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David Rolland, PEN Mathématiques. - La conception transmissive (encore appelée conception de la tête vide) : Lenseignant présente clairement le savoir.

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1 David Rolland, PEN Mathématiques

2 - La conception transmissive (encore appelée conception de la tête vide) : Lenseignant présente clairement le savoir alors que lélève est attentif, écoute et prend des notes. Les intérêts sont multiples : lenseignant sadresse à un grand nombre d élèves, gain de temps, les concepts sont structurés mais la communication est limitée. De plus, les élèves doivent être motivés et attentifs.

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4 - La conception socio-constructiviste Apprendre, cest passer dune conception ancienne à une conception nouvelle plus performante après une remise en cause de sa conception ancienne qui est à la fois point dappui et obstacle à une nouvelle connaissance. La conception est fondée sur la situation-problème qui doit être résolue en passant par plusieurs phases : action, formulation, validation, institutionnalisation (processus de formalisation, de pérennisation et d'acceptation d'un système), entraînement et réinvestissement. Inconvénient : difficile à gérer en classe.

5 II/ COMMENT DEFINIR UN PROBLEME ? Formuler et résoudre des problèmes constituent l'activité essentielle de tout mathématicien, la science mathématique s'étant progressivement constituée et enrichie des problèmes que les mathématiciens se sont donnés et se donnent encore à résoudre. Comme l'indique Alain Bouvier, peut-on parler de problème lorsqu'il n'y a pas défi, défi par rapport à soi ou (et) défi par rapport à la connaissance ?". Contrairement au problème scolaire, pour le mathématicien un problème est toujours une question qui n'a encore été résolue par personne et qu'il a choisi d'affronter.

6 Ainsi Jean Dieudonné précise que "la raison principale qui pousse un mathématicien à faire de la recherche, c'est la curiosité intellectuelle, l'attrait des énigmes, le besoin de connaître la vérité". Les problèmes que traite le mathématicien peuvent être très divers. Il peut s'agir de questions d'ordre très pratique (le calcul s'est par exemple largement développé pour répondre aux besoins du commerce) ou de questions scientifiques (notamment en physique, Galilée ne prétendait-il pas que "le grand livre de l'univers est écrit en langage mathématique") : les mathématiques interviennent alors pour modéliser la situation étudiée de manière à pouvoir la traiter en termes mathématiques. Il peut aussi s'agir de questions posées à l'intérieur même des mathématiques (cf. la recherche permanente de nouveaux nombres premiers ou de nouvelles décimales pour le nombre Pi), soit pour établir une conjecture (cest-à-dire formuler un théorème), soit pour en apporter la preuve au moyen d'une démonstration.

7 Certains des problèmes que traitent les mathématiciens ont des énoncés très complexes, compréhensibles par les seuls spécialistes du domaine traité. Le théorème de Fermat le problème dit des quatre couleurs Mais d'autres problèmes (parfois très anciens), non encore résolus ou très récemment résolus, peuvent être formulés en des termes compréhensibles par des non-initiés. Le théorème de Fermat en est un exemple, le problème dit des quatre couleurs en est un autre : "Est-il possible de colorier n'importe quelle carte avec 4 couleurs seulement, de telle sorte que deux régions adjacentes ne soient jamais de la même couleur ?".

8 « Un problème est une tâche à réaliser dans des conditions définies et pour laquelle on ne connaît pas de mode de réalisation dans ces conditions. On sait quel est le but à atteindre, on connaît le contexte dans lequel il doit être atteint, mais on ne connaît pas la procédure pour latteindre » Définition de J-F Richard, Les Activités mentales : comprendre,raisonner, trouver des solutions, Armand Colin, 1990

9 Définition du problème scolaire par Jean Brun : (le problème scolaire sétablit ici dans un rapport sujet/situation) « Un problème est généralement défini comme une situation initiale, avec un but à atteindre et en demandant au sujet délaborer une suite dactions ou dopérations pour atteindre ce but» 2. Dautres définitions

10 Définition de léquipe ERMEL : «Il y a problème dès quil y a réellement quelque chose à chercher, que ce soit au niveau des domaines ou du traitement et quil nest pas possible de mettre en jeu la mémoire seule » Définition de G. Vergnaud : «Par problème, il faut entendre dans le sens large que lui donne le psychologue, toute structuration dans laquelle il faut découvrir des relations, développer des activités dexploration dhypothèses et de vérification pour produire une solution»

11 Définition du psychologue J.-M Hoc: «Un problème est la représentation quun système cognitif construit à partir dune tâche, sans disposer immédiatement dune procédure admissible pour atteindre un but»

12 3. Quelques différences entre les problèmes du mathématicien et ceux de lélève D'une part, alors que le problème du mathématicien n'a encore été résolu par personne, celui de l'élève a déjà été résolu de nombreuses fois, et l'élève ne l'ignore pas ! Il faut donc le faire entrer dans un jeu où il accepte de chercher un problème dont il sait que d'autres détiennent la solution. D'autre part, alors que le temps de recherche pour le mathématicien ne peut pas être déterminé à l'avance (trois siècles pour la démonstration du théorème de Fermat), il est forcément compté pour l'élève : il faudra donc peut-être apporter des solutions, même si chaque élève n'a pas trouvé... Retenons simplement pour l'instant que, dans cet esprit, il n'y a problème que s'il y a réellement quelque chose à chercher... et que donc il y a des énoncés qui, à coup sûr, ne sont pas des problèmes.

13 Retenons aussi qu'un énoncé peut être un problème pour certains élèves et ne plus l'être pour d'autres élèves. Ainsi, l'énoncé suivant emprunté à ERMEL (CE1) : « Je veux partager 36 jetons en 3 paquets. Il doit y avoir autant de jetons dans chaque paquet. Combien y aura-t-il de jetons par paquet ? ". Au début du CE 1, il s'agit bien d'un problème, puisque les élèves ne disposent pas d'une procédure immédiatement mobilisable : ils doivent essayer, chercher, imaginer une solution originale. Au CMI, face à cet énoncé, la plupart des élèves peuvent répondre directement grâce à leurs connaissances sur la multiplication ou sur la division : il n'y a alors plus problème au sens précédent. Ajoutons que le choix des valeurs données à certaines variables (ici par exemple la taille des nombres) peut faire qu'un même énoncé soit ou non un problème. Dans le cas précédent, si 36 est remplacé par 6, il n'y a plus de problème pour la plupart des élèves de CE1 !

14 2. Point de vue cognitif La résolution de problèmes nest pas un processus linéaire, elle se situe parmi les activités intellectuelles les plus complexes. Lorsque nous cherchons un problème, nous nous construisons progressivement une certaine représentation de ce problème. Notre processus de compréhension est lié à la construction dune représentation.

15 Selon Jean Julo : « se représenter le problème, cest non seulement se représenter un objet particulier mais aussi se représenter la tâche particulière qui est associée à cet objet ». La représentation du problème fait intervenir trois processus qui interagissent simultanément, à savoir : - Le processus dinterprétation et de sélection - Le processus de structuration - Le processus dopérationnalisation.

