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Limites dune fonction 1)Introduction 2)Limites dune fonction en linfini a)Limite finie b)Asymptote horizontale c)Limite infinie d)Asymptote oblique 3)Limites.

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2 Limites dune fonction 1)Introduction 2)Limites dune fonction en linfini a)Limite finie b)Asymptote horizontale c)Limite infinie d)Asymptote oblique 3)Limites dune fonction en un réel a)Limite finie b)Limite infinie c)Asymptote verticale 4)Limites et ordre 5)Opérations sur les limites a)Addition, produit, quotient b)Composée de fonction 6)Lever une indétermination Emilien Suquet Chapitre 1 : limites dune fonction

3 xf(x)=1/x -2-0,5 -0,5-2 -0,4-2,5 -0,2-5 -0, , , , ,42,5 0,25 0,110 0,0520 0, nu n+1 = 2u n - n I Introduction Programmes de 1ère S : limites de suites On sintéresse au comportement des valeurs dune suite u n lorsque n prend de très grandes valeurs. Programmes de Terminale S : limites de fonctions On sintéresse au comportement de f(x) lorsque x prend : Des valeurs de plus en plus grandes Des valeurs de plus en plus petites Des valeurs de plus en plus proches dun réel On sintéresse au comportement de f(x) lorsque x prend : Des valeurs de plus en plus grandes Des valeurs de plus en plus petites Des valeurs de plus en plus proches dun réel On peut aussi conjecturer ces limites graphiquement à laide doutil informatique … Emilien Suquet Chapitre 1 : limites dune fonction

4 1/x x3x3 x2x2 4/(x 2 +1) -cos(x) 4/x 2 I Introduction A laide de loutil graphique de la calculatrice ou dun logiciel 2x+2 Emilien Suquet Chapitre 1 : limites dune fonction

5 I Introduction Emilien Suquet Chapitre 1 : limites dune fonction

6 II Limite dune fonction en linfini a)Limite finie b)Asymptote horizontale c)Limite infinie d)Asymptote oblique a)Limite finie b)Asymptote horizontale c)Limite infinie d)Asymptote oblique Définition : limite finie en linfini On dit que la fonction f a pour limite b IR quand x tend vers + (respectivement vers -) si et seulement si tout intervalle ouvert I contenant b, contient aussi toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand (respectivement assez petit) Notations Emilien Suquet Chapitre 1 : limites dune fonction Limites de la fonction inverse. Limites de la fonction inverse.

7 II Limite dune fonction en linfini a)Limite finie b)Asymptote horizontale c)Limite infinie d)Asymptote oblique a)Limite finie b)Asymptote horizontale c)Limite infinie d)Asymptote oblique 11 p p p p p p p p 58 Emilien Suquet Chapitre 1 : limites dune fonction Limite de x/(1+x) en + Limite de x/(1+x) en +

8 Définition II Limite dune fonction en linfini a)Limite finie b)Asymptote horizontale c)Limite infinie d)Asymptote oblique a)Limite finie b)Asymptote horizontale c)Limite infinie d)Asymptote oblique Emilien Suquet Chapitre 1 : limites dune fonction Remarques : On doit préciser où une droite est asymptote à la courbe Une asymptote nest pas forcement au dessous ou au dessus de la courbe (elle peut « bouger » autour) Ne pas dire « droite asymptote à la fonction » Pour étudier la position relative de la courbe par rapport à son asymptote, on étudie le signe de f(x)-b

9 Définition On dit que la fonction f a pour limite + quand x tend vers + (respectivement -) si et seulement si tout intervalle ouvert ]A; +[ contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand (respectivement assez petit) Notation Définition équivalente On dit que la fonction f a pour limite + quand x tend vers + (respectivement -) si et seulement si pour tout réel A il existe un réel M tel que pour tout x>M on a f(x)>A (respectivement pour tout x A) II Limite dune fonction en linfini a)Limite finie b)Asymptote horizontale c)Limite infinie d)Asymptote oblique a)Limite finie b)Asymptote horizontale c)Limite infinie d)Asymptote oblique Emilien Suquet Chapitre 1 : limites dune fonction Limites des fonctions carrée et racine. Limites des fonctions carrée et racine.

