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Les mathématiques sont partout Jean CEA UNIA 20 Mars 2013.

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1 Les mathématiques sont partout Jean CEA UNIA 20 Mars 2013

2 Les mathématiques sont partout Linformatique a conduit à un développement explosif des sciences, plus particulièrement des mathématiques qui sont transverses aux autres sciences et qui constituent un langage universel. Dès quun chercheur veut quantifier quelque chose ou décrire un processus, il va déboucher sur une modélisation mathématique avec simulation, essais, corrections, exploitation... Les mathématiques peuvent aussi prendre en compte des questions qualitatives via lanalyse de données, les statistiques, les fractales... (sociologie, médecine…)

3 Lhumour aussi ! Citation de J.J. Risler, président SMF, 1997 : …De plus, pratiquement tous les processus industriels élaborés, comme par exemple la C.A.O.(Conception Assistée par Ordinateur), sont conçus avec une base mathématique. Pour faire image, on peut affirmer que si dans un avion on supprimait toutes les parties dans la conception desquelles sont intervenues les mathématiques, il ne resterait que les membres déquipage, et encore sans leurs uniformes ou sous-vêtements !

4 Modélisation – Simulation … « Depuis plusieurs décennies, les applications des mathématiques connaissent un développement exponentiel qui sapparente à une explosion. Elles sont partout, aidées en cela par les possibilités inouïes de linformatique. Les mots « modélisation, simulation, analyse, optimisation et contrôle » se sont introduits dans de nombreux domaines de lactivité humaine. » La modélisation mathématique est l'art de représenter la réalité physique en des modèles mathématiques accessibles à l'analyse et au calcul. La simulation numérique est le processus qui permet de calculer sur ordinateur des solutions approchées de ces modèles, et donc de simuler la réalité physique. Ces deux phrases sont extraites du programme de la chaire « Méthode Mathématique et Simulation Numérique » de lÉcole Polytechnique.

5 Modélisation : un travail multidisciplinaire Un modèle n'est pas une loi physique qui a fait ses preuves depuis des siècles. Il est le résultat de tâtonnements et dun travail multidisciplinaire. Petit à petit, après de nombreuses confrontations entre le monde réel et le monde virtuel (des simulations) le modèle sera validé ! Les modèles mathématiques servent à effectuer des simulations virtuelles et à éviter des tests réels… coûteux, parfois dangereux ou infaisables ! Dans un modèle, on traduit souvent en termes mathématiques des lois de conservation, des situations déquilibre, des variations instantanées… doù des relations entre les fonctions inconnues qui décrivent un processus.

6 Un exemple de modélisation : le paludisme Malaria : mauvais air des marais ! Contagion : Hommes Moustiques du genre anophèles. Responsable chez lhomme : un parasite (plasmodium) Louis Pasteur ( ) : maladies et microbes. Alphonse Laveran (1880) : le moustique est responsable (Nobel 1908) Ronald Ross (1897) : le cycle du parasite. (Nobel 1902) Rendre à César… et à Gauthier Sallet (INRIA) cette présentation du théorème du moustique extraite de son article : « Modélisation Mathématique et Maladies Infectieuses ».

7 Dialectique A lépoque, les décideurs pensaient que : il y aura toujours des moustiques pour contaminer des hommes, qui contamineront des moustiques... Donc, impossible de débarrasser une région de ses moustiques. Donc, inutile de faire de gros investissements et de mobiliser de la matière grise ! Ross a montré avec son modèle mathématique ceci : il existe un seuil critique, si le nombre de moustiques passe sous ce seuil, alors le paludisme disparaît de lui-même.

8 Paludisme : un modèle mathématique Il y a 2 fonctions inconnues : le nombre h (t) dhommes infectés et m (t) de moustiques infectés au temps t positif ou nul. Nous allons étudier les évolutions de ces fonctions entre deux temps, t et t + t, où t est « petit », positif. Comment peut varier la fonction h (t ) ? Il y a trois possibilités : - Infection dun homme sain (+) - Guérison dun homme infecté (-) - Décès dun homme infecté (-)

