Les cristaux apériodiques - Incommensurables

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1 Les cristaux apériodiques - Incommensurables
Cuprate supraconducteur Bi2,2Sr1,8CuO2 Phase modulée incommensurable Présence de satellites autour des nœuds du RR Qhkl+mk, k=0,204 b*+0,406 c* b* c* k 4 indices pour indexer D’après G. Pan, Thèse Orsay 1992

2 Incommensurable ? Cas de NaNO2
Ferroélectrique Diagramme de phase Ferro Para Inc. P BCCD L’escalier du diable Uhrig (1989) Variation continue de la position du satellite : Incommensurable Paraélectrique D’après Dominique Durand, Thèse, LPS, Orsay

3 Modulation incommensurable
Propriété locale du cristal possède une périodicité incommensurable avec celle du cristal Exemple : modulation displacive NaNO2 (polarisation électrique), alliages (onde de concentration), magnétisme ADN, Hélice de Coxeter

4 ER d’un cristal modulé incommensurable
Calcul de l’espace réciproque Espace direct donné par Formule de Jacobi-Anger Jm(z) fonction de Bessel d’ordre m J0(z) ~1-z2/2 et Jm(z) ~(z/2)m/m! F(q) est non nul si q=Qhkl+mk, 4 indices

5 ER d’un incommensurable
F(q) est non nul si q=ha*+k b*+l c*+mk J0(z) ~1-z2/2 et Jm(z) ~zm/m! m= k 2k -3 -2 3k -1 1 2 3 h=0 h=1 h=2 a* Espace réciproque Nœuds du RR bordés de « satellites » situés à ±mk Notion d’espace de dimension 4

6 Conséquence macroscopique : la calavérite
Calavérite : Au1-xAgxTe, minerai d’or Facettes violent la loi d ’Haüy c* q= -0,4095 a* + 0,4492 c* +4q +3q (001) G - 2014 +2q +q G - 0012 a* G - 2012 -q - (201)

7 Enchevêtrement de deux cristaux ayant des paramètres de maille
Cristaux composites Enchevêtrement de deux cristaux ayant des paramètres de maille dans un rapport irrationnel. a b = b’ a’ Modèle simple ER somme des 2 RR b*=b’* q=ha*+h’a’*+k b*+l c* 4 indices a* a’* Existe une intermodulation des deux réseaux...

8 une matrice de Ba tétragonal I
Structure du Ba Phase I Cubique centré Phase II Hexagonal Phase IV Tétragonal inc. Phase V Hexagonal 5.5 GPa 12.6 GPa 45 GPa (Centre terre 360=Gpa) Phase IV : Structure composite Chaînes de Ba dans une matrice de Ba tétragonal I 0.341 nm Ch= nm R.J. Nelmes, D.R Allan, M.I McMahon, et S.A. Belmonte, Phys. Rev. Lett., 83 (1999) 4081

9 Cristaux composites Réseau réciproque De type I pour la matrice
De type C pour les canaux ch cg b a R.J. Nelmes, D.R Allan, M.I McMahon, et S.A. Belmonte, Phys. Rev. Lett., 83 (1999) 4081

10 Quasi-cristaux Diffraction électronique d’un alliage d’Al-Mn
(D’après D. Shechtman et al. Phys. Rev. Lett. 53, 1951 (1984)) Quasicristaux découverts « par hasard » par Schechtman (1982) qui étudiait des alliages d’Al par trempe ultra rapide. Alliages d’Al faiblement conducteurs (I, T) Fragiles à 300 K, ductiles à HT Diamagnétiques Propriétés tribologiques, anti-adhésives AlMn trempé (pas d’ordre à grande distance parfait) 1986 : AlLiCu, se forme à l ’équilibre (ordre imparfait) 1988 : Quasicristaux parfait, AlCuFe, AlPgMn, AlPdRe Photo : Annick Quivy © CNRS - CECM, Vitry-Thiais Cristal dodécaédrique d’AlCuFe

11 Problème des macles... 72° ...résolu
Cliché rayons X Microcristal décagonal Al0.63Cu0.175Co0.17Si0.02 72° D’après P. Launois et al., 1991 Assemblage de microcristaux de symétrie 5 ...résolu Microscopie et diffraction électronique D’après M. Audier (1990) Diffraction électronique (10 nm) Rayons X (1-100 mm) Ordre microscopique quasicristallin

12 Certains quasicristaux modélisés par
Pavages de Penrose Certains quasicristaux modélisés par un pavage de Penrose alliage Al-Fe-Cu 72° 36° Deux types de « tuiles » Règles d’accord