16 3. Procédures de résolution dun même problème arithmétique Face à un problème, un élève fait appel à une représentation mentale. On distingue trois niveaux de représentation, chacun étant associé à un type de procédures. Procédures de niveau 1 Elles visent à simuler les actions décrites dans lénoncé. Ces procédures de niveau 1 sont celles que les débutants ou les plus jeunes enfants utilisent. Leur avantage est que lenfant peut résoudre des problèmes sans référence aux connaissances formelles dont il ne dispose pas encore (sans aucune connaissance des opérations). Elles font appel à une représentation figurative de la solution : lélève doit simuler le réel mentalement soit par un dessin, soit par une manipulation dobjets. Lélève utilise des techniques relevant du comptage. Il a une représentation dépendant du contexte et de la réalité. Ce niveau de représentation mentale est opératoire lorsque linformation numérique est prise en compte mais ne lest plus lorsquon dépasse les petits nombres.

17 Procédures de niveau 2 Ce sont celles où les simulations subsistent en étant intériorisées progressivement, et où le recours au comptage devient de plus en plus présent : ces procédures de niveau 2 sont intermédiaires entre la simulation et lemploi dopérations arithmétiques. Elles font appel à une représentation mathématique de la situation qui a été enseignée à lélève, dans laquelle ce dernier met en équation le problème pour pouvoir travailler uniquement au niveau des nombres. Lélève commence à mobiliser des techniques relevant du calcul.

18 Procédures de niveau 3 Ce sont celles où le problème est reconnu comme étant un problème qui relève de telle opération. Ces procédures de niveau 3 deviennent plus indépendantes des situations. Lélève est devenu expert, il reconnaît que tel problème relève de telle opération qui est pertinente et mobilise des techniques relevant du calcul. Cela requiert de sa part un long travail, qui commence dès le cycle 2, et ne sacquiert que très progressivement. Comme lillustre lexemple ci-dessous, ces 3 procédures dépendent du niveau dexpertise des élèves. Lélève novice utilise les deux premières procédures; et lélève expert, la dernière.

19 8 personnes viennent de monter dans un autocar. Il y a 45 personnes dans lautocar. Combien y-avait-il de personnes juste avant ? Exemple :

20 Procédure 1. Lélève novice ne reconnaît pas un problème relevant de la soustraction ou de laddition. Il dessine 45 personnes, barre ou efface et compte les passagers restants. Il peut également, résoudre par manipulation dobjets ou décompter de 8 en partant de 45, en saidant éventuellement de ses doigts ou dune bande graduée, cest-à-dire quil fait redescendre mentalement un par un les passagers qui viennent de monter pour retrouver la situation initiale. Procédure 2. Lélève reconnaît un problème relevant de laddition à trou, un problème de recherche de létat initial et résout en quelque sorte léquation : Il fait des essais pour aboutir au résultat.

21 Lélève expert reconnaît un problème relevant de la soustraction et le résout mentalement par écrit. En utilisant ces procédures, les élèves ont fait des mathématiques en ce sens quils ont articulé leurs connaissances disponibles et les significations quils leur donnent avec la représentation ou la reformulation quils ont élaborée pour la situation proposée.

22 Dans les deux premières procédures, ce sont les simulations ou les relations présentes dans lénoncé qui conduisent à la solution. Dans la procédure 2 notamment, le symbolisme arithmétique utilisé par les élèves est en accord avec ce qui lui a été enseigné pour traduire une situation. Ces deux procédures informelles sont qualifiées de solutions personnelles dans les programmes de lécole élémentaire (MEN, 2002).

23 Cette procédure est qualifiée de solution experte dans les programmes de lécole élémentaire (MEN, 2002).

24 Il est important daccepter que les élèves résolvent les problèmes à différents niveaux de procédures, laccès au niveau 3 ne pouvant avoir lieu simultanément pour tous les élèves. En effet, des études ont montré que, lorsque lon exige des élèves quils résolvent un problème en choisissant la bonne opération arithmétique, la performance dans la résolution de ces problèmes diminuait. Certains élèves choisissent lopération qui est étudiée en classe à ce moment-là; dautres se réfèrent aux indices sémantiques, par exemple lorsquun mot de lénoncé est inducteur dune opération.

25 Il apparaît donc précoce, en cycle 2, de proposer des activités de catégorisation dénoncés en demandant de quelle opération relève le problème. Pour éviter de tels dysfonctionnements, il est nécessaire de tenir compte du développement de chaque enfant.

26 Les enseignants doivent reconnaître que les processus de résolution de problème sacquièrent avec le temps et que ceux-ci peuvent être améliorés. Cest en fréquentant les problèmes quon apprend à les résoudre. « Lorsquun enfant est confronté à un problème dit de multiplication, de soustraction ou de division avant davoir étudié cette opération, cest bien lapprentissage de lopération arithmétique correspondante qui commence. Cet apprentissage sinscrit ainsi sur une longue durée » (Rémi Brissiaud, op. cit., CE1, p. 13)

27 Il est possible de classer les problèmes : - à partir des formes dénoncés : texte, tableau, texte+image, texte+ document…, problèmes purement mathématiques, problèmes inter- disciplinaires, problèmes de la vie courante - à partir des notions mathématiques - à partir des objectifs pédagogiques Nous nous intéresserons aux problèmes classés à partir dobjectifs pédagogiques.

28 Les problèmes de mathématiques présentés à lécole primaire se répartissent en fonction des objectifs pédagogiques qui ne sont dailleurs pas nécessairement exclusifs les uns des autres. On distingue : - les problèmes dapproches ou de découvertes - les situations-problèmes, destinés à engager les élèves dans la construction de nouvelles connaissances. - les problèmes de réinvestissement, destinés à permettre aux élèves lutilisation des connaissances déjà étudiées. - les problèmes dapprofondissement, destinés à permettre aux élèves lextension du champ dutilisation dune notion déjà étudiée. - les problèmes dévaluation qui permettent de faire le point sur la manière dont les connaissances sont maîtrisées. - les problèmes ouverts, destinés à mettre lélève en situation de recherche. - les problèmes complexes, dans lesquels les élèves doivent utiliser conjointement plusieurs catégories de connaissances.

29 Les documents dapplication les classent autrement : problèmes dont la résolution vise la construction dune nouvelle connaissance ; problèmes destinés à permettre le réinvestissement de connaissances déjà travaillées, à les exercer ; problèmes plus complexes que les précédents dont la résolution nécessite la mobilisation de plusieurs catégories de connaissances; solution experte. Problèmes centrés sur le développement des capacités à chercher : en général, pour résoudre ces problèmes, les élèves ne connaissent pas encore de solution experte. Dans ce dernier cas, on parlera de problèmes pour chercher alors que les précédents sont des problèmes pour apprendre.

30 Si une telle catégorisation est sans doute utile à lenseignant pour repérer des choix possibles et guider son action pédagogique, elle à cependant des limites quil convient de souligner. Tout dabord, il nest pas certain que tous les problèmes y trouvent place. Et, plus fondamentalement, un même énoncé peut, selon le moment où il est proposé, selon les connaissances initiales des élèves, relever de lune ou lautre des catégories.

