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Plasticité Fluage A Plasticité à Basse Température B Origine de la Plasticité C Plasticité à Haute Température J.C. Charmet © 2005.

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1 Plasticité Fluage A Plasticité à Basse Température B Origine de la Plasticité C Plasticité à Haute Température J.C. Charmet © 2005

2 Plasticité à Basse Température A-I Comportement Plastique A-II Frontières de Plasticité A-III Critères de Plasticité A-IV Equations de la Plasticité A-V Chargement Radial

3 A-I Comportement Plastique A-I -1 Seuil de Plasticité A-I-2 Déformations Plastiques A-I-3 Plasticité Pure A-I-4 Instabilité Plastique

4 I-1 Le Seuil de Plasticité Limite délasticité Conventionnelle ou Seuil de Plasticité C ( P ) correspond à la contrainte C produisant une déformation Plastique Permanente P (conventionnellement 2% après décharge élastique) C Limite délasticité Vraie V : Plastification du premier grain de la microstructure Valeur inaccessible à la mesure V Charge élastique Plastification commençante Décharge élastique P Déformation plastique permanente P Déformation totale Élasto-Plastique T T

5 I-2 Les Déformations Plastiques Faible variation de la Texture (structure interne du matériau) Modules élastiques inchangés Déformation plastique modérée Forte variation de la Texture Anisotropie et Modification des Modules élastiques Déformation plastique intense Effet Bauschinger V Réduction de la Ductilité Réduction progressive de lAllongement plastique encore possible avant Rupture et Diminution progressive de la Capacité de durcissement P 2 2 C <0 P Ecrouissage : Durcissement Elévation du Seuil de Plasticité au cours de lécoulement plastique C P C >0 C C Diminution du Seuil de Plasticité pour les Contraintes opposées à celles provoquant lEcoulement plastique

6 I-3 Plasticité Pure La Plasticité pure est Indépendante du temps, Absence deffets visqueux Plasticité Parfaite Plasticité Ecrouissante C P Ecoulement plastique libre = C P indéterminé P e Elasticité < C e = – P = E e C Elasticité < C e = = C K Ecoulement plastique contenu =f( ) d Elasticité d <0 d =Ed = Ed e Plasticité d >0 d =Ed = Kd P Chaque point de la courbe de charge est un point de bifurcation équations incrémentales C e E Elasticité < C e = = e C I I = C + I I Contrainte interne de contention = P + e P P e E e = E module élastique E =f( ) = P + e = ( + )- = - C 1 1 C d d E=E= E module tangent K<

7 I-4 Instabilité Plastique n ou dl n ou F Courbe de charge : n =f( n ) Striction stable (polymères) Loi de comportement : =f( ) =Ln(1+ n ) = n Ln(1+ n ) Déformation plastique à volume constant V=S 0 l 0 =Sl F= n S 0 = S Instabilité dF=0 Striction d n =0 d d = = dS S dl l dV V + =0 dS S =-d = dS S d dF F + =0 d =-d ReRe R e Limite élastique Allongement uniformément réparti AuAu RPRP R P Limite de Résistance A u Allongement uniformément réparti Rupture ArAr A r Allongement à rupture

8 A-II Frontières de Plasticité A-II -1 Frontière Elastique A-II-2 Patin Elasto Plastique A-II-3 Elasticité vs Plasticité A-II-4 Frontière dEcoulement A-II-5 Chargement Limite

9 Pour un Incrément de Charge d dirigé vers lExtérieur de la Surface de Charge, celle-ci est Entraînée par le Point de Charge (Ecrouissage Plastique) et devient la Frontière Elastique Ecrouie f(, )=0, étant le paramètre caractérisant lécrouissage = = II-1 Frontière Elastique Le Domaine Elastique f( )<0 est intérieur à la Surface de Charge = = le Point de Charge 0 décrit dans le Domaine Elastique un Trajet de Charge jusquau Point de Plastification Naissante 0 = = Surface de charge f( )=0 = La Frontière Elastique ou Surface de Charge f( )=0 est constituée de lensemble des Points de Plastification Naissante correspondant à tous les Trajets de Charge possibles Dans lEspace des Contraintes ( 1, 2, 3 ) = partant de lEtat initial =0 Frontière Elastique Initiale Frontière Elastique Ecrouie Les Points de Charge sont confinés à l Intérieur ou Sur la Surface de Charge f( ) 0 = Tout Point de Charge situé sur la Frontière Elastique Initiale f( )=0 est un Point de Bifurcation = Pour un Incrément de Charge d dirigé vers lIntérieur de la Surface de Charge, celle-ci nest Pas Modifiée (Elasticité) =

