les nombres décimaux le plus souvent en lien avec les mesures de grandeurs: - Les prix - Les distances - Les masses - Les contenances Communication massive de données (intéressantes dun point de vue mathématiques) : emballages, articles de journaux…. MAIS… … des changements majeurs interviennent depuis le début du XXe siècle: - Perfectionnement des instruments de mesure (lecture directe) - Relégation des fractions usuelles au domaine de loral (demi, tiers, quart).

12 Q UELQUES NOTIONS À CONFORTER AVANT D ABORDER LES FRACTIONS Compétences de fin de CE1: « Restituer et utiliser les tables de multiplication de 2 à 5 » « Diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 1000 » Compétences de CE2: « Connaître et utiliser des expressions telles que double, moitié, triple, quart dun nombre entier » « Connaître et utiliser certaines relations entre les nombres dusage courant: entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30, 60… » Ces compétences sont indispensables. Aide personnalisée pour les élèves aux compétences fragiles.

13 L ES FRACTIONS

14 P ETITS RAPPELS Le terme fraction désigne une écriture fractionnaire dun nombre rationnel. Le nombre rationnel est lunique solution de léquation: x x b = a (a est un entier naturel et b un entier naturel non nul) Le nombre rationnel peut être considéré comme le quotient des deux nombres entiers a et b. a est appelé numérateur, b dénominateur et le trait qui les sépare est le trait de fraction. Une fraction décimale est une écriture fractionnaire dont le dénominateur est une puissance de 10. Les nombres rationnels qui possèdent une écriture fractionnaire décimale sont appelés nombres décimaux.

15 Passage des nombres entiers aux fractions = saut conceptuel. Nécessite dy consacrer du temps. Conséquence sur les programmations: Les apprentissages sur les fractions doivent commencer très tôt dans lannée de CM1.

16 L ES PROGRAMMES CE2CM1CM2 Nombres et calcul Les nombres entiers jusquau million Connaître, savoir écrire et nommer les nombres entiers jusquau million. Comparer, ranger, encadrer ces nombres. Connaître et utiliser des expressions telles que : double, moitié ou demi, triple, quart dun nombre entier. Connaître et utiliser certaines relations entre des nombres dusage courant : entre 5, 10, 25, 50, 100, entre 15, 30 et 60. Les nombres entiers jusquau milliard Connaître, savoir écrire et nommer les nombres entiers jusquau milliard. Comparer, ranger, encadrer ces nombres. La notion de multiple : reconnaître les multiples des nombres dusage courant : 5, 10, 15, 20, 25, 50. Les nombres entiers Fractions Nommer les fractions simples et décimales en utilisant le vocabulaire : demi, tiers, quart, dixième, centième. Utiliser ces fractions dans des cas simples de partage ou de codage de mesures de grandeurs. Fractions Encadrer une fraction simple par deux entiers consécutifs. Écrire une fraction sous forme de somme dun entier et dune fraction inférieure à 1. Ajouter deux fractions décimales ou deux fractions simples de même dénominateur.

17 L INTRODUCTION DES FRACTIONS AU CM 1 Elles sont introduites le plus tôt possible pour pallier linsuffisance des nombres entiers dans des cas - de partages - de codage de mesures de grandeurs Lapproche des fractions est liée à des situations de référence concrètes.

18 I NTRODUCTION DANS LE CONTEXTE DE PARTAGES Il sagit ici dun partage équitable, chaque part a la même valeur. Lécriture fractionnaire apparaît ici comme un codage de ces partages. Partager 3 tartelettes identiques entre 2 personnes.

19 2 procédures possibles Partage de la totalité des trois tartelettes entre les deux personnes: On obtient une tartelette et demie. 1T + 1/2T Partage de chaque tartelette en 2: On obtient trois demi-tartelettes. 1/2T + 1/2T + 1/2T = 3/2T 3 x 1/2T Soit 1T + 1/2T Notion de moitié appliquée à chaque objet Notion de moitié appliquée à la totalité de lensemble des objets.

