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Licence d’informatique Algorithmique des graphes

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Présentation au sujet: "Licence d’informatique Algorithmique des graphes"— Transcription de la présentation:

1 Licence d’informatique Algorithmique des graphes
Exploration de la descendance d’un sommet : numérotation conforme, énumération de chemins élémentaires, composantes fortement connexes. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l ’IFSIC dans le cadre de leur formation. Reproduction ou diffusion en dehors de l ’IFSIC strictement interdite sauf autorisation expresse de l’ auteur.

2 Propriétés d’une exploration en profondeur
Toute configuration de la pile est un chemin Démonstration : par induction sur les configurations de la pile. Corollaire : Soit z un sommet dans la pile. Alors : tout sommet empilé au-dessus de z est un descendant de z

3 Applications de l’exploration en profondeur
Recherche de numérotation conforme (ou de circuit) énumération de tous les chemins élémentaires * formulation récursive

4 Applications de l’exploration en profondeur
Recherche de numérotation conforme (ou de circuit) Un graphe possède une numérotation conforme si et seulement si il est sans circuit.

5 Recherche de numérotation conforme (ou de circuit)
Propriété de l’exploration en profondeur (issue de x) : Si G est sans circuit, alors Preuve : 2) Si z est empilé après y alors il sera dépilé avant y (propriétés de la pile) Si z a été empilé avant y : Or, tous les sommets empilés au-dessus d’un sommet z sont des descendants de z. Donc, y ne sera empilé qu’après que z soit sorti de la pile. C’est-à-dire : z est dépilé avant y

6 Recherche de numérotation conforme
j g m n i f e o d l k c h b

7 PILE e a d a f o a f e f a f e o a f e o i i a f e o i j b h a a f e o i j m g n j c k l m

8 PILE e d a a f o a f e f a f e o i a f e o i b h a a f e o i j
a f e o i j m g a f e o i j n j c k l m 15

9 PILE e d a a f o a f e f a f e o i a f e o i b h a a f e o i j
a f e o i j m g a f e o i j n a f e o i j 14 c k l m 15

10 PILE e d a a f o a f e f a f e o i a f e o i b h a a f e o i j g
13 a f e o i j g a f e o i j m a f e o i j n a f e o i j a f e o 14 c k l m 15

11 PILE e d a a f o a f e f a f e o i a f e o i b h a a f e o i j g
12 a f e f a f e o i a f e o i b h a 13 a f e o i j g a f e o i j m a f e o i j n a f e o i j a f e o 14 a f e c k l m 15

12 PILE e d a a f o a f e f a f e o i a f e o i b h a a f e o i j g
12 a f e f a f e o i a f e o i b h a 13 a f e o i j g a f e o i j m a f e o i j n a f e o i j a f e o 14 a f e c k a f e d l m 15

13 PILE e d a o a f a f e f a f e o i a f e o i b h a a f e o i j g
11 d a o a f 12 a f e f a f e o i a f e o i b h a 13 a f e o i j g a f e o i j m a f e o i j n j a f e o i 14 a f e o c a f e k l m a f e d 15 a f e

14 PILE e d a o a f a f e f a f e o i a f e o i b h a a f e o i j g
11 10 d a o a f 12 a f e f a f e o i a f e o i b h a 13 a f e o i j g a f e o i j m a f e o i j n j a f e o i 14 a f e o c k a f e l m a f e d 15 a f e a f

15 PILE e d a o a f f a f e a f e o i b h a f e o i a a f e o i j g
11 10 d a o a f 12 9 f a f e a f e o i b h a f e o i a 13 a f e o i j g a f e o i j m n a f e o i j j a f e o i 14 a f e o c k a f e l m a f e d 15 a f e a f a

16 PILE e d a o a f f a f e a f e o i b h a f e o i a a f e o i j g
11 10 d a o a f 12 9 f a f e a f e o i b h a f e o i a 13 a f e o i j g a f e o i j m n a f e o i j j 14 a f e o i c a f e o k l m a f e 15 a f e d a f e a f a a l a l b a l b c

17 PILE e d a o a f f a f e a f e o i b h a f e o i a a f e o i j g
11 10 d a o a f 12 9 f a f e a f e o i b h a f e o i a 13 a f e o i j g a f e o i j m n a f e o i j j a f e o i 14 a f e o c k l m a f e 8 15 a f e d a f e a f a a l a l b a l b c a l b