10 Initiale X 2 +Y 2 =S 2 E E E Raideur élastique isotrope K K K Raideur plastique isotrope X Y F(X,Y) Force Externe F 0 (X 0,Y 0 ) Force Interne de contention plastique U e (x,y) Allongement élastique y x II-2 Patin Elasto Plastique y0y0 x0x0 U P (x 0,y 0 ) Glissement plastique Frontière Elastique Initiale X 2 +Y 2 =S 2 F(Scos,Ssin ) U P (x 0,y 0 )=0 X Y O S S Seuil de glissement isotrope du patin Au delà du point de plastification F=S+F 0 induit : Frontière Elastique Ecrouie U P (x 0,y 0 ) 0 Un Allongement élastique U e (x=,y= ) X E Y E UeUe Un Glissement plastique U P (x 0,y 0 ) // F (Loi du Frottement) associé à la Force Interne F 0 (X 0 =Kx 0,Y 0 =Ky 0 ) entraînant la Surface de Charge dans la direction de F (écrouissage isotrope) UPUP Après retrait de F : La frontière élastique écrouie est centrée en C(X 0,Y 0 ) Le patin soumis à la Force Interne de Contention -F 0 Matériau Isotrope à Ecrouissage Isotrope (X-X 0 ) 2 +(Y-Y 0 ) 2 =S 2 F0(X0,Y0)F0(X0,Y0) C X Y O

11 X 2 +Y 2 =S 2 II-3 Elasticité vs Plasticité LIncrément de déformation élastique dU e est parallèle à lIncrément de charge dF appliqué au patin LIncrément de déformation plastique dU P est parallèle à la Charge Plastifiante R appliquée au patin C (X-X 0 ) 2 +(Y-Y 0 ) 2 =S 2 La Surface de Charge Initiale a été Translatée de OC dF LIncrément de Force dF induit : dU e LIncrément de déformation élastique dUe // dF dU P LIncrément de déformation plastique dU P // R (Loi du Frottement) dont lamplitude est fonction de la direction et du module de dF Traction F Torsion dC dun fil en régime élasto plastique ElastiquePlastique l F F Ue = l // F F dC dC dUe = // dC F dC l dC dU P = l // F Torsion élastique sous laction de dC Etirement plastique sous laction de dC Puis passage progressif à la Torsion Plastique Matériau isotrope à écrouissage isotrope X Y O Lécrouissage a généré la Force Interne de Contention F 0 F0F0 Par application dune Force externe F conduisant au Point de Plastification F Le Patin est soumis à la Résultante R =F-F 0 (Module S) R F l F U P = l // F

12 Frontière Elastique Initiale : f( )=0 = II-4 Frontière dEcoulement Tout Matériau admet une Limite de Résistance au delà de laquelle la Déformation Plastique ne peut plus être contenue. Ce Seuil dEcoulement est fonction de lEtat de Contrainte appliqué 1 2 O Dans lEspace des Contraintes Point dEcoulement Plastique Libre : Limite de Résistance Ecrouissage Insuffisant pour Contenir la Déformation Plastique le long dun Trajet de Charge Frontière Elastique Ecrouie : f(, )=0 = Frontière dEcoulement La Frontière dEcoulement F( )=0 est la Surface Enveloppe de toutes les Frontières Ecrouies ayant atteint le Seuil dEcoulement Plastique Libre = Point de Plastification Naissante : Limite Elastique Initiale Frontière dEcoulement et Frontière Elastique sont Confondues en labsence décrouissage : Plasticité Parfaite Entraînement par Ecrouissage : Limite Elastique Ecrouie

