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MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

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1 MicroéconomieMicroéconomie Sébastien Rouillon 2011 (1-ière version 2008)

2 1. Th. du choix rationnel On note : A = {a, b, …} = lens. des choix possibles ; R = une relation de préférence, déf. sur A. La proposition : a R b se lit : "Le choix a est au moins aussi bon que le choix b".

3 1. Th. du choix rationnel On dit que la relation de préférence R est rationnelle si : elle est complète : pour tout x et y de A, on a x R y ou y R x ; elle est transitive : pour tout x, y et z de A, si x R y et y R z, alors x R z.

4 1. Th. du choix rationnel On déduit de R une relation : de préférence stricte, notée P : a P b équivaut à : a R b et non b R a. dindifférence, notée I : a I b équivaut à : a R b et b R a.

5 1. Th. du choix rationnel La fonction U(x), définie sur A, représente R si, pour tout x et y dans A, x R y équivaut à U(x) U(y). On dit alors que U est une fonction dutilité représentant la relation de préférence R.

6 2. Le consommateur Le problème du consommateur est de choisir quelles quantités acheter des biens disponibles dans léconomie. Notons : K = le nombre de biens disponibles ; x = (x 1, …, x K ) IR K = un plan de consommation du consommateur.

7 2.1 Lensemble de consommation Les choix du consommateur sont limités par des contraintes physiques et/ou légales. Par ex. : le temps de loisir est au plus égal à 24h/j ; en Europe, le temps de travail ne peut pas dépasser 48h par semaine.

8 2.1 Lensemble de consommation On définit lensemble de consommation, noté X, comme tous les plans de consommation compatibles avec ces contraintes. Sauf mention contraire, on supposera que : X = {x IR K ; x k 0, pour k = 1, …, K}

9 2.2 Lensemble de budget Les choix du consommateur sont aussi limités par les prix des biens et son revenu. On note : p = (p 1, …, p K ) = le vecteur de prix (p >> 0) ; R = le revenu du consommateur (R > 0).

10 2.2 Lensemble de budget On définit lensemble de budget, noté B, comme tous les plans de consommation coûtant au plus le revenu du consommateur : B = {x IR K ; px = Σ k p k x k R}

11 2.3 Représentation graphique x1x1 x2x2 B Le consommateur doit choisir un plan de consommation dans X (contraintes physiques et/ou légales) et dans B (contraintes économiques). X Droite de budget X B

12 2.4 Les préférences du consommateur On note R la relation de préférence du consommateur, définie sur son ensemble de consommation X. Pour la suite, on suppose (sauf mention contraire) que R est rationnelle, monotone, strictement convexe et continue.

13 2.4 Les préférences du consommateur Pour tout panier de consommation x dans X, on peut définir trois sous-ensembles de X : lens. des paniers au moins aussi bon que x : (+) = {x X ; x R x} ; lens. des paniers équivalents à x : (~) = {x X ; x I x} ; lens. des paniers au plus aussi bon que x : (-) = {x X ; x R x}.

14 2.4.1 Préférences monotones x x1x1 x2x2 x On dit que R est monotone si, pour tout x et x dans X, x >> x implique x P x. Donc, lens. (+) des points au moins aussi bien que x contient tous les points au NE de x.

15 2.4.2 Préférences strictement convexes x x1x1 x2x2 x On dit que R est strict. convexe si, pour tout x, x R x et x R x impliquent que (t x + (1–t) x) P x, pour tout 0 < t < 1. Cela implique que lens. (+) des points au moins aussi bien que x est convexe. x

16 2.4.3 Préférences continues x1x1 x2x2 On dit que R est continue si, pour tout x, lens. (+) des points au moins aussi bien que x et lens. (-) des points au plus aussi bien que x sont tous les deux fermés (ils contiennent leur frontière). (+) (-) x (~) Courbe dindifférence

17 2.5 Fonction dutilité La proposition suivante justifie lintérêt de supposer la continuité de R : Si la relation de préférences R du consommateur est rationnelle et continue, il existe une fonction dutilité U(x) continue représentant R.

18 2.5 Fonction dutilité Il convient de comprendre quainsi construite, une fonction dutilité nest quune autre manière (plus commode mathématiquement) de représenter les préférences du consommateur. Cest un indice, construit pour représenter un classement des paniers de biens.

19 2.5 Fonction dutilité La propriété suivante peut aider à y voir plus clair : Si U(x) est une fonction dutilité représentant R, toute fonction f(U(x)), où f : IR IR est strictement croissante, est aussi une fonction dutilité représentant R. On dit que la fonction dutilité U(x) est ordinale.

20 2.5 Fonction dutilité Ainsi, le terme "utilité" ne renvoie à aucune idée de mesure du bien-être, puisque le nombre U(x), associé au panier de consommation x, na aucune signification.

21 2.5 Fonction dutilité Pour tout plan de consommation x dans X, on peut redéfinir les ensembles (~), (+) et (-), en utilisant U(x) : (+) = {x X ; U(x) U(x)} ; (~) = {x X ; U(x) = U(x)} ; (-) = {x X ; U(x) U(x)}.

22 2.5.1 Propriétés Les propriétés suivantes de U(x) découlent des hypothèses posées sur R : Elle est croissante : si x >> x, alors U(x) > U(x). (Car R est monotone.) Elle est strictement quasi-concave : pour tout x et x, U(t x + (1 – t) x) > min{U(x), U(x)}, pour tout 0 < t < 1. (Car R est strictement convexe.)

23 2.5.2 Représentation graphique x1x1 x2x2 Les courbes dindif. ne se croisent pas. Elles tournent leur concavité vers lorigine. Lindice dutilité asso- ciée croît à mesure quon séloigne de lori- gine. Utilité croissante

24 2.5 Exercices On considère le cas K = 2 et la fonction dutilité U(x) = x 1 a x 2 1–a, avec 0 < a < 1. (Famille des fonctions dutilité dites Cobb- Douglas.) On prendra le cas où a = 1/2. Tracer les courbes dindifférence U(x) = u, pour u = 0, 1, 2. Représenter les ensembles (+) et (-) associés au panier de bien x = (1, 1).

25 2.6 Hypothèses Ci-dessous, on admet lhypothèse de concurrence pure et parfaite. On suppose donc que le consommateur considère les prix comme des données et pense pouvoir acheter ou vendre aux prix du marché toute quantité quil désire.

26 2.6 Hypothèses Les hypothèses suivantes sont implicites dans toute la théorie à suivre : Information parfaite : Le consommateur connaît ses préférences, les prix et son revenu ; Rationalité parfaite : Le consommateur peut résoudre, sans coût et sans erreur, nimporte quel problème doptimisation sous contrainte.

27 2.7 Léquilibre du consommateur Le problème du consommateur est de choisir, dans son ensemble de consommation X et dans son ensemble de budget B, un panier de consommation x, pour obtenir une utilité U(x) la plus grande possible.

28 2.7 Léquilibre du consommateur On définit un équilibre du consommateur comme toute solution x* du problème de maximisation de lutilité suivant : Max U(x), sous les contraintes : x X, Σ k p k x k R.

29 2.7.1 Questions techniques Sous les hypothèses retenues, il existe un unique équilibre du consommateur. Lexistence découle du fait quon maximise une fonction continue sur un ensemble non vide, fermé et borné. Lunicité découle de la quasi-concavité stricte de la fonction dutilité (ou, de façon équivalente, de la convexité stricte de R ).

30 2.7.2 Détermination graphique x1x1 x2x2 Le pb revient à trouver x dans X et B, qui soit sur une courbe dindif. la plus éloignée possible de lorigine. Léquilibre x* se situe au point de tangence entre cette courbe dindif. et la droite de budget (pour une sol° intérieure). X B x* R/p 1 R/p 2

31 2.7.3 Conditions marginales On suppose ici que la fonction dutilité U(x) est continûment différentiable. On définit le taux marginal de substitution en x du bien 1 par le bien k, noté TMS 1k, par : TMS 1k = U 1 (x)/U k (x).

32 2.7.3 Conditions marginales Le TMS 1k en x mesure le nombre dunités du bien k qui, compte tenu des préférences du consommateur, sont nécessaires pour compenser la perte dune unité (infiniment petite) du bien 1, à partir du panier de consommation x. Graphiquement, cest la pente, au point x, de la courbe dindifférence passant par x (en valeur absolue), dans le plan (O, x 1, x k ).

33 2.7.3 Conditions marginales x1x1 x2x2 Si léq. x* du conso. est intérieur à X, la courbe dindif. passant par x* et la droite de budget sont tangentes en x*. Donc, elles ont même pente : TMS 12 = p 1 /p 2, et x* appartient à la droite de budget. X B x* R/p 1 R/p 2 TMS 12 p 1 /p 2 NB : Les pentes sont données en v.a.

34 2.7.3 Conditions marginales En généralisant, on obtient limportante propriété : Sil est intérieur à X, un équilibre du consommateur x* vérifie les conditions : TMS 1k = p 1 /p k, pour k = 1, …, K, Σ k p k x k * = R, où les TMS 1k sont calculés en x*.

35 2.7.3 Conditions marginales On peut la retrouver à laide du Th. du Lagrangien. Si x* est une solution intérieure du problème de maximisation de lutilité, il existe un nombre a (appelé multiplicateur de Lagrange) et une fonction (appelée fonction Lagrangienne) : L(x) = U(x) – a (Σ k p k x k – R), tels que x* vérifie les conditions : L k (x*) = U k (x*) – a p k = 0, pour k = 1, …, K, Σ k p k x k * = R.

36 2.7 Exercices 1)Construire une figure où léquilibre du consommateur est sur la frontière de lensemble de consommation. 2)Calculer léquilibre du consommateur dans le cas dune fonction Cobb-Douglas, avec a = p 1 = p 2 = 1/2 et R = 1.

37 2.8 Problème dual Pour la suite, on doit aussi étudier le problème de minimisation de la dépense suivant : Min px = Σ k p k x k, sous les contraintes : x X, U(x) u.

38 2.8.1 Questions techniques Sous les hypothèses retenues, il a une solution unique. Lexistence découle du fait quon maximise une fonction continue sur un ensemble non vide, fermé et borné inférieurement. Lunicité découle de la quasi-concavité stricte de la fonction dutilité (ou, de façon équivalente, la convexité stricte de R ).

39 2.8.2 Détermination graphique x1x1 x2x2 Le pb revient à trouver x X tel que U(x) u, qui soit sur une droite de budget px = Cste la plus proche possible de lorigine. Léquilibre x* se situe au point de tangence de cette droite avec la courbe dindif. U(x) = u (pour une sol° intérieure). U(x) u x* Droites de budget : px = Cste

40 2.8.3 Conditions marginales Supposons à nouveau que U(x) soit continûment différentiable. La propriété suivante caractérise une solution intérieure du problème de minimisation de la dépense. Si elle est intérieure à X, une solution x* du problème de minimisation de la dépense vérifie les conditions : TMS 1k = p 1 /p k, pour k = 1, …, K, U(x*) = u, où les TMS 1k sont calculés en x*.

