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David Rolland, formateur IUFM et professeur Ecole Normale Mixte.

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1 David Rolland, formateur IUFM et professeur Ecole Normale Mixte

2 Un polyèdre est un objet mathématique constitué de faces planes, qui se rencontrent en des arêtes droites, dont les extrémités sont des sommets. Un polyèdre est régulier si toutes les faces sont des polygones réguliers identiques et tous les sommets sont identiques. Certains polyèdres réguliers sont connus depuis toujours : le tétraèdre (4 faces, 4 sommets), l'octaèdre (8 faces, 6 sommets). le cube (6 faces, 8 sommets),

3 Pythagore ( avant JC) est un philosophe grec, fondateur de la secte de Pythagoriciens. Il était fasciné par les mathématiques, a découvert la théorie mathématique des gammes musicales. On lui attribue la découverte d'un nouveau polyèdre régulier, le dodécaèdre (12 faces, 20 sommets). Le dodécaèdre a acquis pour les pythagoriciens une importance symbolique. On en déduit un autre polyèdre régulier : l'icosaèdre (20 faces, 12 sommets).

4 Les polyèdres réguliers ont eu une influence considérable dans l'antiquité grecque. Pour Platon ( avant JC), ils étaient en relation avec les éléments constitutifs de l'univers : Le cube, avec la terre, le tétraèdre, avec le feu, l'octaèdre, avec l'air, l'icosaèdre, avec l'eau. Le dodécaèdre, lui, sert à l'arrangement final de l'univers. Ces cinq polyèdres réguliers sont appelés les solides de Platon.

5 tétraèdre Cube ou hexaèdre octaèdre dodécaèdreicosaèdre Ces formes se retrouvent dans la nature, notamment dans certains minéraux, les cristaux. Les solides de Platon

6 Euclide ( avant JC) est le plus connu des mathématiciens antiques, Auteur des Eléments, première tentative de formalisation des mathématiques. Le résultat final en est la classification des polyèdres réguliers : il n'y en a que 5. C'est le premier résultat de classification de l'histoire.

7 Archimède ( avant JC) est un autre grand mathématicien, et ingénieur, de l'antiquité grecque. Il reprend l'étude d'Euclide, pour des polyèdres semi-réguliers : les sommets sont identiques, les faces des polygones réguliers (pas identiques ). Il les classifie : il y a deux familles infinies, et 13 autres polyèdres.·

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9 Malheureusement, le traité d'Archimède sur les polyèdres semi-réguliers a été perdu.

10 Une fascination pour les polyèdres réapparaît à la renaissance, du fait de peintres comme Albrecht Dürer ( ). Ils apparaissent fréquemment dans les gravures, les décorations architecturales, par exemple dans l'oeuvre de Luca Pacioli ( ), illustrée par Léonard de Vinci. Dürer donne aussi une nouvelle description des polyèdres, sous forme de dépliage.

11 La classification d'Euclide exerce une fascination particulière sur Képler ( ). Képler achève d'abord la classification des polyèdres semi- réguliers, retrouvant le résultat perdu d'Archimède. Il remarque qu'Euclide se limite, sans le dire, aux polyèdres convexes, et découvre deux nouveaux polyèdres réguliers non convexes. Cette liste sera complétée par Poinsot ( ), qui retrouve les deux polyèdres de Képler et en découvre deux autres. La classification des polyèdres réguliers est achevée, deux millénaires après Euclide !

12 FigurePatron I/ LE CUBE Il existe 11 patrons différents dun cube. c c c - le volume V de ce cube vaut : c3c3 V = Si on note c la longueur de larête dun cube, alors : - la diagonale AG a pour mesure …………….

13 FigurePatron II/ LE PARRALLELEPIPEDE RECTANGLE OU « PAVE » A G L h l Face de droite Face de derrière Face de devant Produit des trois dimensions Si on note L, l et h les dimensions respectives du pavé droit, alors : - la diagonale AG a pour mesure……………. - le volume V de ce pavé vaut : =V =

14 FigurePatron III/ LE CYLINDRE h O Or Face supérieure face latérale Face inférieure 2 Si on note r = OA le rayon du cercle de base et h=OO la hauteur du cylindre, alors : - laire A du cylindre vaut : A = - le volume V du cylindre vaut : V = =

15 FigurePatron IV/ LE CONE =360.r/l l Si on note h la hauteur du cône et r le rayon du cercle de base, alors : - le volume V du cône vaut : V =

16 FigurePatron V/ LE TETRAEDRE Si on note h la hauteur du tétraèdre et B laire de sa base, alors : - le volume V du tétraèdre vaut V =

17 FigurePatron VI/ LA PYRAMIDE à BASE CARREE base Si on note c le côté du carré de base et h la hauteur de la pyramide, alors : - le volume V du la pyramide vaut : V = = C².h

18 FigurePatron VII/ LE PRISME DROIT h base Base x hauteurB x h Si on note h la hauteur du prisme et B laire de sa base, alors : - le volume V du prisme vaut : V = =

19 FigurePatron VIII/ LA SHERE ET LA BOULE Si on note r le rayon de la sphère, alors : - Laire A de la sphère est égale à : A = - Le volume V de la boule est égale à : V =

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21 Figure Nom Faces Sommets Arêtes Angles faces TétraèdreCubeOctaèdreDodécaèdreIcosaèdre 4 triangles équilatéraux 6 carrés8 triangles équilatéraux 12 pentagones réguliers 20 triangles équilatéraux °3290°138°11116°34 109°29

22 créé par David ROLLAND, formateur I.U.F.M. et professeur de lEcole Normale Mixte de la Polynésie française


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