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Construire des surfaces avec des polygones Par Nanna et Marine Lycée français Saint Louis de Stockholm.

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1 Construire des surfaces avec des polygones Par Nanna et Marine Lycée français Saint Louis de Stockholm

2 Problématique Combien de surfaces différentes peut-on construire avec un triangle ? En assemblant deux triangles ? 3 ou 48 triangles ? Combien de surfaces différentes peut-on construire avec un triangle ? En assemblant deux triangles ? 3 ou 48 triangles ? Et avec des carrés ? Des pentagones ? Et avec des carrés ? Des pentagones ?

3 Les Règles Les formes sont indéfiniment extensibles Les formes sont indéfiniment extensibles On colle les arêtes deux par deux On colle les arêtes deux par deux On ne peut pas coller trois ou plus arêtes entre elles On ne peut pas coller trois ou plus arêtes entre elles On ne peut pas coller une arête le long de deux arêtes On ne peut pas coller une arête le long de deux arêtes On sarrête quand chaque arête a été collée à une autre. On sarrête quand chaque arête a été collée à une autre.

4 Un premier exemple : 2 carrés Nous avons utilisé 2 carrés de tissu cousus ensemble : Nous avons utilisé 2 carrés de tissu cousus ensemble : Pour utiliser le fait que les faces soient extensibles, nous avons utilisé un ballon de baudruche, introduit entre les carrés Pour utiliser le fait que les faces soient extensibles, nous avons utilisé un ballon de baudruche, introduit entre les carrés En soufflant nous obtenons alors... une sphère !! En soufflant nous obtenons alors... une sphère !!

5 Un deuxième exemple : 4 triangles Nous avons utilisé quatre triangles de tissu que nous avons cousus ensemble Nous avons utilisé quatre triangles de tissu que nous avons cousus ensemble En déformant nous obtenons encore une sphère. En déformant nous obtenons encore une sphère.

6 Un troisième exemple : 1 carré Nous avons utilisé un seul carré de tissu Nous avons utilisé un seul carré de tissu 1 ère étape : relier les côtés faces opposés du carré 1 ère étape : relier les côtés faces opposés du carré Nous obtenons alors un cylindre Nous obtenons alors un cylindre 2 ème étape : relier les deux bases du cylindre 2 ème étape : relier les deux bases du cylindre Nous obtenons alors un tore Nous obtenons alors un tore

7 Questions 1) Est-ce quon peut obtenir une sphère à partir de 3 triangles ? 4 triangles ? n triangles ? 2) Même question pour un tore. 3) Quelles sont les différentes façons de recoller six carrés pour faire une sphère ? 4) Est-ce que lon peut obtenir une surface différente dune sphère ou dun tore ? 5) Quest-ce que cela veut dire pour deux surfaces dêtre différentes ?

8 1) Est-ce qu'on peut obtenir une sphère à partir de 3 triangles ? 4 triangles ? n triangles ? Deux figures identiques superposées forment toujours une sphère. Deux figures identiques superposées forment toujours une sphère. Soit un nombre n de triangles, où n est un nombre pair. En construisant une figure avec n triangles et en la superposant sur son identique formé de n triangles aussi, on a une sphère. Soit un nombre n de triangles, où n est un nombre pair. En construisant une figure avec n triangles et en la superposant sur son identique formé de n triangles aussi, on a une sphère. Si il y a un nombre pair d'arêtes et donc de triangles, on peut faire une sphère car Si il y a un nombre pair d'arêtes et donc de triangles, on peut faire une sphère car 3*nombre pair = nombre pair. 3*nombre pair = nombre pair.

9 2) Est-ce qu'on peut obtenir un tore à partir de 3 triangles ? 4 triangles ? n triangles ? Comme précédement, il faut un nombre pair d'arêtes pour que la figure puisse se fermer.On ne peut donc pas former de tore avec trois triangles car il y aurait deux arêtes collées sur une seule.On peut former un tore avec quatre triangles. Dès que les triangles forment un quadrilatère, on peut former un tore.

