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Programmation par contraintes Virginie gabrel Master ID apprentissage 2010-2011 1PPC - V. Gabrel.

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1 Programmation par contraintes Virginie gabrel Master ID apprentissage PPC - V. Gabrel

2 Plan Exemple introductif : Sudoku Partie 1 : Définition dun CSP Partie 2 : Résolution dun CSP Partie 3 : La PPC avec OPL PPC - V. Gabrel2

3 Exemple introductif : sudoku PPC - V. Gabrel3

4 Exemple introductif : sudoku ? PPC - V. Gabrel ?

5 Exemple introductif : suduko ? PPC - V. Gabrel5 Réduction de domaine par propagation des contraintes Case : 1 2 Ligne : 5 7 Colonne : 2 7 =>

6 Exemple introductif : sudoku PPC - V. Gabrel6 Réduction du domaine Seule position possible pour le 4 => Réduire les domaines des autres cellules

7 Sudoku et PPC Cellule = variable qui doit prendre une valeur dans le domaine : 1..9 Existence de contraintes restreignant les domaines des variables Raisonnement par élimination de valeurs et réduction du domaine Raisonnement local propagé sur les domaines admissibles des autres variables PRINCIPES AU CŒUR DE LA PPC PPC - V. Gabrel7

8 Sudoku : Modèle Variables et domaines : x[i,j] 1..9 pour i et j allant de 1 à 9 Contraintes : Pour i allant de 1 à 9 // valeurs différentes en ligne allDifferent(x[i,j] : j de 1 à 9 ) // valeurs différentes en colonne allDifferent(x[j,i] : j de 1 à 9); Pour i allant de 0 à 2 Pour j allant de 0 à 2 // valeurs différentes dans les cases 3x3 allDifferent(x[3*i+k,3*j+q] : k et q de 1 à 3); PPC - V. Gabrel8

9 Sudoku avec OPL /********************************************* * OPL 6.3 Model * Author: utilisateur * Creation Date: 11 mai 2010 at 20:49:52 *********************************************/ using CP; int taille=9; dvar int x[1..taille,1..taille] in 1..taille; subject to { forall(i in 1..taille) { allDifferent(all(j in 1..taille) x[i,j]); allDifferent(all(j in 1..taille) x[j,i]); } forall(i in 0..2) forall(j in 0..2) allDifferent(all(k in 1..3, q in 1..3) x[3*i+k,3*j+q]); x[1,1]==7;x[2,2]==2;x[2,3]==5;x[3,2]==6;x[3,3]==1;x[3,4]==9;x[1,6]==5;x[1,8]==3;x[2,9]==7; x[5,1]==4;x[6,2]==7;x[5,4]==3;x[5,5]==2;x[6,6]==6;x[4,7]==9;x[6,8]==4;x[6,9]==2; x[7,2]==4;x[7,3]==6;x[9,3]==7;x[8,5]==4;x[9,5]==5;x[8,7]==2;x[9,7]==1; } PPC - V. Gabrel9

10 Solution // solution x = [[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]]; PPC - V. Gabrel10

11 Spécificités de la programmation par contraintes Combine des techniques de raisonnement/déduction avec du calcul. Méthodologie utilisée : – Modéliser le problème en termes de variables, de domaines et de contraintes (spécifiant les combinaisons admissibles de valeurs aux variables) – Choisir un langage pour exprimer les contraintes – Appliquer une méthode de résolution : énumération et réduction de lespace de recherche 11PPC - V. Gabrel

12 Partie 1 : Définition dun CSP 1 – Le problème des reines 2 – Qu'est-ce qu'une contrainte ? 3 – Qu'est ce qu'un CSP: Constraint Satisfaction Problem ? 4 –Un deuxième exemple : Intégration de nouveaux employés dans une entreprise 12PPC - V. Gabrel

13 Exemple : le problème des n reines Problème : placer n reines sur un échiquier nxn de façon à ce quelles ne puissent pas sattaquer Solution partielle Solution complète 13PPC - V. Gabrel