13 Surface de Chargement Limite La Surface de Chargement Limite F( )=0 est la Surface Enveloppe de toutes les Frontières Ecrouies ayant atteint le Seuil dEcoulement Plastique Libre Q Toute Structure admet un Chargement Limite le long dun Trajet de Charge Frontière Elastique Ecrouie de la Structure: f(, )=0 Q Tant quil reste des Zones Elastiques, elles contiennent lécoulement des Zones en Déformation Plastique Lorsque toute la structure est plastifiée lécoulement plastique devient libre, la structure a atteint son Chargement Limite MLML MLML max = Re Chargement Limite Points dEcoulement Plastique Libre : Limite de Chargement II-5 Chargement Limite M max = Re Ecrouissage M Pour une répartition inhomogène de contrainte la Plastification (même Parfaite) envahit progressivement la structure. Extension des zones plastifiées : Ecrouissage de la Structure MeMeMeMe max = Re Frontière Elastique Points de Plastification Naissante : Limite Elastique de la Structure Frontière Elastique de la Structure : f( )=0 Q Dans lEspace des Chargements O Q1Q1 Q2Q2 MM max < Re Domaine Elastique Toute la Structure est en Domaine Elastique

14 A-III Critères de Plasticité A-III -1 Domaine de Résistance A-III-2 Matériaux Ductiles A-III-3 Tresca et Von Misès A-III-4 Mohr, Caquot et Coulomb A-III-5 Ductilité et Fragilité

15 III-1 Domaine de Résistance Matériau à Comportement Plastique Isotrope sous Contrainte Homogène Critères de Plasticité et dEcoulement f(, )=0 Critère de Plasticité (Frontières Elastiques Initiale ou Ecrouie) et F( )=0 Critère dEcoulement ou Limite de Résistance sont des fonctions des 3 Invariants ou des 3 Contraintes Principales de = = = Domaine de Résistance ou Domaine des Déformations Plastiques Contenues F( ) < 0 = Nest Pas Limité du coté des Pressions ( m < 0) Une pression hydrostatique ne provoque pas de Rupture Exemple de Domaines de Résistance Limités du coté des Pressions Pour des Matériaux Homogènes (sans vide) le Domaine des Déformations Plastiques Contenues borné par la Surface Est Limité par la Surface ( associée à la Rupture en Traction) du coté des Tractions ( m > 0) *Cf. Contraintes- Déformations Représentation des Contraintes Critères de Plasticité et de Rupture Dans lEspace des Contraintes, ce sont des Surfaces* à symétrie Ternaire autour de laxe des Contraintes Isotropes Tissus Matériaux Inhomogènes Poreux Résistance Limitée à la Compression (Ecrasement des Pores) Faible Cohésion (Résistance à la Traction) Faible Résistance à la Compression (Flambement) Forte Résistance en Traction

16 Pour les corps à forte ductilité, lexpérience montre que seul intervient le Déviateur des Contraintes D = - m avec m Contrainte Normale Moyenne telle que 3 m =I 1 =Tr( ). = = = = III-2 Matériaux Ductiles On peut donc substituer aux invariants I 2 et I 3 de les invariants J 2 = Tr( D 2 )/2 et J 3 = Det( D ) correspondants de son déviateur D, J 1 = Tr( D )=0 par définition. Le critère se met alors sous la forme : (J 2,J 3 )=g( m ) = = = = = *Cf. Contraintes- Déformations Représentation des Contraintes Espace des Contraintes Dans le Plan du Déviateur* perpendiculaire à à la cote m les projections du vecteur HM représentatif de lEtat du Déviateur sur les perspectives des trois axes O 1,O 2,O 3 sont donc HM i = ( i - m ), son module vérifiant HM 2 =2J 2 =Tr( D 2 ). = 3 2 Aux fortes pressions la fonction g( m ) devient une constante indépendante de m et la surface se rapproche dun cylindre de génératrices parallèles à. Traction ou Compression Pure = Cisaillement Pur = déviateur HM= J 2 = 2 Compression Traction 3 HM= J 2 = 2 2 Cisaillement H M

