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Prof. Belkacem OULD BOUAMAMA Responsable de léquipe MOCIS Méthodes et Outils pour la conception Intégrée des Systèmes

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Présentation au sujet: "Prof. Belkacem OULD BOUAMAMA Responsable de léquipe MOCIS Méthodes et Outils pour la conception Intégrée des Systèmes"— Transcription de la présentation:

1 Prof. Belkacem OULD BOUAMAMA Responsable de léquipe MOCIS Méthodes et Outils pour la conception Intégrée des Systèmes Laboratoire d'Automatique, Génie Informatique et Signal (LAGIS - UMR CNRS 8219 et Directeur de la recherche à École Polytechnique de Lille (Poltech lille) mèl : Tel: (33) (0) , mobile : (33) (0) Ce cours est dispensé aux élèves de niveau Master 2 HSQE (Hygiène Sécurité et Qualité de lEnvironnement Toutes vos remarques pour lamélioration de ce cours sont les bienvenues. OPTIMISATION et SIMULATION des PROCESSUS

2 2 PRESENTATION Du COURS

3 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap1 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.1 / 3 F Chapitre 1: INTRODUCTION Définitions & but de la simulation et de l'optimisation de processus Importance et rôle de l'optimisation dans la protection de l'environnement Etapes de résolution d'un problème d'optimisation d'un processus

4 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap1 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.1 / 4 Chap 2 F TRAITEMENT DE DONNEES EXPERIMENTALES D'UN PROCESSUS Méthodes statistiques de modélisation : Définitions & but Modèles de régression Principe des méthodes des moindres carrés (MMC) Régression linéaire multiple Adéquation des modèles et signification des coefficients Vérification des hypothèses de régression Méthodes de corrélation Exemple d'application Estimation récursive MMC avec facteur de pondération Méthode des MC avec fenêtre glissante Exemple d'application

5 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap1 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.1 / 5 F Chap3: OPTIMISATION DES PROCESSUS TECHNOLOGIQUES Problématique de l'optimisation des processus technologiques Méthodes analytiques d'optimisation Programmation linéaire F APPLICTION : TD de 4h : utilisation du logiciel Matlab pour la simulation d'un problème d'optimisation d'un processus chimique en vue de minimiser le taux de pollution

6 6 CHAP1CHAP1 INTRODUCTION

7 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap1 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.1 / 7 Chap1 : Introduction F Définitions & but de la simulation et de l'optimisation de processus F Importance et rôle de l'optimisation dans la protection de l'environnement F Etapes de résolution d'un problème d'optimisation d'un processus

8 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap1 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.1 / 8 Importance & objectifs des modèles statistiques F Caractère stochastique de la majorité des phénomènes; " L'intelligence des statistiques sera un jour une compétence aussi indispensable à l'exercice de la citoyenneté que la lecture ou l'écriture". (H.G.Wells). F Objectifs Fournir des lois, de nature "statistique", là où il n'est pas possible d'en fournir qui soient de nature certaine ou déterministe. F Applications Sondage, prévision, contrôle des processus indust. Lois empiriques

9 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap1 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.1 / 9 Modélisation ? F Définitions Modélisation ? : Ensemble des procédures permettant dobtenir un modèle Modéliser un système = capable de prédire le comportement du système Subjectivisme de la modélisation : modèle = intersection du système et du modélisateur Modèle jamais "exact"? F Importance Outil d'aide à la décision., Support de la simulation, Représente 50 % dun projet de commande Perspectives grâce à l'informatisation F Un modèle pourquoi faire ? Concevoir, Comprendre, Prévoir, Commander (décider).

10 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap1 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.1 / 10 Un modèle comment faire ? F 1. MODELE DE CONNAISSANCE Obtenu sur la base des lois physiques, économiques etc.. Difficultés de décrire fidèlement les phénomènes complexes; Hypothèses simplificatrices; Dilemme- précision-simplicité Un modèle simple est faux, un modèle compliqué est inutilisable. Les paramètres ont un sens physique donc modèle commode pour l'analyse. F 2. MODELE DE REPRESENTATION Système "boite noire"; Expérience active (système dérangé) ou passive (aléatoire); Etape qualitative (connaissances a priori) et quantitative; Paramètres du modèle n'ont aucun sens physique; Modèle de conduite (modèle E/S) utile pour la commande; Complément du modèle de représentation.