31 «Dans ma tirelire, jai 32 pièces de monnaies. Il ny a que des pièces de 2 F et de 5 F. Avec ces 32 pièces, jai 97 F. Combien y-a-t-il de pièces de chaque sorte ? » Cet exemple peut être un problème ouvert au CM2, celui dune situation-problème en troisième pour lenseignant qui veut lutiliser pour amener les élèves à travailler sur les systèmes déquations, ou encore un problème de réinvestissement pour les élèves de troisième ou de lycée qui ont déjà étudié ce thème.

32 Lobjectif pédagogique de lenseignant est de choisir un problème qui engage les élèves à utiliser leurs connaissances actuelles pour commencer à en percevoir les limites. La résolution du problème révèle les représentations de lélève compte tenu des connaissances quil permet dapprocher. Cest le cas, par exemple, de « Combien de boîtes de 6 œufs pourra-t-on remplir avec 204 œufs ? » (Ermel, Apprentissage numérique, CE2, Hatier), qui est un problème de partage en CE2, pour favoriser lapproche de la division.

33 Exemple 1 (CP) : « En lançant deux dés à jouer bien distincts, quelles sont toutes les façons dobtenir 8 ? » Matériel : deux dés de couleurs différentes Exemple 2 (CE1) : La directrice dune école dit : « Aujourdhui, tournoi de basket ! Faites des équipes de 5 ! » Il y a 35 garçons et 22 filles qui doivent participer à ce tournoi. Combien peut-on former déquipes de garçons ? De filles ? Matériel : papier, ardoise

34 Lobjectif pédagogique de lenseignant est de proposer un problème que les enfants ne peuvent résoudre aisément avec leurs connaissances actuelles. Cest la prise de conscience quil y a un problème nouveau à résoudre, quon est en présence dune situation qui « fait problème », qui va déclencher le besoin de nouvelles connaissances. Cette pédagogie permet aux élèves davoir de meilleurs résultats dans la mesure où elle donne du sens à leurs apprentissages, ce qui est un élément primordial pour lapprenant. Lactivité déployée pour venir à bout du problème est loccasion de la construction de connaissances nouvelles. Les psychologues cognitifs ont souligné limportance, pour lapprenant, de construire lui-même ses connaissances.

35 Lexpression « situation-problème » est apparue à la fin des années 70 et recouvrait aussi bien les problèmes permettant lexpression de nouvelles connaissances, que ceux permettant de réinvestir et dapprofondir les notions étudiées. En fait, on qualifiait de situation-problème, toute situation qui posait problème aux élèves, cest-à-dire toute question ou ensemble de questions dont la réponse nest pas évidente et nécessite la mise en œuvre de concepts mathématiques importants et incite lélève à se dépasser pour réussir.

36 Caractéristiques dune situation-problème : -L élève doit pouvoir facilement sengager dans la résolution du problème. Il peut envisager ce quest une réponse possible du problème. « Il ne faut pas que les élèves restent secs sinon ils ninvestiront pas leurs connaissances, ils ne pourront donc pas percevoir quelles sont insuffisantes. » -Les connaissances de lélève doivent être insuffisantes ou peu économiques pour résoudre ce problème. « Sinon il ny a pas dacquisition nouvelle, il y a réinvestissement de connaissances anciennes » -La situation- problème doit permettre à lélève de décider si une solution trouvée est convenable ou non. -La connaissance que lon désire voir acquérir par lélève doit être loutil le plus adapté pour la résolution du problème au niveau de lélève.

37 Deux types de situation-problème : -Celles pour lesquelles lacquisition de connaissances passe par la prise de conscience et le dépassement dune procédure, qui, jusquà présent, sétait avérée correcte et performante, et qui devient insuffisante parce quelle est peu économique ou sources derreurs de calculs, sans pour autant être fausse. Lobjectif sera alors de faire prendre conscience aux élèves de ce manque de fiabilité ou déconomie. Lenseignant leur apporte alors les connaissances nouvelles, plus économiques, plus fiables pour résoudre le problème. Exemple : invalider la procédure par addition réitérée au profit de la procédure multiplicative. -Celles pour lesquelles lacquisition de connaissances passe par la confrontation à un obstacle en vue de la remise en cause dune conception erronée. Exemple : invalider lidée de lien entre agrandissement et addition.

38 B2/ Synthèse des objectifs dune situation-problème ? Les situations problèmes ont pour objectif :. - damener chaque élève à prendre conscience dun problème; - démettre des hypothèses; - de remettre en cause le savoir antérieur; - dinduire un comportement de recherche; - de construire de nouveaux savoirs qui doivent être des outils mieux adaptés pour résoudre le problème posé; - de donner du sens aux savoirs nouveaux.

39 B3/ Poser la situation-problème ? Le problème intéressant nest pas celui qui sort du manuel, avec une question à laquelle lélève doit apporter la réponse type. Un problème intéressant (pédagogiquement) est plutôt celui qui éveille la curiosité de lélève, cest en quelque sorte lénigme qui survient devant lélève dans le contexte de son expérience vécue. Cette situation est en général construite et mise en place par lenseignant, dans le cadre de ses objectifs, mais en respectant les principe suivants :

40 1.Lobjectif principal de la formation se trouve dans lobstacle à franchir et non dans la tâche à réaliser. Cependant, leffort de lélève est orienté par la tâche alors que lenseignant est guidé par lobjectif. 2.La question (lénigme) doit, si possible, émaner de lélève (ou de la classe). Lélève ne sinvestira que si son travail laide à répondre à sa propre question. 3.La situation doit être familière et la « réponse » ne doit pas être évidente, mais l élève doit « sentir » quil est capable de la découvrir. Le problème doit se situer à la limite supérieure de la zone proximale du développement de lélève et sa résolution constitue un enjeu pour lélève. Lapprentissage visé est non seulement la mobilisation dun savoir acquis, mais aussi lacquisition dun savoir nouveau ou le développement dun savoir-faire. La détermination de lobstacle dépend de létat cognitif des élèves et de la nature de la tâche à effectuer.zone proximale du développement de lélève Puisque dans la zone proximale de développement lélève doit se débrouiller sans laide du maître. Daprès le psychologue Léon VYGOTSKI, cest la distance entre ce que lenfant peut effectuer seul et ce quil peut faire avec laide dun adulte, un espace sur lequel lapprentissage doit seffectuer.

41 La pédagogie des situations-problèmes évite « la pédagogie de la réponse » où les activités et la parole sont accaparées par lenseignant ou par les élèves qui réussissent bien habituellement et celle « du problème » où par exemple, pour les nécessités dune production réussie, on préfère les activités des élèves-experts à celles des débutants. Une situation-problème est en définitive un système qui interagit sur le problème et la réponse pour que les apprentissages se fassent dans la résolution du problème. « cela impose que lon sassure à la fois, de lexistence dun problème à résoudre et de limpossibilité de résoudre le problème sans apprendre » (Ph. Meyrieu, Apprendre… oui mais comment ?, ESF, 1999.