10 3) Quelles sont les différentes façons de recoller 6 carrés pour obtenir une sphère ?( même question pour 1, 2,3 carrés) Les différentes façons de recoller six carrés pour obtenir une sphère sont : Les différentes façons de recoller six carrés pour obtenir une sphère sont : tous les patrons du cube tous les patrons du cube un alignement de six carrés un alignement de six carrés deux alignements de trois carrés deux alignements de trois carrés

11 3) Quelles sont les différentes façons de recoller 6 carrés pour obtenir une sphère ?( même question pour 1, 2,3 carrés) On peut aussi obtenir On peut aussi obtenir une sphère avec un carré : Ou avec deux carrés Ou avec deux carrés (cf exemple précédent) (cf exemple précédent)

12 3) Quelles sont les différentes façons de recoller 6 carrés pour obtenir une sphère ?( même question pour 1, 2,3 carrés) Pour deux carrés, 2 ème méthode : Pour deux carrés, 2 ème méthode :

13 3) Quelles sont les différentes façons de recoller 6 carrés pour obtenir une sphère ? (même question pour 1, 2,3 carrés) Pour deux carrés, 3 ème méthode : Pour deux carrés, 3 ème méthode :

14 3) Quelles sont les différentes façons de recoller 6 carrés pour obtenir une sphère ? (même question pour 1, 2,3 carrés) Avec trois carrés : 1 ère méthode

15 3) Quelles sont les différentes façons de recoller 6 carrés pour obtenir une sphère ? (même question pour 1, 2,3 carrés) Avec trois carrés : 2 ème méthode

16 3) Quelles sont les différentes façons de recoller 6 carrés pour obtenir une sphère ? (même question pour 1, 2,3 carrés) Avec trois carrés : 3 ème méthode

17 4) Est-ce que l'on peut obtenir une surface différente d'une sphère ou d'un tore ? On peut obtenir plusieurs surfaces différentes d'une sphère et d'un tore. On peut obtenir plusieurs surfaces différentes d'une sphère et d'un tore. Application : Application : On obtient un tore à deux trous. On obtient un tore à deux trous.

18 4) Est-ce que l'on peut obtenir une surface différente d'une sphère ou d'un tore ? n points dintersection tore à n trous Remarque : si les différentes arêtes recollées se croisent selon n points dintersection, alors la surface obtenue sera un tore à n trous. 1 point dintersection, 2 points dintersection, tore à un 1 trou tore à 2 trous

19 4) Est-ce que l'on peut obtenir une surface différente d'une sphère ou d'un tore ? A partir dun polygone à n cotés, on pourra obtenir un tore à (n / 2) – 1 trous. A partir dun polygone à n cotés, on pourra obtenir un tore à (n / 2) – 1 trous. Excemple de tore Excemple de tore à trois trous obtenu à trois trous obtenu à partir dun Octogone :

20 5) Qu'est ce que cela veut dire pour deux surfaces dêtre différentes ? Deux surfaces sont différentes en fonction du nombre de trous qu'elles ont. Deux surfaces sont différentes en fonction du nombre de trous qu'elles ont. La façon dont elles ont été La façon dont elles ont été construites n'est pas importante, ni le nombre ou la nature des figures avec lesquelles elles ont été construites, car les surfaces sont extensibles et déformables. sont extensibles et déformables.

21 Question générale (conclusion) : Avec un nombre fixé de triangles (carrés, pentagones...) on peut construire une surface de plusieurs manières. Avec un nombre fixé de triangles (carrés, pentagones...) on peut construire une surface de plusieurs manières. La sphère peut être construite de nombreuses manières qui diffèrent selon le nombre de figures utilisées, leur nature et leur façon d'être assemblées. La sphère peut être construite de nombreuses manières qui diffèrent selon le nombre de figures utilisées, leur nature et leur façon d'être assemblées. Le point commun entre toutes ces manières est le fait qu'il y ait toujours un nombre pair d'arêtes au total lorsque l'on a assemblé toutes les figures. Ceci est valable pour n'importe quelle surface. Le point commun entre toutes ces manières est le fait qu'il y ait toujours un nombre pair d'arêtes au total lorsque l'on a assemblé toutes les figures. Ceci est valable pour n'importe quelle surface.


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