9 Infection dun homme sain entre t et t Un homme sain. Piqué par un moustique infectieux. Qui développe la maladie! On suppose quun moustique pique n humains par unité de temps. Nombre total de piqûres infectieuses : n. m (t). t Nombre total de piqûres sur les hommes sains : (1 – h(t) / H). n. m (t). t On suppose que la proportion dhommes sains, piqués par un moustique infectieux, développe le paludisme est : p (entre 0 et 1) Nombre total dinfections nouvelles chez les hommes sains entre t et t + t : p. (1 – h(t) / H). n. m (t). t

10 Guérisons – Décès (hommes infectés) On suppose que la proportion de guérisons par unité de temps vaut g, nombre compris entre 0 et 1. Nombre total dhommes guéris entre t et t + t : g. h (t). t On suppose que la proportion de décès par unité de temps vaut d, nombre compris entre 0 et 1. Nombre total dhommes décédés entre t et t + t : d. h (t). t Nombre total de guérisons et décès entre t et t + t : ( g + d ). h(t). t

11 h (t+ t) = h (t) + nouveaux infectés - guéris - décédés h(t+ t) = h(t) + p. (1 – h(t) / H). n. m (t). t - ( g + d ). h (t). t Bilan : hommes infectés entre t et t+ t h = a. h + b. m + c. h. m pour tout t positif Variation moyenne, variation instantanée de h (vitesse de variation ) : quand t se rapproche de zéro, on obtient : h = p. (1 – h / H ). n. m - (g + d ). h en tout t positif où h désigne la variation instantanée de h, sa dérivée. ( h(t+ t) - h (t) )/ t = p. (1 - h(t) / H ). n. m (t) - ( g + d ). h (t) a, b, c sont 3 nombres qui dépendent des paramètres du modèle

12 Un système de 2 équations différentielles On vient de trouver une relation du type : h = a. h + b. m + c. h. m On trouverait de même : m = d. h + e. m + f. h. m a, b, c, d, e, f sont des nombres qui dépendent des paramètres de la modélisation. On connait les conditions initiales : h (0) et m (0) Il sagit dun système de 2 équations différentielles à 2 fonctions inconnues h et m.

13 Différentes phases de la modélisation Recherche du modèle Les mathématiciens savent calculer de façon approchée les solutions de ce modèle déquations. On peut donc connaître lévolution de h(t) et de m(t). Satisfaction ? Ajustement des paramètres : souvent les paramètres proposés sont le résultat destimations et manquent de précisions. La comparaison entre les valeurs des fonctions calculées (simulées) et des fonctions mesurées (réelles) permettent darriver à une « meilleure approximation » des paramètres. Itérations. Validation Exploitation

14 Exploitation du modèle : le seuil critique Question : y a-t-il des cas où h (t) se rapproche de 0 quand t devient grand ? Ce qui signifie que le paludisme va disparaître. Ross a mis en évidence un nombre R, le seuil critique du type : R = k. M / H où k dépend des paramètres. Le théorème du moustique (Ronald Ross, 1911) : Si R <= 1 alors h(t) se rapproche de 0 quand t est grand. La condition peut sécrire : k. M / H <= 1 ou M <= (1/k). H Politique de santé publique : réduire le nombre M de moustiques, pour que le paludisme disparaisse. Assainissements !

15 Images et sons Compressions

16 Mémoires… informatiques ! 1 bit = une position 0 ou 1 (Binary digIT). Avec un bit, on peut repérer 2 nombres : 0 et 1. (en base 2, on a besoin de 2 signes pour écrire un nombre) 1 octet = 8 bits, on peut repérer 2 8 nombres, soit 256 nombres notés de 0 à 255. Ex avec 1 bit : (0), (1). 2 bits : (0,0), (0,1), (1,0), (1,1). Doublement ! 1 Ko : pour les informaticiens 1 Ko vaut 1024 (=2 10 ) octets, pour les autres 1Ko vaut 1000 octets ! Et ainsi de suite : 1 o, 1 Ko, 1 Mo, 1 Go, 1 To, 1 Po, 1 Eo… (Kilo, Méga, Giga, Téra, Péta, Exa…)

17 Une image de loin, de près Un grossissement de 8 fois fait apparaître des petits carreaux colorés ! IMAGE INFORMATIQUE : un carrelage rectangulaire, chaque carreau ayant sa propre couleur. Un carreau est appelé un PIXEL. La couleur de ce carreau est repérée par un ou plusieurs nombres (noir et blanc ou couleurs). IMAGES ET FONCTIONS.