17 Dans lEspace de Mohr (, ), le critère de Tresca se réduit à une bande de largeur 2k k Compression Traction Dans lEspace des Contraintes H 1 2 3, la base circulaire de Von Misès est inscrite dans la base hexagonale de Tresca III-3 Tresca et Von Misès Critère de Von Misès f( )=J 2 -k 2 =0 = Les Matériaux Ductiles cèdent par Cisaillement lorsque le Cisaillement Maximal atteint la Limite de Résistance au Cisaillement k caractéristique du Matériau. Dans le cas des Métaux k Cte ne dépend pas de m. f( )=Sup(| i - j |)-2k=0 = Critère de Tresca A Résistance au Cisaillement k fixée En traction uniaxiale, pour une même Résistance au Cisaillement k : Tresca Sup(| i - j |)= La Résistance à la Traction (telle que =k) vaut R P =2k Von Misès J 2 = 2 La Résistance à la Traction (telle que J 2 =k 2 ) vaut R P = k 1 3 3, ce sont deux cylindres à base hexagonale et à base circulaire daxe. Elastique Plastique RPRP

18 III-4 Mohr, Caquot et Coulomb Pour les autres Matériaux la Résistance au Cisaillement k dépend de la contrainte normale moyenne m. k=f( m ) Critère de Von Schleicher f( )=J 2 -f( m )=0 = f( )=Sup(| i - j |) - f( m )=0 = Critère de Tresca généralisé Roches : f( m )=A| m | et 1 Frottement Sec C= C =0 | |=-µ Critère Non Rigoureux ne prenant pas prendre en compte linfluence de la Contrainte Principale intermédiaire 2 2 Critère de Mohr | |=f( ) Aux Fortes Pressions, m << 0, tend vers une limite finie (critère de Tresca). le matériau : Grandes Déformations Plastiques (même les plus fragiles : roches, verres,….) k 1 3 La plastification intervient sur la facette dont les composantes Normale et de Cisaillement vérifient | |=f( ) Dans lespace de Mohr, la courbe | |=f( ) dite courbe de Résistance Intrinsèque ou Courbe Intrinsèque de Caquot délimite le domaine de résistance du matériau | |=f( ) Au voisinage du sommet S la Rupture intervient Avant la Déformation Plastique S C Rupture en traction hydrostatique C Cohésion Cisaillement critique à =0 généralement faible } C C Critère de Coulomb | |=µ( C - )=tg ( C - )=C-µ

19 Matériaux Ductiles k S OS > 2k Matériaux Fragiles k O OS < 2k S O III-5 Ductilité et Fragilité Les Matériaux diffèrent Seulement par la Position de lorigine O des Contraintes par rapport à la Courbe Intrinsèque Laction dun compression hydrostatique revient à déplacer lorigine O des Contraintes Déviatoriques. Les Matériaux Fragiles deviennent Ductiles sous forte pression T Plastification avant Rupture en Traction Simple T 2k T Rupture avant Plastification en Traction Simple T < 2k C C Plastification en Compression Simple C T 2k C 2k 10 à 100 T

20 A-IV Equations de la Plasticité A-IV-1 Forme Incrémentale A-IV-2 Condition dEcoulement Plastique A-IV-3 Potentiel Plastique A-IV-4 Plasticité Associée A-IV-5 Module dEcrouissage A-IV-6 Lévy Von Misès

21 IV-1 Forme Incrémentale Equation Fonctionnelle de la Plasticité La Plasticité étant indépendante du temps, le Temps Conventionnel t caractérise lEtat Actuel tandis que le Temps conventionnel {- < < t} caractérise lHistoire de Déformation Plastique du Matériau P = (t)= F [ (t), ( )] - < < t à (t) peut correspond re une infinité détats de contrainte (t) = = P = = Equations Incrémentales de la Plasticité d d P = =0=0 =0=0 Régime Elastique A partir de lEtat Actuel lévolution de lEtat de Déformation plastique est caractérisée sous forme incrémentale par d d P = =Y(, ) = d = =K(, ) = d = Régime Plastique Y Loi dEcoulement Plastique K Loi dEcrouissage Ecoulement Plastique La caractérisation de lEvolution Plastique nécessite à tout instant la connaissance de = La Fonction de Charge f(, ) caractérisant le Seuil dEcoulement Plastique = f(, )=0 La Fonction dEcoulement Y(, ) caractérisant lEvolution de la Déformation Plastique du Matériau = = f(, )=0 d = d P = =Y(, ) = d = La Fonction dEcrouissage K(, ) caractérisant lEvolution de la Forme de la Fonction de Charge = d =K(, ) = d = d = = f( +, + )=0 d = d LHistoire de Déformation Plastique du Matériau est caractérisée dans lEtat Actuel t par les Variables Cachées (t) fonctionnelles de ( ) {- < < t} nommées Variables dEcrouissage. =