41 2.8.3 Conditions marginales x1x1 x2x2 Ce graphique illustre et justifie la propriété précédente. La solution x* du pb est au point de tangence entre la courbe dindif. et la droite de budget. Donc, TMS 12 = p 1 /p 2 et U(x*) = u. U(x) = u x* TMS 12 p 1 /p 2

42 2.9 Définitions des fonctions de demande On peut déduire des problèmes précédents les définitions de deux fonctions de demande. Le problème de maximisation de lutilité détermine une fonction de demande dite marshallienne (ou non compensée). Le problème de minimisation de la dépense détermine une fonction de demande dite hicksienne (ou compensée). Elles sont bien définies, du fait de lexistence et de lunicité des solutions.

43 2.9.1 Fonctions de demande marshalliennes On définit la f° de demande marshallienne (ou non compensée), comme la fonction d(p, R), qui associe à tout vecteur de prix p = (p 1, …, p K ) et à tout revenu R, la solution correspondante x* = (x 1 *, …, x K *) du problème de maximisation de lutilité.

44 2.9.2 Fonctions de demande hicksiennes On définit la f° de demande hicksienne (ou compensée), comme la fonction h(p, u), qui associe à tout vecteur de prix p = (p 1, …, p K ) et à tout niveau dutilité u U(0), la solution correspondante x* = (x 1 *, …, x K *) du problème de minimisation de la dépense.

45 2.9 Exercices En considérant la famille des fonctions dutilité Cobb-Douglas U(x) = x 1 a x 2 1–a, avec 0 < a < 1, montrer que : les f° de demande marshalliennes sécrivent : d 1 (p 1, p 2, R) = a R/p 1 ; d 2 (p 1, p 2, R) = (1–a) R/p 2. les f° de demande hicksiennes sécrivent : h 1 (p 1, p 2, u) = [ap 2 /(1–a)p 1 ] 1–a u ; h 2 (p 1, p 2, u) = [(1–a)p 1 /ap 2 ] a u.

46 2.10 Propriétés des f° de demande La fonction de demande marshallienne vérifie les propriétés suivantes : Elle est homogène de degré 0 : d(t p, t R) = d(p, R), pour tout t > 0 ; Elle vérifie la loi de Walras : Σ k p k d k (p, R) = R ; Elle est continue.

47 2.10 Propriétés x1x1 x2x2 Si on multiplie tous les prix et le revenu par un même nombre positif, le problème du conso. est inchangé (lens. X B et la famille des courbes dindif. ne changent pas) et a donc même solution. X B x* R/p 1 R/p 2 Preuve de la première propriété.

48 2.10 Propriétés x1x1 x2x2 Si x* est intérieur à B, il existe x dans X B tel que x >> x*. Or, comme les préf. sont monotones, on a alors U(x) > U(x*). Ceci contredit le fait que x* soit équilibre du conso. X B x* R/p 1 R/p 2 x Preuve (par labsurde) de la seconde propriété.

49 2.10 Propriétés On a des propriétés similaires pour la fonction de demande hicksiennes : Elle est homogène de degré 0 en p : h(t p, u) = h(p, u), pour tout t > 0 ; Elle vérifie : U(h(p, u)) = u ; Elle est continue.

50 2.10 Propriétés x1x1 x2x2 Si on multiplie tous les prix par un même nombre positif, le pb de min° de la dép. est inchangée (mêmes contraintes, même objectif). Il a donc même solution. U(x) = u x* Preuve de la première propriété.

51 2.10 Propriétés x1x1 x2x2 Si U(x*) > u, posons x = t x*, 0 < t < 1. Pour t assez proche de 1, on a : U(x) u (car U est continue) et x << x*. Donc, x* nest pas sol° du pb de minimisation de la dépense (car on a px < px* et U(x) u). U(x) = u x* x Preuve (par labsurde) de la seconde propriété.

52 2.10 Exercices En considérant la famille des fonctions dutilité Cobb-Douglas U(x) = x 1 a x 2 1–a, avec 0 < a < 1, vérifier ces propriétés des fonctions de demande marshallienne et hicksienne.

53 2.11 Variations du revenu x1x1 x2x2 Une var° du rev. se traduit par un déplace- ment parallèle de la droite de budget. Les éq. du conso. consécutifs décrivent une courbe, appelée sentier dexpansion du revenu. x* Sentier dexpansion du revenu x-x- x+x+ R - < R < R +

54 2.11 Variations du revenu Sur la figure précédente, la demande des deux biens augmente avec le revenu. On parle de biens supérieurs. Il est possible de construire des exemples où la demande dun des biens diminue avec le revenu. On parle de biens inférieurs.

55 2.11 Exercices 1)Donner un exemple de graphique où le bien 1 est un bien inférieur. 2)Déterminer lexpression du sentier dexpansion du revenu pour la famille des fonctions dutilité Cobb- Douglas.

56 2.12 Variations des prix x1x1 x2x2 On représente ici leffet dune variation du prix du bien 1 (de p 1 à p 1 ou à p 1 ). En parcourant tous les prix p 1 possibles, puis en reliant les équilibres associés, on trace une courbe, dite courbe prix-consommation. x* x R/p 1 R/p 2 p 1 > p 1 > p 1 Courbe prix- conso. x

57 2.12 Variations des prix p1p1 Dans le plan (O, p 1, x 1 ), il découle de la figure précédente la repré- sentation suivante dune courbe de demande (p 2 et R étant donnés). p1p1 x1*x1* x 1 p 1 x 1 d 1 (p 1, p 2, R) x1x1

58 2.12 Variations du prix En se reportant à la première figure, on constate que : la demande du bien 1 diminie avec p 1 ; celle du bien 2 augmente avec p 1. Ceci paraît intuitif. Lexemple suivant montre que dautres cas sont possibles.

59 2.12 Variations des prix x1x1 x2x2 Dans cet exemple, le prix du bien 1 passe de p 1 à p 1, avec p 1 > p 1. Léq. du conso. passe de de x* à x. Comme x 1 > x 1 *, la dem. du bien 1 augmente avec son prix ! x* x R/p 1 R/p 2 R/p 1

60 2.12 Variations du prix Pour y voir clair, il faut comprendre quune hausse de p 1 (p 2 et R restant inchangés par ailleurs) produit à la fois : Un effet de prix relatifs : le bien 1 devient plus cher, par rapport au bien 2 ; Un effet de revenu : le pouvoir dachat du consommateur diminue.

61 2.12 Variations des prix x1x1 x2x2 Dans la 1-ière fig., ajoutons, pour lanalyse, la droite de budget en pointillés, associée au prix p 1 et à un rev. R, ce dernier étant calculé pour que léq. du conso. associé x, soit sur la courbe dindif. initiale. On appelle R le revenu compensé. x* x R/p 1 R/p 2 R/p 1 x R/p 1

62 2.12 Variations du prix Cette construction a lavantage de permettre de décomposer le passage de x* à x en : Un effet de substitution, de x* à x, prenant en compte uniquement la modification des prix relatifs ; Un effet de revenu, de x à x, prenant en compte uniquement la variation du pouvoir dachat.

63 2.12 Variations des prix La propriété suivante permet daffirmer que leffet de substitution joue bien dans le sens attendu. Pour tous vecteurs de prix p et p strictement positifs, la fonction de demande Hicksienne h(p, u) vérifie : (p – p)(h(p, u) – h(p, u)) 0. Autrement dit, elle satisfait la "loi de la demande" (les prix et les quantité variant en sens inverses).

64 2.12 Variations du prix Pour montrer cette propriété, notons x = h(p, u) et x = h(p, u). Comme (par déf°), pour tout p et u, h(p, u) minimise la dépense px pour atteindre lutilité U(x) = u, on a en particulier : px px et px px. En soustrayant membres à membres, on obtient : (p – p)x (p – p)x, doù découle directement le résultat.

65 2.12 Exercices Soit un consommateur, caractérisé par une fonction dutilité U(x) = x 1 1/2 x 2 1/2. Dans létat initial, où p 1 = p 2 = 1/2 et R = 1, calculer léquilibre du consommateur x*. Même question dans létat final, où p 1 = 1, p 2 et R restant inchangé, en notant x la solution. Décomposer le passage de x* à x pour mettre en évidence les effet de sub° et de rev. (Trouver la solution x du problème de minimisation de la dépense pour atteindre lutilité de létat initial U(x*) avec les prix de létat final.)

66 2.13 Exercices récapitulatifs 1)Refaire tous les exercices, pour le cas où la fonction dutilité est du type Leontief : U(x) = Min{a x 1 ; (1–a) x 2 }, 0 < a < 1. Pour lexercice 2.12, on posera a = 1/2, pour pouvoir comparer.

67 2.13 Exercices récapitulatifs 2)Refaire tous les exercices, pour le cas où la fonction dutilité est du type CES : U(x) = (a x 1 + (1–a) x 2 ) 1/, 0 < 1, où CES est labbréviation de Constant Elasticity of Substitution. Laisser de côté lexercice 2.12

68 2.14 Compléments On définit la fonction dutilité indirecte, notée v(p, R), comme la fonction associant à tout vecteur de prix p et à tout revenu R, le niveau dutilité obtenu à léquilibre du consommateur : v(p, R) = U(d(p, R)).

69 2.13 Compléments On a la propriété suivante, appelée identité de Roy : v(p, R)/ p k d k (p, R) = –, k = 1, …, K. v(p, R)/ R Elle permet de calculer les fonctions de dem. marshalliennes d k (p, R), à partir de la fonction dutilité indirecte v(p, R).

70 2.13 Compléments On définit la fonction de dépense, notée e(p, u), comme la fonction associant à tout vecteur de prix p et à toute utilité u, la dépense minimum pour atteindre lutilité u : e(p, u) = Σ k p k h k (p, u).

71 2.13 Compléments On a la propriété suivante : h k (p, u) = – e(p, u)/ p k, k = 1, …, K. Elle permet de calculer les fonctions de dem. marshalliennes d k (p, w) à partir de la fonction de dépenses e(p, u).

72 2.13 Compléments Enfin, on a la propriété suivante, appelée équation de Slutsky : x i (p, R) h i (p, R) x i (p, R) = + x j (p, R), p j p j R pour tout i, j = 1, …, K. Cette équation exprime la décomposition des effets de revenu et de substitution sous forme analytique.

73 2.13 Exercice En considérant la famille des fonctions dutilité Cobb-Douglas U(x) = x 1 a x 2 1–a, avec 0 < a < 1, vérifier lensemble des ces résultats.

74 3. Le Producteur Le problème du producteur est de choisir quelles quantités produire des biens k = 1, …, K. Notons : y = (y 1, …, y K ) IR K = un plan de p°, où, par convention, une composante y k positive représente un output et une composante y k négative représente un input.

75 3.1 La technologie du producteur Du fait de contraintes techniques et/ou institutionnelles, certains plans de production y sont réalisables, dautres non. Par ex. : La production dune automobile nécessite au moins une tonne dacier ; La durée du travail hebdomadaire est limitée légalement à 48h.

76 3.1 La technologie du producteur En toute généralité, on représente la technologie du producteur comme un sous- ensemble Y de IR K, appelé ensemble de production, tel quun plan de production y est réalisable si, et seulement si, il appartient à Y. La technologie est alors implicitement déterminée par les propriétés de lensemble de production Y.