42 B4/ Le rôle de lenseignant En pratiquant la pédagogie des situations-problèmes, le rôle de lenseignant change car il est perçu par les élèves comme celui avec qui ils parlent de ce quils connaissent, de ce quils doivent savoir et de la façon dy parvenir. Lenseignant guide les choix méthodologiques des élèves par questionnement : - « Que fais-tu pour comprendre cette consigne ? » - « Peux-tu la reformuler autrement, la revoir ou lentendre mentalement ? » - « Peux-tu souligner les mots qui te semblent importants, faire un schéma ? » - « Que sais-tu déjà faire pour tavancer dans la résolution du problème ? » Lenseignant développe une pratique réflexive sur sa façon denseigner, il se demande comment : - adapter davantage dobstacle et différenciation; - améliorer les situations dapprentissage pour quelles correspondent mieux aux objectifs, et pour les faire comprendre aux élèves; - faire intérioriser le besoin dun point de méthodologie et dactivités de soutien …

43 B5/ Synthèse des objectifs dune situation-problème SITUATION-PROBLEME Amener lélève à prendre conscience dun problème Donner du sens aux savoirs nouveaux Construire de nouveaux savoirs Induire un comportement de recherche Emettre des hypothèses Remettre en cause le savoir ultérieur

44 Le principe dun séance dapprentissage est toujours de faire agir les élèves de manière productive plutôt que réceptive. Lenseignant met en œuvre une gestion particulière qui intègre des concepts directement issus de la didactique des mathématiques. Pendant le travail autonome des élèves, lenseignant retrouve du temps pour intervenir plus individuellement comme guide, animateur. Lactivité de situation-problème se déroule en plusieurs phases :

45 Le problème est présenté par lenseignant. Il annonce dès le départ le droit à lerreur. La précision de la consigne donnée aux élèves revêt une importance essentielle : elle doit à la fois définir la tâche à réaliser er créer lénigme qui initialisera le processus dapprentissage. Phase 2 : action Les élèves prennent conscience de linsuffisance de leurs connaissances. Ils mettent en place les procédures de résolution en utilisant leurs connaissances ancienne, le plus souvent en groupes..

46 Les élèves explicitent par écrit et oralement les procédures utilisées et les solutions trouvées. Lenseignant peut demander aux élèves de produire des éléments personnels comme des réponses, des suggestions, dautres questions, de simples constats, un projet, etc., avec lobligation (quand cest possible) de les écrire et de consigner par écrit le résultat de la recherche. On suppose que cette exigence pousse les élèves à affronter lobstacle de la verbalisation et à concrétiser le fruit de leur travail.

47 Les différentes procédures sont exposées à la classe entière, par groupe. Les élèves doivent se convaincre les uns et les autres de la pertinence de leur solution. La confrontation des différentes procédures doit permettre de faire émerger la procédure attendue. Lenseignant demande à chaque élève ou groupe de présenter ses propositions et de les justifier. Il prend soin de ne pas donner des renseignements ni des réponses. Il apporte plutôt des éléments contradictoires, afin de provoquer un réexamen par lélève ou le groupe. Certaines procédures menant à des impasses sont démontrées. Une stratégie de résolution adaptée à la situation samorce. On est toujours dans une phase démission dhypothèses et non de structuration.

48 Lenseignant identifie les nouveaux savoirs et savoir-faire, précise les conventions de langage. Il sagit dhomogénéiser les connaissances de la classe et de préciser dans les savoirs construits ceux qui sont à retenir, et sous quelle forme. Les phases précédentes ont conduit chaque élève à réactiver son savoir, à faire apparaître ses représentations (conceptions) et à les confronter avec dautres idées ou avec la réalité. Cest en quelque sorte la « déstabilisation » indispensable à toute formation. Lenseignant reprend les travaux privés afin de détecter les difficultés et les représentations erronées, restructure toutes les idées brassées pendant cette activité, construit une synthèse, apporte les éléments dinformations nécessaires, fait un point méthodologique. Il peut rappeler les difficultés rencontrées, les différentes façons daborder le problème, les stratégies mises en œuvre, montrer larticulation existant entre la méthode et le résultat.

49 Il sagit daider les élèves à se familiariser avec les nouveaux acquis, de les faire fonctionner dans les différentes situations pour quils explorent leur champ dapplication. Les phases dentraînement et de réinvestissement sont suivies dune évaluation.

50 Enseigner à partir de situations-problèmes est un puissant levier dévolution du système éducatif. En effet, les élèves acceptent davantage le point de vue de leurs pairs, comprennent mieux le rôle de lenseignant. Celui-ci modifie ses démarches pour les rapprocher de létat cognitif de ses élèves. Les élèves deviennent autonomes et sont amenés à échanger sur leurs idées, leurs connaissances, leurs stratégies; enseignant et élèves partagent le savoir. Cependant, il est important de rappeler quon ne peut pas introduire toutes les connaissances et les savoir-faire à laide de situations-problèmes, et que pour les élèves en difficulté la décontextualisation ne se fait pas toujours facilement.

51 - Introduire le tableau à double entrée (demander aux élèves de trouver la carte qui manque dans un jeu de 7 familles auquel on a enlevé une carte) - Introduire la nécessité de regroupement par 10 (invalider la procédure de comptage 1 à 1 et favoriser la procédure de regroupement par 10) - Introduire la notion daddition (demander aux élèves de fabriquer 12 avec des pièces de 1, de 2 et de billets de 5 alors quils nont pas encore vu ce quest une addition) - Introduire les écritures additives et soustractives - Introduire la multiplication - Introduire la multiplication et la commutativité de la multiplication

52 - Situations en géométrie : - repérage dans lespace ( découvrir la nécessité du plan en tant que vue de dessus à partir dune maquette) - repérage dans un quadrillage (la chasse au trésor) - Symétrie (approcher de manière perceptive que la symétrie se définit par rapport à une droite et que, dans une configuration symétrique les figures qui sont de part et dautre de laxe de symétrie, ont la même forme et la même taille) - Figures planes (découvrir langle droit et utiliser un gabarit pour montrer lexistence des 4 angles droits dans le carré et le rectangle) - Solides (reproduction dun solide, introduire le mot « face » et identifier le nombre de faces)

53 Lenseignant choisit un problème pour que les élèves utilisent des connaissances antérieurs; ce problème peut être un problème complexe puisque les élèves peuvent mettre en œuvre plusieurs catégories de savoirs et de savoir-faire. Sans réactivation, il ny a pas de mémorisation possible, il y a connaissance mais non apprentissage.

54 Voici des nombres : Jai choisi un nombre de cette liste. Trouvez-le en utilisant les 3 renseignements que je vous donne : - il est plus grand que 35 - le chiffre des dizaines nest pas 7 - il est plus petit que 50 Matériel : ardoise et papier.

55 Au zoo de Maubeuge, il y a 42 babouins, 14 perruches, 3 lionnes, 23 antilopes, 6 canards, 3 crocodiles. Combien danimaux à plumes y a-t-il ? Combien danimaux à poils y a-t-il ? Combien danimaux y a-t-il ?