22 IV-2 Condition dEcoulement Plastique Le Point de Charge doit se trouver sur la Frontière de Charge pour que lEcoulement Plastique soit Possible : Condition Nécessaire f = f(, )=0 = f(, )<0 = La Frontière de Charge de normale extérieure délimite le Domaine Elastique f(, )=0 = f(, )<0 = f = Ecoulement Plastique Pas dEcoulement Plastique d = f = d = } { lEcoulement Plastique Effectif naura lieu que si lIncrément de Charge est dirigé vers lExtérieur de la Frontière soit : scalaire > 0 d = f = d = } { Charge Plastique f(, )=0 = f = d = } { Charge Plastique et>0 d = Régime Elastique f(, )<0 = d = Régime Elastique d = Décharge Elastique f(, )=0 = f = d = } { et <0 d = Charge Neutre f = d = } { f(, )=0 = et=0 Condition de Cohérence de la Loi dEcrouissage Au cours de lEcoulement Plastique : f=0 et df=0 conduisant àdf=df= f = f d d = =0 + Avec La Condition dEcoulement Plastique Effectif sécrit d =K(, ) = d = } =0 f(, )=0 = et f = d = } { >0 df={df={ f = f d = +K

23 La Direction de lEcoulement Plastique est celle de fonction de lEtat Actuel de Contrainte et dEcrouissage h = = h = IV-3 Potentiel Plastique Charge Neutre Déplacement le long de la Surface de Charge sans Plastification Ni Ecrouissage f = d = } { =0 d P = =Y(, ) = d = =0 d =K(, ) = d = =0 Y= h = f = et K= f = k d P = = (, ) = h = f = d = } { d = (, ) = k f = d = } { Pour tout Incrément de Charge Plastifiante tel que >0 d = f = d = } { d = f = d = } { LAmplitude de lEcoulement Plastique est fonction de lIncrément de Charge via le scalaire d = f = d = } { d P = = (, ) = h = f = d = } { Potentiel Plastique Le Scalaire d est une fonction de et de la sensibilité de la Surface de Charge à se distordre quand varie, sensibilité liée à la Loi dEcrouissage par la Condition de Cohérence d = f = 1+ k (, ) =0 = f = g = g(, )=0 = Potentiel est proportionnel au gradient dune Surface Potentiel Plastique qui fixe la Direction de lEcoulement Plastique h = g = g(, )=0 = } = d d P = = (, ) = h = f = d = { g = LAmplitude de lEcoulement Plastique étant fixée par d f(, )=0 = f = Charge La Condition dEcoulement Plastique Effectif se réduit à : f(, )=0 = et f = d = } { >0 1+ k (, ) =0 = f = f = f(, )=0 = = d P 2 d = = d P 3 d = d = = d P 1

24 IV-4 Plasticité Associée Loi dEcoulement Plastique Y Plasticité Non Associée Plasticité Associée Létablissement de la Loi Incrémentale nécessite dexprimer Y en fonction des trois informations : d P = =Y(, ) = d = Surface de Charge définissant la Condition dExistence de la Déformation Plastique f(, )=0 = Potentiel Plastique précisant la Direction de la Déformation Plastique g(, )=0 = Loi dEcrouissage définissant LAmplitude de la Déformation Plastique et lEvolution de la Surface de Charge k (, ) = Surface de Charge Potentiel Plastique (Sables et Sols) f(, )=0 = g(, )=0 = Surface de Charge Potentiel Plastique (Matériaux Cristallins Ductiles) f(, )=0 = g(, )=0 = En liant lIncrément dEcrouissage à lIncrément de Déformation Plastique la Condition de Cohérence de la Loi décrouissage sécrit avec d P = g = = d f = f d d = =- f d d P = = =- f { } d d P = g = d =- d M(, ) = d d P = M scalaire =- f { } d d P = g = f = d = } { d = M(, ) = 1 Doù la Loi dEcoulement Plastique f = d = } { M(, ) = 1 } = d = (, ) f = d = = h = { g = d P = =Y(, ) = d = = g = M(, ) = 1 (, ) = h = = g = Matériaux Isotropes à Ecrouissage isotrope Le tenseur symétrique admet les mêmes directions principales que et ont Mêmes Directions Principales f = = = d P = = g = = d f = = d est à la Surface de Charge f(, )=0 = d P = = mais et ont des Directions Principales Différentes d P = =

