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AUTOUR DE LA LOI NORMALE Formation nouveaux programmes de Terminales S et ES.

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1 AUTOUR DE LA LOI NORMALE Formation nouveaux programmes de Terminales S et ES

2 Les objectifs du programme de statistique en terminale Formation nouveaux programmes de Terminales2 Poursuivre le travail de statistique inférentielle commencé en classe de Seconde et de Première Prise de décision en situation de risque Estimation par intervalle de confiance Avec un nouvel outil : la loi normale

3 POURQUOI LA LOI NORMALE ? Formation nouveaux programmes de Terminales S et ES

4 Un exemple : Etude du surpoids formation nouveaux programmes de terminales 4 Dans la population étudiée, il y a 46% dhommes et 18% de personnes de plus de 60 ans. Un sondage a été réalisé par un tirage au hasard de 400 personnes, et peut être assimilé à un tirage avec remise. 1. Dans léchantillon prélevé pour cette étude on observe : Cet échantillon est-il représentatif ? 2. Létude montre que dans cet échantillon 29% des personnes sont en surpoids. Estimer la proportion de personnes en surpoids dans cette population. HommesFemmes < 60 ans> 60 ans 31387

5 Un exemple : Etude du surpoids Formation nouveaux programmes de terminales5 Dans la population étudiée, il y a 46% dhommes et 18% de personnes de plus de 60 ans. Le sondage a été réalisé par un tirage au hasard de 400 personnes et peut être assimilé à un tirage avec remise. Pour une étude, mettant en jeu le lien avec certaines caractéristiques connues de la population on considère quun échantillon est représentatif, si la fréquence f observée de ces caractéristiques est dans lintervalle de fluctuation au seuil de 95%. Au travail !

6 Etude du surpoids : un scénario possible Formation nouveaux programmes de terminales6 Dans la population étudiée, il y a 46% dhommes et 18% de personnes de plus de 60 ans. le sondage a été réalisé par un tirage au hasard de 400 personnes et peut être assimilé à un tirage avec remise. 1. Réaliser un échantillon. par simulation, Cet échantillon est-il représentatif en ce qui concerne la répartition des hommes ? Pour une étude, mettant en jeu le lien avec certaines caractéristiques connues de la population on considère quun échantillon est représentatif, si la fréquence f observée de ces caractéristiques est dans lintervalle de fluctuation au seuil de confiance de 95%.

7 Etude du surpoids : réinvestir formation nouveaux programmes de terminales 7 2. Dans léchantillon prélevé pour cette étude on observe : Cet échantillon est-il représentatif ? Pour les hommes : p =0,46 (outil de seconde) Pour un seuil de 95%, on a obtenu IF H =[ 0,41 ;0,51 ] f =195/400 = 0,4875 donc f IF H donc cet échantillon est représentatif pour les hommes Pour les plus de 60 ans : p=0,18 (outil première) cette méthode ne sapplique pas, il faut 0,2 60 ans 31387

8 Etude du surpoids : outil de 2de formation nouveaux programmes de terminales 8 3. Létude montre que dans cet échantillon 29% des personnes sont en surpoids. Estimer la proportion de personnes en surpoids dans cette population. Lintervalle de confiance de la classe de seconde donne [0,29- 0,05 ; 0,29+0,05] Donc la proportion de personnes en surpoids est dans lintervalle [0,24 ; 0,33] au niveau de confiance de 95%. On dit aussi pour un seuil de risque de 5%.

9 Un exemple : Etude du surpoids formation nouveaux programmes de terminales 9 4. On veut réaliser une étude plus précise en réalisant un échantillon de taille Dans léchantillon prélevé pour cette étude on observe : Cet échantillon est-il représentatif ? Le calcul nest ici plus possible avec une calculatrice, cela dépasse ses capacités de calcul. Létude montre que dans cet échantillon 32% des personnes sont en surpoids. Estimer la proportion de personnes en surpoids dans cette population.

