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Majid Taki Mardi 11 juin 2013 Les séminaires CEMPI Groupe NLSE.

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1 Majid Taki Mardi 11 juin 2013 Les séminaires CEMPI Groupe NLSE

2 Notions élémentaires danalyse de stabilité linéaire AvecParamètre de contrôle Solution stationnaire et uniforme Relation de dispersion

3 Stabilité Marginale La solution stationnaire est stable sipout tout Elle est instable sil existe unavec La situation est marginale (stable) si Pourfixé

4 Contexte et position du problème La structure de la fibre optique Les pertes linéaires Absorption des impuretés ( ). La diffusion de Rayleigh. La résonance IR. …

5 avec La dispersion chromatique Vitesse de phase: Analytiquement pour prendre en compte les effets dispersifs on fait un DL de Taylor autour de la fréquence de central du paquet dondes : est reliée à la vitesse de groupe. la dispersion de vitesse de groupe (GVD). la pente de la dispersion de vitesse de groupe (TOD).

6 2 <0, dispersion anormale Sortie La dispersion de vitesse de groupe (GVD) Le coefficient de dispersion: Entrée 2 >0 Basses voyagent moins vite 2 <0 Hautes voyagent moins vite 2 >0, dispersion normale

7 avec Les effets non linéaires Leffet Kerr Optique Leffet Kerr optique est la réponse instantanée électronique des molécules de silice aux champs incidents. Il conduit à de nombreux phénomènes non-linéaires comme lautomodulation de phase, la modulation de phase croisés et le mélange à 4 ondes. Dans les matériaux centro-symétriques (la silice), est nul en raison de la symétrie dinversion au niveau moléculaire. La contribution dominante de la polarisation non linéaire vient donc de la susceptibilité d'ordre trois. Lindice de réfraction non linéaire 2.6x m²/W dans la silice.

8 La diffusion Raman stimulée Dans la silice, la bande des fréquences amplifiées s'étend jusqu'à 40 THz avec un maximum de gain à THz. L'effet Raman dépend de la partie imaginaire de, elle est considérée comme la réponse des noyaux de la molécule de silice aux champs incidents, son temps de réponse est de lordre de fs dans les fibres de silice. Processus inélastique

9 L'équation non linéaire de Schrödinger généralisée (GNLSE) Léquation de propagation des ondes sous formes vectorielle Léquation de propagation de lenveloppe lentement variable des impulsions dans la fibre optique i.La polarisation non linéaire doit être traitée comme une perturbation de la polarisation linéaire (les fibres optiques faiblement non linéaires). ii.Le champ optique est supposé maintenir sa polarisation le long de laxe de propagation de la fibre. iii.Le champ électrique est quasi-monochromatique ( ), ce qui est vérifié pour des ondes continues ou pour des impulsions de durée inférieure à la picoseconde. La dispersion La réponse non linéaire Lenveloppe lentement variable

10 Réponse non linéaire de la fibre optique: La réponse non instantanée Raman.

11 avec Instabilité modulationnelle (MI) dans la fibre optique La MI est interprétée physiquement comme un équilibre entre les effets non linéaires et la dispersion linéaire au cours de la propagation dun champ optique. La solution stationnaire: La stabilité de cette solution stationnaire est étudiée en la soumettant à des fluctuation de la forme où Le problème linéarisé autour de la solution stationnaire est : perturbations

12 Instabilité linéaire standard On cherche des solutions non nulles du problème linéarisé. La condition de solvabilité (ici simplement le déterminant non nul) nous donne la relation de dispersion suivante : Linstabilité est uniquement possible en régime de dispersion anormale: Gain spectral en puissance: Le problème linéarisé prend une forme plus simple : Ici on fait un choix crucial : on prend u et v de la forme et représentent respectivement la pulsation et le nombre donde de la perturbation.

13 Le gain spectral en puissance dans la fibre optique Signal bruitée à lentrée Train dimpulsions à la sortie Fréquences à gain maximum MI

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16 Spectre expérimental MI NLSE

17 Rogue waves or freak waves Gigantic wall of water of about 30 m height But very dangerous !! More information….. A Book Or a BBC report… Extremely rare

18 A quantitative measure for Rogue waves: AI=H RW / H S > 2 AI: Abnormality Index AI = 3 for The New Year Wave (registered on January 1, 95) 26 m high with a period of 12s !!!

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20 Deterministic approach for Rogue Waves Can rogue waves be predicted within linear theories? No They appear from nowhere and disappear without a trace They have a very high amplitude Only a nonlinear approach can predict the occurrence of these giant waves Need of instability (Modulationnal Instability) Nonlinear compensation of linear effects (mostly dispersion)

21 Are oceanic rogue waves Akhmediev Breathers ? NLS model: From Modulational instability to Akhmediev Breather N. Akhmediev, A. Ankiewicz, M. Taki, waves that appear from nowhere and disppear without a trace, Phys. Lett. A 373, 675 (2009) Akhmediev Breather: Rational solution of NLSE AI= 2.4 !!!