10 II Limite dune fonction en linfini a)Limite finie b)Asymptote horizontale c)Limite infinie d)Asymptote oblique a)Limite finie b)Asymptote horizontale c)Limite infinie d)Asymptote oblique Emilien Suquet Chapitre 1 : limites dune fonction 14 p p p p 59

11 Définition On dit que la fonction f a pour limite - quand x tend vers + (respectivement -) si et seulement si tout intervalle ouvert ]-;A[ contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand (respectivement assez petit) Définition équivalente On dit que la fonction f a pour limite - quand x tend vers + (respectivement -) si et seulement si pour tout réel A il existe un réel M tel que pour tout x>M on a f(x)

12 II Limite dune fonction en linfini a)Limite finie b)Asymptote horizontale c)Limite infinie d)Asymptote oblique a)Limite finie b)Asymptote horizontale c)Limite infinie d)Asymptote oblique Emilien Suquet Chapitre 1 : limites dune fonction Rappel : pour être asymptote à une courbe, une droite ne doit pas forcement se situer soit au dessus soit au dessous de la courbe. La droite bleue est donc bien asymptote à la courbe bleue. Définition : asymptote oblique Définition : asymptote oblique Soit a et b deux réels avec a non nul. C f est la courbe représentative de f On dit que la droite (d) déquation y = a x + b est une asymptote oblique à C f en + si et seulement si en - si et seulement si Soit a et b deux réels avec a non nul. C f est la courbe représentative de f On dit que la droite (d) déquation y = a x + b est une asymptote oblique à C f en + si et seulement si en - si et seulement si [ ] 26 p 59

13 III Limite dune fonction en un réel Sintéresser à la limite dune fonction en un réel a, cest se demander comment se comportent les valeurs f(x) lorsque x se rapproche de plus en plus près de a. Sintéresser à la limite dune fonction en un réel a, cest se demander comment se comportent les valeurs f(x) lorsque x se rapproche de plus en plus près de a. Notation a)Définition intuitive b)Asymptote verticale a)Définition intuitive b)Asymptote verticale Emilien Suquet Chapitre 1 : limites dune fonction 27 p 58 Lire avant 2p51 27 p 58 Lire avant 2p51 Plus x se rapproche de a plus f(x) se rapproche de L. Plus x se rapproche de a plus f(x) prend de très grandes valeurs. Plus x se rapproche de a avec x

14 Théorème : fonctions usuelles définies en a (admis) Théorème : fonctions usuelles définies en a (admis) III Limite dune fonction en un réel a)Définition intuitive b)Asymptote verticale a)Définition intuitive b)Asymptote verticale Emilien Suquet Chapitre 1 : limites dune fonction

15 Asymptote verticale Lorsquune fonction f admet une limite infinie à gauche et à droite en a, on dit que la droite déquation x = a est une asymptote verticale à C f III Limite dune fonction en un réel a)Définition intuitive b)Asymptote verticale a)Définition intuitive b)Asymptote verticale Emilien Suquet Chapitre 1 : limites dune fonction 15 p p p p p p 60

16 I V Limites et ordre Emilien Suquet Chapitre 1 : limites dune fonction 36 Théorème des gendarmes Théorème de comparaison 1 Théorème de comparaison 2 Dans cette partie, a désigne soit un réel, soit +, soit -

17 V Opérations sur les limites Ces tableaux ne peuvent être appris par cœur ! Ils doivent pouvoir être retrouvés. F.I : forme indéterminée a)Somme, produit, quotient b)Composée a)Somme, produit, quotient b)Composée Emilien Suquet Chapitre 1 : limites dune fonction

18 On constate au final que les formes indéterminées sont de la forme : V Opérations sur les limites a)Somme, produit, quotient b)Composée a)Somme, produit, quotient b)Composée Emilien Suquet Chapitre 1 : limites dune fonction 40 p61 40 p61

19 Limite à linfini dune fonction polynôme Emilien Suquet Chapitre 1 : limites dune fonction Limite à linfini dune fonction rationnelle V Opérations sur les limites a)Somme, produit, quotient b)Composée a)Somme, produit, quotient b)Composée

20 V Opérations sur les limites a)Somme, produit, quotient b)Composée a)Somme, produit, quotient b)Composée Emilien Suquet Chapitre 1 : limites dune fonction Composée f est une fonction définie sur un intervalle I. g est une fonction définie sur un intervalle J tel que J f(I). a I ou a est une borne de I. f est une fonction définie sur un intervalle I. g est une fonction définie sur un intervalle J tel que J f(I). a I ou a est une borne de I. 43 a) p61 43 a) p61

21 VI Lever une indétermination Que peut-on essayer de faire pour lever une indétermination ? Transformer lécriture de la fonction : Utiliser les théorèmes de croissances comparées 42b p 62 42b p 62 57b p 62 57b p 62 F. c p53 F. c p53 Développement Factorisation Identité conjugué … Emilien Suquet Chapitre 1 : limites dune fonction Limite dune fonction rationnelle en un point Limite dune fonction rationnelle en un point Utiliser les théorèmes des limites de polynôme et de fonctions rationnelles. Utiliser le nombre dérivé (voir cours de 1 ère S)

22 Emilien Suquet Chapitre 1 : limites dune fonction


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