La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

Les cristaux apériodiques - Incommensurables Daprès G. Pan, Thèse Orsay 1992 Q hkl +mk, k=0,204 b*+0,406 c* Cuprate supraconducteur Bi 2,2 Sr 1,8 CuO 2.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "Les cristaux apériodiques - Incommensurables Daprès G. Pan, Thèse Orsay 1992 Q hkl +mk, k=0,204 b*+0,406 c* Cuprate supraconducteur Bi 2,2 Sr 1,8 CuO 2."— Transcription de la présentation:

1 Les cristaux apériodiques - Incommensurables Daprès G. Pan, Thèse Orsay 1992 Q hkl +mk, k=0,204 b*+0,406 c* Cuprate supraconducteur Bi 2,2 Sr 1,8 CuO 2 Phase modulée incommensurable Présence de satellites autour des nœuds du RR b* c* k 4 indices pour indexer

2 Incommensurable ? Cas de NaNO 2 P Ferroélectrique Paraélectrique Diagramme de phase Variation continue de la position du satellite : Incommensurable FerroPara Inc. Daprès Dominique Durand, Thèse, LPS, Orsay BCCD Lescalier du diable Uhrig (1989)

3 Modulation incommensurable Propriété locale du cristal possède une périodicité incommensurable avec celle du cristal Exemple : modulation displacive NaNO 2 (polarisation électrique), alliages (onde de concentration), magnétisme ADN, Hélice de CoxeterADN

4 ER dun cristal modulé incommensurable Calcul de lespace réciproque Espace direct donné par F(q) est non nul si q=Q hkl +mk, 4 indices Formule de Jacobi-Anger J m (z) fonction de Bessel dordre m J 0 (z) ~1-z 2 /2 et J m (z) ~(z/2) m /m!

5 ER dun incommensurable h=0 a* h=1h=2 k 2k 3k m= Espace réciproque Nœuds du RR bordés de « satellites » situés à ± mk F(q) est non nul si q=ha*+k b*+l c*+mk J 0 (z) ~1-z 2 /2 et J m (z) ~z m /m! Notion despace de dimension 4

6 Conséquence macroscopique : la calavérite G 0012 a* c* +q -q +2q +3q +4q G 2012 G (201) - (001) q= -0,4095 a* + 0,4492 c* Calavérite : Au 1-x Ag x Te, minerai dor Facettes violent la loi d Haüy

7 Cristaux composites Enchevêtrement de deux cristaux ayant des paramètres de maille dans un rapport irrationnel. a a Modèle simple ER somme des 2 RR a* b*=b* q=ha*+ha*+k b*+l c* 4 indices b=b a* Existe une intermodulation des deux réseaux...

8 Structure du Ba 5.5 GPa12.6 GPa Phase I Cubique centré Phase II Hexagonal Phase IV Tétragonal inc. 45 GPa Phase V Hexagonal Phase IV : Structure composite Chaînes de Ba dans une matrice de Ba tétragonal I nm R.J. Nelmes, D.R Allan, M.I McMahon, et S.A. Belmonte, Phys. Rev. Lett., 83 (1999) 4081 C h = nm (Centre terre 360=Gpa)

9 Cristaux composites R.J. Nelmes, D.R Allan, M.I McMahon, et S.A. Belmonte, Phys. Rev. Lett., 83 (1999) 4081 chch cgcg a b Réseau réciproque De type I pour la matrice De type C pour les canaux

10 Quasi-cristaux Diffraction électronique dun alliage dAl-Mn (Daprès D. Shechtman et al. Phys. Rev. Lett. 53, 1951 (1984))Phys. Rev. Lett. 53, 1951 Quasicristaux découverts « par hasard » par Schechtman (1982) qui étudiait des alliages dAl par trempe ultra rapide. Alliages dAl faiblement conducteurs (I, T) Fragiles à 300 K, ductiles à HT Diamagnétiques Propriétés tribologiques, anti-adhésives AlMn trempé (pas dordre à grande distance parfait) 1986 : AlLiCu, se forme à l équilibre (ordre imparfait) 1988 : Quasicristaux parfait, AlCuFe, AlPgMn, AlPdRe Cristal dodécaédrique dAlCuFe Photo : Annick Quivy © CNRS - CECM, Vitry-Thiais

11 Problème des macles... Cliché rayons X Microcristal décagonal Al 0.63 Cu Co 0.17 Si 0.02 Daprès P. Launois et al., 1991 Assemblage de microcristaux de symétrie 5 Microscopie et diffraction électronique Ordre microscopique quasicristallin Diffraction électronique (10 nm) Rayons X (1-100 m) Daprès M. Audier (1990) 72°...résolu

