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TP9: Fonctions de deux variables. Rappels Gradient Matrice hessienne.

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1 TP9: Fonctions de deux variables

2 Rappels Gradient Matrice hessienne

3 Rappels Calcul des minima, maxima et points de selle Annulation du gradient Détermination des coordonnées Calcul de la matrice hessienne en ces coordonnées maximum local si det > 0 et dérivée seconde par rapport à x < 0, minimum local si det > 0 et dérivée seconde par rapport à x > 0. Point de selle si dét< 0

4 Exercices du syllabus ) 2) 5)

5 Exercices du syllabus f(x,y)=xlny+ylnx 1) 2)

6 Exercices du syllabus 116 Volume = 64m³: dimension pour aire totale minimum?

7 Exercices du syllabus ) Droite parallèle Oy, à 3cm de O et tournant autour de Oy = cylindre Intersection avec un plan parallèle à xOz = cercle C Intersection avec un plan passant par Oy = deux droites parallèles M et N x z y

8 Exercices du syllabus Plan parallèle à xOy, passant par p Deux droites parallèles Q et R Plan par Ox et la première bissectrice du plan yOz Une ellipse Plan perpendiculaire à D et passant par p Une ellipse

9 Exercices du syllabus 123 Hyperboloide à 1nappe Plan //Oxy: Cercle Plan // xOz: hyperbole

10 Exercices du syllabus 124 tore Plan // xOy pas b(0,0,1) 2 cercles concentriques c1 etc2 Plan // xOz par a(0,3,0) Courbe en forme de 8 Si a=origine O? Réduit à 1 point

11 Questions supplémentaires 1 Calculer les limites

12 Questions supplémentaires nexiste pas car différent selon la direction quon prend f continue en (1,1)? Non car la limite nexiste pas

13 Questions supplémentaires 2. Représenter dans lespace R3 les domaines suivants Intérieur du cercle de rayon 1centré en (1,2) Intérieur dun triangle

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15

16 Questions supplémentaires intérieur du cercle de centre (0,0) et de rayon 2, dont on ne prend que la « tranche » dont les y sont compris entre 0 et 1

17 Questions supplémentaires 3. Représenter dans lespace R3 les surfaces déquation (cf cours) a) z² = x² + y² cone b) x = 3 plan c) z = x² + y² Paraboloïde elliptique d) x² + y² + z² = 1 sphère e) x² + y² = 1. cylindre

18 Questions supplémentaires 4.Calculer les dérivées partielles premières et secondes des fonctions suivantes a) xy + y²

19 Questions supplémentaires e) x y

20 Questions supplémentaires 5.dérivée de f au point p=(1,2) dans la direction

21 Questions supplémentaires 6.Calculer les maxima et minima locaux ainsi que les points de selle des fonctions suivantes a) x²y + y² - 4xy - 6y + 7

22 Questions supplémentaires Annulation du gradient Coordonnées (2,5) Matrice hessienne Déterminant=20 >0et dérivées secondes positives minimum

23 Questions supplémentaires Matrice hessienne Déterminant <0 point de selle matrice hessienne Déterminant<0 point de selle

24 Questions supplémentaires c) x²-y²-2xy +2

25 Questions supplémentaires Annulation du gradient Coordonnées (0,0) Matrice hessienne Déterminant=0 pas de min, max, point de selle

26 C. Test 1.B 2. D Toutes les parenthèses avec une soustraction donnent 2 racines 3. B 4.E 5. E 13 cartes par couleur E


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