11 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap1 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.1 / 11 Classification des modèles F selon le caractère des régimes de fonctionnement statique et dynamique F selon la description mathématique linéaire, non linéaire F selon les propriétés dynamiques à paramètres localisés, à paramètres distribués F selon lévolution des paramètres : stochastique, déterministe F selon le nombre de variables : monovariable (SISO), multivariable (MIMO)

12 Chap.1 / 12 Étapes de modélisation

13 Chap2/13 Chapitre 2 METHODES STATISTIQUES

14 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2 / 14 Méthodes des MMC F Principe de la MMC LST La MMC est introduite par Karl Gauss en 1809 en cherchant à prévoir le Mvt. des planètes à partir des observations par télescopique SYSTEME Ys(i) Entrées Ym(i) x(i) + - MODELE Critère didentification (i) D( (i))

15 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2 / 15 EXEMPLE : REGRESSION LINEAIRE Expérimentation N : Nbre. d'observations (d'échantillons de mesures); J = 1,2..K : Paramètre du modèle; i = 1,2...N : Numéro d'expériences; Modèle statique : Ym = F(X 1,X 2,.....X k ) Modèle Structure du modèle PROCEDE TECHNOLOGIQUE x1x1 XKXK y1y1

16 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2 / 16 Matrice dexpérience H No Exp. I N P U TOUTPUT 1X 11 X 21 X X j X K1 Y 1 2X 12 X 22 X X j2 X K2 Y 2 3X 13 X 23 X X j3 Y iX 1i X 2i X 3i X ji X Kj Y j NX 1N X 2N X 3N X jN X KN Y N

17 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2 / 17 Problématique générale F Soit donné : F Que veut on ? : Trouver : Tel que :

18 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2 / cas monovariable F K=1, Ym=a 0 +a 1 x F Combien dexpériences à réaliser ? 1. N=2 : Par deux points ne passent quune droite : E 1 =Y-Ym 1 =Y-Ym 2 =E 2 =0.? Le modèle reflète parfaitement le système ? Cas idéal irréalisable en pratique : Présence d'erreurs de mesure (Systématique, instrumentale, humaine etc.) yex XX(i) ym(i) Yex(i) E(i) ym Champ de corrélation

19 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2 / cas monovariable F 2. N > 2 : trouver la meilleure droite au sens des MMC Déterminer les paramètres a 0 et a 1 tel que : Ceci revient à résoudre le système déquations:

20 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2 / cas multivariable F K>1, Structure du modèle F Calcul des paramètres Processus aléatoire : la sortie est affectée d'un bruit V(t) : Réalisation de N expériences

21 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2 / 21 F 1. Système non bruité V=0 Cas déterministe, si H est inversible, alors : Cas non réaliste F 2. Système bruité V#0

22 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2 / 22 Estimation des paramètres F 2 types derreurs : Erreurs d'observation : Erreurs destimation : F Estimateur optimal Critère doptimalité Conditions d'optimalité Conditions d'observabilité : H T non singuliére et N > K

23 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2 / 23 Biais de l'estimateur F Biais de lestimateur b b=0 : Estimateur non biaisé ( pas d'erreur d'estimation); Densité de probabilité centrée sur la valeur cherchée b # 0 : Estimateur non biaisé ( pas d'erreur d'estimation); Densité de probabilité centrée sur la valeur cherchée V et H séquences corrélées ( hypothèses de régression); V est de moyenne non nulle

24 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2 / 24 Simulation sur Matlab home disp('EXEMPLE DE CALCUL D UN MODELE DE REGRESSION') % VALEURS EXPERIMENTALES pause,home x=[1 2 3]; y_exp=[2 4 6]; pause;home disp('CHOISIR L ORDRE n DU MODELE') pause,home input n= n=ans; poly_model=polyfit(x,y_exp,n)%c'est pour trouver l'ordre du polyn^ome disp('VERIFICATION DU MODELE : ERREUR DE MODELISATION') pause,home Y_model=polyval(poly_model,x);%calcul les valeurs du modèle E=abs([y_exp' Y_model' (y_exp'-Y_model')]); ERREUR_MAX=max(E(:,3)) pause home disp('GRAPHE') pause,home plot(x,y_exp,'*',x,Y_model,'--');grid;title('VERIFICATION DU MODELE');legend('--:model, *:exp') pause;home;close disp('SI L ERREUR N EST PAS BONNE CHANGER L ORDRE n') F 1. Cas monovariable

