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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Produit vectoriel Produit vectoriel.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Produit vectoriel Produit vectoriel

2 Mise en situation Le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur. Cela signifie que pour définir le produit, il faut donner la direction, le sens et le module du vecteur obtenu. Lorsque les vecteurs algébriques sont exprimés dans la base orthonormée usuelle, le produit vectoriel de deux vecteurs peut être obtenu par un calcul de déterminant. Nous verrons dabord le produit vectoriel de deux vecteurs algébriques de R3 R3 en cherchant à déterminer un vecteur perpendiculaire à deux vecteurs donnés. Nous généraliserons par la suite par linterprétation géométrique de ce produit.

3 Mise en situation Deux vecteurs sont perpendiculaires si et seulement si leur produit scalaire est nul. On doit donc avoir : Soit u = (a; b; c) et v = (d; e; f), deux vecteurs de R 3. Déterminons un vecteur w = (x; y; z) perpendiculaire à u et à v. (x; y; z) (a; b; c) = 0 (x; y; z) (d; e; f) = 0 ce qui donne le système homogène : ax + by + cz = 0 dx + ey + fz = 0 L 1 aL 2 – dL 1 Tous les vecteurs satisfaisant à la condition (ae – db)y = –(af – dc)z sont perpendiculaires aux deux vecteurs donnés. Il y en a donc une infinité. Parmi tous ces vecteurs, considérons celui pour lequel : S y = –(af – dc) et z = (ae – db) En substituant dans la première équation, on trouve x = (bf – ce). S abc0 def0 abc0 0ae – dbaf – dc0 Le vecteur retenu est := (x; y; z) = (bf – ce; –(af – dc); ae – db)w On constate que chaque composante de ce vecteur a la forme dun cofacteur dordre 2. De plus, en écrivant le vecteur comme combinaison linéaire de la base orthonormée usuelle, on obtient : = (bf – ec)wi– (af – dc)jk+ (ae – db) w = ijk abc def Cette combinaison linéaire a la forme dun déterminant dordre 3, soit : S

4 Produit vectoriel Soit u = (a; b; c) et v = (d; e; f), deux vecteurs de R 3. ijk abc def Définition Théorème Soit u = (a; b; c) et v = (c; d; e), deux vecteurs de R 3. S Perpendicularité du vecteur obtenu par le produit vectoriel Produit vectoriel de vecteurs algébriques Le produit vectoriel de ces deux vecteurs, noté u v, est défini par : u v = Alors, w = u v est un vecteur perpendiculaire au plan défini par les vecteurs u et v.

5 = Exemple ijk 3–25 24–3 S Déterminer un vecteur w perpendiculaire aux vecteurs u = (3; –2; 5) et v = (2; 4; –3). (6 – 20) – (–9 – 10) +(12 + 4) = –14 i + 19 j + 16 Le vecteur cherché est donc : w = (–14; 19; 16). Remarque Les composantes du vecteur à gauche du symbole dopération occupent la deuxième ligne et celles du vecteur à droite du symbole dopération occupent la troisième ligne. En permutant ces deux lignes, on change le signe, donc le sens, du vecteur obtenu. i k jk u v =

6 = Exercice ijk 2–3–4 –32 2 S Déterminer un vecteur w perpendiculaire aux vecteurs u = (2; –3; –4) et v = (–3; 2; 2). (–6 + 8) – ij (4 – 12) + k (4 – 9) = 2 i + 8 j – 5 k Le vecteur cherché est donc : w = (2; 8; –5). Vérifier que le vecteur obtenu est bien perpendiculaire aux vecteurs donnés. S On peut vérifier la perpendicularité des vecteurs par le produit scalaire. u w = v w = (2; –3; –4) (2; 8; –5) = 4 – = 0 (–3; 2; 2) (2; 8; –5) = – – 10 = 0 Puisque les deux produits scalaires sont nuls, le vecteur obtenu est bien perpendiculaire aux deux vecteurs donnés. u v =

7 Produit vectoriel Propriétés du produit vectoriel 1.Anticommutativité 2.Associativité pour la multiplication par un scalaire 3.Distributivité sur laddition vectorielle Pour tout vecteur u, v et w et pour tout scalaire p et q : u v = –(v u)u) pu qv = pq(u v)v) w u (v + w) = u v + u w u = (v + w) u w + v