20 I NTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE CODAGE DE MESURES unité ……

21 I NTRODUCTION DANS UN CONTEXTE DE CODAGE DE MESURES unité …… A B C A = 1/2u C = 1/4u B = 1u + 1/2u 1u + 1/4u + 1/4u …

22 V ARIABLES DIDACTIQUES Utiliser des unités rigides (bâtonnets) : cela oblige à explorer dautres stratégies (le guide-âne, la commensuration). Varier les approches en sappuyant sur des formes et des grandeurs différentes: segments, aires de rectangles, de disques… Travailler sur la droite graduée - pour donner à la fraction son statut de nombre - pour visualiser le rangement et la comparaison.

23 Les allers et retours entre bande de papier et segments de droite aident à la compréhension quune fraction peut désigner une mesure de longueur ou indiquer une graduation. La variété de représentation des fractions courantes viendra enrichir les traces écrites qui vont constituer des référents individuels ou collectifs: droite graduées, fiches outils…

24 Q UELQUES OUTILS Lusage des droites graduées doit être poursuivi tout au long de la scolarité primaire. Les « fiches- nombres », à insérer dans les cahiers-outils personnels ou à afficher (= écrits de référence) 0,1 Cest un dixième. Cest la moitié de 1. 0,5 0,500 1:10 +

25 Indique une fraction que lon peut écrire en face de graduation en gras. U

26 Unité …… Ecris une fraction qui correspond à la mesure de la zone verte.

27 L ES FRACTIONS DÉCIMALES Le dénominateur dune fraction décimale est égal à 10, 100, 1000.

28 L ES NOMBRES DÉCIMAUX

29 D UN POINT DE VUE HISTORIQUE Premières évocation au Xe siècle dans un traité de mathématique arabe. En Europe, apparition des nombres décimaux au XVIe siècle, dans louvrage La Disme (Simon Stévin) : notation destinée à faciliter les procédures de calcul en les ramenant à celles utilisées pour les entiers. Linvention du système métrique au XVIIIe siècle contribuera à la diffusion des nombres décimaux et leur écriture décimale par le fait que les rapport entre les unités de mesure dune même grandeur repose sur le fractionnement décimal. Lusage du système métrique est rendu obligatoire en Les conversions dunités utiliseront désormais le fractionnement décimal.

30 P ETITS RAPPELS 3,54 est lécriture décimale du nombre 354/ /100 = 177/50 donc 3,54 est lécriture décimale du nombre 177/50. 3 est la partie entière, 54 la partie décimale. Un nombre décimal est un nombre rationnel qui possède une écriture fractionnaire décimale et dont la partie décimale est finie. 1/2 est un nombre décimal car : = 5/10 (fraction décimale) = 0,5 (écriture décimale finie) 22/7 nest pas un nombre rationnel décimal car : il ne possède pas décriture fractionnaire décimale son écriture à virgule à une partie décimale infinie 3, …

31 Les nombres entiers naturels sont des nombres décimaux. Entre deux nombres décimaux, il est toujours possible dintercaler un autre nombre décimal. Les nombres décimaux permettent dapprocher daussi près que lon veut un nombre réel quelconque.

32 C E QUI PEUT PERTURBER LES ÉLÈVES Loralisation abusive qui ne rend pas compte de la partie décimale. « zéro virgule cent trois » juxtaposition de 2 entiers Doù : erreurs de calcul, de classement… Les critères de comparaison valables pour les nombres entiers ne sont plus valables pour les nombres décimaux. Lintercalation toujours possible dun troisième nombre décimal entre deux autres. Les notions de nombres consécutifs, successeur, prédécesseur nexistent que pour les entiers. Pour dépasser ces obstacles : - Oralisation correcte - Passage par les écritures fractionnaires - Recours à la droite graduée.