10 Observation des binomiales pour n grand En utilisant Geogebra et loutil de calcul des probabilités, on peut explorer le comportement des grandes binomiales Des formes similaires dites « forme en cloche » 10 formation nouveaux programmes de terminales

11 TP centrer- réduire : le foie gras formation nouveaux programmes de terminales11 Les foies gras d'oie commercialisés en 2012 par un producteur du Sud Ouest ont une masse dont la moyenne est 750 grammes et dont l'écart type est 100 grammes. Le pesage, en grammes, d'un foie pris au hasard dans la production détermine une V.A. G telle que E(G)=750 et (G)=100. L'année précédente, en 2011, les foies gras commercialisés par ce même producteur avaient un poids moyen de 680 g et un écart type de 120g. Un client fidèle a acheté un foie de 750 g en 2011 et un de 800 g en Quel classement peut-on faire de ces deux foies comparativement à la production annuelle dont ils sont issus ?

12 LOI NORMALE et BINOMIALE Formation nouveaux programmes de Terminales S et ES

13 Lidée centrale Formation nouveaux programmes de terminales13 Une première idée simplifiée du théorème : Lorsquon observe les représentations graphiques des grandes binomiales, elles présentent une forme commune dite « forme en cloche », connue sous le nom de courbe de Gauss, et qui correspond à la fonction de densité de la loi normale. On a donc lidée intuitive quon peut approcher les lois binomiales par les normales, pour n grand. La formalisation de ce constat est énoncée par le « théorème de Moivre-Laplace », ce qui va nécessiter quelques détours…

14 Le théorème de Moivre-Laplace 14 Premières remarques : On reconnait à droite P(a < Z < b) où Z suit la loi normale N (0;1). Ce nest pas sur X n que porte la convergence vers la loi normale, mais sur la « variable centrée réduite » Z n. On sintéresse à des probabilités dintervalles. formation nouveaux programmes de terminales

15 Le théorème de Moivre-Laplace 15 Autre remarque Ce théorème définit une convergence en loi : Ce nest pas Z n qui converge vers Z, mais la fonction de répartition de Z n qui converge vers la fonction de répartition de Z. formation nouveaux programmes de terminales

16 le théorème de Moivre-Laplace X n suit B(n;p) On centre et on réduit On obtient Z n Z qui suit N(0 ; 1) converge Y qui suit N (np; npq) n tend vers linfini 16Formation nouveaux programmes de terminales converge Dépend de n

17 Premier problème : le passage du discret au continu formation nouveaux programmes de terminales17 Premier problème : On va donc plonger la loi binomiale dans le monde des aires la loi binomiale est une loi discrète P(X=a) Diagramme en bâtons la loi normale est une loi continue P(a

18 Passage du discret au continu On considère une variable aléatoire X n qui suit la loi discrète B(n;p) 18Formation nouveaux programmes de Terminales E(X n ) = np = µ V(X n ) = np(1-p) = σ ²

19 Problème du passage du discret au continu La loi binomiale, loi discrète, se représente par un diagramme en bâtons, quil faut convertir en histogramme pour que les probabilités puissent être interprétées en termes daires. Le bâton représentant p(X=k) = p k doit devenir une colonne daire p k. On lobtient en traçant une colonne de largeur 1 centrée sur k : [k - 0,5 ; k + 0,5] de hauteur p k. 19formation nouveaux programmes de terminales

20 Passage du discret au continu On considère une variable aléatoire X n qui suit la loi discrète B(n;p) E(X n ) = µ et V(X n ) = σ² 20Formation nouveaux programmes de terminales

21 Passage du discret au continu On considère une variable aléatoire X n qui suit la loi discrète B(n;p) Et on a : P(a X n b) = somme des aires des rectangles 21Formation nouveaux programmes de terminales

22 Comment centrer X est une variable aléatoire centrée signifie que E(X) = 0 La variable Y n = X n – µ est centrée 22Formation nouveaux programmes de terminales Attention : Y n ne suit pas une loi binomiale : Cette variable aléatoire prend des valeurs négatives !

