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1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Exploration de la descendance dun sommet : numérotation conforme, énumération de chemins élémentaires,

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Présentation au sujet: "1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Exploration de la descendance dun sommet : numérotation conforme, énumération de chemins élémentaires,"— Transcription de la présentation:

1 1 Licence dinformatique Algorithmique des graphes Exploration de la descendance dun sommet : numérotation conforme, énumération de chemins élémentaires, composantes fortement connexes. Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l IFSIC dans le cadre de leur formation. Reproduction ou diffusion en dehors de l IFSIC strictement interdite sauf autorisation expresse de l auteur.

2 2 Toute configuration de la pile est un chemin Propriétés dune exploration en profondeur Démonstration : par induction sur les configurations de la pile. Corollaire : Soit z un sommet dans la pile. Alors : tout sommet empilé au-dessus de z est un descendant de z

3 3 Applications de lexploration en profondeur Recherche de numérotation conforme (ou de circuit) énumération de tous les chemins élémentaires * formulation récursive

4 4 Applications de lexploration en profondeur Recherche de numérotation conforme (ou de circuit) Un graphe possède une numérotation conforme si et seulement si il est sans circuit.

5 5 Recherche de numérotation conforme (ou de circuit) Recherche de numérotation conforme (ou de circuit) Propriété de lexploration en profondeur (issue de x) : Preuve : 2) Si z est empilé après y alors il sera dépilé avant y (propriétés de la pile) Si z a été empilé avant y : Or, tous les sommets empilés au-dessus dun sommet z sont des descendants de z. Donc, y ne sera empilé quaprès que z soit sorti de la pile. Cest-à-dire : z est dépilé avant y Si G est sans circuit, alors

6 6 Recherche de numérotation conforme a j g m n i f e o d l k c hb

7 7 a j g m n i f e o d l k c hb PILE a f a f e a f e o a f e o i a f e o i j a f e o i j m a

8 8 a j g m n i f e o d l k c hb a f a f e a f e o a f e o i a f e o i j a f e o i j m a f e o i j 15 a

9 9 a j g m n i f e o d l k c hb PILE a f a f e a f e o a f e o i a f e o i j a f e o i j m a f e o i j 15 a f e o i 14 a

10 10 a j g m n i f e o d l k c hb PILE a a f a f e a f e o a f e o i a f e o i j a f e o i j m a f e o i j 15 a f e o i 14 a f e o 13

11 11 a j g m n i f e o d l k c hb PILE a a f a f e a f e o a f e o i a f e o i j a f e o i j m a f e o i j 15 a f e o i 14 a f e o a f e

12 a j g m n i f e o d l k c hb PILE a a f a f e a f e o a f e o i a f e o i j a f e o i j m a f e o i j 15 a f e o i 14 a f e o a f e a f e d

13 13 a j g m n i f e o d l k c hb PILE a a f a f e a f e o a f e o i a f e o i j a f e o i j m a f e o i j 15 a f e o i 14 a f e o a f e a f e d 11 a f e

14 14 a j g m n i f e o d l k c hb PILE a a f a f e a f e o a f e o i a f e o i j a f e o i j m a f e o i j 15 a f e o i 14 a f e o a f e a f e d 11 a f e 10 a f

15 15 a j g m n i f e o d l k c hb PILE a a f a f e a f e o a f e o i a f e o i j a f e o i j m a f e o i j 15 a f e o i 14 a f e o a f e a f e d 11 a f e 10 a f 9 a

16 16 a j g m n i f e o d l k c hb PILE a a f a f e a f e o a f e o i a f e o i j a f e o i j m a f e o i j 15 a f e o i 14 a f e o a f e a f e d 11 a f e 10 a f 9 a a l a l b a l b c

17 17 a j g m n i f e o d l k c hb PILE a a f a f e a f e o a f e o i a f e o i j a f e o i j m a f e o i j 15 a f e o i 14 a f e o a f e a f e d 11 a f e 10 a f 9 a 8 a l a l b a l b c a l b

18 18 a j g m n i f e o d l k c hb PILE a a f a f e a f e o a f e o i a f e o i j a f e o i j m a f e o i j 15 a f e o i 14 a f e o a f e a f e d 11 a f e 10 a f 9 a 8 a l a l b a l b c a l b 7 a l

19 19 a j g m n i f e o d l k c hb PILE a f a f e a f e o a f e o i a f e o i j a f e o i j m a f e o i j 15 a f e o i 14 a f e o a f e a f e d 11 a f e 10 a f 9 a 8 a l a l b a l b c a l b 7 a l 6 a a

20 20 a j g m n i f e o d l k c hb PILE a a f a f e a f e o a f e o i a f e o i j a f e o i j m a f e o i j 15 a f e o i 14 a f e o a f e a f e d 11 a f e 10 a f 9 a 8 a l a l b a l b c a l b 7 a l 6 a 5

21 21 a j g m n i f e o d l k c hb PILE a a f a f e a f e o a f e o i a f e o i j a f e o i j m a f e o i j 15 a f e o i 14 a f e o a f e a f e d 11 a f e 10 a f 9 a 8 a l a l b a l b c a l b 7 a l 6 a 5 g g n

22 22 a j g m n i f e o d l k c hb PILE a a f a f e a f e o a f e o i a f e o i j a f e o i j m a f e o i j 15 a f e o i 14 a f e o a f e a f e d 11 a f e 10 a f 9 a 8 a l a l b a l b c a l b 7 a l 6 a 5 g g n 4 g 3

23 23 a j g m n i f e o d l k c hb PILE a a f a f e a f e o a f e o i a f e o i j a f e o i j m a f e o i j 15 a f e o i 14 a f e o a f e a f e d 11 a f e 10 a f 9 a 8 a l a l b a l b c a l b 7 a l 6 a 5 g g n 4 g 3 h 2

