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Conception assistée par ordinateur GPA445 _____________________________________________________________ Modélisation géométrique Le modèle surfacique et.

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1 Conception assistée par ordinateur GPA445 _____________________________________________________________ Modélisation géométrique Le modèle surfacique et la représentation des surfaces Antoine Brière-Côté, adapté de R.Maranzana et L.Rivest

2 Modèle surfacique Caractéristiques Construction des surfaces Représentation des surfaces en CAO Représentation paramétrique Surfaces balayées Surfaces réglées Carreaux de surface (patch) Surfaces spline cubique Surfaces de Bézier Plan du cours GPA445 - CAO A.Brière-Côté, adapté de R.Maranzana et L.Rivest p 2

3 Modèles géométriques Modèle volumique (Solide) Modèle filaire (Fil de fer) Modèle filaire (Fil de fer) GPA445 - CAO A.Brière-Côté, adapté de R.Maranzana et L.Rivest p 3 Modèle surfacique Modèle 2D Modèle 3D Modèle géométrique

4 Modèle surfacique Espace de modélisation de dimension 3 Projection orthogonale automatique Coupe et section limitées Entités géométriques manipulées de dimension… 0: Point (X,Y,Z) 1: Segments de droite, de courbe (arc de cercle, autres) 2: Surfaces (plan, cylindre, cône, sphère, tore, surface complexe) Géométrie définie par un ensemble de surfaces correspondant aux frontières de lobjet : lobjet est décrit par sa peau Ombrage possible… Mais la peau peut être incomplète… ~s0001/exhibition/works.html GPA445 - Conception assistée par ordinateur A.Brière-Côté, adapté de R.Maranzana et L.Rivest p 4 Al Dean, CADserver, Oct 30, 2001

5 Modèle surfacique Modèle surfacique (suite) Limitations: Calcul des propriétés physiques limité; Représentation ambigüe; Lensemble des surfaces ne délimitent pas forcément un volume fermé (Sous-espace euclidien régulier); Pas dobligation de créer un volume fermé… Souplesse de modélisation plus grande; Applications typiques: Empreintes de moules, pièces de métal en feuille embouties; Rétro-ingénierie (ingénierie inversée, reverse engineering); Création et manipulation denveloppes complexes dans les systèmes de CAO utilisant des représentations solides. GPA445 - Conception assistée par ordinateur A.Brière-Côté, adapté de R.Maranzana et L.Rivest p 5

6 Modèle surfacique Construction du modèle surfacique Interpolation / approximation de points Beaucoup… ou peu; GPA445 - Conception assistée par ordinateur A.Brière-Côté, adapté de R.Maranzana et L.Rivest p 6 Tête: Diana Phillips Morley, Computer Graphics World McMahon

7 Modèle surfacique Construction du modèle surfacique: Par points… Surfaces à variation globale: La surface ou ses courbes sont définies par un ensemble de points de contrôle. Le déplacement dun point modifie la surface globalement. Surfaces à variation locale: La surface ou ses courbes sont définies par un ensemble de points de contrôle. Le déplacement dun point modifie la surface localement. GPA445 - Conception assistée par ordinateur A.Brière-Côté, adapté de R.Maranzana et L.Rivest p 7 Modification globale Modification locale

8 Comparaison: Modèles 2D, 3D, fil de fer, surfacique, solide… 2D 3D, fil de fer 3D, surfacique 3D, solide Modèle surfacique GPA445 - Conception assistée par ordinateur A.Brière-Côté, adapté de R.Maranzana et L.Rivest p 8

9 Modèle surfacique Construction du modèle surfacique: Par courbes… Surface cylindrique: Projection dune courbe génératrice le long dun vecteur; Surface réglée: Balayage dun segment de droite entre deux courbes; Surface de révolution: Révolution dune courbe génératrice autour dune ligne ou dun axe. GPA445 - Conception assistée par ordinateur A.Brière-Côté, adapté de R.Maranzana et L.Rivest p 9 C1 C2 G