8 u v 2 u v 2 Module du produit vectoriel Soit u = (a; b; c) et v = (d; e; f), deux vecteurs de R 3. Alors : = (bf – ec)i– (af – dc)jk+ (ae – db) Déterminons le carré du module du produit vectoriel. = (bf – ec) 2 + (af – dc) 2 + (ae – db) 2 = b2f2 b2f2 + e2c2 e2c2 + a2f2 a2f2 + d2c2 d2c2 + a2e2 a2e2 + d2b2 d2b2 – 2bfec – 2afdc – 2aedb En ajoutant et en retranchant a 2 d 2 + b 2 e 2 + c 2 f 2 au membre de droite, on obtient : = b2f2 b2f2 + e2c2 e2c2 + a2f2 a2f2 + d2c2 d2c2 + a2e2 a2e2 + d 2 b 2 + a2d2 a2d2 + b2e2 b2e2 + c2f2–c2f2– (a2d2 (a2d2 + b2e2 b2e2 + c2f2 c2f2 + 2bfec + 2afdc + 2aedb) En factorisant, on a ainsi : = (a2 (a2 + b2 b2 + c 2 )(d 2 + e2 e2 + f2) f2) – (ad + be + cf) 2 SSS ijk abc def = u 2 v 2 – (u v) 2 En développant le membre de droite, on obtient : Puisque 0° 180°, sin > 0 et on peut conclure que :, où est langle entre les vecteurs. u v 2 = u v sin = u 2 v 2 – (u v) 2 = u 2 v 2 – u 2 v 2 cos 2 = u 2 v 2 (1 – cos 2 ) = u 2 v 2 sin 2 u v u v 2 u v =

9 Module du produit vectoriel Théorème Soit u = (a; b; c) et v = (d; e; f), deux vecteurs de R 3. Module du produit vectoriel = u v sin, où est langle entre les vecteurs. Remarque Les vecteurs algébriques de R 3 étant représentés graphiquement par des vecteurs géométriques dont lorigine coïncide avec lorigine dun système daxes, les résultats sur la direction et le module du produit vectoriel sont également valides pour les vecteurs géométriques de R 3. Alors, le module du produit vectoriel u v est donné par : u v

10 Plaçons la main droite pour quelle pointe dans le sens du vecteur à gauche du symbole dopération et de telle sorte que lon puisse fermer la main en tournant vers le vecteur qui est à droite du symbole dopération. Produit vectoriel des vecteurs orthonormés ij k = 0i– 0j k + 1 i j = SSSS ij k = 1i– 0j k + 0 j k = ij k = 0i+ 1j k + 0 k i = ij k = 0i+ 0j k – 1 j i = Considérons dabord le produit i j.Considérons maintenant le produit j k.Considérons maintenant le produit k i.Considérons maintenant le produit j i. Le pouce indique alors le sens du produit vectoriel. On peut de la même façon, considérer les autres produits. La règle de la main droite permet toujours dindiquer le sens du produit vectoriel. Pour simplifier la réflexion considérons les vecteurs de la base orthonormée. Il nous reste à préciser le sens du produit vectoriel u v.v.

11 Sens du produit vectoriel Théorème Soit u = (a; b; c) et v = (d; e; f), deux vecteurs de R 3. Sens du produit vectoriel Pour appliquer la règle de la main droite, on tend celle-ci dans le sens du vecteur à gauche du symbole dopération de telle sorte que lon puisse fermer la main en tournant vers le vecteur qui est à droite du symbole dopération. Le pouce indique le sens du produit vectoriel. Pour appliquer la règle du tire-bouchon ou la règle de la vis, on imagine un tire-bouchon dont la pointe doit tourner du vecteur à gauche du symbole vers le vecteur à droite du symbole dopération. Le tire-bouchon ira alors dans le sens du produit vectoriel. Alors, le sens du produit vectoriel u v est donné par la règle de la main droite (ou règle de la vis ou règle du tire-bouchon).