25 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2 / 25 Simulation sur Matlab 2. Cas multivariable disp('INTRODUCTION DES DONNES EXPERIMENTALES:') pause, home disp(' 1. MATRICE D EXPERIENCES H:') disp(' NOUS AVONS 7 EXPERIENCES ET DEUX VARIABLES X1 et X2') H= [1 3;4 2;1 5;2 1;3 4;4 5;6 8] pause,home disp('2. VARIABLE DE SORTIE Y:') y=[ ]' pause,home disp('SOLUTION : PARAMETRES ESTIMES:') teta=inv(H'*H)*H'*y; a1=teta(1) a2=teta(2) pause,home disp(' LE MODELE EST DONC; Ym=a1*X1+a2*X2') pause,home disp('VERIFICATION DU MODELE') pause,home disp('VALEURS DU MODELE') ym=polyval([a1 0],H(:,1))+polyval([a2 0],H(:,2)) %ym=a1*X1+a2*X2 pause,home disp('CALCUL DE L ERREUR DE MODELISATION') pause R=[ym,y,abs((ym-y)./y)*100] disp('ERREUR MAXIMALE') Emax=max(R(:,3)) pause,home disp('GRAPHE 3D') plot3(y,H(:,1),H(:,2),ym,H(:,1),H(:,2));grid;Xlabel('X1,X2'); Ylabel ('Modéle, Expérimentale');

26 Chap2/26 METHODES RECURSSIVES

27 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2 / 27 F Limites de la MMC simple F Principe de la RLST Alors l'estimateur, tenant compte des (N+1) observations sera :

28 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2 / 28 F Le stimateur de la nouvelle mesure F Le gain dadaptation ou facteur de pondération de la mise à jour apportée par la nouvelle mesure

29 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2 / 29

30 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2 / 30 INITIALISATION DE L'ALGORITHME F P(0) = diag(1000); 0)=0. F PROBLEME DE DECROISSANCE DU GAIN F Inconvénient de la RLST

31 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2 / 31 MMC AVEC FENETRE GLISSANTE F PRINCIPE : Tronquer les observations à travers une FENETRE de largeur N constante que l'on "glisse" au fur et à mesure que les échantillons arrivent

32 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2 / 32 F Estimateur optimal La formule met en évidence la contribution dans la nouvelle estimée de l'enrichissement dû à l'observation à l'instant K+1 d'une part et de la contribution de la K-N iéme observation qui doit être retranchée d'autre part de l'estimation précédente. F Limite de la méthode

33 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2 / 33 MMC AVEC FACTEUR DE PONDERATION F Princiope CRITERE CLASSIQUE PONDERATION HOMOGENES DES Ei Pondération des erreurs

34 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2 / 34 F Choix de la pondération On recommande progression géométrique < 1 : Favorise les premières mesures (Facteur d'oubli); > 1 : Favorise les dernières mesures par rapport aux premières F Critère doptimalité

35 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2 / 35 F RLST AVEC FACTEUR DE PONDERATION

36 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2 / 36 MODELES LINEARISABLES F Modèle exponentiel Utilisé lorsque le taux les données sont telles que le taux de croissance ou de décroissance d'une variable Z est constante en f-n de X. Exemple Les données suivantes représentent la croissance du biologiste, mois par mois, d'une grandeur caractéristique d'un certain type de plante

37 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2 / 37 F Données Connaissances à priori on postule un modéle exponentiel entre l'age et taille Par la MMC on trouve : MoisX TailleZ a 1 = a 0 =

38 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2 / 38 F Modèle puissance F Modèle polynomial 1. modèle parabolique

39 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2 / Modèle polynomial général F Calcul des paramètres du modèle