13 Principe de l’indexation des QC
Comment indéxer un diagramme qui n’est pas périodique ? TF du pavage de Penrose Indexé par 4 vecteurs arithmétiquement indépendants a2* a1* a4* a3* 4 indices Z-module de rang 4

14 Diagramme des QC icosaédriques
Indexation des QC Diagramme des QC icosaédriques indéxés par 6 indices t : nombre d’or X Y a 5 * 4 1 3 2 6 Z Positions Qhklh’k’l’, forment un Z-module de rang 6

15 Définition du cristal IUCr 1991
‘‘By ‘crystal’ we mean any solid having an essentially discrete diffraction diagram, and by ‘aperiodic crystal’ we mean any crystal in which three-dimensional lattice periodicity can be considered to be absent.’’ « Par cristal on désigne un solide dont le diagramme de diffraction est essentiellement discret et par cristal apériodique on désigne un cristal dans lequel la périodicité tridimensionnelle peut être considérée absente »

16 Cas particulier : Z-module
Considérons un « objet » dont la TF est un Z-module de rang fini: {a*i}i=1..n vecteurs du Z-module de rang n ; {ni}i=1..n indices Réseau 3D : {ni}i=1..n=(hkl) indices de Miller; c{hkl}=1 Incommensurable {ni}i=1..n=(hklm); c{hklm}=Jm(Qhkl.u0)eimj Quasicristal icosaédrique {ni}i=1..n=(hklh’k’l’)

17 d’un superespace de dimension n
H fonction périodique d’un superespace de dimension n H(…y1+2p…)= H(…y1…) S(x) : coupe d’un objet périodique d’un superespace par une « hyper droite » d’équation {yi=a*ix}

18 Exemples à 2D Coupe le réseau 2D Par un bande de pente irrationnelle
Nombre d’or : (1+√5)/2=1,618 + Projection des points sur la droite = Suite de Fibonacci Pavages de Penrose : Coupe 2D de cristaux 4D

19 Motif donne les « surface atomiques »
Exemples Motif donne les « surface atomiques » Réseau 2D +coupe Cristal composite Quasi-cristal Cristal 1D Incommensurable Quasi-cristal : coupe et projection

20 Quasicristal Surface atomiques discontinues Où sont les atomes
Espace physique Pente t : suite de Fibonacci Pente rationelle : approximant Espace perpendiculaire Où sont les atomes Affinement de la densité électronique dans le superespace Décorations de pavages de Penrose Approximants

21 Phason : déplacement dans l’espace perpendiculaire
Translation d’un cristal Glissement des deux cristaux composites l’un par rt à l’autre Glissement de la modulation incommensurable Sauts atomiques dans les quasicristaux Espace perp.

22 Phasons dans les quasi-cristaux : sauts atomiques
Edagawa PRL 2000

23 Ordre apériodique Si on peut indexer le diagramme de diffraction d’un corps de dimension D par un nombre fini N d’indices (Cas de tous les « cristaux » connus) Ce corps est apériodique si N>D. On peut obtenir ce cristal, par une méthode de « type » coupe et projection Qu’y a-t-il au-delà du quasi-cristal ?

24 …la presque-périodicité
Si f est une fonction définie continue sur Rn T est une ε-pseudo-période Si   Sup|f(x+T)-f(x)|<ε F est presque-périodique ssi L’ensemble des ε-pseudo-périodes est relativement dense (bien-réparti) Toute fonction périodique est p.p.! sin(x)+sin(√2x) T=151 T=76

25 Essentiellement discret
Grand théorème de Bohr (Harald) : F(x) est presque périodique  F(x) est limite d’une série Pics en {l}n Le pavage « chaise » est limite-périodique Z-module de rang infini

26 http://www. math. uni-bielefeld. de/baake/frettloe/gallery/06-spectr2

27 D. Gratias et al., Annu. Rev. Mat. Res. (2003)
Définitions Ordre à grande distance « Par cristal on désigne un solide dont le diagramme de diffraction est essentiellement discret » Cristal IUCr 1991 Ordre géométrique « Un ensemble infini de points de l'espace est géométriquement ordonné, s'il est engendré par un algorithme déterministe de complexité finie. » D. Gratias et al., Annu. Rev. Mat. Res. (2003)

28 Ordre à grande distance  Ordre géométrique
Tous les cristaux connus peuvent être construits à partir de règles simples Ordre géométrique  Ordre à grande distance Certains pavages itératifs n’ont pas d’OGD (?) Exemples : le pavage pinwheel : « moulin », ou le pavage binaire Générateurs de nombres pseudo-aléatoires (Mersenne twister : période de − 1 )