14 Modélisation sous la forme dun CSP Variables : X = (x1,…,xn, y1, …, yn) Associer à chaque reine i deux variables xi et yi correspondant respectivement à la ligne et la colonne sur laquelle placer la reine. Domaines : D=(Dx1, …, Dxn, Dy1,…, Dyn) avec Dxi = Dyi = 1..n pour tout i Contraintes : C=(clig,ccol,cdm,cdd) Les reines doivent être sur des lignes différentes. clig = {xixj pour tout i=1..n et j=1..n avec ij} clig = allDifferent({xi}) Les reines doivent être sur des colonnes différentes. ccol = {yiyj pour tout i=1..n et j=1..n avec ij} ccol = allDifferent({yi}) Les reines doivent être sur des diagonales montantes différentes. cdm = {xi+yixj+yj pour tout i allant de 1 à n, pour tout j allant de 1 à n} Les reines doivent être sur des diagonales descendantes différentes. Cdd = {xi-yixj-yj pour tout i allant de 1 à n, pour tout j allant de 1 à n} Une solution du problème des 4 reines, pour cette première modélisation, est A = {(x1,1), (y1,2), (x2,2), (y2,4), (x3,3), (y3,1), (x4,4), (y4,3)} 14PPC - V. Gabrel

15 Qu'est-ce qu'une contrainte ? Une contrainte est une relation logique (une propriété qui doit être vérifiée) entre différentes inconnues, appelées variables, chacune prenant ses valeurs dans un ensemble donné, appelé domaine. Une contrainte restreint les valeurs que peuvent prendre simultanément les variables. Par exemple, la contrainte "x + 3*y = 12" restreint les valeurs que l'on peut affecter simultanément aux variables x et y. 15PPC - V. Gabrel

16 Qu'est-ce qu'une contrainte ? Une contrainte peut être définie en extension On énumére les tuples de valeurs satisfaisant la contrainte. Exemple : si les domaines des variables x1 et x2 sont {0,1,2} alors on peut définir la contrainte x1 < x2 en extension par "(x1,x2) élément-de {(0,1),(0,2),(1,2)}" Variable : x j et son domaine de définition D j Contrainte : c(i) est définie par un couple (v(i),r(i)) où : v(i)=(x1,…,xk) : liste de k variables r(i) : une liste de k-uplets admissibles, sous-ensemble du produit cartésien D 1 X…XD k ensemble des combinaisons de valeurs admissibles 16PPC - V. Gabrel

17 Qu'est-ce qu'une contrainte ? Une contrainte peut être définie en intension n variables : X=(x1,…,xn) n domaines (finis) : i=1,..,n, xi Di m contraintes : C=(c(1),…,c(m)) c(i) = (v(i), r(i)) où v(i) une liste de k variables et r(i) une relation. 17PPC - V. Gabrel

18 Arité dune contrainte Cest le nombre de variables sur lesquelles elle porte =|v(i)|. Si k=1 : contrainte unaire Si k=2 : contrainte binaire : x1 x2 Si k=3 : contrainte ternaire : x1 x2 x3 Si k=n : contrainte n-aire : allDifferent(v(i)) = contraint toutes les variables appartenant à v(i) à prendre des valeurs différentes. 18PPC - V. Gabrel

19 Différents types de contraintes Fonction des domaines de valeurs des variables : numériques portent sur des variables à valeurs numériques = une égalité (=), une différence () ou une inégalité (, ) entre 2 expressions arithmétiques. On distingue : les contraintes numériques sur les réels, les contraintes numériques sur les entiers, les contraintes numériques linéaires, les contraintes numériques non linéaires, … booléennes portent sur des variables à valeur booléenne (vrai ou faux) : une contrainte booléenne est une implication (=>), une équivalence ( ) ou une non équivalence (<>) entre 2 expressions logiques. 19PPC - V. Gabrel

20 Qu'est ce qu'un CSP ? Un pb de Satisfaction de Contraintes (CSP) est un problème P modélisé sous la forme d'un ensemble de contraintes posées sur des variables, chacune de ces variables prenant ses valeurs dans un domaine. CSP est définie par un triplet (X,D,C) où X=(x1,…,xn) D=(D1,…,Dn) avec i=1,..,n, xi Di C=(c(1),…,c(m)) avec c(i) = (v(i), r(i)) où c(i) est une relation entre les variables de v(i), restreignant les valeurs que peuvent prendre simultanément ces variables. CSP binaire : Ne contient que des contraintes binaires Exemple : soit le CSP (X,D,C) suivant : X = (a,b,c,d) D(a) = D(b) = D(c) = D(d) = {0,1} C = { a b, c d, a+c < b } 20PPC - V. Gabrel