56 Il semblerait que même si les élèves en difficulté parviennent à résoudre une situation-problème, à comprendre lintérêt de cette nouvelle connaissance ainsi construite, et à acquérir certaines connaissances dans un certain contexte, ils éprouvent, toutefois, des difficultés au niveau du transfert. De même pour les élèves qui ne sont pas en difficultés, les problèmes dapprofondissement ont leur importance, une situation-problème proposée dans un contexte particulier ne leur suffisant pas à lancrage de nouvelles connaissances. Cest pourquoi lenseignant propose un problème dans un autre contexte. Cest seulement lorsque lélève sera capable de mobiliser les connaissances ainsi construites, à bon escient et de façon autonome, pour traiter de nouveaux problèmes, que celles-ci pourront être considérées comme réellement acquises.

57 Lobjectif est de faire le point sur la manière dont les connaissances sont maîtrisées

58 Lobjectif pédagogique de ce type de problèmes est quil est destiné à mettre lélève en situation de recherche et de développement des compétences dordre méthodologique. Il est conseillé à lenseignant de proposer ce genre de problèmes avant même de traiter des situations-problèmes, cela permettra, aux élèves, de développer des attitudes de recherche dont ils pourront avoir besoin pour résoudre des situations-problèmes.

59 Lexpression problème ouvert est très explicite : elle signifie quon propose aux élèves une véritable recherche, très partiellement guidée, ce qui nécessite souvent de formuler des hypothèses ou de mettre en œuvre des méthodes qui nont pas été indiquées. Ainsi, les élèves apprennent à lancer une recherche, pour développer leur autonomie et leur capacité à évaluer leurs résultats.

60 Léquipe de lIREM de Lyon propose la définition suivante : « Un problème ouvert est un problème qui possède les caractéristiques suivantes : - Lénoncé est court. - Lénoncé ninduit ni la méthode ni la solution (pas de questions intermédiaires ni de questions du type « montrer que »). En aucun cas, cette solution ne doit se réduire à lutilisation ou à lapplication immédiate des derniers résultats présentés en cours. - Le problème se trouve dans un domaine conceptuel avec lequel les élèves ont assez de familiarité. Ainsi, peuvent-ils prendre facilement « possession » de la situation et sengager dans des essais, des conjectures, des projets de résolution, des contre-exemples. »

61 Permet de mettre laccent sur des objectifs spécifiques, dordre méthodologique : Essayer. Organiser sa démarche. Mettre en oeuvre une solution originale et en évaluer lefficacité. Formuler des hypothèses et les tester. Argumenter… Offre une occasion de prendre en compte et dexploiter les différences entre élèves : les solutions peuvent être diverses et utiliser des connaissances et des stratégies variées. Permet confrontation et débat. Permet à lenseignant de mieux faire connaître aux élèves ses attentes en matière de résolution de problème : il sagit de chercher, de prendre des initiatives. La responsabilité de la solution appartient entièrement à lélève.

62 Les objectifs visés peuvent être de différents ordres : Des objectifs relationnels (élèves-enseignants, élèves-mathématiques) : Observer les différentes procédures des élèves, Recueillir des informations pour la mise en commun, Les encourager et les rendre curieux, Développer le travail en petits groupes, Favoriser la communication et les échanges entre les élèves, Mettre n place le contrat didactique. Des objectifs disciplinaires : Faire des hypothèses, Imaginer des solutions, Prendre conscience quun problème peut avoir plusieurs solutions, Confronter des solutions, les valider, Argumenter, Utiliser des connaissances antérieures. Des objectifs méthodologiques : Faire et gérer des essais, les traces écrites. Trier, organiser les informations, Organiser sa démarche, Prendre des initiatives, Oser se tromper.

63 Lenseignant choisit un énoncé inédit en fonction des connaissances des élèves et du moment où il le propose dans la scolarité. Les élèves ne disposent pas de procédure de résolution préalablement enseignée. En effet, un problème mettant en relation deux inconnues est un problème ouvert à lécole élémentaire et de réinvestissement pour un élève de seconde. La solution de ce problème ne doit pas être immédiate pour un élève.

64 Lenseignant demande aux élèves de chercher, en utilisant leurs connaissances et leur bon sens. F6. Des critères pour valider la résolution. Pour valider cette activité, lenseignant va sintéresser à la validation des objectifs visés, par exemple : - Lélève a-t-il été acteur de sa recherche ? - A-t-il fait des essais ? - A-t-il utilisé les différentes procédures et connaissances nécessaires à la résolution ? - A-t-il dégagé une méthodologie ? - Cette activité a-t-elle permis aux élèves dentrer dans un débat mathématique ? - A-t-elle permis aux élèves déchanger ?

65 Au cours de la séance, lenseignant ne doit donner aucun indice concernant les solutions, ce sont les élèves qui vont débattre, évaluer et valider leur solution. Phase 1 : temps de familiarisation Cest la phase de lancement de lactivité et dappropriation du problème par les élèves. Lenseignant choisit soit dénoncer le problème oralement soit de distribuer ou dafficher lénoncé, il peut présenter du matériel qui pourrait être utile à certains lèves. Il doit sassurer que les élèves ont compris ce quil leur demande.

66 Elle est assez brève. Lenseignant nintervient pas. Chaque élève cherche à répondre à la question. Phase 3 : recherche et échanges en petits groupes Lenseignant observe les attitudes des élèves et repère les différentes stratégies. Chaque élève doit comprendre les solutions des autres membres du groupe. Les élèves cherchent à convaincre et discutent des solutions proposées. Les élèves réalisent ensuite des affiches, fruits de leurs débats où ils exposent les solutions retenues. Cette phase est particulièrement riche car elle permet aux élèves de prendre conscienceque le problème peut avoir plusieurs solutions et procédures de résolution, elle prépare la mise en commun.

67 Les élèves réunis en grand groupe font linventaire des réponses et des procédures utilisées. Cest un moment déchanges et de débats. Lenseignant laisse les élèves prendre connaissance du contenu de chaque affiche et leur demande davoir un avis critique. Les solutions inexactes sont discutées et sont écartées par les élèves. Lenseignant a un rôle danimateur, il ne doit pas à ce moment influencer les élèves, ni mettre en évidence la procédure la plus rapide, celle à laquelle il a pensé ou celle considérée par les élèves comme la plus efficace. Phase 5 : synthèse Lenseignant conclut sur les différentes procédures et fait un point de méthodologie. Il rappelle aux élèves que ce type de problème est très important car il leur permet dapprendre à chercher.

68 F8. Quelques recommandations La difficulté ne doit pas résider dans la compréhension de la situation. La recherche ne doit commencer que lorsque les termes et lenjeu du problème sont appropriés par tous les élèves. Facile à dire, plus difficile à réaliser : il faut donner toutes les indications pour que le problème soit clairement défini et aucun indication qui puisse esquisser une procédure possible de résolution. Ajoutons que le problème nest pas nécessairement présenté sous la forme dun énoncé écrit : il peut être formulé oralement ou même illustré matériellement. Exemple 1 : au CP, un problème de partage peut être un problème ouvert. Supposons quil sagisse de partager 18 objets en 3 personnes. Le problème peut être présenté de la façon suivante. Le maître dispose de 18 images quil montre aux élèves en début de séquence, puis range dans une boîte. Il remet à chaque enfant (ou à chaque groupe) 3 enveloppes et donne la consigne suivante : « Je dois envoyer ces 18 images à 3 enfants. Pour cela, je vous ai donné 3 enveloppes, une par enfant. Vous devez écrire sur lenveloppe le nombre dimages que je devrais mettre dans lenveloppe. Attention, les 3 enfants doivent recevoir le même nombre dimages. Vous avez une feuille blanche pour chercher. On notera que, dans cette présentation, les élèves sont dispensés du contrôle de lune des variables : le nombre de parts.