18 Images - stockage COULEURS : 256 niveaux de gris ( stockés sur 1 octet, noir = 0 et blanc = millions de couleurs à partir de R, V, B. Chaque couleur est stockée sur 1 octet, donc 3 octets au total, soit 2 8 X 2 8 X 2 8, soit 2 24, soit possibilités. (Imprimerie, 4 couleurs : Cyan, Magenta, Jaune, Noir) STOCKAGE : Une image de 512 x 512 pixels en noir et blanc : 512 x 512 x 1 octet = octets division par Ko 0,258 Mo Une image de 1600 x 1200 pixels en 16 millions de couleurs : 1600 x 1200 x 3 octets = octets 5625 KO 5,49 Mo Vidéo ! FONCTIONS : une image 1 ou 3 fonctions

19 Représentations des fonctions Fourier - Ondelettes Joseph Fourier ( ) a réussi à exprimer certaines fonctions périodiques comme une somme infinie de fonctions élémentaires du type cosinus ou sinus. Cette méthode a été utilisée pendant les deux derniers siècles. Actuellement, une nouvelle technique dite des « ondelettes » est souvent mise à contribution pour approcher des fonctions assez irrégulières (sons, images…). Les fonctions élémentaires utilisées sont mieux adaptées au type de fonction à repérer.

20 Ondelettes Les précurseurs : Alfred Haar (1909), Jean Morlet (géophysicien, 1975), Alexandre Grossmann (physicien), Stéphane Mallat (mathématicien)… Histoire, hasard, photocopieuse X, ondelettes La théorie mathématique : Yves Meyer, Prix Gauss Utilisation : compression des images, des sons (JPG, JEPG, JEPG2000, MP3, MP4, MP5, MPEG…) Google : Wavelet pages (19/03/2013)

21 1 image 2 images 4 images Les nombres 0, 1, 2… 9 servent à repérer des emplacements. Ces cases contiennent chacune un nombre : niveau de gris, niveau de rouge, de vert, de bleu. Dabord, moyennes et écarts sur une ligne. Ensuite, moyennes et écarts sur une colonne. La transformation est réversible. Méthode de Haar 1909

22 1 image 2 images 4 images… Réitération du processus !!! Merci à Wikipédia.

23 La photo modèle : LENA Décomposition jusquau niveau 3 Référence :

24 Compressions La moyenne va lisser la photo, les écarts marquent des différences entre des points voisins. Ces écarts vont être de + en + petits. On peut choisir un seuil et supprimer les écarts au-dessous de ce seuil (mise à 0). On réalise une économie de nombres à stocker : cest une compression. On peut modifier la méthode « Moyenne - Ecart » en introduisant des « opérateurs » plus généraux. On peut appliquer ce genre de méthode au cas des fonctions continues. Il existe aujourdhui une grande variété de standards ou méthodes de compressions : JPEG, JPEG2000, GIF, TIFF… MP3, MP4…

25 Puissance de la compression Lena (original)Lena, suppression de 75 % des détails Lena, suppression de 98 % des détails

26 Taux de compressions Le taux de compression est égal au rapport « Taille originale / taille compressée », on le note « n : 1 » Exemples : Radio des poumons : on va jusquà 60 : 1 avec JPEG 2000 Images ordinaires : acceptables jusquà 20 : 1 Empreintes digitales : 15 : 1

27 Hôpital de Caen Christine CAVARO-MENARD, François GOUPIL, Benoît DENIZOT, Jean-Yves TANGUY, Jean-Jacques LE JEUNE, Christine CARON-POITREAU Etudes en double aveugle selon un protocole rigoureux sur les compressions acceptables des radiographies thoraciques (base de la norme JPEG2000). 3 radiologues, 11 critères, deux populations de 20 patients. Résultats : un taux de compression acceptable à 20:1 pour les radiographies normales et 60:1 pour les images pathologiques. Linterprétation rigoureuse dune radiographie thoracique nécessitant la conservation des structures anatomiques, le taux de 20:1 apparaît être la limite acceptable en pratique clinique.