10 Modèle surfacique Construction du modèle surfacique: Par courbes… Surface par balayage: Déplacement dun profil le long dune courbe génératrice Surface sculptée: Surface définie par un ensemble de courbes génératrices formant une grille. Type de surface le plus général GPA445 - Conception assistée par ordinateur A.Brière-Côté, adapté de R.Maranzana et L.Rivest p 10

11 Modèle surfacique Construction du modèle surfacique: Par dautres surfaces… Typiquement, ce sont des surfaces permettant de joindre des surfaces existantes. Exemples : chanfreins, congés de raccordement, etc. Complexité associée à la génération de telles surfaces (congés) issues de lintersection de surfaces existantes. GPA445 - Conception assistée par ordinateur A.Brière-Côté, adapté de R.Maranzana et L.Rivest p 11

12 Comme pour les courbes, les surfaces peuvent être représentées sous forme… Implicite: f(x,y,z) = 0 ; Explicite: z = f(x,y) ; Paramétrique: Meilleur contrôle dans la description des surfaces, Contrôle des sous-domaines pour diviser une surface complexe en carreaux simples. Représentation paramétrique GPA445 - CAO A.Brière-Côté, adapté de R.Maranzana et L.Rivest p 12

13 Forme générale dune surface paramétrée: Pour une courbe, un seul paramètre est nécessaire : x = x (u)y = y(u)z = z(u) Pour une surface, deux paramètres sont nécessaires : x = x (u,v)y = y(u,v)z = z(u,v) Caractéristiques générales Les techniques de représentation sont des extensions des courbes paramétriques dans la seconde dimension v; Les surfaces ainsi obtenues partagent beaucoup de caractéristiques avec les courbes correspondantes. Représentation paramétrique GPA445 - CAO A.Brière-Côté, adapté de R.Maranzana et L.Rivest p 13

14 Courbes iso-paramétriques: Représentation paramétrique GPA445 - CAO A.Brière-Côté, adapté de R.Maranzana et L.Rivest p 14 Q(v)Q(v) P(u)P(u) u = 0.1 v = 0.1 u v = S(0,v) = S(u,0) S(0,0) S(0,1) S(1,1) S(1,0) S(u,v)S(u,v)

15 Exemple simple: Carreau rectangulaire du plan XY… Sommets P 0,0 (a, b), P 1,0 (c, b), P 1,1 (c, d), P 0,1 (a, d)… Représentation paramétrique GPA445 - CAO A.Brière-Côté, adapté de R.Maranzana et L.Rivest p 15 y x ac d b u v u = 0 v = 0 u = 1 v = 1 u = u j v = v j

16 Exemple: Carreau planaire dans lespace 3D… Sommets P 0,0, P 1,0, P 1,1, P 0,1 Représentation paramétrique GPA445 - CAO A.Brière-Côté, adapté de R.Maranzana et L.Rivest p 16 u v u = 0 v = 0 u = 1 v = 1 u = u j v = v j y x z

17 Surface cylindrique Créées par une droite directrice sur laquelle est translatée de manière parallèle une courbe génératrice. Si la génératrice est un cercle, on obtient un cylindre circulaire; SE: Extrusion = directrice droite (direction + distance) + profil générateur quelconque (esquisse); Surfaces balayées GPA445 - CAO A.Brière-Côté, adapté de R.Maranzana et L.Rivest p 17 Directrice P(u) Génératrice Q(v)

18 Surface de révolution Obtenue par révolution dune courbe génératrice autour dun axe de révolution; Génératrice = courbe déplacée qui balaie la surface; Lintersection dun plan perpendiculaire à laxe de révolution qui coupe la surface fourni un cercle nomme parallèle; Exercice 7.8 … + Demo SE Surfaces balayées GPA445 - CAO A.Brière-Côté, adapté de R.Maranzana et L.Rivest p 18 Génératrice P(u) x y Axe de révolution Parallèle: Cercle de rayon P x (u 0 ) avec u 0 constante

19 Surface sphérique centrée en P 0 = (x 0, y 0, z 0 ): Parallèles (latitude): courbes iso-paramétriques à u constant; Méridiens (longitude): courbes iso-paramétriques à w cste; Exercice: Sphère de rayon 2 située au point (-1,1,4); Équation de léquateur? Représentation paramétrique GPA445 - CAO A.Brière-Côté, adapté de R.Maranzana et L.Rivest p 19 Comment définir une portion de sphère?