40 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2 / 40

41 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2 / 41 ADEQUATION DU MODELE F Définition Procédé de vérification sur la base des échantillons, la validité d'une hypothèse et décider soit de rejeter, soit d'accepter hypothèse envisagé

42 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2 / 42 CARACTERISTIQUES STATISTIQUESDU MODELE F Somme des carrés totale (dispersion des données exp Ye(i) autour de la valeur moyenne ) F Dispersion des données expérimentales autour de la ligne de régression (Somme des carrés résiduels)

43 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2 / 43 F Dispersion des valeurs du modèle autour de la valeur moyenne expérimentale F Degré de liberté : = N-K Caractérise l'excès du nbre d'expériences Exemple

44 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2 / 44 VERIFICATION DE L'ADEQUATION DU MODELE

45 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2 / VÉRIFICATION DE LHOMOGÉNÉITÉ F Principe : critère de Cochrane (Test de 2 ) La moyenne d'un échantillon est susceptible de varier de façon substantielle d'un échantillon à un autre : Ce test permet d'expliquer la signification à donner à cette différence : La vérification en deux étapes : 1.Variance de sondage ou de reproductibilité (Test de 2 ) : Pour chaque expérience on calcule : 2. Somme des dispersions M : Nbre d'essais parallèles, N : Nbre d'expériences M-1 : degré de liberté =

46 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2 / Critère calculé de Khi2 4. On vérifie lhomogénéité Variances homogènes avec une probabilité P ssi : Sinon (variances non homogènes) alors on refait les expériences Loi de Khi2 (exemple) Probabilité M-1= 0.001… …13.8 ….… …54.1

47 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2 / VERIFICATION DE LADEQUATION F But : vérifier que le modèle obtenu est adéquat (décrit avec précision le procédé) F Quel critère ? Critère de Fischer F Comme le rapport de la variance résiduelle à celle des essais parallèles Sens ? : comparer erreurs dues au modèle et celles dues au système 1 = N-K 2 = M-1 M : Nbre d'essais parallèles, N : Nbre d'expériences K : nbre de paramètres du modèle

48 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2 / 48 Adéquation en absence d'essais parallèles Conditions dadéquations par le critère F Modèle adéquat ssi Influence de N (nbre dexp.) et dessais // sur ladéquation du modèle : Pour 2 fixé, 1 = N-K. Si N alors F T (cf. Tableau) donc plus de chance que (F>F T ) Pour 1 fixé, 2 = M-1. Si M alors F T (cf. Tableau) donc plus de chance que (F>F T ) Critère F (exemple) : F( 1, 2 ) pour P= … … … …1.79

49 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2 / 49 F Que faire en absence dessais parallèles ? Modèle adéquat ssi

50 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2 / 50 Exemple d'application F Equation Darhenius Déterminer la relation liant la constante de vitesse K (mole/s) et la température de la réaction T (°K) Structure du modèle : formule empirique Question : déterminez les valeurs numériques des paramétres E/R et K 0 ? Réaction chimique T (°K) K (mole/s) E : Energie dactivation, R : cste des gaz T (°K) = t (°c) +273

51 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2 / 51 F Données expérimentales F Solution 1. Linéarisation du modèle Exp.Kt x=1/(t+273) y=lnK * * * * * *

52 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2 / 52 Simulation sur Matlab t= [ ] K=[ ]; y=log(K) x=1./(t+273) input n= n=ans; ym=polyfit(x,y,n); a0=ym(2) a1=ym(1) K0=exp(a0) disp('-E/R=') a1 ymc=K0*exp(a1./(t+273)); E=(abs(ymc'-K')./K')*100; Emax=max(E) disp('GRAPHE') plot(t+273,ymc,t+273,K,'--') a0 = a1 = e+003 K0 = e+006 -E/R=a1 = e+003

53 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2 / 53 CORRELATION MULTIPLE F Corrélation entre deux variables Relation stochastique Relation fonctionnelle Aucune relation

54 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2 / 54 Coefficient de corrélation multiple F Soit le système suivant Dans cette nouvelle échelle on a : Démonstration

55 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2 / 55 F Coefficient de corrélation des valeurs normées Entre une variables X j et la sortie Y Entre deux variables X l et Xj