77 3.1.1 Hypothèses Par la suite, on admet toujours que lensemble de production Y est non vide, fermé (il contient sa frontière) et convexe. La convexité de lensemble de production Y signifie que si y et y sont deux plans de production réalisables (i.e., éléments de Y), le plan de production t y + (1-t) y est aussi réalisable, pour tout 0 < t < 1.

78 3.1.2 Exemple y1y1 y2y2 Y Cette fig. donne un ex. dens. de p° Y non vide, fermé et convexe. Comme Y est fermé, il contient sa frontière. Comme Y est convexe, il contient tout segment joignant deux quelcon- que de ses points. y y

79 3.1.3 Autres propriétés On énumère ci-dessous dautres propriétés souvent utilisées des ensembles de production : Non gratuité : Y IR ++ K = ; Destruction sans coût des excédents : Si y Y et y y, alors y Y ; Irréversibilité : Si y Y et y 0, alors - y Y ; Rendements déchelle constants : Si y Y, alors t y Y, pour tout t > 0.

80 3.1.3 Autres propriétés y1y1 y2y2 Cette fig. représente un ens. de p° vérifiant la condition de rdts déchelle constants. Elle traduit lidée naturelle selon laquelle un plan de p° peut être répliqué à différentes échelles. y Y

81 3.1.3 Frontière de transformation y1y1 y2y2 Y On dit que le plan de production y Y est efficace sil nexiste aucun autre plan de production y Y tel que y y. On appelle frontière de transformation lens. des plans de p° efficaces. Graphiquement, cest la frontière NE de Y. y Frontière de transformation

82 3.2 Fonction de transformation Une fonction F(y), définie sur IR K, représente lensemble de production Y si : F(y) 0 y Y ; F(y) = 0 y est efficace. On dit que F(y) est une fonction de transformation représentant la technologie Y.

83 3.2 Exercices Représenter les ensembles de production Y, associés aux fonctions de transformation suivantes : F(y) = y 1 + y 2 ; F(y) = y 1 + (y 2 ) 2, si y 1 0, > 0, sinon.

84 3.3 Léquilibre du producteur Dans ce chapitre, on admet lhypothèse de concurrence pure et parfaite. On suppose donc que le producteur considère les prix comme des données et pense pouvoir acheter ou vendre aux prix du marché toute quantité quil désire.

85 3.3 Léquilibre du producteur Le problème du producteur est de choisir, dans son ensemble de production Y, un plan de production y, afin de réaliser un profit = py = Σ k p k y k le plus grand possible.

86 3.3 Léquilibre du producteur On définit un équilibre du producteur comme toute solution y* du problème de maximisation du profit : max Σ k p k y k, sous la contrainte : y Y.

87 y1y1 y2y2 Y Détermination graphique Le pb revient à choisir y dans Y, qui soit sur une droite diso-profit py = la plus éloignée possible de lorigine. Léquilibre y* se situe au point de tangence de cette droite diso- profit avec la frontière de transformation. y* Droites diso-profit, déquation py =. Y

88 3.3.2 Questions techniques y2y2 Lexistence et lunicité ne sont pas assurées, sous les hyp. retenues. Dans cet exemple : - il ny a pas déquilibre pour les prix p ; - il y a une infinité déquilibres pour les prix p. py = y1y1 Y

89 3.3.3 Conditions marginales On suppose ici que la fonction de transformation F(y) est continûment différentiable. Pour tout plan de production efficace y (cest-à-dire, vérifiant F(y) = 0), on définit le taux marginal de transformation en y du bien 1 en bien k, noté TMT 1k, par : TMT 1k = F 1 (y)/F k (y).

90 3.3.3 Conditions marginales Le TMT 1k en y mesure le nombre dunités supplémentaires du bien k que le producteur peut produire, sil diminue dune unité (infiniment petite) sa production du bien 1, à partir du plan de production efficace y. Graphiquement, cest la pente, au point y, de la frontière de transformation (en valeur absolue), dans le plan (O, y 1, y k ).

91 y1y1 y2y Conditions marginales Si y* est un éq. du prod., la droite disoprofit passant par y* et la frontière de transfor- mation sont tangentes en y*. Donc, elles ont même pente : TMT 12 = p 1 /p 2, et y* vérifie F(y*) = 0. y* TMT 12 p 1 /p 2

92 3.3.3 Conditions marginales En généralisant, on obtient limportante propriété : Un équilibre du producteur y* vérifie les conditions : TMT 1k = p 1 /p k, pour k = 1, …, K, F(y*) = 0, où les TMT 1k sont calculés en y*.

93 3.3.3 Conditions marginales On peut la retrouver à laide du Th. du Lagrangien. Si y* est une solution du problème de maximisation du profit, il existe un multiplicateur de Lagrange a et une fonction Lagrangienne : L(y) = Σ k p k y k – a F(y), tels que y* vérifie les conditions : L k (y*) = p k – a F k (y*) = 0, pour k = 1, …, K, F(y*) = 0.

94 3.3 Exercices On suppose que la fonction de transformation du producteur est définie par : F(y) = y 1 + (y 2 ) 2, si y 1 0, > 0, sinon. Calculer léquilibre du producteur dans le cas où p 1 = p 2 = 1/2.

95 3.4 Définition des fonctions doffre Supposons que le problème de maximisation du profit admette une solution unique pour tout vecteur de prix p. On définit la f° doffre (nette) du producteur comme la fonction s(p), qui associe à tout vecteur de prix p = (p 1, …, p K ), la solution correspondante y* = (y 1 *, …, y K *) du problème de maximisation du profit.

96 3.4 Définition des fonctions doffre La fonction doffre est dite nette car on aura : s k (p) > 0, pour certains k, signifiant que le producteur offre le bien k ; s k (p) < 0, pour dautres k, signifiant que le producteur demande le bien k (facteur de production).

97 3.5 Propriétés des f° doffre (nette) On a les propriétés suivantes de la fonction doffre : Elle est homogène de degré 0 : s(t p) = s(p), pour tout t > 0 ; Elle est efficace : F(s(p)) = 0 ; Elle vérifie la "loi de loffre" : pour tous p et p, on a : (p – p)(s(p) – s(p)) 0.

98 3.5 Propriétés des f° doffre (nette) Si tous les prix sont multipliés par une même constante positive, le pb. du prod. ne change pas (ni lens. de p°, ni la famille des droites diso- profit ne changent). Donc, léquilibre y* ne change pas. y1y1 y2y2 Y y* Y Preuve de la première propriété.

99 3.5 Propriétés des f° doffre (nette) Supposons que léq. du producteur y* ne soit pas efficace : F(y*) < 0. Donc, il existe y >> y* tel que F(y) 0. Tous les prix étant positifs, on a alors : py > py*, ce qui contredit le fait que y* soit éq. y1y1 y2y2 Y y Y Preuve (par labsurde) de la seconde propriété. y*

100 3.5 Propriétés des f° doffre (nette) Notons y = s(p) et y = s(p). Comme (par déf°), pour tout p, s(p) maximise le profit py dans lensemble Y, on a en particulier : py py et py py. En soustrayant membres à membres, on obtient : (p – p)y (p – p)y, doù découle directement le résultat. Preuve de la dernière propriété.

101 3.6 Un seul output Dans les exercices, il est souvent plus commode de supposer que le producteur produit un unique bien, en utilisant les K-1 autres biens comme inputs. Ci-dessous, on admet que : les biens k = 1, …, K-1, sont les inputs ; le bien K est loutput.

102 3.6 Un seul output Dans ce cas, on représente la technologie au moyen dune fonction de production, notée f(z), définie de IR + K-1 dans IR +, donnant loutput maximum en bien K qui peut être obtenu en utilisant le vecteur dinputs z = (z 1, …, z K-1 ).

103 3.6.1 Propriétés Les propriétés suivantes dune fonction de production f(z) découlent des conditions posées sur les ensembles de production Y : Elle est continue ; (Car Y est fermé.) Elle est croissante : si z > z, f(z) > f(z) ; (Car, par définition, le plan de p° (-z, f(z)) est efficace.) Elle est concave : f(tz + (1-t) z) t f(z) + (1-t) f(z), pour tout 0 t 1. (Car Y est convexe.)

104 3.6.1 Propriétés On traduit ici les conséquences sur les fonctions de production dautres propriétés des ensembles de production énoncées précédemment : Non gratuité : f(0) = 0 ; Rendements déchelle constants : f(tz) = t f(z), pour tout t > 0. En généralisant, on parle de rendements déchelle croissants (resp., décroissants) si f(tz) > t f(z) (resp., si f(tz) < t f(z)).

105 3.6.2 Représentation graphique Sur la figure ci-dessous, on appelle courbe disoquante (associée à une quantité q donnée), lensemble des vecteurs dinputs z qui permettent de produire q unités de loutput K, cest- à-dire tels que f(z) = q.

106 3.6.2 Représentation graphique z1z1 z2z2 Les courbes disoquan- te ne se croisent pas. Elles tournent leur concavité vers lorigine. La production associée croît à mesure quon séloigne de lorigine. Production croissante

107 3.6.3 Maximisation du profit On peut récrire le problème du producteur (Cf 3.3) sous la forme : Max p f(z) - Σ k k z k (k de 1 à K-1) où lon adopte la notation conventionnelle : = (p 1, …, p K–1 ) = les prix des inputs ; p = p K = le prix de loutput.

108 3.6.3 Maximisation du profit Sil est intérieur (z k * > 0, pour tout k = 2, …, K–1), un équilibre du producteur vérifie les conditions : p f k (z*) = k, pour k = 1, …, K-1, y K * = f(z 1 *, …, z K-1 *).

109 3.6.4 Problème dual Par la suite, on aura aussi besoin détudier le problème de minimisation du coût de production de loutput K en quantité q : min Σ k k z k, sous f(z) q.

110 3.6.4 Problème dual z1z1 z2z2 Le pb revient à trouver z tel que f(z) q, qui soit sur une droite de coût z = C la plus proche possible de lorigine. Léquilibre z* se situe au point de tangence de cette droite avec la courbe disoquante f(z) = q (pour une sol° intérieure). f(z) q z* Droites de coût : wz = C

111 3.6.4 Problème dual On suppose maintenant que la fonction de production f(z) est continûment différentiable. On définit le taux marginal de substitution technique en z de linput 1 par linput k, noté TMST 1k, par : TMST 1k = f 1 (z)/f k (z).

112 3.6.3 Problème dual Le TMST 1k en z mesure le nombre dunités supplémentaires de linput k, qui sont nécessaires pour maintenir loutput constant, si le producteur diminue dune unité (infiniment petite) la quantité quil utilise de linput 1. Graphiquement, cest la pente, au point z, de la courbe disoquante passant par z (en valeur absolue), dans le plan (O, z 1, z k ).

113 3.6.3 Problème dual La propriété suivante sera utile pour calculer une solution intérieure du problème de minimisation du coût : Une solution intérieure du problème de minimisation du coût (z k * > 0, pour tout k) vérifie les conditions : TMST 1k = 1 / k, pour k = 1, …, K-1, f(z 1 *, …, z K-1 *) = q.