22 NLS model: From Modulational instability to Akhmediev Breather

23 Rogue wave management NLSE Usama Al Khwaja, and Majid Taki, Rogue waves management by external potentials soumis à Phys. Lett. A

24 Optical Intensity Time Optical rogue wave Intensity bins (arb. units) Number of events Statistical Characterization Oceanic rogue wave From oceanic rogue waves to optical rogue waves Oceanic rogue waves Optical rogue waves Defined by: Maxima/minima Amplitude Rarity

25 From oceanic rogue waves to optical rogue waves Oceanic rogue waves Optical rogue waves High power laser + Optical Intensity Time Optical rogue wave Supercontinuum Oceanic rogue wave pulsed Defined by: Maxima/minima Amplitude Rarity

26 Statistical approach for Rogue waves Sensitive dependence on initial conditions Incomplete information about the initial state random wave dynamics Gaussian statistics fails: P(H)~ exp(-H 2 /H S 2 ) A rogue wave of AI = 3 (H = 3 H S ) may occur once in 20 years !!!

27 Open Problems Extreme sensitivity to noise and/or initial conditions Asymmetry of Rogue waves (Léo et al. PRL 2013) Non-Gaussian statistics. Needs to go beyond NLS An original approach that combines deterministic and statistical methods Optical rogue waves can help understanding the mechanism of rogue waves formation

28 Optical Rogue waves Focus on optical rogue waves… care must be taken to establish a formal comparison Results published obtained with pulsed pumps Comparison with the ocean difficult? Optical rogue waves generated with a continuous wave pump Calm ocean??? Optical rogue waves originates from convective instabilities Appearance/disappearance of optical rogue waves Mechanisms involved in the formation This work

29 Numerical simulations Case of an absolute system ( 3 =0 and no Raman effect) 100 simulations with different initial conditions Output depends on initial conditions Statistic different from the L shape

30 Minimal Model Odd derivatives induce a drift Slope of the dispersion curve Raman effect Raman effect and the slope of the dispersion induce convective instabilities Generalization to all odd terms presents in the GNLSE All even dispersion orders ( 3, 5, 7 ….) Self steepening GNLSE is a convective system Explain why Rogue waves are extremely sensitive to initial conditions

31 Numerical simulations : longitudinal evolution Supercontinuum formation from simulationsstandard event of previous simulations Solitons Dispersive waves Spectral domain

32 Experimental results : output spectrum Output spectrum Excellent agreement numerics/experiments A. Mussot, A. Kudlinski, M. Kolobov, E. Louvergneaux, M. Douay, M. Taki, Observation of extreme temporal events in CW-pumped supercontinuum, Optics Express 17, (2009)

33 Experiments Supercontinuum Continuous pumping Experimental evidence of rogue events

34 Probability Density Functions (PDFs): Experiments Supercontinuum Continuous pumping First approach : Statistics Signature of rogue events Log(PDF) Experimental evidence of rogue events

35 Probability Density Functions (PDFs): Experiments Supercontinuum Continuous pumping Signature of rogue events Log(PDF) Experimental evidence of rogue events The most powerful peak amplitudes are very much larger than 2 times the significant peak height (Hs) which is one of the feature of oceanic rogue waves. Their probability is extremely low

36 Slope of the dispersion curve Excellent agreement + L-shape of PDFs Probability Density Functions (PDFs): Numerics Experiments Raman effect Minimal model: Nonlinear Schrödinger Minimal model Supercontinuum Continuous pumping Log(PDF)

37 Slope of the dispersion curve Excellent agreement + L-shape of PDFs Probability Density Functions (PDFs): Numerics Experiments Raman effect Minimal model: Nonlinear Schrödinger Supercontinuum Continuous pumping Log(PDF) PDF Model

38 Numerical simulations : comparison Convective system vs absolute system Drift (convection) important ingredient for generating rare and strong optical waves Same scale!!

39 White dots track the most intense pulse Highest intensity tracking Numerics Mechanism of formation of rogue events Supercontinuum Optical rogue wave Evolution of the highest intensity

40 Spectrograms Rogue event (Rogue Soliton) collision between two giant solitons A. Mussot et al., Opt. Exp. 17, (2009) Very fast appearance and disappearance P. Peterson et al., Nonlinear Process Geophys. 10, 503 (2003). Soliton interaction as a possible model for extreme waves in shallow water N. Akhmediev et al., Phys. Lett. A 373, 2137 (2009). Collision of two Akmediev breathers M. Erkintalo et al., Opt. Lett. 35, 658 (2010). Giant dispersive waves generation through soliton collision Numerics Supercontinuum Continuous pumping Mechanism of formation of rogue events

41 Spectrograms Rogue event (Rogue Soliton) collision between two giant solitons A. Mussot et al., Opt. Exp. 17, (2009) Very fast appearance and disappearance Numerics Supercontinuum Continuous pumping Very importance of asymmetric drift dynamics ( 3 and Raman) Mechanism of formation of rogue events

42 Spectrograms Numerics Supercontinuum Continuous pumping Mechanism of formation of rogue events

43 Merci de votre attention


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