23 Comment centrer La variable Y n = X n – µ est centrée E(X+b) = E(X)+ b donc E(Y n ) = 0 23Formation nouveaux programmes de terminales V(aX+b) = a²V(X) donc V(Y n ) = ²

24 Comment réduire 24formation nouveaux programmes de terminales E(Z n ) = 0 Sa variance est égale à 1 : La variable aléatoire Z n = Y n / est centrée V(aX+b) = a²V(X)

25 Comment réduire On a pris la variable aléatoire Z n = Y n / 25formation nouveaux programmes de terminales On raisonne sur des aires, on veut conserver des rectangles daire p k ; donc si on réduit les abscisses en les divisant par, on doit compenser en multipliant les ordonnées par. On conserve une aire totale de 1.

26 Bilan sur Z n, variable centrée réduite 26formation nouveaux programmes de terminales E(Z n ) = 0V(Z n ) = 1

27 Loi normale centrée réduite formation nouveaux programmes de terminales27 Les histogrammes représentant Z n ont tous exactement la même allure La courbe qui approxime cette allure cest la courbe de Gauss représentant la fonction f définie par : f(x) = Cest la fonction de densité de la loi normale N (0;1) nouvelle fonction de référence à étudier

28 Lien entre binomiale et normale Le théorème qui formalise ce constat est le théorème de Moivre- Laplace (TML). X n suit B(n;p) On centre et on réduit On obtient Z n Z qui suit N(0 ; 1) converge Y qui suit N (np; npq) Approxim° TML 28Formation nouveaux programmes de terminales

29 FLUCTUATION ET CONFIANCE Formation nouveaux programmes de Terminales S et ES

30 Second théorème du programme Si Z suit N ( 0 ; 1 ) alors pour tout réel α [0 ; 1], il existe un réel u tel que P(-u

31 Second théorème du programme 31formation nouveaux programmes de terminales On cherche un intervalle I =[-u ; u ] tel que P(Z I )=1- où Z suit N (0 ;1) I est un intervalle de fluctuation au seuil de 1- α pour une V.A. qui suit la loi normale standard N(0 ; 1).

32 Application à lintervalle de fluctuation pour une v.a. qui suit B(n,p) un réel donné et u le réel tel que P(-u

33 Intervalle de fluctuation pour la loi normale N(0 ; 1) au seuil de 95% P(F [- u 0,05 ; u 0,05 ]) = 0,95 33 u 0,05 P(F [-1,96 ; 1,96]) > 0,95 formation nouveaux programmes de terminales α = 0,05 U α 1,96

34 Intervalle de fluctuation pour une v.a. qui suit B(n ; p) au seuil de 95% 34 u 0,05 u 0,05 1,96 on en déduit au seuil de 95% formation nouveaux programmes de terminales α = 0,05 uα 1,96

35 Intervalle de fluctuation pour une v.a. qui suit B(n ; p) au seuil de 95% 35Formation nouveaux programmes de terminales

36 Intervalles de fluctuation avec la loi N ( ; ²) 36formation nouveaux programmes de terminales

37 Différents intervalles de fluctuation possibles. 37formation nouveaux programmes de terminales intervalle unilatéral à droite: IF = [A;1] avec A tel que p(f A) 0,95 ou p(fB) 0,025 intervalle centré sur p : IF = [p-e;p+e] avec p(p-e

38 trois intervalles de fluctuation au seuil de 95% 2nde IF = 1ère IF = Sa détermination nécessite un tableur ou un algorithme Term. IF = 38 formation nouveaux programmes de terminales formule Pas de formule

39 trois intervalles de fluctuation au seuil de 95% 2nde Pas de base théorique : simulations approximation de lIF de terminale contraintes : n 25 et 0,2

40 Un exemple : Etude du surpoids formation nouveaux programmes de terminales On veut réaliser une étude plus précise en réalisant un échantillon de taille Dans léchantillon prélevé pour cette étude on observe : Cet échantillon est-il représentatif ? Létude montre que dans cet échantillon 32% des personnes sont en surpoids. Estimer la proportion de personnes en surpoids dans cette population.