21 Qu'est ce qu'un CSP ? Une solution du CSP (X,D,C) : affectation des valeurs aux variables de telle sorte que toutes les contraintes soient satisfaites. A = { (x1,v1), (x2,v2),..., (xn,vn) } = l'affectation qui instancie la variable xk par la valeur vk, k=1..n. Affectation totale : toutes les variables du problème sont instanciées Affectation partielle : seule une partie des variables est instanciées. Xk (inclus dans X) est le domaine de laffectation Une affectation A viole une contrainte c(k) si toutes les variables de v(k) sont instanciées dans A, et si la relation définie par r(k) n'est pas vérifiée pour les valeurs des variables de v(k) définies dans A. Une affectation (totale ou partielle) est consistante si elle ne viole aucune contrainte, et inconsistante si elle viole une ou plusieurs contraintes. Une solution est une affectation totale consistante, c'est-à-dire une instanciation de toutes les variables du problème qui ne viole aucune contrainte 21PPC - V. Gabrel

22 Différents problèmes de CSP S P = ensemble de solutions du CSP P P est consistant ssi S P. Prouver quun CSP est consistant Exhiber une solution qui maximise un ou plusieurs critères Calculer ou estimer le nombre de solutions dun CSP Si S P =. =>Trouver l'affectation totale qui viole le moins de contraintes possibles = max-CSP ou min-VCSP lorsque chaque contrainte a un poids (= une valeur proportionnelle à l'importance de la contrainte, et on cherche l'affectation totale qui minimise la somme des poids des contraintes violées). 22PPC - V. Gabrel

23 Autre modélisation du pb des n reines n variables X = {x1,…,xn} : xi = position de la reine i sur la colonne i. Domaines : D(xi) = {1,…,n} pour tout i allant de 1 à n Contraintes : les reines doivent être sur des lignes différentes Clig = {xi xj / pour i allant de 1 à n, pour j allant de 1 à n et i j} les reines doivent être sur des diagonales montantes différentes Cdm = {xi+i xj+j / pour tout i allant de 1 à n, pour tout j allant de 1 à n et i j} les reines doivent être sur des diagonales descendantes différentes Cdd = {xi-i xj-j / pour tout i allant de 1 à n, pour tout j allant de 1 à n et i j} Solution du problème des 4 reines : A = {(x1,2), (x2,4), (x3,1), (x4,3)}. 23PPC - V. Gabrel

24 Deuxième exemple Pour laccueil de 30 nouveaux employés, on souhaite constituer 10 équipes de 6 personnes avec 30 employés. Chaque équipe doit être constituée de 6 personnes : 3 nouveaux + 3 employés. Chacun des employés est affecté à un service indicé de A à F et chaque équipe doit être contenir au plus 4 employés du même service. Les employés des services A et B ne peuvent être dans la même équipe ; même contrainte pour les employés des services E et F. Données : Les employés sont indicés de 0 à 59 : les nouveaux employés ont un numéro pair alors que les autres ont un numéro impair. Les affectations aux services sont : Lemployé 5 doit être dans la même équipe que lemployé 41. Lemployé 15 doit être soit avec lemployé 40 soit avec lemployé 51. Soit lemployé 20 est avec 24, soit lemployé 22 est avec 50. PPC - V. Gabrel24 serviceABCDEF intervalle