56 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : Méthodes des moindres carrées Chap.2 / 56 F Équation de régression normale F Coefficient de corrélation multiple

57 57 Chapitre 3 OPTIMISATION

58 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / 58 F INTRODUCTION F OPTIMISATION : Obtention d'un meilleur résultat sous quelques conditions. Critère d'optimalité : Fonction économique ou de but. Représentation quantitative du but d'optimisation. Importance du modèle mathématique. Formes de la f-n de but (Algébrique, diff-elles..) CONTRAINTES (Restrictions) : Limitations des ressources disponibles. EXEMPLES : Maximum de profit avec ressources limitées etc..

59 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / 59 CONDITIONS D'OPTIMISATION F Optimisation d'une seule grandeur : Impossible de maximiser le profit avec minimum de ressources. Degré de liberté suffisant du système a optimiser Ressources suffisantes pour satisfaire le but d'optimisation. F EVALUATION QUANTITATIVE DE LA QUALITE D'OPTIMISATION Formulation mathématique du critère; Comparer les effets des différentes actions de commande.

60 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / 60 METHODES D'OPTIMISATION F METHODES ANALYTIQUES Utilisent les méthodes classiques de l'analyse mathématique (Extremum d'une f-n) Utilisées dans le cas d'un critère d'optimalité d'expression simple; Emploi limité : Difficultés avec apparition de contraintes et plusieurs variables. F METHODES DU CALCUL VARIATIONNEL Critère est sous forme de fonctionnelle ou dont la solution est une fonction inconnue; Utilisées pour l'optimisation statique des systèmes à paramètres distribués ou dans la programmation dynamique; Permettent de résoudre le problème optimale en intégrant le système d'équations différentielles; Résolution en présence de contraintes type égalité ou inégalité.

61 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / 61 METHODES D'OPTIMISATION F PROGRAMMATION DYNAMIQUE Résolution des problèmes d'optimisation de processus discontinus; Critère d'optimalité est le résultat de la somme de plusieurs critères de chaque stade; La méthode se présente sous forme d'un algorithme pour la détermination d'une stratégie de commande optimale de tous les stades du processus en tenant compte de toutes les contraintes; F PRINCIPE DU MAXIMUM Utilisés pour les problèmes décrits par des systèmes d'équations différentielles; La solution optimale est la résolution des équations différentielles décrivant le processus et celui des contraintes pour des conditions aux limites représentant le domaine de l'intervalle d'intégration.

62 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / 62 METHODES D'OPTIMISATION F PROGRAMMATION NON LINEAIRE Pour la résolution de problèmes ayant une fonction but non linéaire; Contraintes peuvent aussi être non linéaires sous forme égalité ou inégalité; Utilisées en pratique lorsque le problème ne peut être résolu par d'autres méthodes; Plusieurs algorithmes numériques existent pour la résolution de ce type de problème; Méthode indirecte : L'action de la recherche de l'optimum (direction et module) dépend des informations précédentes recueillies sur le calcul du critère

63 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / 63 F DÉFINITION Méthode de recherche de l'extremum du critère d'optimalité dans les problèmes dont les équations sont linéaires. F FORMULATION MATHEMATIQUE Fonction économique : Elle associe linéairement les quantités de facteurs utilisés et les profits unitaires correspondants Contraintes : L a manière dont les facteurs peuvent être combinés pour utiliser les ressources et générer un résultat au travers de F a i : Nombre d'heures de travail nécessaires pour fabriquer une unité du produit i; B : Total des heures disponibles pour la fabrication des n produits. PROGRAMMATION LINEAIRE (PL)

64 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / 64 Problématique de la PL F But : Optimiser les résultats économiques tout en tenant compte strictement des contraintes

65 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / 65 Niveaux d'appréhension de la PL FONCTION ÉCONOMIQUE FORME DES CONTRAINTES NIVEAU DES RESSOURCES La f-n économique peut-elle être modifiée pour une meilleure utilisation des ressources : modifier les prix, les marges… Le desserrement des contraintes par un accroissement des ressources permet-il d'améliorer la f-n économique d'un montant supérieur aux ressources engagés ? … Peut-on améliorer la solution du problème en modifiant la structure des contraintes Modification de technologie ou de produits fabriqués?.