114 3.6.4 Problème dual z1z1 z2z2 Ce graphique illustre et justifie la propriété précédente. La solution z* du pb est au point de tangen- ce entre la courbe disoquante et la droite de coût. Donc, TMST 12 = 1 / 2 et f(z*) = q. f(z) = q z* TMST 12 1 / 2

115 3.6.5 Fonction de coût On définit la fonction de coût, notée C(q, ), comme la fonction associant à tout vecteur de prix des inputs, le coût minimum de production de loutput K en quantité q. On a donc : C(q, ) = z*, où z* résout le problème de minimisation du coût pour les prix et la quantité q.

116 3.6 Exercices Dans les exercices suivants, on considère un producteur utilisant les biens 1 à K-1 pour produire le bien K, selon la fonction de production f(z). 1)On suppose que K = 3 et f(z) = z 1 1/3 z 2 1/3. Représenter les courbes disoquante f(z) = q, pour q = 0, 1, 2. Déterminer les équilibres du producteur associés aux prix 1 = 2 = ½ et p = 1.

117 3.6 Exercices 2)On considère le cas K = 3 et la famille des fonctions de production de type Cobb-Douglas f(z) = z 1 a z 2 b, avec a, b > 0. On note 1 et 2 les prix des inputs, p le prix de loutput. Montrer que la solution du problème de minimisation du coût de production de loutput K en quantité q est : z 1 * = (a 2 /b 1 ) b/(a+b) q 1/(a+b) ; z 2 * = (b 1 /a 2 ) a/(a+b) q 1/(a+b). En déduire que la fonction de coût sécrit : C(q, ) = c q 1/(a+b), avec : c = 1 (a 2 /b 1 ) b/(a+b) + 2 (a 2 /b 1 ) b/(a+b). Discuter lexistence et lunicité de léquilibre du producteur en fonction des valeurs de a, b, c et p.

118 4. Léconomie On considère une économie composée de : I consommateurs, indicés i = 1, …, I ; J entreprises, indicées j = 1, …, J ; K biens, indicés k = 1, …, K.

119 4. Léconomie Chaque consommateur i est caractérisé par son ensemble de consommation X i et sa fonction dutilité U i (x i ). Chaque producteur j est caractérisé par son ensemble de production Y j, représenté par une fonction de transformation F j (y j ).

120 4.1 Etat initial Avant toute activité économique, léconomie détient une dotation primaire en biens, qui servira soit directement à la consomma- tion, soit à la production dautres biens. On note : w = (w 1, …, w K ) IR + K = la dotation initiale.

121 4.2 Etat économique Un état économique est noté : E = (x 1, …, x I, y 1, …, y J ) et se définit comme la donnée : dun plan de consommation x i IR K, pour chaque consommateur i = 1, …, I ; dun plan de production y j IR K, pour chaque producteur j = 1, …, J.

122 4.2 Etat économique Dans la définition précédente, on note : x i = (x i1, …, x iK ) ; y j = (y j1, …, x jK ) ; où : x ik = la conso. par i du bien k ; y jk = la production par j du bien k.

123 4.2 Etat économique Un état économique E = (x, y) est possible sil est possible pour les consommateurs et les producteurs : x i X i,i = 1, …, I ; y j Y j,j = 1, …, J ; et sil vérifie en outre la condition dégalité des emplois et des ressources pour tous les biens : Σ i x ik = Σ j y jk + w k,k = 1, …, K.

124 4.3 Equilibre général Létat économique E* = (x*, y*) forme, avec les prix p = (p 1, …, p K ) et les revenus R = (R 1, …, R I ), un équilibre général de léconomie si : pour tout i, x i * maximise U i (x i ) sous les contraintes x i X i et px i R i ; pour tout j, y j * maximise py j sous la contrainte F j (y j ) 0 ; pour tout k, on a légalité des emplois et des ressources : Σ i x ik = Σ j y jk + w k.

125 4.3 Equilibre général Ainsi, un équilibre général de léconomie remplit trois conditions : 1.Pour chaque consommateur i, x i * est un panier de biens déquilibre, sachant les prix et son revenu ; 2.Pour chaque producteur j, y j * est un plan de production déquilibre, sachant les prix ; 3.Tous les marchés sont équilibrés.

126 4.3 Equilibre général Supposons que létat E* = (x*, y*) soit intérieur et que les fonctions dutilité U i (i = 1, …, I) et de transformation F j (j = 1, …, J) soient continûment différentiables. Comme x i * est un éq. du conso. i (intérieur), on a : TMS 1k i = p 1 /p k, pour tout k, Σ k p k x ik * = R i. Comme y j * est un éq. du prod. j, on a : TMT 1k j = p 1 /p k, pour tout k, F j (y j *) = 0.

127 4.3 Equilibre général On en déduit quun équilibre général E*, sil est intérieur, remplit, entre autres, les conditions : TMS 1k i = TMT 1k j = p 1 /p k, pour tout i, j, k, F j (y j *) = 0,pour tout j, Σ i x ik * = Σ j y jk * + w k,pour tout k.

128 4.3 Exercices On considère une économie déchange (J = 0) composée de I = 2 consommateurs et K = 2 biens. La dotation initiale en biens est w = (1, 1). Les fonctions dutilité sont : U 1 (x 1 ) = x 11 1/3 x 12 2/3 et U 2 (x 2 ) = x 21 2/3 x 22 1/3. Montrer que létat économique E* = (x 1 *, x 2 *), où x 1 * = (1/3, 2/3) et x 2 * = (2/3, 1/3), associé au prix p 1 = p 2 = 1 et aux revenus R 1 = R 2 = 1, forme un équilibre général.

129 4.4 Etat optimal Un état économique E° = (x°, y°) est dit optimal au sens de Pareto, sil est possible et sil nexiste aucun autre état économique possible E = (x, y) tel que : U i (x i ) U i (x i °), pour tout i, avec linégalité stricte (>) pour au moins un consommateur.

130 4.4 Etat optimal U1U1 U2U2 Cette fig. représente lens. des possibilités dutilité U dune écono- mie comportant deux conso., se répartissant la dotation initiale w. Lens. des états opt. au sens de Pareto est la frontière NE de lens. Frontière de Pareto U E E° U = {(U 1 (x 1 ), U 2 (x 2 )) ; x 1 0, x 2 0 et x 1 + x 2 w}

131 4.4 Etat optimal Par labsurde, il est évident que si létat économique E° est optimal, en particulier, il maximise lutilité du consommateur 1, dans lensemble des états économiques possibles qui laissent aux autres consommateurs une utilité au moins égale à celle quils obtiennent dans létat E°.

132 4.4 Etat optimal Ainsi, létat optimal E° = (x°, y°) doit être solution du problème suivant : max U 1 (x 1 ), sous les contraintes : U i (x i ) U i (x i °),i = 2, …, I, F j (y j ) 0,j = 1, …, J, Σ i x ik = Σ j y jk + w k,k = 1, …, K.

133 4.4 Etat optimal En notant a i, b j et c k les multiplicateurs de Lagrange (et en posant a 1 = 1, pour abréger lécriture), la fonction Lagrangienne associée à ce problème sécrit : L(x, y) = Σ i a i (U i (x i ) – U i (x i °)) – Σ j b j F j (y j ) – Σ k c k (Σ i x ik - Σ j y jk - w k )

134 4.4 Etat optimal Supposons que létat optimal E° = (x°, y°) soit intérieur. Par le théorème du Lagrangien, toutes les dérivées de L(x, y) sannulent en E° : a i U k i (x i °) – c k = 0, pour tout i et k, b j F k j (y i °) – c k = 0, pour tout j et k.

135 4.4 Etat optimal En arrangeant ces conditions, on en déduit quun état optimal E°, sil est intérieur, remplit, entre autres, les conditions : TMS 1k i = TMT 1k j = c 1 /c k, pour tout i, j, k, F j (y j °) = 0,pour toutj, Σ i x ik ° = Σ j y jk ° + w k,pour tout k.

136 4.4 Exercices On considère une économie déchange (soit J = 0), composée de I = 2 consommateurs et K = 2 biens. La dotation initiale en biens est w = (1, 1). Les fonctions dutilité sont : U 1 (x 1 ) = x 11 1/3 x 12 2/3 et U 2 (x 2 ) = x 21 2/3 x 22 1/3. Montrer que létat économique E° = (x 1 °, x 2 °), où x 1 ° = (1/3, 2/3) et x 2 ° = (2/3, 1/3) est optimal au sens de Pareto.

137 4.5 Les théorèmes de léconomie du bien-être En comparant les résultats des sections 4.3 et 4.4, on remarque que les états économiques associés à un équilibre général et les états économiques qui sont optimaux au sens de Pareto vérifient le même système déquations. On en vient à se demander si ces états ne sont pas en fait les mêmes. Les deux théorèmes de léconomie du bien-être donnent des conditions sous lesquelles ces deux ensembles détats économiques sont confondues.

138 4.5.1 Premier théorème Le 1-ier th. de léco. du bien-être sénonce : Si létat possible E*, associé aux prix p et aux revenus R, forme un équilibre général de léconomie et si les fonctions dutilité U i, i = 1, …, I, sont continues et croissantes, alors E* est un état optimal au sens de Pareto.

139 4.5.1 Premier théorème Ce théorème démontre, dans le langage de la théorie économique moderne, le principe de la main invisible dAdam Smith. Si les marchés sont concurrentiels, la poursuite de lintérêt individuel ne crée pas le chaos, contrairement à lintuition première, mais, au contraire, génére une certaine harmonie sociale.

140 4.5.2 Second théorème Le 2-ième th. de léco. du bien-être sénonce : Si létat possible E° est optimal au sens de Pareto, si les fonctions dutilité U i, i = 1, …, I, sont continues, croissantes et quasi-concaves, et si les ensembles de production Y j, j = 1, …, J, sont convexes, alors il existe des prix p et des revenus R, tels que létat E°, associé à ces prix et ces revenus, forme un équilibre général de léconomie.

141 4.5.2 Second théorème Ce théorème démontre quà condition de pouvoir redistribuer les revenus, un système de marchés, sil est concurrentiel, est un outil approprié pour atteindre nimporte quel état économique optimal au sens de Pareto.

142 4.5 Exercices Soit léconomie comportant I = 1 consommateur, J = 1 producteur et K = 2 biens. Les préférences du consommateur sont représentées par la fonction dutilité U(x) = x 1 x 2. La technologie du producteur est représentée par sa fonction de transformation F(y) = y 1 + y 2. La dotation est w = (1, 0). Déterminer lensemble W des états économiques qui, associés à des prix et des revenus donnés, constituent un équilibre général de léconomie. Déterminer lensemble P des états économiques optimaux au sens de Pareto. Vérifier que W = P.

143 4.6 Economie déchange On peut illustrer graphiquement les deux théorèmes de léconomie du bien-être, dans le cas dune économie déchange, comportant deux consommateurs et deux biens (soit I = 2, J = 0, K = 2).