12 Produit vectoriel Théorème Soit u et v deux vecteurs géométriques. Produit vectoriel de vecteurs géométriques sa direction est perpendiculaire au plan défini par u et v; son sens est obtenu en appliquant la règle de la main droite en tournant de u vers v; sa longueur est égale au produit des modules des vecteurs u et v et du sinus de langle entre ces vecteurs. v donne un vecteur w tel que : Alors, le produit vectoriel u

13 Produit vectoriel nul Théorème Soit u et v deux vecteurs non nuls. Produit vectoriel nul = 0° ou = 180° u et v ont la même direction (ou sont colinéaires). S u v sin = 0 sin = 0, car u 0 et v 0 Considérons u et v, deux vecteurs géométriques non nuls tels que u v = 0, Alors : Alors, u v = 0 si et seulement si les deux u et v ont la même direction (ou sont colinéaires). v = 0 u u

14 Par la règle de la main droite, le sens du produit est le même que le vecteur e 2. Exemple Effectuer, en utilisant cette base, les produits vectoriels indiqués. Exprimer le vecteur obtenu en fonction des vecteurs de la base. Dans la figure ci-contre, les vecteurs géométriques e 1, e 2 et e 3 forment une base. a)Le produit vectoriel donne un vecteur perpendiculaire au plan défini par e 1 et u. S De plus, e 1 = 1, u = = 8 = 2 2 et sin 45° = 2222 On a donc, e 1 u = 2. u = 2e 2 Par conséquent, e 1 e 1 u = 2 e 2 S b)En exprimant les vecteurs u et v en fonction des vecteurs de la base, on obtient : En utilisant les propriétés et le fait que sin 0° = 0 et sin 90° = 1, on obtient : u = 2 e e 3 et v = 2 e 1 + e 2 = 2 e 1 – 4 e 2 – 2 e 3 = 4 (0) + 2 (–e 3 ) + 4 (–e 2 ) + 2 (e 1 ) a)e 1 u b)u v u v = (2 e e 3 ) (2 e 1 + e 2 ) = 4 (e 1 e 1 ) + 2 (e 1 e 2 ) + 4 (e 3 e 1 ) + 2 (e 3 e 2 )

15 Interprétation géométrique du module Dans le produit vectoriel, le module est égal au produit des modules et du sinus de langle entre ceux-ci. Théorème Soit u et v deux vecteurs de R 3. Aire du parallélogramme Alors, le module du produit vectoriel u v donne laire du parallélogramme construit sur les vecteurs u et v.

16 = (2 e 2 – e 3 ) (2 e 1 – e 3 ) AB AD = 4 (e 2 e 1 ) – 2 (e 2 e 3 ) – 2 (e 3 e 1 ) + (e 3 e3)e3) Exemple Utiliser le produit vectoriel pour calculer laire du parallélogramme ABCD. Dans la figure ci-contre, les vecteurs géométriques e 1, e 2 et e 3 forment une base orthonormée. SS Le produit vectoriel donne alors : = 2 e e e 3 = 4 (e 3 ) – 2 (–e 1 ) – 2 (–e 2 ) + 2 (0) En exprimant ces vecteurs dans la base, on a : Pour déterminer laire du parallélo- gramme, il faut calculer le module du produit vectoriel AB AD. AB = 2 e 2 – e 3 et AD = 2 e 1 – e 3 On a donc : = 2 e e e 3 Le module est alors : Par conséquent, laire du parallélogramme est denviron 4,90 unités daire. = = 24 4,90 AB AD AB AD

17 Exemple Effectuer le produit vectoriel u v, sachant que : SS Le produit vectoriel est donné par : Calculer laire du parallélogramme construit sur ces vecteurs. On sait que ce vecteur est perpendiculaire aux deux vecteurs donnés et que son module donne laire du parallélogramme construit sur ceux-ci. Par conséquent, laire du parallélogramme est denviron 19,05 unités daire. u = 2 i – 3 j + k et v = –5 i + 2 j + 3 k ijk 2–3 1 –523 = (–9 – 2)2) i – (6 + 5) jk + (4 – 15) = (–11) 2 + (–11) 2 + (–11) 2 = ,05 = –11i– 11 jk u v u v =

18 Conclusion Le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur perpendiculaire aux deux vecteurs dont on effectue le produit, dont le sens est donné par la règle de la main droite et dont le module est égal au produit des modules et du sinus de langle entre les vecteurs. Lorsque les vecteurs sont donnés dans la base orthonormée usuelle, on peut trouver ce vecteur, exprimé dans cette même base, en effectuant le calcul dun déterminant. Le module du produit vectoriel donne laire du parallélogramme construit sur ceux-ci.

19 Lecture Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature. Section 9,3, p Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines. Section 8.3, p Exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature. Section 9.4, p Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines. Section 8,4, p


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