66 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / 66 RESOLUTION DUN PROBLEME PL RESOLUTION DUN PROBLEME PL F 1. METHODE GRAPHIQUE Lorsque le nombre de variables est limité (< à 2), il est possible de résoudre un problème d'optimisation linéaire graphiquement F EXEMPLE Une société fabrique 2 produits P1 et P2. Il faut leur faire subir des opérations dans 3 ateliers différents où ils doivent être progressivement montés. Soit A1, A2 et A3 les 3 ateliers : Estampage, reprise et Assemblage. Les profits unitaires réalisés sur les produits P1 et P2 sont respectivement 15 F et 12,5 F.

67 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / 67 Méthode graphique de la PL F Capacités d'usinage (en nbre de pièces) Les pourcentages (% du temps d'occupation disponible) des capacités totales utilisées pour chaque fabrication unitaire sont : (Calculés : pour estampage : 100/25000 = % de la capacité totale pour chaque unité) EstampageRepriseAssemblage P1Assemblage P2 Produit P Produit P EstampageRepriseAssemblage P1Assemblage P2 Produit P1 0,0040,0030,00440 Produit P2 0,002860,00600,00667 Capacité unitaire tot. utilisé [%] 100

68 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / 68 Méthode graphique de la PL F Question : Quantité de produits P1 et P2 à produire de telle sorte que : Le profit soit maximal; Tout en respecter les limitations de capacité de production F 1. Formulation mathématique Soit X 1 et X 2 les quantités des produits P1 et P2 à produire Fonction de profit : Contraintes (Limitation des capacités de production) :

69 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / RESOLUTION GEOMETRIQUE On trace sur le plan OX1 et OX2 les droites : Les valeurs des var. X1 et X2 au dessous des droites (1), (2) et (4), et à gauche de (3); X1 et X2 ne peuvent être < 0 car ce serait un non-sens du point de vue économique ; Toute solution doit se trouver dans la zone ombrée

70 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / 70 F Méthodologie : On déplace parallèlement à elle même la droite F jusqu'au point extrême P, où la droite F cesse d'avoir un point commun avec le domaine du polyèdre OMNPQR, formé par le plan associé aux contraintes en ce point Point optimal P X 1opt =20363 X 2 opt=6485 Fmax= FF p X 1opt X 2opt x1000

71 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / 71 F ANALYSE DES RESULTATS En ce point P les capacités limites ne sont pas toutes atteintes : En produisant produits de P1 et 6485 de P2, le profit sera optimal, les capacités d'estampage et de reprise seront saturées tandis que celles d'assemblage ne le seront pas. F Propositions : Diminuer la capacité d'assemblage de P2 (si c'est possible) ce qui diminuera le prix de revient donc augmenter le profit. Augmenter le profit en variant le profit unitaire correspondant à chacune des fabrication (ceci se traduit par une plus grande inclinaison de F sur la figure).

72 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / 72 F LIMITES DE LA SOLUTION GRAPHIQUE Si nombre de variables > 3 problème de représentation Si par ex. n=15 et m (nombre de contraintes) =10, la méthode graphique conduit à plus de 3 millions de points d'intersection.