144 4.6 Economie déchange Dans cette économie, létat économique E = (x 1, x 2 ) est possible sil vérifie : x ik 0, pour i = 1, 2 et k = 1, 2, x 11 + x 21 = w 1, x 12 + x 22 = w 2. Autrement dit, un état économique possible est simplement une répartition, entre les consommateurs 1 et 2, de la dotation primaire w = (w 1, w 2 ).

145 4.6.1 La boîte dEdgeworth x 11 x 12 La boîte dEdgeworth représente lens. des états possibles. Sa taille dépend de la dotation (w 1, w 2 ). Le repère (O 1, x 11, x 12 ) sert pour le conso. 1. Le repère (O 2, x 21, x 22 ), orienté en sens inverse, sert pour le conso. 2. x 22 x 21 w1w1 w2w2 O1O1 O2O2 E x 12 x 11 x 22 x 21

146 4.6.1 La boîte dEdgeworth x 11 x 12 On représente ici deux états économiques qui ne sont pas possibles. Létat E = (x 1, x 2 ) est impossible car, les points x 1 et x 2 ne coïn- cidant pas, impliquant que : x 1 + x 2 w. Létat E = (x 1, x 2 ) est impossible car x 22 < 0 (donc x 2 X 2 ). x 22 x 21 O1O1 O2O2 x 2 x 1 E E

147 4.6.1 La boîte dEdgeworth x 11 x 12 Dans la boîte, on repré- sente les préférences des conso., au moyen de deux familles de cour- bes dindifférence. Lutil. du conso. 1 croît en séloignant de O 1 vers le NE. Lutil. du conso. 2 croît en séloignant de O 2 vers le SO. x 22 x 21 O1O1 O2O2 Conso. 1 Conso. 2

148 4.6.2 Premier théorème Ci-dessous, nous considérons létat économique E* = (x 1 *, x 2 *), et nous supposons quil forme, avec les prix p = (p 1, p 2 ) et les revenus R = (R 1, R 2 ), un équilibre général de léconomie. Nous voulons montrer que E* est un état optimal au sens de Pareto.

149 4.6.2 Premier théorème Notons, pour i = 1, 2 : D i = {x i ; px i = R i } = la droite de budget de i ; (+) i = lens. des paniers de biens au moins aussi bien que x i *, du point de vue de i.

150 4.6.2 Premier théorème x 11 x 12 x 22 x 21 O1O1 O2O2 x1*x1* Par déf° dun éq. gén., le panier x 1 * est un éq. du conso. 1, sous sa contrainte de budget. Donc, lens. (+) 1 est contenu dans le demi- plan au-dessus de D 1 et x 1 * appartient à D 1. On a des conclusions semblables pour le conso. 2. (+) 1 D1D1

151 4.6.2 Premier théorème x 11 x 12 Par déf° dun éq. gén., létat E* est possible. Donc, dans la boîte dEdgeworth, les points x 1 * et x 2 * coïncident, pour former le point E*. Comme D 1 et D 2 ont même pente et passent par E*, elles sont confondus. x 22 x 21 O1O1 O2O2 E* x1*x1* x2*x2* D (= D 1 = D 2 )

152 4.6.2 Premier théorème x 11 x 12 Cette fig. reprend les conclus° précédentes. On en conclut facile- ment que E* est un état optimal. En effet, pour amélio- rer lutil. de 1, il faut prendre un point inté- rieur à (+) 1, donc au- dessus de D. Or, un tel point nappartient pas à (+) 2. x 22 x 21 O1O1 O2O2 E* (+) 1 (+) 2 D

153 4.6.3 Second théorème Ci-dessous, nous considérons létat E° = (x 1 °, x 2 °), et nous supposons quil est optimal au sens de Pareto. Nous voulons montrer quil existe des prix p = (p 1, p 2 ) et des revenus R = (R 1, R 2 ), tels que létat E°, associé à ces derniers, forme un équilibre général de léconomie.

154 4.6.3 Second théorème x 11 x 12 Par déf° dun état opt., si un état possible est intérieur à lens. (+) 1, il nappartient pas à lens. (+) 2. En effet, sinon, on pourrait améliorer lutil. de 1, sans diminuer celle de 2, ce qui serait contradictoire. x 22 x 21 O1O1 O2O2 E° (+) 1 (+) 2

155 4.6.3 Second théorème x 11 x 12 Supposons les ens. (+) 1 et (+) 2 convexes. Par un théorème de séparation des con- vexes, il existe une droite D, passant par E° et laissant ces deux ensembles de part et dautres de D. x 22 x 21 O1O1 O2O2 E° (+) 1 (+) 2 D

156 4.6.3 Second théorème x 11 x 12 On peut trouver des prix p = (p 1, p 2 ) et des rev. R = (R 1, R 2 ), tels que la droite D ait pour éq° : px 1 = R 1 dans le repères (O 1, x 11, x 12 ) ; et px 2 = R 2 dans le repères (O 2, x 21, x 22 ). Il est clair que E° forme, avec ces prix et ces rev., un éq. gén. x 22 x 21 O1O1 O2O2 E° (+) 1 (+) 2 D

157 4.6.4 Conclusion On note que le premier théorème de léconomie du bien-être est plus général. En effet, seul le second théorème nécessite que les préférences des consommateurs soient convexes.

158 4.7 Economie de propriété privée On définit une économie de propriété privée comme une économie dans laquelle les consommateurs possèdent les entreprises et la dotation initiale de léconomie. Leurs revenus découlent alors de la redistribution des profits des entreprises et/ou de la vente de lexcédent de leur dotation initiale sur leur consommation.

159 4.7.1 Notations On suppose que les consommateurs i = 1, …, I possèdent des droits de propriété sur les entreprises j = 1, …, J. On note : ij = la part du conso. i dans lent. j ; où les nombres ij vérifient : 0 ij 1, pour tout i et j ; Σ i ij = 1, pour tout j.

160 4.7.1 Notations On suppose que les consommateurs i = 1, …, I possèdent la dotation primaire de léconomie en biens k = 1, …, K. On note : w ik = la dotation initiale du conso. i en bien k ; où les nombres vérifient : w ik 0, pour tout i et k ; w i = (w i1, …, w iK ) 0 ; Σ i w ik = w k, pour tout k.

161 4.7.2 Formation des revenus Dans une économie de propriété privée, les revenus R i (i = 1, …, I) des consommateurs dépendent des profits j (j = 1, …, J) et des prix p k (k = 1, …, K), et sont donnés par la relation : R i = Σ j ij j + Σ k p k w ik.

162 4.7.3 Eq. gén. dune éco. de propriété privée Dans une économie de propriété privée, la définition dun équilibre général donnée au début du chapitre (Cf 4.3) sapplique, en ajoutant simplement la relation précédente, exprimant le revenu des consommateurs en fonction des profits et des prix.

163 4.7.3 Equilibre général Létat E* = (x*, y*) et les prix p forment un équilibre général de léconomie de propriété privée si : x i * maximise U i (x i )(i = 1, …, I) sous x i X i et px i R i ; y j * maximise py j (j = 1, …, J) sous F j (y j ) 0 ; Σ i x ik * = Σ j y jk * + w k ;(k = 1, …, K) les revenus vérifiant par ailleurs : R i = Σ j ij j + Σ k p k w ik ;(i = 1, …, I) j = py j *.(j = 1, …, J)

164 4.7.4 Une théorie positive ? Léquilibre général, appliqué à une économie de propriété privée, est une lecture (parmi dautres) des institutions dune économie de marché et de leur fonctionnement. De ce point de vue : la définition précédente constitue laboutissement de la théorie microéconomique, en tant que théorie positive, sous réserve détablir lexistence, lunicité et la stabilité dun tel état économique.

165 4.7.4 Une théorie positive ? Précisément, il sagit de trouver des condi- tions sous lesquelles, pour une économie donnée, définie par des ensembles de consommation X i, des préférences U i et des "patrimoines" i et w i des consommateurs, et par des ensembles de production Y j des producteurs, on est assurés quun équilibre général existe et quil sera rejoint.

166 4.7.4 Une théorie positive ? Limitons-nous au cas dune économie déchange (J = 0). Sous les hyp. du chap. 2, on sait quon peut déduire des données précédentes, des fonctions de demande d i (p, R i ), homogènes de degré 0, vérifiant la loi de Walras et continues (Cf 2.10).

167 4.7.4 Une théorie positive ? Dans ce cas, un équilibre général de léconomie de propriété privée existe si on peut trouver des prix p = (p 1, …, p K ), tels quil y ait égalité des emplois et des ressources sur tous les marchés : Σ i d ik (p, R i ) = w k, pour tout k, les revenus des consommateurs étant égaux à la valeur de leur dotation initiale : R i = pw i, pour tout i.

168 4.7.4 Une théorie positive ? On définit la fonction de demande nette de léconomie f(p) = (f 1 (p), …, f K (p)), comme la f° qui associe à tout vecteur de prix p, le vecteur (Σ i d i1 (p, pw i ) – w 1, …, Σ i d iK (p, pw i ) – w K ) des excédents de la demande sur loffre, sur chacun des K marchés. Avec cette définition, un vecteur de prix p induit un équilibre général de léconomie de propriété privée, simplement si f(p) = 0.

169 4.7.4 Une théorie positive ? La fonction de demande nette f(p) vérifie les propriétés suivantes : elle est homogène de degré 0 : f(t p) = f(p), pour tout t > 0 ; elle vérifie la loi de Walras : Σ k p k f k (p) = 0 ; Elle est continue.

170 4.7.4 Une théorie positive ? La 1-ière propriété découle de lhomogénéité de degré 0 des fonctions de demande des consommateurs d i (p i, R). Elle implique que si un vecteur de prix p induit un équilibre général de léconomie (cest-à-dire, vérifie f(p) = 0), il en va de même pour tout vecteur t p, avec t > 0. On peut donc fixer un prix arbitrairement.

171 4.7.4 Une théorie positive ? La 2-ième propriété découle du fait que les fonctions de demande d i (p i, R) vérifient : Σ k p k (d ik (p, pw i ) – w ik ) = 0, pour tout i. On a donc, en sommant sur i : Σ i Σ k p k (d ik (p, pw i ) – w ik ) = 0, puis en inversant lordre de sommation : Σ k p k Σ i (d ik (p, pw i ) – w ik ) = Σ k p k f k (p) = 0.

172 4.7.4 Une théorie positive ? Cette propriété implique que, pour un vecteur de prix p >> 0, si on sait que tous les marchés, sauf un, sont équilibrés, le dernier marché est aussi équilibré. Une conséquence pratique est que, parmi les K équations que doit satisfaire le vecteur de prix p, on peut, pour le calculer, en éliminer une.

173 4.7.4 Une théorie positive ? Le théorème suivant montre que lexistence dun équilibre général est (presque) assurée sous les hypothèses posées. Si la fonction de demande nette f(p) est continue, homogène de degré 0 et satisfait la loi de Walras, alors il existe un système de prix p* tel que f(p*) 0.

174 4.7.4 Une théorie positive ? La démonstration de ce théorème repose sur le théorème de point fixe suivant, dû à Brouwer : Si une fonction f, définie dun ensemble convexe, fermé et borné dans lui-même, est continue, elle admet un point fixe, cest-à-dire : il existe x tel que f(x) = x.