18 PILE e d a o a f f a f e a f e o i b h a f e o i a a f e o i j g
11 10 d a o a f 12 9 f a f e 7 a f e o i b h a f e o i a 13 a f e o i j g a f e o i j m n a f e o i j j a f e o i 14 a f e o c k l m a f e 8 a f e d 15 a f e a f a a l a l b a l b c a l b a l

19 PILE e d a o a f f a f e a f e o i b h a f e o i a a f e o i j g
11 10 d a o a f 12 9 f a f e 7 a f e o i b h a f e o i a 13 a f e o i j g a f e o i j m n a f e o i j j a f e o i 14 a f e o c k l m a f e 8 6 15 a f e d a f e a f a a l a l b a l b c a l b a l a

20  PILE e a d a f o a f e f a f e o i a f e o i b h a a f e o i j g
11 10 a d a f o a f e 12 9 f a f e o 7 i a f e o i 5 b h a a f e o i j 13 g a f e o i j m a f e o i j n j a f e o i 14 a f e o c k a f e l m 8 a f e d 6 15 a f e a f a a l a l b a l b c a l b a l a

21  PILE e a d a f o a f e f a f e o i a f e o i b h a a f e o i j g
11 10 a d a f o a f e 12 9 f a f e o 7 i a f e o i 5 b h a a f e o i j 13 g a f e o i j m a f e o i j n j a f e o i 14 a f e o c k a f e l m 8 a f e d 6 15 a f e a f g a g n a l a l b a l b c a l b a l a

22   PILE e a d a f o a f e f a f e o i a f e o i b h a a f e o i j g
11 10 a d a f o a f e 12 9 f a f e o 7 i a f e o i 5 b h a a f e o i j 13 3 g a f e o i j m a f e o i j n j a f e o i 4 14 a f e o c k a f e l m 8 a f e d 6 15 a f e a f g a a l g n a l b g a l b c a l b a l a

23    PILE e a d a f o a f e f a f e o i a f e o i b h a a f e o i j g
11 10 a d a f o a f e 12 9 f a f e o 7 i a f e o i 5 b h a a f e o i j 13 3 2 g a f e o i j m a f e o i j n j a f e o i 4 14 a f e o c k a f e l m 8 a f e d 6 15 a f e a f g a h a l g n a l b g a l b c a l b a l a

24     PILE e a d a f o a f e f a f e o i a f e o i b h a a f e o i j
11 10 a d a f o a f e 12 9 f a f e o 7 i a f e o i 5 b h a a f e o i j 13 3 2 g a f e o i j m a f e o i j n j a f e o i 4 14 a f e o c k a f e l m 8 1 a f e d 6 15 a f e a f g a h k a l g n a l b g a l b c a l b a l a

25 a j g m n i f e o d l k c h b 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 1 2

26 a j g m n i f e o d l k c h b 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 1 2

27 Stratégies gloutonnes et non gloutonnes
Calcul de la descendance d’un sommet donné : pas de remise en cause d’un sommet terminé Un tel sommet ne peut plus apporter d’informations nouvelles énumération des chemins issus d’un sommet x : remise en cause possible d’un sommet y terminé. Un tel sommet peut appartenir à plusieurs chemins. Si on le re-visite à partir d’un autre prédécesseur, un nouvel ensemble de chemins (vers ses descendants) est trouvé.

28 Stratégies gloutonnes et non gloutonnes
Descendance de y explorée : y terminé. y x u u’ On re-visite y en suivant un autre chemin u’ Il faut ré-empiler y car u’ engendre de nouveaux chemins avec la descendance de y énumération des chemins issus d’un sommet x : remise en cause possible d’un sommet y terminé. Un tel sommet peut appartenir à plusieurs chemins. Si on le re-visite à partir d’un autre prédécesseur, un nouvel ensemble de chemins (vers ses descendants) est trouvé.