25 IV-5 Module dEcrouissage En Plasticité Associée, la Loi dEcoulement ne nécessite que la connaissance de la Fonction de Charge d (, )= = f = d P = = f = d = } { M(, ) = 1 f = si f(, )=0 = et f = d = } { >0 d P = =0=0 si f(, )<0 = ou f = d = } { =0 M(, ) = contenant la Loi dEcrouissage Le Module Plastique ou Module dEcrouissage est le scalaire K tel que M=K{ } f = f = Traction Simple* *Cf. I-3 Plasticité Pure dl l La Contrainte produit une Déformation Totale (élastique et plastique) = E + P dont lIncrément est Lévolution du Seuil dEcoulement S en Zone Plastique ( au delà de la Limite Elastique Initiale e E << P ) est directement représentée par la Courbe de Première Mise en Charge = ( ) : S ( P ) e S = ( ) E Incrément de Déformation Elastique d E = d E La Déformation Plastique Cumulée P étant prise comme variable dEcrouissage, la Fonction de Charge f(, )= - S = - ( P )=0 f =1=1 f =1=1 f f d =d Incrément de Déformation Plastique d P = d K Module dEcrouissage K= =M d d P Module Tangent E= =tg d d E 1 E 1 K 1 E = + E K

26 IV-6 Lévy Von Misès Relation de Maurice Lévy Le Critère de Von Misès sécrit en présence dEcrouissgae = d 2 - ( )=0 3 2 = Tr( D 2 ) f( )=J 2 - ( )= = ( ) f = = = D Le Loi dEcoulement se réduit à d (, )= = d P = = f = d = } { M(, ) = 1 = D = D si et f = d = } { >0 J 2 - ( )=0 Intensité de Contraintes I *Cf. III-2 Matériaux Ductiles En Traction Simple* J 2 = Avec I 2 =3J 2 = Intensité des Contraintes ou Contrainte équivalente de Von Misès un Etat de Contrainte Complexe est assimilable à une traction simple équivalente damplitude I 3 2 = Tr( D 2 ) = Ecrouissage Isotrope Lécrouissage isotrope est généralement caractérisé par le scalaire avec M fonction de seulement. Son Evolution est contenue dans le critère lui même via la condition de cohérence 1+k =0 d =k( f = d = } { f LEvolution Plastique est Complètement définie par la donnée de la Seule Fonction de Charge La Fonction de Charge Initiale de Von Misès sécrit alors simplement f e ( )= I - e =0 e limite délasticité initiale en traction simple = = La Fonction de Charge de Von Misès évolue par écrouissage selon f( )= f e ( )- = I - - e =0 = Loi dEcoulement Plastique = f = = = 3 2 I = D I 2 = 3 2 = Tr( D 2 ) f = d = = 3 2 I = D d = =d I f( )=0 = I - e d = d I = En posant = ( )= ( I ) Les Lois dEcoulement et dEcrouissage se réduisent à 1 M( ) d = d I si I - - e =0 et d I >0 d P = = 3 2 I = D d I ( I ) 3 2 I = = D d

27 A-V Chargement Radial A-V-1 Déformation Plastique Cumulée A-V-2 Loi dHollomon A-V-3 Loi de Hooke généralisée A-V-4 Le Travail Elasto-Plastique A-V-5 Le Travail Plastique A-V-6 Théorème de la Décharge