175 4.7 Exercices On considère une économie composée de I = 2 consommateurs et K = 2 biens. Les fonctions dutilité sont : U 1 (x 1 ) = x 11 1/3 x 12 2/3 et U 2 (x 2 ) = x 21 2/3 x 22 1/3. Montrer quil existe un équilibre général de léconomie de propriété privée pour nimporte quelle distribution initiale de la dotation w = (1, 1) entre les deux consommateurs.

176 5. Analyse en équilibre partiel Lanalyse en équilibre partiel consiste à isoler le marché dun bien, par exemple le blé, pour étudier les conséquences de chocs, des situations de concurrence imparfaite ou des politiques économiques, en négligeant les effets déquilibre général sur les autres marchés. On construit ainsi un modèle plus simple, avec lequel on peut résoudre des problèmes qui seraient ardus dans une analyse en équilibre général.

177 5. Analyse en équilibre partiel Une analyse en équilibre partiel est admissible si : La part du blé dans les dépenses totales est faible ; Les effets de substitution sur les autres marchés sont diffus. Alors, on peut supposer les prix des autres biens comme fixes. Ceci permet de traiter les autres biens comme un bien composite, appelé le numéraire.

178 5.1 Notations et hypothèses Le modèle déquilibre partiel comporte : 2 biens : le numéraire et le blé ; I consommateurs, caractérisés par leur ens. de conso. X i, leur dotation w i en numéraire et leur fonction dutilité U i ; J producteurs, caractérisés par leur fonction de transformation F j.

179 5.1 Notations et hypothèses Le numéraire est un bien composite, figurant tous les autres biens achetés ou vendus par les agents économiques. Il est évalué en valeur, aux prix courants sur les autres marchés (fixes, par hyp.). Dans lanalyse, on normalise le prix du numéraire à 1. On définit ensuite p le prix (relatif) du blé.

180 5.1 Notations et hypothèses On suppose dans ce chapitre des conditions de concurrence pure et parfaite. Autrement dit, les agents économiques considèrent les prix comme des données et pensent pouvoir acheter ou vendre aux prix du marché toutes quantités quil désirent.

181 5.1 Notations et hypothèses On note : (a i, x i ) = un plan de consommation de i ; (b j, y j ) = un plan de production de j. Dans les deux cas, la première composante donne la quantité de bien numéraire, la seconde composante donne la quantité de blé. Un état économique se note : E = ((a 1, x 1 ), …, (a I, x I ), (b 1, y 1 ), …, (b J, y J )).

182 5.1 Notations et hypothèses Un état économique E est dit possible sil vérifie : (a i, x i ) X i, pour tout i, F j (b j, y j ) = 0, pour tout j, Σ i a i = Σ j b j + Σ i w i, Σ i x i = Σ j y j.

183 5.2 La demande Pour chaque consommateur i, on admet que : (w i, 0) = sa dotation (w i > 0), X i = {(a i, x i ) IR 2 ; x i 0}, U i (a i, x i ) = a i + v i (x i ), avec : v i (0) = 0, v i (x i ) > 0 et v i (x i ) < 0.

184 5.2 La demande aiai xixi On illustre ici ces hyp. Lens. X i permet a i < 0. Les courbes dindif. sont décroissantes et tournent leur concavité vers la gauche. Elles sont parallèles le long de labscisse : on parle de préférences quasi-linéaires par rapport au numéraire. XiXi Dotation initiale (w i, 0)

185 5.2 La demande aiai xixi Sur cette fig., on trace léq. du conso., pour trois niveaux de revenus R i -, R i et R i +. On note quavec des préf. quasi-linéaires, le sentier dexpansion du revenu est horizontal. Autrement dit, la demande de blé ne dépend que de p. R i - < R i < R i + Sentier dexpansion du revenu

186 5.2 La demande Depuis le chap. 2, on sait quun équilibre du conso. (a i *, x i *) (supposé intérieur) vérifie : TMS i = v i (x i *) = p, a i * + p x i * = R i, en notant : TMS i = U 2 i (a i *, x i *)/U 1 i (a i *, x i *) = le taux marginal de substitution du blé par le numéraire.

187 5.2 La demande Avec la première équation, on vérifie que la demande de blé ne dépend que de p : v i (x i *) = p x i * = (v i ) -1 (p), La demande de bien numéraire apparaît ensuite comme résiduelle : a i * + p x i * = R i a i * = R i – p (v i ) -1 (p).

188 5.2 La demande xixi p En éq. partiel, par convention, on repré- sente la dem. en portant la quantité en abscisses et le prix en ordonnées. Alors, comme léquilibre du consommateur vérifie : p = v i (x i *), la courbe de demande coïncide avec la repré- sentation de v i (x i ). Courbe de demande (inverse) p = v i (x i *) xi*xi*

189 5.2 La demande On appelle surplus du consommateur i, noté S i, lavantage que le consommateur i retire en participant au marché du blé, mesuré en unités de numéraire. Sil achète x i unités au prix p, on a : S i = U i (R i – p x i, x i ) – U i (R i, 0), = v i (x i ) – p x i.

190 5.2 La demande Comme on a normalisé la fonction dutilité de façon que v i (0) = 0, on peut aussi écrire le surplus du consommateur sous la forme : x i S i = (v i (t) – p) dt. 0

191 5.2 La demande xixi p On en déduit quà léq., le surplus du consomma- teur i correspond, gra- phiquement, à laire de la surface comprise entre la courbe de demande et la droite horizontale dordonnée p, entre les abscisses 0 et x i *. p xi*xi* SiSi p = v i (x i )

192 5.2 La demande Pour tout prix p, la demande globale sur le marché du blé est égale à la somme des demandes individuelles : X(p) = Σ i x i * = Σ i (v i ) -1 (p). On la représente graphiquement par la courbe de sa fonction inverse, notée P(x).

193 5.2 La demande x p Connaissant la courbe de dem. des I conso. intervenant sur le marché, on construit la courbe de dem. globale (inverse), en addition- nant vers la droite les courbes de demande individuelles : pour chaque prix p, la dem. globale est Σ i x i *. p x1*x1* x2*x2* Conso. 1 Conso. 2 x 1 *+ x 2 * P(x)

194 5.2 La demande x p Par construction, laire S de la surf. comprise entre la courbe de dem. globale (inverse) et la droite horizontale dordonnée p, entre les abscisses 0 et x, mesu- re le surplus, à léq., de lensemble des conso. intervenant sur le marché, soit S = Σ i S i. p Surplus des consommateurs P(x) x

195 5.2 La demande On peut calculer le surplus de lensemble des consommateurs, lorsquils achètent x unités de blé au prix p, en utilisant la formule : x S = (P(t) – p) dt. 0

196 5.2 Exercices 1)On considère un consommateur, ayant un revenu R et une fonction dutilité U(a, x) = a + v(x). Comparer son utilité dans le cas où il ne participe pas au marché du blé, et celui où, entrant sur ce marché, il paye une somme t en numéraire, contre x unités de blé. A quelle condition (sur t) décide-t-il dentrer sur le marché du blé ? Quen déduisez-vous pour linterprétation de la fonction v(x) ?

197 5.2 Exercices 2)On considère un consommateur, caractérisé par son revenu R et sa fonction dutilité U(a, x) = a + v(x), définie sur IRx[0, 1], avec v(x) = (1 – x/2)x. Déterminer sa fonction de demande de blé. En donner une représentation graphique, en portant la quantité en abscisses et le prix en ordonnées. Donner lexpression de son surplus, sil achète x unités au prix p. Retrouver-la en calculant les aires correspondantes sur la figure.

198 5.2 Exercices 3)On suppose que I consommateurs identiques à celui de lexercice précédent participent au marché du blé. Déterminer lexpression de la fonction de demande globale X(p) sur le marché. Construire sa représentation graphique selon le procédé vu ci-dessus, en portant la quantité en abscisses et le prix en ordonnées. Trouver lexpression de la fonction de demande globale (inverse) P(x) en utilisant la figure. Calculer le surplus des consommateurs, sils achètent x unités au prix p. Le retrouver à laide de la figure.

199 5.3 Loffre Chaque producteur j est caractérisé par son ensemble de production Y j et on suppose quil est représentable par une fonction de transformation F j de la forme : F j (b j, y j )= b j + C j (y j ), si b j 0, > 0, sinon, avec : C j (y j ) 0, C j (y j ) 0 et C j (y j ) 0.

200 5.3 Loffre Par définition, un plan de production (b j, y j ) de j est possible sil vérifie : F j (b j, y j ) = b j + C j (y j ) 0, soit : – b j C j (y j ).(où C j (y j ) 0, par hyp.) Donc, j doit acheter (au minimum) C j (y j ) unités du bien numéraire, comme inputs, sil veut produire y j unités de blé.

201 5.3 Loffre On peut ainsi interpréter C j (y j ) comme la fonction de coût de production du producteur j pour le blé. Pour toute quantité y j, on en déduit les coûts moyen CM j et marginal Cm j du producteur j : Le coût moyen donne le coût par unité produite : CM j = C j (y j )/y j ; Le coût marginal donne le coût de la dernière unité (infiniment petite) produite : Cm j = C j (y j ).

202 5.3 Loffre Cette fig. représente lens. de p° Y j dans le repère (0, y j, - b j ). Sa frontière est la courbe représentative du coût de production C j (y j ). Les points au-dessus de cette courbe, véri- fiant – b j C j (y j ), sont réalisables. yjyj - b j YjYj C j (y j )

203 5.3 Loffre En utilisant les résultats du chap. 3, on sait quun équilibre du prod. (b j *, y j *) (supposé intérieur) satisfait les conditions : TMT j = C j (y j *) = p, F j (b i *, y j *) = b i * + C j (y j *) = 0, en notant : TMT j = F 2 j (b j *, y j *)/F 1 i (b j *, y j *) = le taux marginal de transformation du blé en numéraire.

204 5.3 Loffre Il existe un moyen naturel de retrouver ce résultat. En admettant que le prod. choisisse toujours un plan de p° efficace, cest-à-dire tel que F j (b i, y j ) = b j + C j (y j ) = 0, son profit sécrit : j = p y j – C j (y j ). Il est maximum pour la production y j * si : d j /dy j = p – C j (y j *) = 0.

205 5.3 Loffre On en déduit que la fonction doffre de blé du producteur j est la fonction inverse de son coût marginal de production Cm j = C j (y j ) : C j (y j *) = p y j * = (C j ) -1 (p).

206 5.3 Loffre Si lon porte la quantité en abscisses et le prix en ordonnées, sachant que léq. du producteur j vérifie p = C j (y j ), la courbe représentative de loffre de j coïncide avec celle de son coût marginal Cm j (= C j (y j )). yjyj p p = C j (y j *) yi*yi* Courbe doffre (inverse) Cm j

207 5.3 Loffre Si lon suppose quil nexiste pas de coût fixe de production, cest-à-dire que C j (0) = 0, alors le profit que le producteur j réalise en vendant y j unités de blé au prix p, peut aussi sécrire : y j j = (p – C j (t)) dt. 0

208 5.3 Loffre yjyj p Graphiquement, le profit réalisé par j, à léq., correspond à laire de la surface comprise entre la droite horizontale dordonnée p et la courbe de coût marginal Cm j, entre les abscisses 0 et y j *. p yi*yi* j Cm j

209 5.3 Loffre Pour tout prix p, loffre globale sur le marché du blé est égale à la somme des offres individuelles : O(p) = Σ j y j * = Σ i (C j ) -1 (p). On la représente graphiquement par la courbe de sa fonction inverse, notée (y).

