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Permutations de Baxter & Orientations bipolaires planes ALEA 2008 Nicolas Bonichon, Mireille Bousquet-Mélou & Eric Fusy.

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1 Permutations de Baxter & Orientations bipolaires planes ALEA 2008 Nicolas Bonichon, Mireille Bousquet-Mélou & Eric Fusy

2 Permutations Une permutation = (1) (2)… (n), est une bijection de [n] sur [n] Le diagramme dune permutation, est lensemble des points (i, (i)). On note S n lensemble des permutations de [n]. Montée, descente, saillants … =

3 Permutation de Baxter [Glen Baxter 64] est de Baxter ssi : B n = S n (25314, 41352) Motifs interdits :

4 Orientation bipolaire plane Une orientation bipolaire plane est une carte planaire orientée : Acyclique 1 seule source et 1 seul puits tous 2 sur la face externe. Prop 1 : Prop 2 : Une carte M admet une orientation bipolaire ssi M+(s,t) est 2-connexe. V: F:

5 Orientation bipolaire plane : applications Dessin de visibilité Dessins orthogonaux Structures transverses …

6 Enumération [Chung et al 79] [Mallows79] Permutation Bijections [Cori, Dulucq, Viennot, Guibert, Gire] –Arbres jumeaux –Triplets de chemins de grand Dyck [Rodney Baxter01] Bipolaires planes Bijections –[Fusy, Poulalhon, Schaeffer07] Triplets de chemins de grand Dyck –[Fusy07] Structures Transverses –[Felsner, Fusy, Noy, Ordner07] permutations. [MBM03]

7 Résultat principal taille n k descentes l montées i saillants sup gauche i saillants inf droite j saillants sup droite j saillants inf gauche n arêtes k faces internes l+2 sommets Chemin gauche de longueur i Chemin droit de longueur i Puits de degré j Source de degré j Thm : Une bijection qui envoie les permutations de Baxter sur les bipolaires :

8 : Etape 1

9 : Etape 2

10 Propriétés Prop 1 : est une application des permutations de Baxter vers les orientations bipolaires Lemme 1 : les sommets noirs sont de degré 2. Lemme 2 : Le dessin est planaire.

11 Arbre de génération des Baxter Bn+1 -> Bn : suppression de lélément n+1. Bn -> Bn+1 : ajout du n+1 –(a) avant le k-ème saillant sup. gauche –(b) après le k-ème saillant sup droit. Lemme : larbre de génération des Baxter est isomorphe à larbre : –(1,1) –(i,j) -> {(k, j+1) : 1 <= k <= i} U {(i+1, k) : 1 <= k <= j} Rq : Ces paramètres correspondent aux nombres de saillants supérieurs gauches et droits.

12 Arbre de génération des Baxter B n+1 -> B n : suppression de lélément n+1. B n -> B n+1 : ajout du n+1 –(a) avant le k-ème saillant sup. gauche –(b) après le k-ème saillant sup droit. Lemme : larbre de génération des Baxter est isomorphe à larbre : –(1,1) –(i,j) -> {(k, j+1) : 1 <= k <= i} U {(i+1, k) : 1 <= k <= j} Rq : Ces paramètres correspondent aux nombres de saillants supérieurs gauches et droits.

13 Arbre de génération des Bipolaires O n+1 -> O n Soit e=(t,v) larête la plus à droite du puits. (a) deg - (v) > 1 –Supprimer e (b) deg - (v) = 1 –Contracter e

14 Arbre de génération des Bipolaires O n -> O n+1 : (a) Ajouter une arête vers le k-ème sommet du bord gauche. (b) « déléguer les k premières arêtes » Lemme : larbre de génération des bipolaires est isomorphe à larbre : (1,1) (i,j) -> {(t, j+1) : 1 <= t <= i} U {(i+1, t) : 1 <= t <= j}

15 est bien une bijection. Arbres isomorphes une bijection. Par récurrence sur n on montre que ( ) = ( )

16 Symétrie selon la 1ère diagonale

17 Rotation de 90° et Dualité

18 TxTx TyTy

19 Remarque On retrouve lalgorithme de dessin de [di Battista et al. 92]

20 Treillis des orientations bipolaires Thm [Ossona de Mendez 94] : lensembles des orientations bipolaires dune carte a une structure de treillis distributif. La relation de couverture est la suivante : Corollaire : les cartes 2-connexes sont en bijection avec les bipolaires sans LOP Lemme : les cartes séries-parallèles sont en bijection avec les bipolaires sans LOP ni ROP. LOPROP

21 Spécialisations de Lemme : – ( ) contient un LOP contient – ( ) contient un ROP contient Rq : –S n (25314,3142) = S n (25314, 41352, 41352) –S n (2413,3142) = S n (25314, 25314, 41352, 41352) Corollaire : est une bijection de – S n (25314,3142) vers les cartes 2-connexes à n+1 arêtes –S n (2413,3142) vers les cartes séries-parallèles à n arêtes

22 Orientations bipolaires S n (25314, 41352) Orientations Min S n (25314,3142) Cartes 2-connexes Orientation Min&Max S n (2413,3142) Cartes séries-parallèles Spécialisations de Baxter S n (2413,3142) Baxter S n (2413) === [Dulucq Gire West 96][Gire 93]

23 Permutations de Baxter alternantes 2n (2n+1) –Enumérées par C n.C n (C n.C n+1 ) [Cori Dulucq Viennot86] [Dulucq Guibert98] Permutations de Baxter doublement alternantes 2n (2n+1) –Enumérées par C n [Guibert Linusson00] Perspectives

24 Travaux en cours Orientations mono-source –Involutions de Baxter –Liens avec les cartes Eulériennes

25 Motif exclu contient le motif si le diagramme de est obtenu à partir de celui de en supprimant des lignes et des colonnes. On note S n ( ) lensemble des permutations qui excluent. Ex : S n ( )=213

26 Arbre de génération Un arbre de génération dun ensemble E est un arbre tel que : –Chaque objet de E n apparaît une fois au niveau n. –Les arêtes reliant les sommets de niveau n à ceux du niveau n+1 correspondent aux règles de génération permettant de construire les objets de E n+1 à partir de ceux de E n. Ex : Chemins de Dyck : –E n+1 -> E n : suppression du dernier pic –E n -> E n+1 : ajout dun pic dans la dernière descente. Larbre de génération des chemins de Dyck est isomorphe à larbre : –(0) –(p) -> (1), (2), …,(p), (p+1) Rq : Ce paramètre correspond à la longueur de la dernière descente.

27 Motif barré. Ex : Une permutation barrée est une permutation avec un élément distingué. On note la permutation sans lélément barré. Ex : = = 2413 On dit quune permutation contient le motif barré, sil existe une occurrence de qui ne soit pas une sous-occurrence de. Rq : S n (25314) ssi toute sous-suite 2413 de est aussi une sous-suite de

28 Permutation de Baxter = S n (25314, 41352) Définition par factorisation : [Glen Baxter]


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