28 Haute performance Automobiles Avions Maillages Coupe America Top 500

29 Automobiles et mathématiques La simulation numérique est omniprésente : Combustion dans le moteur, Température et ventilation, Acoustique, Gestion des compatibilités électromagnétiques (le câblage complet dune voiture peut exiger jusquà dix kilomètres de fils électriques, le courant électrique induit des phénomènes électromagnétiques quil faut gérer), Suspension, Echappement, Tests de sécurité (réaction en cas de choc, protection des passagers). Exemple proposé par Pierre-Louis Lions, Médaille Fields, Professeur au Collège de France. Colloque Maths à venir, 2009

30 Avions Un objet très lourd capable de voler, de se maintenir à lhorizontale, de monter, de descendre, cest miraculeux ! Un avion est soumis à 2 forces : la gravité qui le tire vers le sol, la propulsion qui le ferait partir telle une fusée. Le génie de lhomme a trouvé une autre force : « La Portance », astucieusement créée par une dépression entre les 2 côtés des ailes, qui pousse lavion vers le haut et neutralise donc la gravité ! Accessoirement, il sest créé une 4 ème force, « La Traînée ». Cest la résistance à lavancement : elle soppose au mouvement de lavion.

31 Equations de Navier-Stokes Lécoulement de lair autour de lavion a fait lobjet de nombreuses études, tant du point de vue global quau niveau microscopique. Bien des composants sont liés : vitesse des particules dair (u, v, w), pression p, masse volumique viscosité, en tout point de lespace- temps t, x, y, z Les équations de Navier-Stokes datent du XIX e siècle. Elles précisent les liens entre ces 6 fonctions. Equations non résolubles explicitement (Millenium) On construit des approximations des solutions.

32 Passage du continu au discret Autour de lavion, il y a une infinité de points, une infinité dinconnues… Cest ingérable ! On se limite à un nombre fini de points, et on essaie de « traduire » les équations en ces points. La base dune méthode très utilisée est la « Triangulation » : on partage lespace extérieur en petits tétraèdres (des pyramides) de côtés variables. La triangulation se poursuit jusquà la surface de lavion ! On écrit la contribution de chaque tétraèdre aux équations générales. (Eléments finis)

33 Maillage Boeing-747 Crédits à : Houman BOROUCHAKI et Pascal J. FREY

34 Maillage du Falcon-7X de Dassault Aviation Létude du Falcon 7X a conduit à la résolution de 140 millions déquations à 140 millions dinconnues. Lordinateur était le Tera-10 qui faisait en teraflops, soit milliards dopérations à la seconde. Ref : La Recherche, Mai 2007, N° 408, on pourra consulter le site :

35 La coupe de lAmerica Une des plus vieilles régates du monde. Lidée dune compétition, plus ou moins périodique, se finalise en Le vainqueur de lannée précédente est le « Defender ». Une compétition entre les autres candidats désigne le « Challenger » qui sera opposé au Defender. La compétition finale donne lieu à une explication entre deux bateaux, de caractéristiques assez voisines pour éviter des classements par catégories et des handicaps… La compétition se déroule en plusieurs manches dont le nombre a évolué, passant progressivement de 1 à 9.

36 1983 Les Américains ont raflé la mise puisquils ont triomphé de 1870 jusquen Cette année là, un coup de tonnerre a ébranlé le monde nautique : « La Coupe de l America » met les voiles (hum !) vers l Australie ! L Australie venait dacquérir une avance technologique sur la conception des voiles du bateau. Ensuite, elle va changer de mains entre les États- Unis, la Nouvelle Zélande et un pays qui na pas daccès direct à la mer mais qui dispose dun grand lac : la Suisse, victorieuse en 2003 et X Lausanne.

37 Une avance technologique Quand le vent souffle, il exerce une pression sur toute la surface de chaque voile. La résultante de ces pressions est la force extérieure qui fait avancer le voilier. Cependant, des forces invisibles ont tendance à étirer le tissu des voiles, risquant même de les déchirer. Il s'agit de forces internes appelées « contraintes ». En chaque point de la voile, il y a deux directions orthogonales telles que, dans une direction la contrainte est maximum et dans lautre elle est minimum. Les mathématiciens savent calculer ces contraintes. Il existe un « quadrillage virtuel » de la voile : en chaque point, deux lignes se croisent orthogonalement. Sur les points dune ligne, les contraintes sont maximales, sur les points des lautre lignes elles sont minimales.