12 Pavages de Penrose Deux types de « tuiles » Deux types de « tuiles » Règles daccord Règles daccord Certains quasicristaux modélisés par un pavage de Penrose alliage Al-Fe-Cu 36° 72°

13 Principe de lindexation des QC TF du pavage de Penrose Indexé par 4 vecteurs arithmétiquement indépendants a1*a1* a4*a4* a3*a3* 4 indices Z-module de rang 4 Comment indéxer un diagramme qui nest pas périodique ? a2*a2*

14 Indexation des QC Diagramme des QC icosaédriques indéxés par 6 indices Positions Q hklhkl, forment un Z-module de rang 6 X Y a 5 * a 4 * a 1 * a 3 * a 2 * a 6 * Z : nombre dor

15 Définition du cristal IUCr 1991 By crystal we mean any solid having an essentially discrete diffraction diagram, and by aperiodic crystal we mean any crystal in which three-dimensional lattice periodicity can be considered to be absent. « Par cristal on désigne un solide dont le diagramme de diffraction est essentiellement discret et par cristal apériodique on désigne un cristal dans lequel la périodicité tridimensionnelle peut être considérée absente »

16 Cas particulier : Z-module Considérons un « objet » dont la TF est un Z-module de rang fini: {a* i } i=1..n vecteurs du Z-module de rang n ; {n i } i=1..n indices Réseau 3D : {n i } i=1..n =(hkl) indices de Miller; c{hkl}=1 Incommensurable {n i } i=1..n =(hklm); c{hklm}=J m (Q hkl.u 0 )e im Quasicristal icosaédrique {n i } i=1..n =(hklhkl)

17 Superespace À 1D H fonction périodique dun superespace de dimension n H(…y 1 +2 …)= H(…y 1 …) S(x) : coupe dun objet périodique dun superespace par une « hyper droite » déquation {y i = i x}

18 Exemples à 2D Coupe le réseau 2D Par un bande de pente irrationnelle Nombre dor : (1+5)/2=1,618 + Projection des points sur la droite = Pavages de Penrose : Coupe 2D de cristaux 4D Suite de Fibonacci

19 Exemples Réseau 2D +coupe Cristal 1D Cristal composite Incommensurable Quasi-cristal Quasi-cristal : coupe et projection Motif donne les « surface atomiques »

20 Quasicristal Surface atomiques discontinues Espace physique Pente suite de Fibonacci Espace perpendiculaire Où sont les atomes Affinement de la densité électronique dans le superespace Décorations de pavages de Penrose Approximants Pente rationelle : approximant

21 Phason : déplacement dans lespace perpendiculaire Translation dun cristal Glissement des deux cristaux composites lun par r t à lautre Glissement de la modulation incommensurable Sauts atomiques dans les quasicristaux Espace perp.

22 Edagawa PRL 2000 Phasons dans les quasi-cristaux : sauts atomiques

23 Ordre apériodique Si on peut indexer le diagramme de diffraction dun corps de dimension D par un nombre fini N dindices (Cas de tous les « cristaux » connus) Ce corps est apériodique si N>D. On peut obtenir ce cristal, par une méthode de « type » coupe et projection Quy a-t-il au-delà du quasi-cristal ?

24 …la presque-périodicité Si f est une fonction définie continue sur R n T est une ε-pseudo-période Si Sup|f(x+T)-f(x)|<ε F est presque-périodique ssi Lensemble des ε-pseudo-périodes est relativement dense (bien-réparti) Toute fonction périodique est p.p.! sin(x)+sin(2x) T=76 T=151

25 Essentiellement discret Grand théorème de Bohr (Harald) : F(x) est presque périodique F(x) est limite dune série. Le pavage « chaise » est limite-périodique Z-module de rang infini Pics en n

26

27 Définitions « Un ensemble infini de points de l'espace est géométriquement ordonné, s'il est engendré par un algorithme déterministe de complexité finie. » D. Gratias et al., Annu. Rev. Mat. Res. (2003) « Par cristal on désigne un solide dont le diagramme de diffraction est essentiellement discret » Cristal IUCr 1991 Ordre géométrique Ordre à grande distance

28 Ordre à grande distance Ordre géométrique Tous les cristaux connus peuvent être construits à partir de règles simples Ordre géométrique Ordre à grande distance Certains pavages itératifs nont pas dOGD (?) Exemples : le pavage pinwheel : « moulin », ou le pavage binaire Générateurs de nombres pseudo-aléatoires (Mersenne twister : période de )


Télécharger ppt "Les cristaux apériodiques - Incommensurables Daprès G. Pan, Thèse Orsay 1992 Q hkl +mk, k=0,204 b*+0,406 c* Cuprate supraconducteur Bi 2,2 Sr 1,8 CuO 2."

Présentations similaires


Annonces Google