73 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / 73 home disp('PROBLEME:') disp('UNE SOCIETE FABRIQUE 2 PRODUITS P1 et P2.') disp('IL FAUT LEUR FAIRE SUBIR DES OPERATIONS DANS 3 ATELIERS DIFFERENTS') disp('OU IL DOIVENT ETRE PROGESSIVEMENT MONTES.') pause,home disp('SOIT A1, A2 A3 : LES 3 ATELIERS ESTAMPAGE, REPRISE ET ASSEMBLAGE') disp('LES PROFITS UNITAIRES REALISES SUR P1, P2 SONT: 15F ET 12,5F.') pause,home disp('LES CAPACITES D USINAGE SONT LIMITES COMME SUIT:') disp(' ESTAMPAGE REPRISE ASSEMBLAGE P1 ASSEMBAGE P2') disp('PRODUIT P1: ') disp('PRODUIT P2: ') pause,home disp('LES CAPACITES TOTALES UTILISEES POUR CHAQUE FABRICATION UNITAIRE SONT:') disp(' ESTAMPAGE REPRISE ASSEMBLAGE P1 ASSEMBAGE P2') disp('PRODUIT P1: 0,004 0,003 0,0044 0') disp('PRODUIT P2: 0, , ,00667') disp('CAPAC. TOTAL ') pause,home disp('QUESTION : QUANTITE DE PRODUITS P1 ET P2 DE TELLE SORTE QUE:') disp(' 1. LE PROFIT SOIT MAXIMAL;') disp(' 2. RESPECTER LES LIMITATIONS DE CAPACITES DE PRODUCTION') pause;home disp(' SOLUTION : SOIT X1 et X2 QUANTITES DE P1 et P2 A PRODUIRE:') disp(' FONCTION DE BUT : f= 15*X1+12,5*X > MAX.') pause plot(x1,est,x1,REPR,x1,f)

74 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / 74 f=-[ ] % on met le signe (-) car on maximise et non minimise home,pause RLAB='EST. REPRISE ASS.P1 ASS.P2'; CLAB='X1 X2'; name=' MATRICE DES CONTRAINTES A:'; A=[ ; ; ; ]; disp('MATRICE DES DONNEES') printmat(A,name,RLAB,CLAB) pause,home disp(' CAPACITES MAXIMALES ') B=[ ] pause,home disp('SOLUTION OPTIMALE :x=[x1opt x2opt]') [xopt]=LINPROG(f,A,B) fopt=4*xopt(1)+12*xopt(2) pause,home disp(' GRAPHE') x1=0:1000:40000; est=((-A(1,1)*x1+100)/A(1,2)); REPR=((-A(2,1)*x1+100)/A(2,2)); f=-15*x1/12.5;

75 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / 75 ALGORITHME DU SIMPLEXE F Méthode dite simpliciale ou méthode du simplexe, élaborée par George Dantzig (USA). Utilise la procédure employée par le graphe : On évalue les performances de chaque sommet du polyèdre délimité par les contraintes en n dimensions : La sol. opt. est acquise lorsque aucune modification ne permet d'améliorer la valeur de la fonction économique.

76 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / 76 F EXEMPLE Une entreprise peut fabriquer sur une seule machine fonctionnant 45h/semaine 3 produits P1,P2,P3. Les profits nets sont respectivement : 4F, 12F et 3F. Rendement de la machine (Nbre d'article/h) : 50 P1/h, 25 P2/h, 75 P3/h. Possibilités de ventes : 100 P1, 500 P2, 1500 P3. F Question : Répartir la capacité de production entre les 3 produits pour maximiser le profit

77 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / 77 F FORMULATION MATHEMATIQUE X 1, X 2 et X 3 : Quantité des produits à P 1, P 2 et P 3 F : La fonction économique Variables d'écart (V.E.) : X 4, X 5, X 6 et X 7 Elles permettent de transformer les inégalités en égalités afin de prendre en compte la saturation d'une contrainte (V.E. = 0) ou la non saturation (V.E. > 0). V.E. = La différence entre les valeurs des 1er et 2-éme membres des 3 inéquations

78 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / 78 F MISE EN EQUATION AVEC LES V.E F FORME MATRICIELLE

79 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / 79 F INITIALISATION Solution évidente mais sans intérêt : Sens : Profit nul (Valable lors de a fermeture annuelle pour congé payé) Cette solution donne le sommet 0 du polyèdre. Passons de ce sommet initial à un sommet voisin, en augmentant la valeur de F, si possible.

80 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / 80 F FORMULES DE CHANGEMENT DE COORDONNEES Colonne j=2, ligne i=5

81 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / 81 F COUTS MARGINAUX j : Coefficients de la fonction économique Sortie d'un vecteur A i de la base et entree d'un vecteur A j dand la base : X ij "PIVOT". (Intersection ligne i et colonne j) F CRITERES DE DANTZIG Pour déterminer la colonne Aj qui doit ENTRER dans la base, on sélectionne celle qui compte le coût marginal le PLUS GRAND. (Pour améliorer la solution initial, il est judicieux de faire d'abord entrer dans cette solution la variable qui apporte la marge la plus grande.)