38 Une nouveauté dans les voiles Les Australiens ont réalisé la superposition des deux réseaux : tissage et contraintes. La force extérieure devient alors plus importante. Le tissage suit ces fameuses lignes de contraintes, et de plus, la qualité et la robustesse des fils utilisés dépendent de lintensité des contraintes. En 1983, les Australiens avaient ainsi pris une avance confortable sur leurs concurrents. Mais cette avance na pas duré longtemps, car les techniciens du monde de la voile ont vite compris la raison du succès du challenger. Dans les compétitions suivantes, tous les tissages de voiles suivaient les lignes de contraintes ! Depuis, la technique a encore progressé.

39 Luna Rossa Le voilier italien Luna Rossa a été battu dans la compétition pour sélectionner le challenger. Sous la houlette de Ignazio Maria Viola, une équipe de chercheurs sest attaquée à la modélisation et à la simulation numérique des écoulements hydrodynamiques et aérodynamiques autour du voilier. Lidée étant de dessiner un voilier « optimal » Ce travail a mobilisé énormément de compétences et de matériel.

40 Un record Cest à cette occasion que la simulation a atteint des sommets : des systèmes dun milliard déquations à un milliard dinconnues. Cest la société Ansys qui a fourni lensemble des logiciels. La puissance de calcul des ordinateurs a atteint les 22 teraflops (22 mille milliards dopérations à la seconde). Il a fallu plus dune semaine de calculs pour obtenir les résultats attendus !!!

41 Le vainqueur : lhomme ! Malgré la haute technologie, le voilier Luna Rossa a été battu. La force est restée à lintelligence de course de léquipage et du skipper. Cest réconfortant, le rôle de lhomme reste primordial !

42 TOP Novembre 2012 Pour mémoire : 1 Giga = Téra = Péta = Exa = Flops : opérations à virgule flottante par seconde

43 Conception optimale de forme

44 Conception optimale de forme (I) Problème posé par des physiciens en : Armoire A. Fil électrique F, champ électromagnétique D contient des appareils sensibles, perturbés par le champ. Dispositif simple équivalent à un blindage magnétique On place 1Kg de matière isolante dans une zone appelée Ω Question : comment choisir Ω pour que « la » mesure du champ soit minimum dans la zone D ?

45 Conception optimale de forme (II) Géométrie : le domaine Ω, notre isolant, nous pouvons changer sa forme, le contrôler. Il est éventuellement plongé dans un ensemble plus vaste. Une équation détat permet de définir une fonction détat (ici le champ électromagnétique) Une autre fonction intervient : la fonction coût J qui dépend en dernier ressort de Ω. Dans notre exemple, cest une quantité qui « mesure » le champ dans la zone D en fonction du choix de la forme Ω. Nous cherchons à trouver un « meilleur » Ω afin que J soit minimum. On se contente souvent daméliorer un Ω initial Google : « Shape optimal design » : pages, 19 Mars pages

46 Optimisation de forme en magnétostatique Antoine Henrot et Gregory Villemin Un aimant 0 est placé devant une roue dentée. Laimant peut faire face à une dent « T » ou à un trou « H ». Le champ magnétostatique est dénommé par T ou par H selon le cas. S est une sonde capable de mesurer les champs. Nous voulons maximiser lécart entre les valeurs du signal magnétique T et H dans lemplacement « S ». Pourquoi ? Les mesures de la sonde seront plus précises et elle pourra envoyer un signal de commande pour une certaine action (principe du robot : observation, analyse, action) : injection de carburant dans un moteur, action sur un essuie-glace… Comment maximiser cet écart ? En choisissant au mieux la FORME de laimant 0. Ce dispositif électronique remplace un système mécanique. Beaucoup de mathématiques derrière cet exemple simple à formuler.

47 On modifie une forme initiale pour arriver à une « meilleure » forme Cylindre Encoche Cet aimant peut avoir différentes formes dans les voitures, l'encoche et le cylindre étant deux formes possibles qu'on rencontre dans la pratique,

48 Nouveaux casques de moto Sillage : (Marine) trace que laisse un bâtiment lorsquil navigue. « Dans certains cas, un sillage turbulent derrière un mobile entraîne une résistance, ou force de traînée, moins importante quun sillage laminaire (non turbulent). Cest pourquoi le profil des casques de moto modernes comporte des creux, qui rendent turbulent lécoulement de lair en aval du casque. » Laure Saint-Laurent, Thomas Sonar, Turbulences sur les équations des fluides.