25 Modèlisation sous la forme dun CSP Variables : xi = numéro déquipe affecté à lemployé i, i=0..59 Domaines : Di = {1,..,6} pour tout I Contraintes : Pour tout j allant de 1 à 6 – count(pour i allant de 0 à 59 avec i%2=0 : xi= j)=3 – count(pour i allant de 0 à 59 avec i%2=1 : xi= j)=3 – count(pour i allant de 0 à 19, xi=j)<=4 – count(pour i allant de 20 à 39, xi=j)<=4 – count(pour i allant de 40 à 44, xi=j)<=4 – count(pour i allant de 45 à 49, xi=j)<=4 – count(pour i allant de 50 à 54, xi=j)<=4 – count(pour i allant de 55 à 59, xi=j)<=4 Pour tout j allant de A à F … x5=x41 (x15=x40) (x15=x51) PPC - V. Gabrel25

26 Exemple dapplications industrielles Allocation de ressources (tournées de véhicules) Emploi du temps Planification de production Ordonnancement Vérification et diagnostic … PPC - V. Gabrel26

27 Partie 2 : Résolution dun CSP 1.Procédure dexploration Engendrer et tester 2.Procédure Retour Arrière Simple 3.La consistance locale 4.Filtrage a priori 5.Filtrage en cours de résolution 6.Heuristiques On ne limite à des CSP à variables entières !! 27PPC - Virginie Gabrel

28 1. Procédure Engendrer et tester Obj : Enumérer lensemble des affectations complètes jusquà en trouver une qui soit consistante 28PPC - Virginie Gabrel

29 Procédure Engendrer et tester Procédure EngTest(A,X,D,C) Si A est totale alors si A est consistante alors retourner vrai sinon faux fsi Sinon choisir x j non instanciée pour tout v dans D j faire si EngTest(A (x j,v),X,D,C) alors retourner vrai fin pour retourner faux Fsi Appel : EngTest(,X,D,C) 29PPC - Virginie Gabrel

30 Procédure Engendrer et tester On ne teste que la consistance des affectations totales Pas de détection dinconsistance sur les affectations partielles Le nb de solutions explorées peut être très grand = |D1|x…x|Dn| Si |Dj|=2 => 2 n solutions. Dès que n>15 => impossible à résoudre => TRES MAUVAISE PROCEDURE 30PPC - Virginie Gabrel

31 Pistes damélioration Ne développer que les affectations partielles consistantes => Procédure RetourArrièreSimple Réduire les tailles des domaines des variables en enlevant les valeurs inconsistantes 31PPC - Virginie Gabrel

32 2. Procédure Retour Arrière Simple Procédure RAS(A,X,D,C) Si A est totale alors retourner A fsi Sinon choisir x j non instanciée pour tout v dans D j faire si A (x j,v) est consistante alors RAS(A (x j,v),X,D,C) fin pour Fsi Appel : RAS(,X,D,C) 32PPC - Virginie Gabrel

33 Procédure Retour Arrière Simple Permet déliminer des solutions partielles par paquet ! Pistes damélioration : sapercevoir plus tôt quun sous-arbre ne contient pas de solutions. 33PPC - Virginie Gabrel

34 3. La consistance locale Obj : Supprimer des valeurs des variables qui ne mènent à aucune solution valeurs inconsistantes avec une ou plusieurs contraintes Exemple: Dx={1,2,3}, Dy={2,3,4}, x>=Y Si x=1, pas de valeur dans Dy pour vérifier la contrainte Suppression de 1 dans Dx PPC - V. Gabrel34

35 Nœud-consistance Sapplique aux contraintes unaires Définition : Un CSP est nœud-consistant si x X, c(i) C telle que |v(i)|=1, v Dx, (x,v) vérifie r(i). PPC - V. Gabrel35

36 Arc-consistance Sapplique sur les contraintes binaires Définition : Un CSP est arc-consistant ssi c(i) C telle que |v(i)|=2 avec v(i)={x,y} – v Dx, v Dy: {(x,v),(y,v)} vérifie r(i) – v Dy, v Dx: {(x,v),(y,v)} vérifie r(i) Remarque : algo polynomiaux pour rendre arc-consistant un CSP. PPC - Virginie Gabrel36

37 Hyper-arc-consistance Sapplique sur des contraintes darité qqconque Définition : Soit une contrainte c(i) darité k, c(i) est hyper-arc-consistant si x v(i) et v Dx, une affectation A des variables de v(i)\{x} telle que A (x,v) vérifie r(i) Un CSP est hyper-arc-consistant ssi toute ses contraintes sont hyper-arc-consistantes. PPC - V. Gabrel37