24 24 a j g m n i f e o d l k c hb PILE a a f a f e a f e o a f e o i a f e o i j a f e o i j m a f e o i j 15 a f e o i 14 a f e o a f e a f e d 11 a f e 10 a f 9 a 8 a l a l b a l b c a l b 7 a l 6 a 5 g g n 4 g 3 h 2 k 1

25 25 a j g m n i f e o d l k c hb

26 26 a j g m n i f e o d l k c hb

27 27 Stratégies gloutonnes et non gloutonnes Calcul de la descendance dun sommet donné : pas de remise en cause dun sommet terminé. Un tel sommet ne peut plus apporter dinformations nouvelles énumération des chemins issus dun sommet x : remise en cause possible dun sommet y terminé. Un tel sommet peut appartenir à plusieurs chemins. Si on le re-visite à partir dun autre prédécesseur, un nouvel ensemble de chemins (vers ses descendants) est trouvé.

28 28 Stratégies gloutonnes et non gloutonnes énumération des chemins issus dun sommet x : remise en cause possible dun sommet y terminé. Un tel sommet peut appartenir à plusieurs chemins. Si on le re-visite à partir dun autre prédécesseur, un nouvel ensemble de chemins (vers ses descendants) est trouvé. Descendance de y explorée : y terminé. On re-visite y en suivant un autre chemin u yx u Il faut ré-empiler y car u engendre de nouveaux chemins avec la descendance de y u

29 29 Stratégies gloutonnes et non gloutonnes calcul de la descendance dun sommet donné : pas de remise en cause dun sommet terminé. énumération des chemins issus dun sommet x : remise en cause possible dun sommet y terminé. STRATEGIE GLOUTONNE : on « avance » toujours STRATEGIE NON GLOUTONNE : on « recule » parfois

30 30 ENUMERATION DE TOUS LES CHEMINS ELEMENTAIRES issus du sommet PILE Les sommets 2, 3, 4, 5, 6 sont terminés On poursuit lexploration. 1 5 Bien que 5 soit terminé, ON LE RÉEMPILE! Idem: on réempile

31 31 Composantes fortement connexes But : structurer un graphe par rapport à ses possibilités de cheminement Plus précisément : regrouper des sommets communiquant mutuellement ; déterminer les relations de communication entre ces groupes de sommets.

32 32 Composantes fortement connexes But : structurer un graphe par rapport à ses possibilités de cheminement a b c h g f j k l n r o p s q u v t m i e d a b h g d c f j r s u v t l o p m i n q k e

33 33 Composantes fortement connexes a b c h g f j k l n r o p s q u v t m i e d a b h g d c f j r s u v t l o p m i n q k e Deux sommets sont dans une même composante ssi ils sont sur un même circuit Sommet seul dans sa composante : nappartient à aucun circuit

34 34 Composantes fortement connexes a b c h g f j k l n r o p s q u v t m i e d a b h g d c f j r s u v t l o p m i n q k e Réduction du graphe selon ses cfc :

35 35 Composantes fortement connexes a b c h g f j k l n r o p s q u v t m i e d a b h g d c f j r s u v t l o p m i n q k e Réduction du graphe selon ses cfc : Ca Ce Ci Cf Cn Ck

36 36 Ck Ce Ca Composantes fortement connexes Réduction du graphe selon ses cfc : Ci Cf Cn On obtient un graphe sans circuit

37 37 Ck Ce Ca Composantes fortement connexes Réduction du graphe selon ses cfc : Ci Cf Cn On obtient un graphe sans circuit que lon met en niveau

38 38 Composantes fortement connexes a b c h g d a b h g d c f j r u v t n q n q l o p m i l o p m i k k e e s Ce Cn Ck Cf Ca Ci

39 39 Composantes fortement connexes Propriété : La relation binaire sur X définie par : est une relation déquivalence. Ses classes déquivalence sont les composantes fortement connexes

40 40 Composantes fortement connexes Définition : le graphe réduit selon les composantes fortement connexes est le graphe Propriété : le graphe réduit est sans circuit. En effet, sil avait un circuit Il y aurait un circuit traversant toutes ces composantes et donc elles seraient confondues.

41 41 Composantes fortement connexes Le nombre de composantes fortement connexes dun graphe à n sommets est au moins 1 et au plus n. Questions : 1) Quelle propriété vérifie un graphe ayant n c.f.c. ? 2) Quelle est la fermeture transitive dun graphe ayant 1 c.f.c. ?

42 42 Algorithmes de calcul des c.f.c. Ascendants descendants Observation : x et y sont dans la même c.f.c. y est ascendant et descendant de x Principe des algorithmes Il existe k n tel que tout sommet de numéro k est classé Deux sommets classés dans la même classe appartiennent à la même c.f.c. Invariant : tout sommet est classé ou non classé

43 43 Invariant : tout sommet est classé ou non classé Il existe k n tel que tout sommet de numéro k est classé Algorithmes de calcul des c.f.c. Deux sommets classés dans la même classe appartiennent à la même c.f.c. Arrêt : tous les sommets sont classés Init : aucun sommet nest classé Progression : soit x le premier sommet non classé ; calculer A= ensemble des ascendants de x D= ensemble des descendants de x dans le sous-graphe engendré par les sommets non classés Classer dans x.cfc les sommets de A D

44 44 Et donc x et y seraient aussi dans la même classe Algorithmes de calcul des c.f.c. Progression : soit x le premier sommet non classé ; calculer A= ensemble des ascendants de x D= ensemble des descendants de x dans le sous-graphe engendré par les sommets non classés Classer dans x.cfc les sommets de A D x y Si y est déjà classé z ne peut pas être dans la même classe que x Sinon on aurait un chemin de z à x z


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