69 Il reste encore à faire comprendre aux élèves les autres contraintes du problème : - il faut répartir la totalité des images (ici 18) - chaque enfant doit en avoir le même nombre (partage équitable) Si les échanges avec les élèves ny suffisent pas, on peut suggérer, dans une situation comparable (par exemple 6 images, 3 enveloppes) de présenter diverses solutions et de demander si elles respectent les contraintes, par exemple (3 images, 3 images), (6 images, 6 images, 6 images), (2 images, 1 image, 3 images), Exemple 2 : « Dans ma tirelire, jai 32 pièces de monnaie. Il ny a que des pièces de 2 F et de 5 F. Avec ces 32 pièces, jai 97 F. Combien y-a-t-il de pièces de chaque sorte ? » (Rencontres Pédagogiques, n°12, INRP) Ici un échange avec les élèves peut suffire à assurer la compréhension de la situation proposée. Le respect des contraintes nest pas assuré pour autant, certaines contraintes sont souvent oubliées en cours de recherche. Cest le rôle de validation que de le mettre en évidence.

70 La phase de recherche doit appartenir aux élèves. Les interventions de lenseignant doivent se limiter à des encouragements, des réponses à des questions portant strictement sur la compréhension de lénoncé, mais en aucun cas, sur la validité dune procédure, sur le fait que la voie choisie est bonne ou mauvaise,… Par contre, il est important, pour lenseignant, dobserver le travail des groupes, en particulier pour recueillir les informations qui laideront à préparer la phase de mise en commun. Le plus souvent, la recherche sera faite en petits groupes. Mais il est utile que auparavant, chaque élève ait pu se faire sa propre idée par une courte phase de travail individuel.

71 La mise en commun est avant tout une phase déchanges et de débat autour des solutions proposées par les élèves. Le plus souvent, elle pourra se réaliser autour des affiches que les élèves auront réalisées à lissue de leur recherche. Le rôle de lenseignant est dabord de permettre un véritable échange entre les élèves et non, entre les élèves et lui, avec lidée permanente quil sagit de confronter des solutions, de les discuter, de les défendre, de les valider… et non darriver à exhiber « la bonne solution », celle à laquelle avait pensé lenseignant.

72 La même situation peut être proposée à nouveau aux élèves, après la phase de mise en commun, avec des nombres différents par exemple. Cela permet à certains élèves dessayer une solution quils nont pas élaborer eux- mêmes, mais dont ils ont perçu lintérêt au cours des échanges. Mais ce choix doit rester à leur initiative !

73 F9. Représenter par un schéma un problème ouvert Inciter les élèves à schématiser est une partie essentielle de lapprentissage de la résolution de problème. Quand un élève narrive pas à se représenter la situation adéquate, son activité tourne peu à peu vers une manipulation de symbole dépourvue de signification. La schématisation dun énoncé peut aider à la mise en relation des données pertinentes et favoriser la représentation mathématique dun problème. La mise en place précoce de telles activités permet dapprendre aux enfants à représenter par un schéma la situation décrite dans lénoncé et contribue ainsi à développer chez lenfant laptitude à comprendre les relations qui se trouvent dans un énoncé mathématique : il sen construit une représentation mentale et imagée. Symboliser une situation revient à anticiper la solution pratique et progresser vers labstraction, lélève se donne les moyens de raisonner sur des symboles.

74 F10. Exemple : le nombre de pattes (CP) Phase 1 : individuelle Lenseignant écrit un texte de problème (énoncé sans questions) au tableau et le lit : Enoncé : les enfants vont à la ferme. Il y a 6 poules, 3 vaches, 4 cochons, 2 canards, 1 coq.

75 Elle le fait reformuler par les enfants, elle sassure que tous les enfants ont compris le texte. Puis elle distribue une feuille de consigne : « Tu vas faire un dessin qui raconte cette histoire. En regardant le dessin, je dois comprendre lhistoire. » Lenseignant doit veiller à faire une présélection lors du travail.

76 Phase 2 : collective Discussion autour de quelques dessins affichés par lenseignant. Lenseignant demande : « les dessins correspondent-ils bien à ce que nous dit le texte ? » Un débat sinstaure, une classification des dessins sensuit. Trois types de dessins sont produits : - ceux qui tiennent compte du texte sans considérer les valeurs numériques, - ceux qui tiennent compte des données et qui ont rajouté des éléments extérieurs à lénoncé - ceux qui tiennent du texte uniquement et des données numériques.

77 Phase 3 : débat Débat collectif autour des dessins qui permettent de répondre à la question : « Serais-tu capable de trouver le nombre de pattes de tous les animaux réunis ? » Cest un moment de langage, déchange, de questions et dargumentation. Lenseignant mène le débat, il désire que les enfants explicitent la manière dutiliser les dessins. Il intervient pour préciser le sens de la démarche de certains élèves et pour faire des liens. Cette phase a pour objectif damener les enfants à constater que certains dessins ne sont pas utilisables pour résoudre le problème, notamment ceux qui rajoutent des informations ou qui en oublient (ils illustrent lhistoire sans tenir compte des nombres et des relations « 4 pattes pour un cochon ou une vache, 2 pattes pour une poule …)

78 Phase 4: dessin support à la résolution Résolution du problème à laide de dessins. Lenseignant demande aux élèves de résoudre le problème en se servant dun dessin de leur choix. Les enfants travaillent individuellement ou par 2, puis une phase de mise en commun est instituée par lenseignant de façon à ce que les élèves présentent leurs procédures. Les solutions et schémas les moins efficaces au début sont discutés, puis les autres solutions plus efficaces. Lenseignant propose de répéter lexpérience plus tard, mais avec des problèmes différents.

79 Prolongements Trois types de prolongements peuvent être proposés : 1/ Dessiner et écrire pour résoudre un véritable problème, avec les phases dappropriation de lénoncé, de recherche individuelle ou par équipe de 2, de mise en commun et de méthodologie-bilan (consolidation des acquis : faire prendre conscience aux élèves des caractéristiques dune schématisation efficace par contre-exemples et exemples; noter la leçon dans le cahier.)