38 Hyper-arc-consistance Un CSP est hyper-arc-consistante si chaque valeur v de nimporte quel domaine de variable peut participer à une affectation totale consistante. Pour une contrainte binaire : hyper-arc- consistance = arc-consistance PPC - V. Gabrel38

39 4-Filtrage a priori Comment rendre un CSP arc-consistant ? Par le Filtrage. PPC - Virginie Gabrel39

40 Procédure Filtrage a priori Procédure FAP1(X,D,C) L<- {(xi,xj), (xj,xi) avec i j liées par une contrainte binaire} Répéter modification <- faux pour tout (xi,xj) dans L modification <- REVISE (xi,xj) modification fin pour Tant que modification= vrai Procédure REVISE(xi,xj) modification <- faux pour tout v dans D i faire Sil nexiste pas v Dj tel que {(xi,v), (xj,v)} est consistance alors Di <- Di\{v} modification <- vrai fin si Fin pour Retourner modification 40PPC - Virginie Gabrel

41 Procédure Filtrage a priori Limite de FAP1 : A chaque réduction de domaine on parcours de nouveau L = > TRES LONG Procédure FAP2(X,D,C) L<- {(xi,xj), (xj,xi) avec i j liées par une contrainte} Tant que L choisir et supprimer de L un couple (xi,xj) si REVISE(xi,xj) alors L <- L {(xk,xi): contrainte liant xk et xi} fin si Fin tant que Si à lissue de FAP1 ou FAP2, il existe un domaine vide CSP inconsistant 41PPC - Virginie Gabrel

42 Exercice 1 Peut-on rendre le CSP suivant arc-consistant ? Appliquer FAP1 puis FAP2 Variables : x,y,z Domaines : Dx={0,1,2} Dy={0,1,2} Dz={0,1,2,3,4} Contraintes (x,y) {(0,1),(1,0),(2,2)} (x,z) {(0,2),(0,3),(1,1),(2,1)} (y,z) {(0,2),(1,4)} PPC - V. Gabrel42

43 Exercice 2 : Planification de tâches On doit planifier 6 tâches dans un délai de 6 heures Graphe potentiel-tâche Chaque tâche ne peut commencer quen début dheure. La tâche T1 ne peut pas être planifiée à la même heure que la tâches T4. 1.Modéliser ce problème comme un CSP 2.Rendre ce CSP arc-consistant. PPC - V. Gabrel43 T1 T3 T2T4T5 T

44 Limites du filtrage a priori Procédure longue et pas nécessairement efficace Exemple: X=(x1,…,xn) Di={1,…,n} pour tout i allant de 1 à n C=(X, all-diff(x1,…,xn)) le filtrage a priori nenlève aucune valeur. Amélioration : utiliser le filtrage en cours dénumération PPC - V. Gabrel44

45 5-Filtrage en cours de résolution A chaque instanciation : anticiper les conséquences de laffectation partielle sur les domaines des variables restant à instancier Filtrer les domaines des variables non affectées en enlevant les valeurs inconsistantes Différents filtrages possibles PPC - V. Gabrel45

46 Différents filtrages étant donné une affectation partielle A Pour chaque variable xi non affectée, enlever de Di toute valeur v telle que laffectation A {(xi,v)} ne soit pas consistante ( on anticipe dune étape dans lénumération) FILTRAGE PAR CONSISTANCE DE NŒUD PPC - V. Gabrel46

47 Procédure Forward Checking Procédure FC(A,V,D,C) Si V= alors A est une affectation totale consistante Sinon choisir xk dans V pour tout v dans Dk si check-forward(xk,v,V\{xk},D,C) alors FC(A (xk,v),V\{xk},D,C) fin si fin pour Fin si Procédure check-forward(xk,v,V,D,C) pour tout xj V pour chaque v Dj si {(xk,v),(xj,v)} inconsistant alors Dj <- Dj\{v} fin pour Si Dj= alors retourner faux fin pour Retourner vrai Appel : FC(,X,D,C) 47PPC - Virginie Gabrel