210 5.3 Loffre y p Connaissant la courbe de dem. des J prod. intervenant sur le marché, on construit la courbe doffre globale (inverse), en addition- nant vers la droite les courbes doffre individuelles : pour chaque prix p, la dem. globale est Σ j y j *. y1*y1* y2*y2* y 1 *+ y 2 * (y) Prod. 1 Prod. 2 p

211 5.3 Loffre y p Par construction, laire de la surf. comprise entre la droite horizon- tale dordonnée p et la courbe doffre globale (inverse), entre les abscisses 0 et y, donne le profit, à léq., de lensemble des prod. intervenant sur le marché, soit = Σ j j. y p Profits des producteurs (y)

212 5.3 Loffre On peut calculer le profit de lensemble des producteurs intervenant sur le marché du blé, lorsquils offrent y unités au prix p, en utilisant la formule : y = (p – (t)) dt. 0

213 5.3 Exercices 1) On considère un producteur dont le coût est c(y) = y 2 /2. Faire la représentation graphique de son ensemble de production. Déterminer sa fonction doffre de blé. En donner une représentation graphique, en portant la quantité en abscisses et le prix en ordonnées. Donner lexpression du profit du producteur, sil vend y unités au prix p. Retrouver-la en calculant les aires correspondantes sur la figure.

214 5.3 Exercices 2) On suppose que J producteurs identiques à celui de lexercice précédent participent au marché du blé. Déterminer lexpression de la fonction doffre globale O(p) sur le marché. Construire sa représentation graphique selon le procédé vu ci-dessus, en portant la quantité en abscisses et le prix en ordonnées. Trouver lexpression de la fonction doffre globale (inverse) (y) en utilisant la figure. Calculer le profit des producteurs, sils vendent y unités au prix p. Le retrouver à laide de la figure.

215 5.4 Le surplus social On définit le surplus social comme la fonction W, qui associe à tout état économique possible E, la somme correspondante des avantages retirés par les consommateurs de leur participation au marché du blé, soit Σ i (U i (a i, x i ) - U i (w i, 0)).

216 5.4 Le surplus social En utilisant les définitions dun état économi- que possible (Cf. 5.1), des fonctions dutilité (Cf. 5.2) et des technologies (Cf. 5.3), on obtient lexpression suivante : W = Σ i v i (x i ) – Σ j C j (y j ), avec : x i 0, pour tout i, y i 0, pour tout j, Σ i x i = Σ j y j.

217 5.4 Le surplus social La propriété suivante démontre lintérêt pratique de la notion de surplus social : Un état économique E° est optimal au sens de Pareto si, et seulement si, il maximise le surplus social W dans lensemble des états économiques possibles.

218 5.4 Le surplus social Pour la démonstration, montrons dabord quun état optimal maximise le surplus social. Soit E°, un état optimal (défini par a i °, x i °, b j ° et y j °, pour tout i et j). En raisonnant par labsurde, supposons quil existe un état possible E (défini par a i, x i, b j et y j, pour tout i et j), tel que W > W°.

219 5.4 Le surplus social Construisons alors létat E, en prenant les quantités a i, x i, b j et y j, pour tout i et j, cest-à-dire les mêmes quantités que dans létat E, sauf pour les a i, qui sont choisis tels que : U i (a i, x i ) = U i (a i °, x i °) + (W – W°)/I. Comme W > W° (par hyp.), létat E est strictement préféré à létat E°, par tous les consommateurs.

220 5.4 Le surplus social Il reste à montrer que létat E est possible. En sommant sur i, on otient : Σ i U i (a i, x i ) = Σ i U i (a i °, x i °) + W – W°. Sachant que W° = Σ i U i (a i °, x i °) et W = Σ i U i (a i, x i ), cette expression se simplifie en : Σ i U i (a i, x i ) = Σ i U i (a i, x i ). En utilisant la définition de lutilité, on montre finalement que : Σ i a i = Σ i a i. Autrement dit, létat E est obtenu à partir de létat E par simple redistribution du bien numéraire. Il est donc possible.

221 5.4 Le surplus social On conclut donc que si létat optimal E° ne maximise pas le surplus social, il existe un état E, qui est à la fois possible et préféré à E° par tous les consommateurs. Ceci contredit loptimalité de E°.

222 5.4 Le surplus social Montrons maintenant quun état maximisant le surplus social est optimal. Soit E° un état possible maximisant le surplus social dans lensemble des états possibles. Supposons que E° ne soit pas optimal. Alors, il existe un état possible E, attribuant à tous les consommateurs une utilité au moins aussi grande, et à lun dentre eux une utilité strictement plus grande. Ceci est contradictoire, puisque cela implique que W > W°.

223 5.4 Le surplus social Dun point de vue pratique, on retient que si létat E° (défini par a i °, x i °, b j ° et y j °, pour tout i et j) est optimal, en particulier, il résout le problème de maximisation suivant : max W = Σ i v i (x i ) – Σ j C j (y j ), sous les contraintes : x i 0, pour tout i, y i 0, pour tout j, Σ i x i = Σ j y j.

224 5.4 Le surplus social Pour mieux comprendre les conséquence de ce résultat sur les propriétés dun état optimal E°, récrivons la dernière contrainte comme suit : Σ i x i = Σ j y j = q, en définissant q comme la quantité agrégée de blé dans léconomie.

225 5.4 Le surplus social On voit que la détermination dun état optimal nécessite en fait de répondre à trois questions distinctes : (q) = Quelle quantité agrégée de blé ? (x i ) = Qui doit la consommer ? (y j ) = Qui doit la produire ?

226 5.4 Le surplus social Ci-dessous, nous admettrons, sans le démontrer, que le marché répartit toujours le blé disponible efficacement entre les consommateurs (cest-à- dire pour maximiser Σ i v i (x i )) et les producteurs (cest-à-dire pour minimiser Σ j C j (y j )), et que la valeur correspondante du surplus social est donnée par : q W = (P(t) – (t)) dt 0

227 5.4 Le surplus social q p (q) Si la quantité q est répartie efficacement entre les conso. et les prod., le surplus social W correspond à laire de la surface comprise entre les courbes de demande globale (inverse) et doffre globale (inverse), entre les abscisses 0 et q. q P(q) W

228 5.4 Le surplus social q p On en déduit que la quantité optimale de blé est q°, à lintersection entre les courbes de demande (inverse) et doffre (inverse). En effet, pour toute quantité q plus petite, en augmentant q de dq unités, le surplus social augmente de dW > 0, soit de laire hachurée. q W q+dq q° dW (q) P(q)

229 5.4 Exercices On reprend ici les données des exercices précédents (Cf. 5.2 et 5.3), en supposant que I = J = 100. Calculer le surplus social W, associé à une quantité agrégée q quelconque, en supposant quelle est répartie efficacement entre les producteurs et les consommateurs. Calculer la quantité de blé optimale q° pour cette économie.

230 5.5 Léquilibre Un équilibre partiel sur le marché du blé se définit comme la réalisation dun prix, permettant légalité de loffre et de la demande exprimées. Du fait de la loi de Walras, appliquée à cette économie comportant 2 biens, léquilibre partiel sur le marché du blé coïncide avec léquilibre général de léconomie.

231 5.5 Léquilibre q p Léquilibre du marché correspond au point dintersection des courbes de demande (inverse) et doffre (inverse). Ses coordonnées, p* et q*, donnent la quantité et le prix déquilibre. q* p* (q) P(q)

232 5.5 Léquilibre Il sensuit que la quantité déquilibre q* est optimal, puisquon a q* = q°. Sans surprise, on retrouve ici le premier théorème de léconomie du bien-être : Tout équilibre de marché décentralise un état économique optimal au sens de Pareto.

233 5.6 Complément sur les fonctions de coût Ci-dessus, nous avons admis des propriétés restrictives sur les fonctions de coûts, afin de dégager des résultats simples. Les hypothèses suivantes sont générales pour une fonction de coût C(y) : Existence de coût fixe : C(0) = f > 0 ; Croissance : C(y) > 0 ; Loi des rendements non proportionnels : Il existe une production y° telle que : C(y)< 0, si 0 < y < y°, = 0, si y = y°, > 0, sinon.

234 5.6 Compléments sur les fonctions de coûts y C Cette fig. représente une fonction de coût vérifiant ces propriétés. Elle est croissante. Elle est dabord concave (jusquau point dinfle- xion I, dabscisse y°), puis convexe. La pente du rayon joi- gnant lorigine à la cour- be est minimum au point M, dabscisse y. I M f y° y

235 5.6 Compléments sur les fonctions de coûts y Cm Cette fig. montre la correspondance exis- tant entre les courbes C, CM et Cm. Le coût marg. est posi- tif, décroissant jusquà y°, puis croissant. Le coût moyen est minimum au point où il intersecte le coût marg., dabscisse y. I M CM CjCj Coûts f y° y

236 5.6 Compléments sur les fonctions de coûts On peut alors montrer que loffre y* est un équilibre du producteur au prix p si : Cm = p, Cm est croissant, Cm CM, toutes ces grandeurs étant calculées au point y*.

237 5.6 Compléments sur les fonctions de coûts y En portant la quantité en abscisses et le prix en ordonnées, la courbe doffre du producteur est représentée par sa courbe de coût marg. Cm, dans sa partie croissante et au-dessus de son coût moyen CM. CM p Courbe doffre (inverse) y* p Cm (y)

238 5.6 Exercices Soit la fonction de coût : C(y) = (1/3) y 3 – (1/2) y 2 + y + f. Calculer et étudier les coûts moyen CM et marginal Cm. En déduire leur représentation graphique. Déterminer la fonction doffre du producteur.

239 6. La concurrence imparfaite Jusquici, nous avons toujours admis que les conditions dune concurrence pure et parfaite étaient réunies sur tous les marchés. Sans définir cette notion, on la traduit en postulant directement que les agents économiques prenaient les prix pour des données, quelles que soient leurs décisions individuelles.

240 6. La concurrence imparfaite Habituellement, on caractérise une situation de concurrence pure et parfaite par la conjonction, sur un marché, des conditions suivantes : un grand nombre doffreurs et de demandeurs participent au marché ; lentrée sur le marché est libre et sans coût ; les caractéristiques du bien sont homogènes ; il y a information parfaite ; etc.

241 6. La concurrence imparfaite Les économistes, en recourant le plus souvent à la théorie des jeux, explorent inlassablement les conséquences du relâchement de ces hypothèses (monopole, monopsone, oligopole, barrière à lentrée, différenciation des biens, modèle de search, sélection adverse, risque moral, etc.).

242 6. La concurrence imparfaite Dans ce chapitre, nous étudions un marché auquel participent un grand nombre (I) de consommateurs et un petit nombre (J) de producteurs, tous caractérisés par ailleurs comme au chapitre précédent. On note donc : X(p) = la fonction de demande globale (X(p) < 0) ; C(y) = le coût de production dun producteur.