41 Un exemple : Etude du surpoids formation nouveaux programmes de terminales On veut réaliser une étude plus précise en réalisant un échantillon de taille Dans léchantillon prélevé pour cette étude on observe : Intervalle de fluctuation asymptotique au niveau de confiance de 0,95 on a p=0,46 et n =1200 donc np >5 IF H = [0,46-1,96x0,014; 0,46-1,96x0,014] =[0,43;0,49] Or f H 0,46 et f H IF H donc léchantillon est représentatif. De même IF V =[0,158;0,202] et f V 0,207 et f H IF H donc léchantillon nest pas représentatif. Létude montre que dans cet échantillon 32% des personnes sont en surpoids. Estimer la proportion de personnes en surpoids dans cette population. [0,32-1/rac(1200) ; 0,32 +1/rac(1200)][0,29 ; 0,35] Donc au niveau de confiance de 0,95 p [0,29 ; 0,35]

42 Bilan : Intervalle de confiance Formation nouveaux programmes de Terminales42 f la fréquence observée sur un échantillon de taille n. Si n 30, nf 5 et n(1-f) 5 Un intervalle de confiance IC au niveau de confiance de 95% est. et on a P( p IC ) 0,95. Pour n et f déterminés, on parlera dune fourchette de sondage.

43 Détermination de lintervalle de confiance par lecture des abaques formation nouveaux programmes de terminales43 n=100 Fréquence observée f n

44 Détermination de lintervalle de confiance par lecture des abaques formation nouveaux programmes de terminales44 n=100 Fréquence observée f n Intervalle de confiance

45 A quoi servent les sondages Formation nouveaux programmes de Terminales45 Extraction d un échantillon Étude sur l échantillon Extrapolation à la population x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x P x x x x x x x xx xx xx x x x x x x E x x x x x x x xx xx xx x x x x x x E

46 lECHANTILLONNAGE formation nouveaux programmes de terminales46 Population Échantillon Échantillonnage Proportion pFréquence f Je connais p, jen déduis f Statistiques inférentielles Je connais f, jen déduis p au lycée

47 APPLICATIONS DE LECHANTILLLONNAGE Théorie des tests, quand on dispose dune hypothèse sur p Théorie de l'estimation, quand on ne connait pas p. fréquence f sur un échantillon de taille n Intervalle de confiance Estimation de p Intervalle de fluctuation Rejet ou non de lhypothèse sur p fréquence f sur un échantillon de taille n 47 Formation nouveaux programmes de terminales

48 Prise de décision : un exemple Formation nouveaux programmes de Terminales48 Dans la réserve indienne dAamjiwnaag, située au Canada à proximité dindustries chimiques, il est né entre 1999 et 2003, 132 enfants dont 46 garçons. Ces observations sont-elles le fruit du hasard ? Règle de décision : Si f IF cest le fruit du hasard, sinon ce nest pas le fruit du hasard. On a f = 46/132 0,35 et IF asyptotique =[0,42 ; 0,60] Donc ce nest pas le fruit du hasard Hypothèse vraieHypothèse fausse Jaccepte lhypothèse 1 - β Je rejette lhypothèse α 1-β

49 Conclusion : pourquoi les statistiques? formation nouveaux programmes de terminales49 Le statisticien est une personne qui préfère les vrais doutes aux fausses certitudes. Je sais que je me trompe, mais je peux quantifier mon erreur.

50 Quels types dexercices en terminale La situation est modélisée par une loi normale On connait μ et σ, on c alcule une probabilité On connait μ, σ et p, on détermine x tel que P(X


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