49 Optimisation dune forme en mécanique On va appliquer une force au centre dun cube. La dimension de la base est fixée, ainsi que la hauteur. Parmi les structures rigides qui supportent la force, nous en cherchons une qui aurait son volume (donc son poids) réduit. La base nest pas fixée au sol, on peut la déplacer. Par exemple, réduction à 1% du volume initial… si cette structure existe !!!

50 Résultats Nous modifions de proche en proche la structure, en orientant nos modifications par ce que nous avons appelé le gradient topologique. Notons la formation de trous par rapport à la formation initiale. Notons que les pieds ne sont pas fixés au sol, sinon la forme aurait été différente. Résultats au bout de 8, 28, 37, 50 itérations. Les volumes représentent respectivement 50%, 7%, 3% et finalement 1% du volume initial. Référence : « The Shape and topological optimizations connection Jean Céa, Stéphane Garreau, Philippe Guillaume, Mohamed Masmoudi ». December 7, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 188 (2000), no. 4,

51 Un week-end de Laurent Un texte, bien anodin, qui contient de nombreux mots derrière lesquels se cachent des mathématiques. Google : Jean CEA puis les menus « Ouvrages/Une vie de mathématicien/Les mathématiques sont partout »

52 MERCI

53 Météo Les principales fonctions qui permettent de décrire la situation de latmosphère sont : la pression, la vitesse du vent, la température, lhumidité… en chaque point et à chaque instant (x, y, z, t). Elles ne peuvent être calculées ou mesurées en tous les points de lespace, à tous les instants. On se limite donc à un maillage (spatial et temporel) pour se ramener à un nombre fini de points et dinstants. Le maillage spatial est constitué dune grille horizontale et dun certain nombre de niveaux verticaux entre le sol et 60 km daltitude. La distance horizontale entre deux points de grille correspond à la "maille" du modèle. Lespace est donc découpé en « boîtes » Informations extraites du site de Météo-France : _le_temps?page_id=14440

54 Simulation météo A laide de la mécanique des fluides et de la thermodynamique, on peut trouver les équations qui lient lévolution de ces différentes fonctions. Mais comme dans tout système dynamique, nous avons besoin des conditions initiales, c'est-à-dire la situation au temps t = 0. La recherche de ces conditions est un problème majeur à cause des incertitudes. Réduire la maille, la distance entre deux points, permet de mieux représenter latmosphère dans son ensemble et les phénomènes qui laffectent. Mais cela conduit à de gros calculs. La puissance de calcul nécessaire en météorologie est énorme.

55 La chaîne des 3 modèles de Météo-France Chaque modèle alimente le suivant! Arpège, un modèle à l'échelle du globe. Couverture de la planète, maille sur lHexagone de 15 km. Il permet de prévoir les phénomènes de grande échelle (dépressions, anticyclones) qui parcourent le globe. Prévisions à 3 jours sur les zones dintérêt pour la France. Aladin, un modèle régional. Couverture de lEurope de lOuest, maille de 10 km. Alimenté par les simulations dArpège, il permet de prévoir le temps sur la France jusquà 2 jours et demi déchéance. Meilleure précision. Arome, un modèle régional à maille fine. Couverture de la France, maille de 2,5 km. Il délivre des informations supplémentaires, "zoomées" sur lHexagone et bien plus détaillées, essentielles aux prévisionnistes pour anticiper et localiser les phénomènes météorologiques de petite échelle potentiellement dangereux. Arome fournit des prévisions détaillées au-dessus de lHexagone pour les échéances de 3 à 30 heures. Ainsi les prévisionnistes peuvent mieux prévoir certains phénomènes météorologiques locaux, complexes et dangereux.

56 Limites de la prévision Pourquoi ne fait-on pas des prévisions à plus longue échéance ? Le météorologue américain Edward N. Lorenz, dans un célèbre article de 1963, a montré que cétait probablement sans espoir. Latmosphère est un système chaotique, cest-à-dire que toute erreur sur létat météorologique initial, aussi petite soit-elle, samplifie rapidement au cours du temps ; si rapidement quune prévision à léchéance dune dizaine de jours perd toute sa pertinence. (Extrait de « Le temps quil fera » par Claude Basdevant) Henri Poincaré lavait déjà annoncé !