48 Différents filtrages étant donné une affectation partielle A Pour chaque variable xi non affectée, enlever de Di toute valeur v telle quil existe une variable xj non affectée pour laquelle, pour toute valeur w de Dj, laffectation A {(xi,v),(xj,w)} ne soit pas consistante ( on anticipe de deux étapes) FILTRAGE PAR CONSISTANCE DARC PPC - V. Gabrel48

49 Procédure full Look-Ahead Après chaque instanciation, réaliser une arc- consistance complète sur les variables non instanciées + réduit les domaines encore mieux que le FC -beaucoup plus gourmand en tps de calcul A faire : Simuler sur le pb des 4 reines Comparer FC et FLA sur le CSP suivant : X={x,y,z}, Dx=Dy=Dz={1,2}, C={x y,y z,x z} PPC - V. Gabrel49

50 Différents filtrages étant donné une affectation partielle A Anticipe de 3 étapes dans lénumération FILTRAGE PAR CONSISTANCE DE CHEMIN ou 3-CONSISTANCE … Plus un filtrage est fort, plus il sera long à exécuter ! PPC - V. Gabrel50

51 Traitement de contraintes spécifiques La contrainte allDifferent PPC - V. Gabrel51 1? x[1,1] == 1 => x[1,2] {2,3,4} x[1,4] == 2 => x[1,2] {3,4} x[3,2] == 3 => x[1,2] {4}

52 La contrainte allDifferent allDifferent(x1,…,xn) Calculer nv : nbre de variables non instanciées R : ensemble des valeurs restantes dans les domaines des variables non instanciées Si nv > |R| alors CSP inconsistant PPC - V. Gabrel52

53 Traitement de allDifferent c est une contrainte allDifferent(X) nv=|X| Procedure filtrageAllDifferent(c) V<- X Tant que x V telle que Dx ={v} V<- V\{x} pour tout x V, Dx <- Dx\{v} Fin tq U<- Pour tout x X faire U<-U Dx Si nv >|U| alors retourner Inconsistance PPC - V. Gabrel53

54 Traitement de allDifferent Limite de la procédure filtrageAllDifferent(c) Après réduction de domaine : PPC - V. Gabrel54 {1,2} {1,2, 3,4} {1,2} allDifferent(x33,x34,x43,x44) nv=4 |X|=4 => CSP consistant ? Réponse : non

55 Traitement de allDifferent Pour aller plus loin : 1.Calculer un couplage maximal dans un graphe biparti (cmax est la valeur du couplage) avec par ex un algorithme de flot 2.Si nv>cmax => CSP inconsistant PPC - V. Gabrel55 x33 x34 x43 x cmax=3

56 5. Heuristiques Obj : faire apparaître les échecs le plus tot possible Ordre des variables à instancier : Priorité aux variables liées (par des contraintes) au plus grand nombre de variables déjà instanciées Priorité aux variables ayant le domaine de + petite cardinalité Priorité aux variables intervenant dans le plus grand nombre de contraintes Ordre de vérification des contraintes : priorité aux contraintes les moins satisfiables PPC - V. Gabrel56

57 CSP qqconque -> CSP binaire Soit un CSP=(X,D,C) avec C=C 2 C k, C 2 contient les contraintes binaires et C k les m contraintes darité > 2 Obj : Le transformer en CSP binaire équivalent (même ensemble de solutions) A toute contrainte c(i) darité k (k>2), associer une var yi dont le domaine est lensemble des k-uplets consistants de c(i) Définir CSP=(X,D,C) = CSP de la façon suivante : X=X Y C=C 2 { i=1..m, xj : j eme var de v(i), xj=j-eme-arg(yi)} avec j-eme-arg(yi) la fonction unaire qui renvoie la jeme variable du k-uplet PPC - V. Gabrel57