80 2/ Travailler sur un autre énoncé. Exemple : Si les enfants vont à la piscine : les 21 enfants de la classe vont à la piscine. Ils doivent tous avoir des palmes. Combien faut-il de palmes ? Lenseignant fait un retour sur la séance précédente afin dactiver les connaissances antérieures. Les élèves sont en action. En équipe de 2, ils doivent trouver la solution au problème et une façon dexpliquer aux autres équipes la démarche qui leur a permis de trouver la solution. Lobjectif est de mettre en action les nouveaux acquis. Tout en conservant les mêmes équipes de travail quà la dernière séance, lenseignant présente à chacun des groupes le problème. Les problèmes sont lus et la compréhension du vocabulaire est vérifiée. Lenseignant met les élèves au défi de trouver la solution…

81 3/ Réfléchir aux schématisations de problèmes produites par des élèves fictifs. Dans ces activités, les enfants sont confrontés aux erreurs les plus fréquentes pour un type de problème donné. Les enfants apprennent beaucoup en utilisant un raisonnement par différence : « Lanalyse de ces erreurs est souvent source de progrès » (Rémi Brissiaud, Japprends les maths – CE1 et le livre du maître p. 15)

82 F10. quelques problèmes ouverts de cycle 2 - le nombre de doigts dans la classe - « quand utilise-t-on le moins deau : quand on prend un bain de 170 litres deau ou, quand on prend 5 douches de 30 litres » (Japprends les maths, CE1) - Avec des pièces de 1 F, 2 F et 5 F, trouvez plusieurs façons davoir 17 F. (Ermel, CP, 1991) - Je pense à 2 nombres qui se suivent. Je les additionne, je trouve 23. Quels sont ces 2 nombres ? Problèmes de partage : - une maîtresse dune classe de CP a 24 élèves. Elle veut faire travailler ses élèves par groupes de 3. Combien peut-elle faire de groupes ? - André, Bruno et Claire ont ramassés des coquillages : André en a 25, Bruno en a 33 et Claire en a 20. Ils veulent en avoir autant chacun. Combien chacun en aura-t-il ? (Ermel, CP) - Aurélien, Bruno et Claude se partagent équitablement 19 bonbons. Que peut-on chercher ? (Ermel, CE1) - Je veux afficher des images dans la classe. Pour les petites images, jai besoin de 4 aimants; pour les grandes, jen ai besoin de 6. je dispose de 36 aimants. Combien dimages puis-je afficher ? (Japprends les maths, CE1)

83 Problèmes multiplicatifs : - Rémi est malade. Le médecin lui a donné un médicament. Il doit prendre 2 comprimés par jour pendant 7 jours. Dans la boîte que la pharmacienne lui a donnée, il y a 15 comprimés. Aura-t-il assez de comprimés pour suivre son traitement? - Tous les jours de la semaine, Jean dépose 3 euros dans sa tirelire. Combien dargent dépose-t-il par semaine dans sa tirelire? - Hervé a eu pour Noël un très beau livre. Pendant le mois de janvier, il lit 2 pages par jour. Combien de pages a-t-il lu à la fin du mois ? - Un clown a 3 chemises : une rouge, une bleue, une verte et 3 pantalons : un jaune, un violet, un marron. Recherche les différentes manières de lhabiller (problème de dénombrement)

84 Approche de simple proportionnalité : Un bouquet de fleur coûte 5 euros. Combien de bouquets puis-je acheter avec 30 euros? Sur la notion de moitié : Recette du quatre-quarts (pour 2 personnes) : - 1 verre de farine - 1 verre de beurre fondu - 1 verre de sucre en poudre - 1 œuf Laura veut inviter 5 personnes. Combien lui faudra t-il dœufs, de verres de farine, de beurre fondu et de sucre?

85 F11. quelques problèmes ouverts de cycle 3 - On dispose de pièces de 50 c, de 20 c et de 5 c. Peut-on constituer la somme de 5 F avec exactement 20 pièces ? (Aides pédagogiques pour le CM) Ce problème na pas de solution…A partir de ce constat, on peut relancer la recherche en se demandant quelles sont les sommes possibles et les sommes impossibles à réaliser, avec les mêmes conditions. - On a une ficelle de 26 cm de longueur. On veut construire avec cette ficelle, un rectangle dont laire soit la plus grande possible. Quelles sont les dimensions de ce rectangle ? (Des problèmes pour apprendre en CM2 et sixième) - Un rectangle a un périmètre égal à 34 cm et une aire égale de 60 cm². Trouver sa longueur et sa largeur. - Combien existe-t-il de nombres de 3 chiffres tels que le produit des chiffres soit compris entre 500 et 520? - Parmi les nombres de 0 à 999, combien de nombres contiennent le chiffre 7 ?

86 F12. Conclusion Résoudre des problèmes de recherche dits « ouverts » permet aux élèves dacquérir un comportement de recherche, de devenir autonomes, dutiliser la pensée divergent comme démarche mentale … et répond aux attentes du programme de cycle 3 en particulier. Il est intéressant den proposer régulièrement tout au long de lannée. Les élèves acquièrent des compétences méthodologiques relatives à des savoir-faire quils vont rencontrer dans toutes les disciplines et qui pourront être transférées.

87 On part de 5. On peut soit ajouter 9 soit enlever 6 et ceci autant de fois quon veut. - Essayer datteindre Essayer datteindre 18. Exemple de solution : – 6 = 17 Le problème na pas de solution. G. exemples de jeux et de « problèmes pour chercher » (pour développer chez les élèves le goût de la recherche et les capacités à chercher) a) Activité « atteindre un nombre »

88 On peut atteindre les nombres : 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, etc. Complément : Recherche des nombres quon peut atteindre

89 Le but du jeu est de fabriquer le premier le nombre 15 en ajoutant TROIS nombres compris entre 1 et 9. On dispose de neuf jetons sur lesquels sont inscrits les nombres entiers de 1 à 9. On tire au sort le joueur qui commence le premier. Chaque joueur choisit un jeton à tour de rôle parmi les jetons qui nont pas encore été choisis. Première version du jeu : chaque joueur ne tire pas plus de trois jetons (si un des joueurs voit quil obtient 15 en tirant son troisième jeton, il a gagné. Sinon, cest match nul). Joueur 1 Joueur Le joueur 1 a gagné. 4 b) Jeu à deux « atteindre 15 »

90 Joueur 1 Joueur Le joueur 1 a gagné. Deuxième version du jeu : On joue comme dans la première version mais si aucun joueur nobtient 15 en tirant son troisième jeton, les joueurs continuent de choisir un jeton l'un après l'autre. Mais la règle ne change pas : il faut toujours obtenir 15 avec TROIS jetons. Dès qu'un joueur voit quil peut réaliser la somme 15 avec TROIS jetons PARMI les jetons qu'il a en sa possession, il a gagné. Remarques : -si un joueur ne voit pas quil a obtenu 15, le jeu continue. -si aucun joueur narrive à obtenir 15, il y a match nul.

