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1 Coalescence et grandes structures combinatoires Philippe Chassaing Institut ELIE CARTAN Nancy Rouen, 6 Juin 2002.

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1 1 Coalescence et grandes structures combinatoires Philippe Chassaing Institut ELIE CARTAN Nancy Rouen, 6 Juin 2002

2 2 Graphe aléatoire

3 3 Tailles des composantes Erdös & Rényi, …….. Janson, Luczak, Knuth & Pittel, 1993 Aldous, 1997 La suite converge vers la suite des longueurs des excursions de au dessus de son minimum courant OK pour la loi limite à t fixé ! Quid de la loi du processus en t ? Coalescent multiplicatif ?

4 4 Fragmentation d un arbre Aldous & Pitman 1999 Coalescent additif !!

5 5 Parking Coalescence des blocs ? Quid ?

6 6 Excursion & coalescence f : excursion Brownienne normalisée Bertoin 2000 Coalescence et fragmentation des excursions quand a varie Coalescent additif d Aldous & Pitman

7 7 Equations de coagulation Marian von Smoluchowski, 1916 Cas particulier x entier

8 8 Processus de Marcus Lushnikov A chaque couple de particules (i,j), de tailles respectives x et y, on associe une variable aléatoire T i,j de loi donnée par: La première coalescence a lieu à l instant : et concerne le couple de particules (I,J) défini par Introduit par M&L pour approcher numériquement les solutions des équations de Smoluchowski Résultats de convergence par Jeon, Norris, Fournier, Deaconu, Tanré, Wagner, etc...

9 9 Lien ParkingSmoluchowski: le bloc marqué (tagged particle)

10 10 Le bloc marqué Parking ~ Smoluchowski additif ?

11 11 Parking = Marcus-Lushnikov Changement de temps ? Pour chaque objet (véhicule) x, la pulsion de parking (!!!) se produit au bout d un temps T x aléatoire exponentiel de moyenne 1. Les T x sont indépendants... Date du k ème événement: T (k) Probabilité d agglomérer un bloc de taille x à un bloc de taille y lorsque restent exactement r blocs

12 12 Lien Parkingexcursion: hachage & coût de construction Coût de construction = ?Coût de recherche = ? = déplacement total

13 13 Knuth, 1962 Déplacement total Espérance m places, n objets Cas épars Cas plein 1999 Variance Flajolet, Viola & Poblete, Knuth,

14 14 Polynomes de Kreweras

15 15 Polynomes de Kreweras Aire sous l excursion Brownienne : Getoor Sharpe 1979, Shepp 1982, Louchard 1984, Biane-Yor 1987, Groeneboom 1989, Takács 1991

16 16 Aire sous l excursion Brownienne : déjà étudiée comme étant limite du cheminement total dans un arbre au hasard (Takac 1995) Flajolet, Viola & Poblete, 1999

17 17 Le premier terme du coalescent additif standard est distribué comme (Aldous, Pitman, 2000) La largeur d une excursion de T e est distribué comme (??) Lien Parkingexcursion: le bloc marqué

18 18 Lien Parkingexcursion: le profil

19 19

20 20

21 21

22 22 Profils successifs cf. Bertoin 2000

23 23 Le modèle limite places vides

24 24 Convergence signifie "unif t pour (a,t) [0,A] [0,1], A arbitraire") Chassaing & Louchard 2000

25 25 Lien arbresparking Schutzenberger, Foata-Riordan, Françon, Kreweras

26 26

27 27 Fragmentation de l arbre agrégation des blocs

28 28 Hachage et graphes connexes Nombre de graphes connexes à n sommets et n+k-1 arètes

29 29 Élagage (bis) Chassaing & Marchand 2002 Nombres de coupes au hasard pour détruire un arbre:

30 30 Hachage et processus empiriques

31 31 Largeur et hauteur des arbres

32 32 Applications à l algorithmique


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