58 Exemple CSP=(X,D,C) avec X={x1,x2,x3,x4}, Di={0,1}, C={c 2 (1),c k (1),c k (2)}, c 2 (1): x1 x2=1 et c k (1): x1 x2=x3, c k (2): x1 x2=x4 y={y1,y2} Dy1={(x1,x2,x3) : c k (1) est vérifiée} = (0,0,0)(0,1,0)(1,0,0)(1,1,1)} Dy2 ={(x1,x2,x4) : c k (1) est vérifiée} ={(0,0,0)(0,1,1)(1,0,1)(1,1,1)} C={c 2 (1)} {x1=1 er -arg(y1), x2=2 eme -arg(y1), x3=3 eme -arg(y1), x1=1 er -arg(y2), x2=2 eme -arg(y2), x4=3 eme -arg(y2)} PPC - V. Gabrel58

59 La PPC avec OPL Plusieurs solveurs disponibles proposant des librairies IBM ILOG CP Optimizer (C++, java, OPL development studio) Microsoft Solver Foundation (C++, Python, inclus dans EXCEL 2007) Choco Solver (java) constraints.net gratuitwww.choco- constraints.net PPC - V. Gabrel59

60 Exemple Accueil des nouveaux sous OPL using CP; range persons=0..59; range teams=1..10; {string} serviceNames={"A","B","C","D","E","F"}; {int} service[serviceNames]=[asSet(0..19),asSet(20..39),asSet(40..44), asSet(45..49),asSet(50..54),asSet(55..59)]; dvar int team[persons] in teams; subject to { forall(t in teams) { count(all(i in persons: i%2==1) team[i],t)==3; count(all(i in persons: i%2==0) team[i],t)==3; forall(f in serviceNames) count(all(i in service[f]) team[i],t)<=4; } forall(pA in service["A"],pB in service["B"]) team[pA]!=team[pB]; forall(pE in service["E"],pF in service["F"]) team[pE]!=team[pF]; team[5]==team[41]; (team[15]==team[40]) || (team[15]==team[51]); (team[20]==team[24]) || (team[22]==team[50]); } PPC - V. Gabrel60

61 Les contraintes sous OPL Arithmétiques : min, max, count, abs, element Logiques : &&, ||,!, =>,!=,== Explicites : allowedAssignments, forbiddenAssignments Spécialisées : allDifferent, allMinDistance, inverse, lex, pack PPC - V. Gabrel61

62 allowedAssignments Purpose : OPL function to define the allowed combinations of values. Type : boolean (1 if the constraint is true, 0 otherwise) Syntax : allowedAssignments({tuple-type},int,...) Description : This constraint allows you to easily define the allowed combinations of values for several integer decision variables. This constraint can apply to any number of variables (and therefore each has a variable number of arguments). The set of allowed combinations is given by a tuple with an arity (number of fields) equal to the number of considered variables. Each tuple defines an allowed combination. PPC - V. Gabrel62

63 Exemple using CP; tuple C { int a; int b; }; {C} possibles = {, }; {C} forbidden = { }; dvar int+ x; dvar int+ y; subject to { allowedAssignments(possibles, x, y); forbiddenAssignments(forbidden, x, y); } PPC - V. Gabrel63

64 Contraintes spécialisées allDifferent : constrains variables within a dvar array to all take different values allMinDistance : constrains variables within a dvar array to all take values that are one-to-one different by at least a given gap inverse : takes two arrays of integer variables that must be indexed by an integer and be one- dimensional lex : states that the first array of variables is less than or equal to the second array of variables in the alphabetical order pack : represents some simple but powerful one- dimensional packing constraint PPC - V. Gabrel64

65 Contrainte pack Purpose : a constraint to maintain the load of a set of containers. Type : boolean (1 if the constraint is true, 0 otherwise) Syntax pack([dvar] int[], [dvar] int[], int[]) pack([dvar] int[], [dvar] int[],int[], [dvar] int) j=1..n ((p[j]==i)*(w[j]))==l[i] i using CP; int m = 2; //nb containers int n = 3; //nb objets dvar int l[j in 1..m] in ; dvar int p[i in 1..n] in 1..m; dvar int nb; int w[1..n] = [i : 1 | i in 1..n]; subject to { pack(l, p, w, nb); } assert nb==m-count(l,0); PPC - V. Gabrel65

66 Références lyon1.fr/~csolnon/Site-PPC lyon1.fr/~csolnon/Site-PPC Principles of constraint programming K. R. Apt 66PPC - V. Gabrel


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