29 Stratégies gloutonnes et non gloutonnes
calcul de la descendance d’un sommet donné : pas de remise en cause d’un sommet terminé. énumération des chemins issus d’un sommet x : remise en cause possible d’un sommet y terminé. STRATEGIE GLOUTONNE : on « avance » toujours STRATEGIE NON GLOUTONNE : on « recule » parfois

30 ENUMERATION DE TOUS LES CHEMINS ELEMENTAIRES issus du sommet 1
PILE 4 2 6 3 5 4 2 6 3 5 1 1 4 Les sommets 2, 3, 4, 5, 6 sont terminés 1 4 3 1 4 3 1 1 4 3 1 4 1 5 3 1 5 2 1 On poursuit l’exploration. 1 5 1 5 2 Idem: on réempile 2 1 5 Bien que 5 soit terminé, ON LE RÉEMPILE! 1 5 2 1 5 3 1 5 1 1 5 3

31 Composantes fortement connexes
But : structurer un graphe par rapport à ses possibilités de cheminement Plus précisément : regrouper des sommets communiquant mutuellement ; déterminer les relations de communication entre ces groupes de sommets.

32 Composantes fortement connexes
But : structurer un graphe par rapport à ses possibilités de cheminement q q f f j j n n b b r r a a g g k k u u o o c c s s h l l h v v d d p p i i e e t t m m

33 Composantes fortement connexes
Deux sommets sont dans une même composante ssi ils sont sur un même circuit q q f f j j n n b b r r a a g g k k u u Sommet seul dans sa composante : n’appartient à aucun circuit o o c c s s h l l h v v d d p p i i e e t t m m

34 Composantes fortement connexes
Réduction du graphe selon ses cfc : q q f f j j n n b b r r a a g g k k u u o o c c s s h l l h v v d d p p i i e e t t m m

35 Composantes fortement connexes
Réduction du graphe selon ses cfc : Cn q q f f j j n n b b r r Ck a a g g k k u u Cf Ca o o c c s s h l l h v v Ci d d p p Ce i i e e t t m m

36 Composantes fortement connexes
Réduction du graphe selon ses cfc : On obtient un graphe sans circuit Cn Ck Cf Ca Ci Ce

37 Composantes fortement connexes
Réduction du graphe selon ses cfc : On obtient un graphe sans circuit que l’on met en niveau Cf Cn Ck Ca Ce Ci

38 Composantes fortement connexes
Ce Cn Ck Cf Ca Ci b b a a g g f j r u v t c c n q h h k d d s l o p m i e

39 Composantes fortement connexes
Propriété : La relation binaire sur X définie par : est une relation d’équivalence. Ses classes d’équivalence sont les composantes fortement connexes

40 Composantes fortement connexes
Définition : le graphe réduit selon les composantes fortement connexes est le graphe Propriété : le graphe réduit est sans circuit. En effet, s’il avait un circuit Il y aurait un circuit traversant toutes ces composantes et donc elles seraient confondues.

41 Composantes fortement connexes
Le nombre de composantes fortement connexes d’un graphe à n sommets est au moins 1 et au plus n. Questions : 1) Quelle propriété vérifie un graphe ayant n c.f.c. ? 2) Quelle est la fermeture transitive d’un graphe ayant 1 c.f.c. ?

42 Algorithmes de calcul des c.f.c.
Ascendants descendants Observation : x et y sont dans la même c.f.c.  y est ascendant et descendant de x Principe des algorithmes  Il existe kn tel que tout sommet de numéro k est classé  Deux sommets classés dans la même classe appartiennent à la même c.f.c. Invariant :  tout sommet est classé ou non classé

43 Algorithmes de calcul des c.f.c.
Invariant : tout sommet est classé ou non classé  Il existe kn tel que tout sommet de numéro k est classé  Deux sommets classés dans la même classe appartiennent à la même c.f.c. Arrêt : tous les sommets sont classés Init : aucun sommet n’est classé Progression : soit x le premier sommet non classé ; calculer A= ensemble des ascendants de x D= ensemble des descendants de x dans le sous-graphe engendré par les sommets non classés Classer dans x.cfc les sommets de A  D

44 Algorithmes de calcul des c.f.c.
Si y est déjà classé z ne peut pas être dans la même classe que x Et donc x et y seraient aussi dans la même classe x y z Sinon on aurait un chemin de z à x Progression : soit x le premier sommet non classé ; calculer A= ensemble des ascendants de x D= ensemble des descendants de x dans le sous-graphe engendré par les sommets non classés Classer dans x.cfc les sommets de A  D


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