20 u = u i Surface réglée Surface telle que en chaque point de la surface passe un segment de droite complètement contenu dans la surface; Peut être obtenue par balayage dun segment de droite (génératrice) qui se déplace entre deux courbes quelconques. Surfaces balayées GPA445 - CAO A.Brière-Côté, adapté de R.Maranzana et L.Rivest p 20 u = 0 u = 1 Une surface cylindrique est-elle réglée?

21 Surface réglée (formulation mathématique): Soit deux courbes P(u) et Q(u) définie dans lespace 3D en fonction du même paramètre u variant de 0 a 1; Si P(u) et Q(v), effectuer un changement de variable v = f(u); Le principe revient à former un segment de droite entre tous les points évalués P(u i ) et Q(u i ): Surfaces balayées GPA445 - CAO A.Brière-Côté, adapté de R.Maranzana et L.Rivest p 21 u = u i u = 0 u = 1

22 Surface conique Une surface conique est engendrée par une droite génératrice passant par un point fixe S (sommet) et sappuyant sur une courbe plane; Cône de révolution: directrice circulaire, hauteur passant par le centre du cercle; Cône oblique: toutes courbes, hauteur hors centre de la courbe; La génératrice peut être différente dune droite… Ex.: Génératrice est une parabole = cône parabolique. Surfaces balayées GPA445 - CAO A.Brière-Côté, adapté de R.Maranzana et L.Rivest p 22

23 Caractéristiques générales: Élément de base dans la définition de surfaces complexes; Équivalent aux segments pour la définition des courbes; Un carreau est considéré bi-paramétrique puisquil est décrit par deux paramètres (u et v); Pour un carreau, u et v varient habituellement de 0 a 1; En fixant u ou v, on génère une courbe iso-paramétrique sur la surface définie en fonction du 2 e paramètre; Une surface est ainsi décrite par un réseau de courbes iso-paramétriques; Ici, incrément de 0.1 en u et v. Carreaux de surface (Patch) GPA445 - CAO A.Brière-Côté, adapté de R.Maranzana et L.Rivest p 23

24 Pour chaque carreau, il faut déterminer les conditions aux frontières (contraintes géométriques): Surface de Coon (Coons patch): 4 points (coins), 4 courbes frontières; Surface bicubique (LHermite): 4 points, 8 vecteurs de tangence, 4 vecteurs de torsion. Carreaux de surface (Patch) GPA445 - CAO A.Brière-Côté, adapté de R.Maranzana et L.Rivest p 24

25 Surface de Coon (Coons Patch) Steven Anson Coon, MIT, 1960s; Ensemble de techniques dinterpolation entres les courbes qui définissent le contour dune surface; Linterpolation linéaire est la plus simple; Linterpolation de degré supérieur est également utilisée; Par exemple, linterpolation cubique permet dassurer une continuité au niveau des tangentes entres des carreaux adjacents. Carreaux de surface (Patch) GPA445 - CAO A.Brière-Côté, adapté de R.Maranzana et L.Rivest p 25

26 Surface saline générale: Représentation par une suite de polynômes de degré n; Forme bi-cubique: Polynômes de degré 3, Bi : deux variables paramétriques nécessaires; Équivalent surface des courbes cubiques paramétrées; Elles sont définies par des points et des vecteurs de tangence; Pour une courbe cubique, quatre conditions frontières requises; Pour une surface, il faut seize conditions frontières (4 × 4). Surface spline bicubique GPA445 - CAO A.Brière-Côté, adapté de R.Maranzana et L.Rivest p 26

27 Forme algébrique: Pour une courbe polynomiale cubique nous avions : Dans le cas dune surface bi-cubique nous avons : Polynôme de 16 termes; Chaque vecteur a ij comprend 3 inconnues (a x, a y, a z ) ij : On a donc 48 coefficients algébriques ou degrés de liberté. Surface spline bicubique GPA445 - CAO A.Brière-Côté, adapté de R.Maranzana et L.Rivest p 27