33 La comparaison entre 2 nombres décimaux fait intervenir 2 stratégies différentes. - Partie entière : comparaison des nombres entiers. - Partie décimale : comparaison chiffre après chiffre à partir de la virgule (cf procédé lexicographique des dictionnaires) Le recours aux écritures fractionnaires décimales de même dénominateur ramène à une comparaison de nombres entiers: 3,7 > 3,54 car 3,7 = 370/100 et 3,54 = 354/100 or 370>354 Le recours à la droite graduée permet de visualiser le positionnement de lun par rapport à lautre. ATTENTION! Le recours à comparaison basée sur lexpression en centièmes (54 centièmes et 70 centièmes) est correcte mais risque de renforcer les confusions de loralisation abusive (prendre la partie décimale comme des nombres entiers).

34 L ES PROGRAMMES CM1CM2 Nombres et calcul Fractions Nommer les fractions simples et décimales en utilisant le vocabulaire : demi, tiers, quart, dixième, centième. Utiliser ces fractions dans des cas simples de partage ou de codage de mesures de gradeurs. Fractions Encadrer une fraction simple par deux entiers consécutifs. - Écrire une fraction sous forme de somme dun entier et dune fraction inférieure à 1. Ajouter deux fractions décimales ou deux fractions simples de même dénominateur. Nombres décimaux Connaître la valeur de chacun des chiffres de la partie décimale en fonction de sa position (jusquau 1/100ème). Savoir :. les repérer, les placer sur une droite graduée,. les comparer, les ranger,. les encadrer par deux nombres entiers consécutifs,. passer dune écriture fractionnaire à une écriture à virgule et réciproquement. Nombres décimaux Connaître la valeur de chacun des chiffres de la partie décimale en fonction de sa position (jusquau 1/10 000ème). Savoir :. les repérer, les placer sur une droite graduée en conséquence,. les comparer, les ranger,. produire des décompositions liées à une écriture à virgule, en utilisant 10 ; 100 ; et 0,1 ; 0,01 ; 0, Donner une valeur approchée à lunité près, au dixième ou au centième près.

35 L ES PROGRAMMES CM1CM2 Nombres et calcul Calcul Calculer mentalement Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers. Multiplier mentalement un nombre entier ou décimal par 10, 100, Estimer mentalement un ordre de grandeur du résultat. Effectuer un calcul posé Addition et soustraction de deux nombres décimaux. Multiplication dun nombre décimal par un nombre entier. Division euclidienne de deux entiers. Division décimale de deux entiers. Connaître quelques fonctionnalités de la calculatrice utiles pour effectuer une suite de calculs. Problèmes Résoudre des problèmes engageant une démarche à une ou plusieurs étapes. Calcul Calculer mentalement Consolider les connaissances et capacités en calcul mental sur les nombres entiers et décimaux. Diviser un nombre entier ou décimal par 10, 100, Effectuer un calcul posé Addition, soustraction, multiplication de deux nombres entiers ou décimaux. Division dun nombre décimal par un nombre entier. Utiliser sa calculatrice à bon escient. Problèmes Résoudre des problèmes de plus en plus complexes.

36 Les compétences sont nombreuses dès le CM1. Elles reposent sur les savoirs et savoir-faire concernant les fractions courantes et décimales. On nest pas obligé dattendre une totale maîtrise des fractions pour aborder les nombres décimaux. Le calcul mental constitue un enjeu important. Cette partie du programme doit faire lobjet dun travail croisé avec les autres champs mathématiques (grandeurs et mesures, organisation et gestion de données) mais aussi avec les sciences, lhistoire, la géographie, lEPS… Donner du sens à ces nouveaux nombres et aux calculs qui sy rapportent.

37 I NTRODUCTION DES NOMBRES DÉCIMAUX Pour introduire les nombres décimaux, lécriture fractionnaire est à privilégier car elle présente le nombre décimal comme un nombre. Lécriture décimale introduite par les mesures pourrait apparaître comme le résultat dun recodage dû à un changement dunité: 234c = 2,34

38 En utilisant le fait que le nombre rationnel a/b peut être vu comme « ab e », on va utiliser la décomposition canonique et le tableau de numération pour comprendre le nouveau codage. 6537/1000 = 6 + 5/10 + 3/ /1000 u1/101/1001/ La virgule vient séparer la partie entière et la partie décimale pour obtenir lécriture 6,537.