91 Complément concernant le jeu « Atteindre 15 » : Quel nombre a intérêt à choisir le joueur qui commence ? - Recherche de toutes les décompositions additives de 15 utilisant trois nombres inférieurs à = = = = = = = = Recherche du nombre de fois où apparaît chacun des nombres de 1 à 9 dans les décompositions précédentes : Nombre Nombre d'apparitions - Remarque : réalisation d'un carré magique avec les entiers de 1 à 9 (les sommes des nombres de chaque ligne de chaque colonne et de chaque diagonale doit valoir 15) Le 5 qui est apparaît 4 fois dans les décompositions de 15 doit être au centre. Dans chaque coin, il doit y avoir un nombre qui apparaît 3 fois dans les décompositions de 15. Exemple :

92 Un problème complexe est un problème dont la résolution nécessite la mobilisation de plusieurs catégories de connaissances. De ce fait, un problème complexe est un problème de réinvestissement. La résolution dun tel problème exige de scinder le problème en sous-problèmes, de comparer plusieurs solutions et/ou hypothèses. Lénoncé peut comporter plusieurs informations placées dans différents endroits, ces informations peuvent être données dans le texte, dans un graphique, dans un schéma ou fournies oralement. La tâche dappropriation du problème est donc complexe, puisque lélève doit à la fois trouver linterprétation adéquate, prendre en compte un nombre élevé dinformations, isoler les données utiles à la résolution du problème et mettre en évidence différentes étapes de la résolution, tout en mobilisant plusieurs connaissances. H. LES PROBLEMES COMPLEXES H1. Mobiliser plusieurs catégories de connaissances

93 Résoudre un problème complexe permet de : - proposer à lélève une véritable activité mathématique - faire prendre conscience aux élèves que ce sont eux les responsables de recherche, indépendamment de lenseignant - faire abandonner aux élèves lidée selon laquelle pour résoudre un problème, il faut appliquer directement les connaissances déjà étudiées; et donc prendre des initiatives. H2. Pourquoi un travail de résolution de problème complexe ?

94 H3. Quels objectifs ? Les objectifs peuvent être de différents ordres : Des objectifs relationnels (élèves-enseignants, élèves-mathématiques) : Développer un comportement de chercheur Montrer quil est possible de concilier un enseignement collectif (échanges dans la classe) et une gestion plus individualisée dune partie des apprentissages Des objectifs disciplinaires : Aborder une démarche scientifique : essais, conjectures, validation Traduire des contraintes Mettre en relation les données Utiliser des connaissances antérieures Justifier les résultats Des objectifs méthodologiques : Donner des méthodes de traitement de linformation Savoir prendre des informations dans un texte, un graphique ou un schéma, trier, organiser les informations Traiter les informations pour partager le problème en sous-problèmes Gérer les traces écrites et les essais Produire les résultats intermédiaires Communiquer les résultats

95 H4. Quelle consigne formuler? Lenseignant demandera aux élèves de rédiger sur leur feuille les différentes étapes de leur recherche, cest-à- dire dexpliquer comment ils font pour résoudre un problème au fur et à mesure de leur recherche. Il précisera que ceux-ci doivent mettre en relation les données pour entrer dans la phase de résolution.

96 H5. Comment valider la résolution dun problème complexe? - Lélève sest-il interrogé sur lénoncé ? - A-t-il reformulé le problème en le décomposant en sous-problèmes ? - A-t-il produit des résultats intermédiaires ? - A-t-il su traiter les diverses informations ? - A-t-il su traduire les contraintes, mettre en relation les données ? - Lélève a-t-il fait des essais, tâtonné ? - A-t-il utilisé les différentes connaissances nécessaires à la résolution ? - A-t-il fait preuve de cohérence dans le raisonnement et lenchaînement des actions ? - Lélève a-t-il développé son esprit critique, fait des vérifications qui lont incité à prendre conscience déventuelles erreurs?

97 H6. Quelle mise en pratique dans la classe? Séance 1 : Lors de cette première séance, les élèves travaillent seuls. Phase de dévolution : lancement de lactivité Lenseignant présente lactivité et donne les consignes à suivre aux élèves. Il distribue lénoncé du problème ou laffiche au tableau. Il le fait reformuler par les élèves. Les élèves commencent par sapproprier le problème : ils le lisent de façon silencieuse, le reformulent individuellement. Lenseignant peut alors proposer de retourner lénoncé et de le raconter. Ensuite, ils peuvent vérifier leurs dires en regardant à nouveau lénoncé.

98 Phase daction : recherche individuelle Les élèves prennent des informations dans les différents supports de lénoncé, repèrent, traduisent les contraintes et mettent en relation les données. Ils sont amenés à partager le problème en sous-problèmes et font appel à leurs connaissances. Phase de formulation Les élèves explicitent par écrit, par dessin, par manipulation de matériel ou oralement les procédures utilisées et les solutions trouvées, cest-à-dire comment ils font pour résoudre le problème, au fur et à mesure de leur recherche..

99 Phase de validation : mise en commun Cest la mise en commun durant laquelle les différentes procédures sont exposées, par groupe, à la classe entière. Lobjectif de lenseignant est de faire linventaire des différentes stratégies des élèves et des méthodes quils ont utilisées pour prendre en compte les informations, les contraintes, pour partager le problème en sous-problèmes. Phase dinstitutionnalisation Lenseignant cherche à dégager des invariants dordre méthodologique de façon à ce que les enfants puissent les réinvestir lors dactivités ultérieures.

100 Séance 2 : Il sagit dune séance de résolution de problèmes complexes devant laquelle les élèves travaillent en groupe. Lenseignant demande à chaque groupe de produire une affiche et de nommer un rapporteur. Les phases sont identiques à celles de la séance 1; la phase daction se scinde en deux : une phase de recherche individuelle suivie dune phase de recherche en groupe. Cest le rapporteur qui expose la procédure choisie par son groupe à lensemble de la classe Remarque : Les élèves comprennent quun problème nest pas une application directe du cours : ils doivent acquérir des compétences mathématiques de chercheur et adopter une méthodologie quils développent, chemin faisant, en se lappropriant.

101 Exemple 1 : CE1 6 œufs doie coûtent 12 euros. 12 œufs de poule coûtent 6 euros. Cédric veut acheter 12 œufs doie et 6 œufs de poule. Combien va-t-il payer ? H7. Exemples.

102 Exemple 2 : CE1 Le phare du Soleil levant mesure 70 mètres de hauteur. Il possède 420 marches. Il est ouvert de 9h à 17 h du 1 er mars au 30 septembre. 1.Alex et Leïla ont déjà monté la moitié des marches. Combien de marches ont-ils monté ? 2.Moustik est fatigué. Il na monté que 100 marches. Combien de marches doit-il encore monter pour arriver en haut du phare ? 3.Il existe des phares beaucoup plus haut que celui-ci. Le phare dAntifer mesure 128 mètres de haut. De combien de mètres dépasse-t-il le phare du Soleil levant ?

103 Exemple 3 : CE1 Dans le panier dAlex, il y a 60 fruits. Il y a des pommes et des poires. Le nombre de poires est le double de celui du nombre des pommes. Combien y a-t-il de pommes ? Combien y a-t-il de poires?

104 Exemple 4 : CM1 3 chameliers conduisent chacun 3 chameaux. Sur chaque chameau, il y a 3 paniers. Dans chaque panier, il y a 3 chattes. Chacune de ces chattes est accompagnée de 3 châtons. Cela fait beaucoup de pattes. Combien en comptes-tu dans cette caravane ? Trouve une solution.

105 Exemple 5 : CE1 Le marathon de New-York est retransmis à la télévision. Une journaliste sportif commente : « Hercules est en tête : il ne lui reste plus que 20 km à parcourir. Marcus est deuxième : il a déjà parcouru 27 km. Sam est troisième : sur les 50 km de course, il nen a parcouru que la moitié. » Es-tu daccord avec le classement du commentateur ? Justifie ta réponse.

106 FIN David Rolland, professeur de mathématiques à lEcole Normale Mixte de Polynésie Française


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