28 Forme matricielle: Chaque élément de A possède 3 composantes (x, y, z), donc la matrice est 4x4x3. Surface spline bicubique GPA445 - CAO A.Brière-Côté, adapté de R.Maranzana et L.Rivest p 28

29 Chaque surface possède ses 48 coefficients (ou 16 vecteurs) propres qui déterminent sa forme et sa position; 1 point sur la surface existe pour chaque paire (u i,v j ) Pour déterminer les 48 degrés de liberté: Technique de Lagrange: Requiert grille de seize points (4 × 4) avec valeurs de paramètres u et v; Technique de lHermite: Points (4) Vecteurs de tangence (8) Vecteurs de torsion (4). Surface spline bicubique GPA445 - CAO A.Brière-Côté, adapté de R.Maranzana et L.Rivest p 29

30 Interpolation dHermite: Seize conditions frontières sont : Les points aux quatre coins du carreau: P 00, P 01, P 10, P 11 Les deux vecteurs de tangente selon u et v à chaque coin, ce qui apportent huit conditions supplémentaires : P u 00, P u 01, P u 10, P u 11, P v 00, P v 01, P v 10, P v 11 Les vecteurs de dérivée croisée 2 P/uv à chaque coin: P uv 00, P uv 01, P uv 10, P uv 11 Les vecteurs de dérivée croisée, appelés aussi vecteurs de torsion fournissent une mesure de la torsion de la surface. Surface spline bicubique GPA445 - CAO A.Brière-Côté, adapté de R.Maranzana et L.Rivest p 30

31 Interpolation dHermite (suite): La spécification des vecteurs de torsion par lutilisateur nest pas naturelle; On peut imposer la formulation dhypothèses particulières (continuité ou valeur nulle). Surface spline bicubique GPA445 - CAO A.Brière-Côté, adapté de R.Maranzana et L.Rivest p 31

32 Interpolation de Lagrange: Pas toujours facile de connaitre tangentes et torsions; 48 degrés de liberté pour définir surface: 16 points 3D (x, y, z); Organiser les positions des points selon des ratios de 1/3 des paramètres; Difficile de contrôler la continuité à la jonction de tels carreaux; On utilisera donc les surfaces de Bézier. Surface spline bicubique GPA445 - CAO A.Brière-Côté, adapté de R.Maranzana et L.Rivest p 32

33 Les surfaces de Bézier sont léquivalent des courbes de Bézier au niveau des surfaces; Elles utilisent un polyèdre caractéristique, aussi appelé maillage caractéristique; La surface passe par les points de coin du polyèdre; Les arêtes extérieures de la surface sont tangentes aux segments de droites formant les coins du polyèdre caractéristique. Surfaces de Bézier GPA445 - CAO A.Brière-Côté, adapté de R.Maranzana et L.Rivest p 33

34 Formulation mathématique: (n+1) points de contrôle selon u : polynôme de degré n en u; (m+1) points de contrôle selon v : polynôme de degré m en v; P ij : coordonnees (x,y,z) des sommets du polyèdre caractéristique; Les fonctions dinfluence B i,n (u) et B j,m (v) sont définies par : Surfaces de Bézier GPA445 - CAO A.Brière-Côté, adapté de R.Maranzana et L.Rivest p 34

35 Continuité entre des carreaux de Bézier Pour continuité G 1 à la frontière des carreaux, les points adjacents doivent être colinéaires: Surfaces de Bézier GPA445 - CAO A.Brière-Côté, adapté de R.Maranzana et L.Rivest p 35

36 Surface approximative construite par lassemblage de plusieurs carreaux de surfaces, donc à variation locale; Pas de limitation du nombre de points de contrôle; Le degré des courbes caractéristiques est indépendant du nombre de points de contrôle; Chaque carreau de la surface possède ses propres fonctions dinfluence (blending functions), dont les valeurs sont non-nulles uniquement pour lintervalle correspondant. Surfaces B-Spline GPA445 - CAO A.Brière-Côté, adapté de R.Maranzana et L.Rivest p 36


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