57 6h30 Petit déjeuner, tartines de beurre et confiture, thé bien chaud. 7h15 Laurent écoute la météo avec sa maman avant de partir au lycée. Il fait beau, il s'y rendra à pied, c'est de l'autre coté du pont. 12h00 Déjeuner rapide avec des copains : au préalable, retrait dargent dans un distributeur automatique. 13h30 Sur le chemin du retour à la maison, Laurent fait un détour par la grande avenue. Il remarque le nouveau pavage du trottoir, il a été totalement refait, cest magnifique ! Il passe devant la "Sécurité sociale", un vieux bâtiment totalement rénové. Le hall accueille une exposition sur des peintres contemporains locaux. En sortant, il est interviewé par un groupe détudiants de lIUT. Puis, il reçoit un SMS de son amie sur son téléphone mobile, cest inquiétant, elle lui demande de venir la chercher aux urgences de lHôpital central. Un week-end de Laurent ( samedi matin )

58 Un week-end de Laurent (après-midi) 14h30 Il arrive chez lui, laisse son sac à dos qui lui tient lieu de cartable et prend son scooter pour se rendre rapidement urgences. Mais avant de démarrer, pour se distraire car il est inquiet, il branche son Ipod. Il arrive aux urgences, trouve Marie avec un beau plâtre : fracture du poignet gauche, résultat dune chute accidentelle. Elle lui montre une radio et essaie de lui faire deviner où se trouve la fracture. 15h30 Il raccompagne Marie chez elle. Bisous… mais elle est pressée de raconter son aventure sur Facebook, même si elle ne peut se servir que d'une main. Ils regardent ce que disent les internautes sur Google au sujet des fractures. 17h30 Marie dispose dun piano électronique dont elle vient de changer le logiciel. Laurent se laisse aller à jouer quelques morceaux. 19h00 Laurent rentre chez lui, une odeur agréable vient de la cuisine, plus précisément de la cocotte minute, un excellent pot au feu est en préparation ! 20h00 En attendant de dîner, Laurent met un CD, il a bien remarqué quelques poussières dessus, mais le lecteur fonctionne quand même.

59 Un week-end de Laurent ( dimanche ) 7h30 Il fait beau, départ en voiture pour une journée de ski. 9h00 Arrivée à la station : achats de forfaits, puis montée dans un Télébenne. Toute la famille est pressée de chausser les skis. 9h30 Chacun dévale une pente en laissant de belles traces sur la neige fraîche. Dans le ciel bleu, des avions laissent eux-aussi de belles traces. 11h00 Sur le télésiège, Laurent demande à son père des explications sur ces traces des avions. Papa répond rapidement, mais comme il est plutôt « voileux », il préfère lui parler de la coupe de lAmérica et lui raconter comment les Australiens ont pu battre les Américains avec des voiles nouvelles. 13h00 Un stop pour déjeuner dans un restaurant qui offre un bel Hotspot, le Wifi y est excellent. Avec son iphone, Laurent se branche sur linternet, plus précisément sur Facebook pour revoir… le plâtre de Marie et surtout pour lire les commentaires des copains ! 17h00 Sur la route du retour, alors que papa connaît parfaitement litinéraire, Laurent samuse à brancher lappareil de navigation TomTom. A la fin dune longue ligne droite, la voiture aborde une courbe tout en douceur. 17h30 Sa mère demande à Laurent s'il a fini ses devoirs, il répond oui, mais ajoute-t-il, je dois encore revoir un texte qui semble dire que les mathématiques sont partout !

60 Des mots qui cachent des mathématiques « Un week-end de Laurent » est un texte, bien anodin, qui contient, entre autres, 26 mots derrière lesquels se cachent des mathématiques Thé bien chaud, Météo, Pont, Distributeur automatique, Pavage, Interview-Sondage, Sécurité sociale, Téléphone mobile, Scooter et vélomoteur, Ipod, Radiographie, Facebook, Google, Piano électrique, Cocotte minute, CD, Automobile, Skis, Avions, Télésiège, Voiles, Wifi, Internet, GPS et Tom tom, courbe. Google : Jean CEA


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