39 Lutilisation du tableau va permettre de faire apparaître les écritures 0,1 ; 0,01 ; 0,001 qui seront utilisés dans les décompositions. UnitésDixièmesCentièmesMillièmes 11/101/1001/ ,,,, 6,537 = 6 + (5 x 1/10) + (3 x 1/100) + (7 x 1/1000) 6,537 = 6 + (5 x 0,1) + (3 x 0,01) + (7 x 0,001), Les décompositions additives usuelles sont à systématiser.

40 I MPORTANCE DU CALCUL MENTAL Revisiter les tables de multiplication avec les nombres décimaux, avec une oralisation explicite pour aider à la compréhension et au renforcement du sens: 0,5 x 7 cest « cinq dixièmes multiplié par sept » Le résultat est « trente-cinq dixièmes ». Cest donc « trois unités et cinq dixièmes » que lon écrit 3,5. Recherche des compléments à lunité qui renvoie à des pratiques sociales telles que rendre la monnaie…

41 M ULTIPLICATION ET DIVISION PAR UNE PUISSANCE DE DIX La pratique courante veut que lon décale la virgule vers la droite ou vers la gauche. La compréhension du mécanisme sacquiert en passant par les fractions décimales. La justification utilise laspect « ab e » de la notation fractionnaire et le tableau de numération.

42 /101/1001/1000 Centaines de milliers Dizaines de milliers Unités de milliers CentainesDizainesUnitésDixièmesCentièmesMillièmes , 134,65 = /10 + 5/100 ; cest 134 unités, 6 dixièmes et 5 centièmes. Multiplié par 100, on obtient : 134 centaines, 600 dixièmes, 500 centièmes soit 5 unités car 100 centièmes = 1 donc le nombre Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la gauche. ( La virgule ne sest pas décalée vers la droite, elle est toujours à la même place !) Multiplié par 1 000, on obtient: 134 milliers, 6000 dixièmes, 5000 centièmes on a ajouté un zéro dans la colonne des unités (cf les entiers) Divisé par 10, on obtient: 13 unités, 4 dixièmes, 6 centièmes et 5 millièmes. Les chiffres ont changé de valeur, le nombre a glissé vers la droite.

43 A DDITION ET SOUSTRACTION DES NOMBRES DÉCIMAUX Les techniques opératoires peuvent dans un premier temps prendre appui sur le tableau de numération /101/1001/1000 Centaines de milliers Dizaines de milliers Unités de milliers Centaines 1 Dizaines 1 Unités 1 DixièmesCentièmesMillièmes , On verbalisera : « 5 dixièmes + 8 dixièmes = 13 dixièmes et « 13 dixièmes, cest 1 unité et 3 dixièmes ».

44 M ULTIPLICATION Un nombre décimal par un nombre entier Le calcul revient à un calcul sur un nombre entier: 2,75 x 31 revient à faire 275 x 31 puis à diviser par 100 le résultat final pour compenser la multiplication par 100 qui a transformé 2,75 en 275.

45 M ULTIPLICATION Un nombre décimal par un nombre décimal On va utiliser les équivalences décriture. 2,5 x 3,4 cest (25 x 1/10) x (34 x 1/10) 25 x 1/10 x 34 x 1/10 25 x 34 x 1/10 x 1/10 (25 x 34) x (1/10 x 1/10) 850 x 1/100 8,50 147, x 1/100 X 3,5 35 x 1/ x 35 x 1/1000 on divise un entier par 1 000, il y aura donc 3 chiffres derrière la virgule.

46 L A DIVISION Division à quotient décimal de 2 nombres entiers La technique opératoire de la division peut prendre appui sur le tableau de numération. 22 : /101/1001/ , 7 3,14


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