82 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / 82 Pour déterminer la colonne A i qui doit SORTIR de la base, on choisit celle d'indice i telle que La colonne i=5 va sortir de la base car x5 /x52 est le plus petit. Alors : La colonne i=5 va sortir de la base (i=5); La colonne j=2 va entrer dans la base (déjà choisi celle qui compte le coût marginal le plus grand j=2); L'élément X 52 est le pivot de la transformation (ici X 52 =1) X2 va entrer dans la base; Nouvelle base (4), (2),(6),(7). Voir tableau : i=ligne n°5, j=2 colonne

83 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / 83 F ETAPE 1 : i = 5, j = 2 TABLEAU N° 1 : Nouvelle base (4,2,6,7)

84 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / 84 Comment calculer les nouvelles valeurs du tableau ? On se base sur le tableau initial tel présenté plus haut Nouvelle valeur de la fonction economique F F (ancienne valeur de la f-n économique) = 0; j (coût marginal maximal) = 12 Alors : F' = 0+(500/1).12 = 6000

85 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / 85 Valeur de l'élément de la ligne K dans la colonne A 0

86 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / 86 Valeur de l'element de la ligne K dans la colonne A l

87 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / 87 Nouvelles valeurs des coûts marginaux j

88 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / 88 l'optimum est atteint lorsque tous les couts marginaux J sont négatifs ou nuls. Car dans ce cas son passage à la base provoquerait une diminution du critère d'optimalité. F ETAPE 2 : i = 4, j = 1 Sur la base du tableau de l'étape 1 on a : Les coefficients sont calculés comme précédemment et on obtient :

89 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / 89 TABLEAU N° 2 : Nouvelle base (1,2,6,7)

90 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / 90 ETAPE 3 : i = 7, j = 3 Sur la base du tableau de l'étape 2 on a :

91 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / 91 F NOUVEAU TABLEAU Nouvelle base (1,2,6,3)

92 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / 92 F DERNIERE ETAPE : i = 6, j = 4 Sur la base du tableau de l'étape 3 on a : Les valeurs des éléments X Kl, X K K et F sont calculées sur la base du tableau ci-dessus tel présenté, d'une façon analogue

93 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / 93

94 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / 94 F Commentaires : Saturation de ventes pour les produits P3 et P2 Non-saturation pour le produit P1. La machine est occupé pleinement puisque 3X1+6X2+2X3= 6750h/semaine

95 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / 95 Programme sous MATLAB % nom du programme : PROG_LINEAR % Introduction de données : Home r=-[4 12 3]; % on met le signe (-) car on maximise et non minimise A=[1 0 0;0 1 0;0 0 1;3 6 2]; B=[1000;500;1500;6750]; % Recherche de la solution optimale x=[x1opt x2opt x3opt] [xopt,FVAL]=LINPROG(r,A,B) %valeur maximale de la fonction fopt=4*xopt(1)+12*xopt(2)+3*xopt(3)

96 96 METHODE DE LAGRANGE

97 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / 97 ProblématiqueProblématique F Soit une fonction g(x 1, x 2, …x n ) à trouver un extremum Les variables x 1, x 2, …x n ne sont pas indépendantes : elles sont reliées par m relations Introduisons j (j=1,…m) de nouvelles variables dites Multiplicateurs de Lagrange et formons : CONTRAINTES m

98 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / 98 Conditions dextremum F Conditions dextremum : F Equations de contraintes

99 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / 99 F Problème global doptimisation Ce système à (n+m) équations permet de déterminer les variables technologiques optimales et les valeurs des m multiplicateurs de Lagrange pour lesquelles la fonction de but est optimale et les contraintes respectées n équations m équations

100 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / 100 Exemple dapplication F EXEMPLE Déterminer les dimensions dun réservoir cylindrique de volume V donnée, qui possède une surface S minimale. R h

101 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : OPTIMISATION Chap.3 / 101 SolutionSolution F Formulation mathématique Développement : méthode de Lagrange Résolution du système déquations


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