243 6.1 Le monopole Une entreprise est dite en situation de monopole si elle est lunique offreur sur son marché (J = 1), si le nombre de demandeurs est grand et sil nexiste pas de substituts proches pour ce bien.

244 6.1 Le monopole Si lon suppose quil connaît la fonction de demande globale X(p), le problème du monopole est de choisir un prix de vente p, tel que, en servant la demande X(p) exprimée à ce prix, son profit = p X(p) – C(X(p)) soit maximum. On appelle équilibre du monopole une solution de ce problème.

245 6.1 Le monopole Notons : P(x) = X -1 (p) = la fonction de demande globale (inverse). Il est équivalent (mathématiquement) de dire que le problème du monopole est doffrir une quantité q telle que, celle-ci étant vendue au prix déquilibre associé P(q), son profit = P(q) q – C(q) soit maximum.

246 6.1 Le monopole On définit la recette totale du monopole, notée RT, comme la fonction qui associe à toute offre q du monopole, la recette totale quil réalise, sachant le prix déquilibre du marché P(q) associé. On a donc : RT = P(q) q = la recette totale du monopole

247 6.1 Le monopole q p On illustre ici leffet dune hausse de loffre du monopole de q à q. Le prix baissant de p à p, RT diminue de A = (p - p) q. Loffre augmentant de q à q, RT croît de B = p (q – q). Quand q q, on appelle B – A la recette marginale. q p q p A B P(q)

248 6.1 Le monopole On définit la recette marginale du monopole, notée Rm, comme la fonction qui associe à toute offre q du monopole, laccroissement de sa recette totale sil offre une unité supplémentaire (infiniment petite) du bien sur le marché. On a donc : Rm = P(q) q + P(q) = la recette marginale du monopole

249 6.1 Le monopole La propriété suivante caractérise un équilibre du monopole : Si la quantité q* est un équilibre du monopole, on a : Rm = Cm, où Rm et Cm sont évalués au point q*.

250 6.1 Le monopole q p Cette fig. illustre la détermination dun éq. du monopole. Léq. q* égalise Rm et Cm. Le prix associé est P(q*). Le profit associé est donné par laire hachurée. Noter, au passage, que, sur cette fig., Rm décroît et Cm croît au voisinage de q*. q* P(q*) = p* Rm Cm P(q)

251 6.1 Le monopole q p Par un raisonnement marginaliste, on montre que léq. de monopole ninduit pas un état optimal. En effet, puisque P(q*) > Rm = Cm, en offrant dq unités supplementaire, W croît de laire dW hachurée sur la fig. P(q) q* p* Rm Cm W q*+dq dW

252 6.1 Le monopole q p En fait, on sait que W est max. pour loffre q°, à lintersection entre P(q) et Cm. Le monopole rationne le marché par rapport à létat optimal. On appelle charge morte du monopole la perte de surplus liée à ce comportement. P(q) q* p* Rm Cm Charge morte du monopole q°

253 6.1 Le monopole Supposons que le monopole identifie plusieurs types de clients, quil connaît la demande de chaque type et quil peut segmenter le marché (cest-à-dire, il peut empêcher les reventes entre types). En pratiquant une stratégie de prix différenciés, il va pouvoir augmenter son profit. On parle de monopole discriminant.

254 6.1 Le monopole Supposons une segmentation du marché en deux types (i = 1, 2). On note, pour chaque type i = 1, 2 : P i (q i ) = sa fonction de demande (inverse) ; Rm i = P i (q i ) q i + P i (q i ) = la recette marginale correspondante.

255 6.1 Le monopole La propriété suivante caractérise un équilibre du monopole discriminant : Si les quantités q i * (i = 1, 2) forment un équilibre du monopole discriminant, on a : Rm 1 = Rm 2 = Cm, où : Rm i est évalué au point q i * (i = 1, 2) ; Cm est évalué au point q* = q 1 * + q 2 *.

256 6.1 Le monopole q p Cette fig. illustre léq. du monop. discriminant. On additionne vers la droite Rm 1 et Rm 2, pour tracer Rm. Lintersec- tion de Rm et Cm donne q* = q 1 *+ q 2 *. Les offres sur les marchés se déduisent de lintersec- tion de Rm 1 et Rm 2 avec la droite horizontale dordonnée Cm(q*). p* Rm 2 Cm Rm 1 q2*q2* q1*q1* Rm q* (= q 1 *+ q 2 *) P 1 (q 1 ) P 2 (q 1 ) Cm(q*)

257 6.1 Exercice On considère un monopole, caractérisé par sa fonction de coût C(q) = q, servant le marché dun bien sur lequel la demande est donnée par X(p) = 2 – p. 1.Déterminer léquilibre du monopole. 2.Calculer la charge morte du monopole.

258 6.2 Le duopole On définit un marché oligopolistique comme un marché sur lequel un petit nombre J de firmes sont en concurrence. On note : X(p), P(q) = la f° de demande ; C j (q j ) = la f° de coût de la firme j.

259 6.2 Le duopole On parle de duopole quand J = 2. On définit un duopole de Counot, comme la situation où les firmes décident (simultanément) leur production, puis la vendent au prix du marché ; On définit un duopole de Bertrand, comme la situation où les firmes affichent (simultanément) leur prix, puis servent la demande qui se présente à elles à ce prix.

260 6.2.1 Equilibre de Cournot On définit un équilibre de Cournot comme la donnée de quantités q j *, j = 1, 2, telles que, considèrant la quantité de lautre comme donnée, chaque firme j maximise son profit en offrant q j *, pour vendre au prix P(q 1 * + q 2 *).

261 6.2.1 Equilibre de Cournot Formellement, un équilibre de Cournot q 1 * et q 2 * vérifie la condition de profit maximum pour les deux firmes : q 1 = q 1 * maximise 1 = P(q 1 + q 2 *) q 1 – C 1 (q 1 ) ; q 2 = q 2 * maximise 2 = P(q 1 * + q 2 ) q 2 – C 2 (q 2 ).

262 6.2.1 Equilibre de Cournot On définit la fonction de réaction de la firme 1, notée R 1 (q 2 ), comme la fonction qui, à toute quantité q 2 offerte par la firme 2, associe loffre q 1 de la firme 1, qui maximise son profit. Formellement : q 1 = R 1 (q 2 ) maximise 1 = P(q 1 + q 2 ) q 1 – C 1 (q 1 ), pour tout q 2. On a la même définition pour la firme 2.

263 6.2.1 Equilibre de Cournot En supposant une solution intérieure, la fonction de réaction q 1 = R 1 (q 2 ) de la firme 1 vérifie, pour tout q 2 : P(q 1 + q 2 ) q 1 + P(q 1 + q 2 ) – C 1 (q 1 ) = 0. On a la même caractérisation pour la fonction de réaction q 2 = R 2 (q 1 ) de lautre firme.

264 6.2.1 Equilibre de Cournot Connaissant les fonctions de réaction des deux firmes, un équilibre de Cournot vérifie : q 1 = R 1 (q 2 ), q 2 = R 2 (q 1 ). On déterminera donc un équilibre de Cournot en cherchant dabord les fonctions de réaction des firmes, puis en résolvant ce système.

265 6.2.1 Exercice On considère deux entreprises en situation de duopole sur un marché. On suppose quelles partagent la même technologie, caractérisée par la fonction de coût C 1 (q) = C 2 (q) = q. La demande sur le marché est donnée par X(p) = 2 – p. 1.Calculer léquilibre du duopole. 2.Comparer avec léquilibre du monopole.

266 6.2.2 Equilibre de Bertrand Notons p 1 et p 2, les prix affichés (simultanément) par les firmes 1 et 2 respectivement. On note : X j (p 1, p 2 ) = la demande adressée à la firme j.

267 6.2.2 Equilibre de Bertrand Si les biens offerts par les deux firmes sont parfaitement homogènes, les consommateurs sadressent tous à la firme qui affiche le prix le plus bas. On aura dans ce cas : X(p 1 ), si p 1 < p 2, X 1 (p 1, p 2 ) =X(p)/2, si p 1 = p 2 = p, 0, si p 1 > p 2. 0, si p 1 < p 2, X 2 (p 1, p 2 ) =X(p)/2, si p 1 = p 2 = p, X(p 2 ), si p 1 > p 2.

268 6.2.2 Equilibre de Bertrand Si les biens offerts par les deux firmes, quoique proches, ont des propriétés différentes (couleur, emballage, poids, etc.) et si les consommateurs ont des préférences sur ces propriétés, la demande adressée aux firmes pourra sécrire, par exemple : X 1 (p 1, p 2 ) = a 1 – b 1 p 1 + c 1 p 2, X 2 (p 1, p 2 ) = a 2 – b 2 p 2 + c 2 p 1, où toutes les constantes sont positives.

269 6.2.2 Equilibre de Bertrand On définit un équilibre de Bertrand comme la donnée de prix p j *, j = 1, 2, telles que, considèrant le prix de lautre comme donné, chaque firme j maximise son profit en affichant le prix p j *, pour servir la demande X j (p 1 *, p 2 *).

270 6.2.2 Equilibre de Bertrand On définit la fonction de réaction de la firme 1, notée R 1 (p 2 ), comme la fonction qui, à tout prix p 2 affiché par la firme 2, associe le prix p 1 de la firme 1, qui maximise son profit. Formellement : p 1 = R 1 (p 2 ) maximise 1 = p 1 X 1 (p 1, p 2 ) – C 1 (X 1 (p 1, p 2 )), pour tout p 2. On a la même définition pour la firme 2.

271 6.2.2 Equilibre de Bertrand Si les biens ne sont pas parfaitement homogènes et en supposant une solution intérieure, la fonction de réaction p 1 = R 1 (p 2 ) de la firme 1 vérifie, pour tout p 2 : X 1 (p 1, p 2 ) X 1 (p 1, p 2 ) X 1 (p 1, p 2 ) + p 1 = C 1 (X 1 (p 1, p 2 )) p 1 p 1 On a la même caractérisation pour la fonction de réaction q 2 = R 2 (q 1 ) de lautre firme.

272 6.2.2 Equilibre de Bertrand Connaissant les fonctions de réaction des deux firmes, un équilibre de Bertrand vérifie : p 1 = R 1 (p 2 ), p 2 = R 2 (p 1 ). On déterminera donc un équilibre de Bertrand en cherchant dabord les fonctions de réaction des firmes, puis en résolvant ce système.

273 6.2.2 Exercice On considère le duopole en prix caractérisé par : C 1 (q) = C 2 (q) = q, X 1 (p 1, p 2 ) = 2 – p 1 + p 2, X 2 (p 1, p 2 ) = 2 + p 2 – p 1. Calculer léquilibre de Bertrand.

274 2.7 Exercices x1x1 x2x2 Corrigé ex. 1. Le pb revient à trouver x dans X et B, qui soit sur une courbe dindif. la plus éloignée possible de lorigine. Léquilibre x* se situe sur laxe des abscisses (solution en coin). X B x* R/p 1 R/p 2


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