28 V-1 Déformation Plastique Cumulée Paramètre dEcrouissage Travail de Déformation Plastique Elasto-Plasticité de Prandtl-Reuss Au Potentiel Plastique g=f sont associées les grandeurs énergétiques duales et = d d P = = f = Au Paramètre dEcrouissage associons le Flux dEcrouissage tel que =- d p dp f Ecrouissage Isotrope =-1 et dp=d = ( I )d I f 3 2 Comme et I 2 = dp 2 =d 2 d I 2 d P = 3 2 I = = D d = D = D Tr( 2 ) 2 3 d P = dp sidentifie alors à lIncrément d I de lIntensité des Déformations La Plastification seffectuant à Volume Constant, en Traction Simple : d 2 d P = = d D = = et d I =d de la même manière que I = I = 2 3 Tr( 2 ) d P = 0 P = I Intensité des Déformations définit au sens de léquivalence de Von Misès la notion de Déformation Plastique Cumulée dW= = = I d I = D d P = 3 2 I = D ( I ) = D d I Ce Travail est Dépensé et non Dissipé car une partie est Bloquée sous forme de Travail Elastique de Contention de la Déformation Plastique d P = = = D ( )d 3 2 I si I - - e =0 et d I >0 P E d E = = d = 1+ E E - dTr( ) = = P = ( ) Matériau Isotrope à Ecrouissage Isotrope d P = d = d E = = + I = ( I ) généralise, au sens des grandeurs I et I associée à une Traction Simple Equivalente la notion de Module Plastique Tangent pour I > e d d d I =d I = ( I )d I P = ( ) Au delà la Déformation Plastique P La Plasticité est entièrement caractérisée par ( ) obtenue expérimentalement par la Courbe de Traction P = ( ) avec I = et I = qui fournit e P E Au voisinage de e la Contention limite la Déformation Plastique P E P saccompagne dune variation de volume allant décroissante tandis que ½

29 V-2 Loi dHollomon Déformation Simple 1) Les Charges Externes (Traction, flexion, torsion,…) varient de manière proportionnelle entre elles, le tenseur garde une Orientation Fixe (Radiale dans lEspace des Contraintes). = = 2) Le Matériau est Isotrope à Ecrouissage Isotrope, et ont mêmes directions propres = = d P = Il en va de même pour et les Equations Incrémentales sont Intégrables P = = d = I = D = 3 2 = d P = = = D d 3 2 I d d d d d = 1 2 I = = ( ) 2 3 Tr( 2 ) d P = 0 P = Tr( 2 )=3 = Loi de Hencky Misès P = = = D ( 3 2 I d d d = 1 2 e e = Loi dHollomon Métaux et Alliages R P (Mpa) A (MPa) Acier doux recuit ,28 Acier 0,6% C trempé revenu ,15 Acier allié laminé ,14 Acier inoxydable recuit ,45 Cuivre recuit ,54 Laiton (70-30) recuit ,49 Aluminium recuit ,20 Al Cu Mg (2024) ,16 Ecrouissage linéaire Plasticité Parfaite traduit légalité = = = = D d = = D I = = = D I = D d = conduisant à 2 3 = D I = D I = 3 2 = D I = D I =1 et liant à tout instant les grandeurs actuelles et P = = 2 3 = 2 3 par le Module Sécant I = 2 3 = Tr( D 2 ) 2 3 = 2 3 I = ( ) En Déformation Simple I = ( ) est Universelle pour tous les Chargement Radiaux Monotones : LElasto-Plasticité se réduit à la Traction Simple dune éprouvette équivalente soumise à la Contrainte présentant une Déformation Cumulée dans lEtat Actuel I = 3 2 = Tr( D 2 ) I = 2 3 = Tr( D 2 ) Ecrouissage e I e

30 V-3 Loi de Hooke généralisée Ecoulement Plastique à Volume Constant P = S = D = = =- 2 3 = 2 3 = Hencky-Misès = D = D S = = - ( ) Elasticité Pure =3G D = D = d =2G d I =3G I I I O Hooke S = S = Compressibilité m =3K m =K =3K=KTr( ) = = Ecrivant I =f( I ) Caractéristique du Matériau sous la forme I =3G(1- ( I )) I Matériau Ecrouissable e e 3G d d Modules Elastique Sécant Tangent 0 3G d d I =f( I ) I = ( ) Inversibilité Ecrivant I = ( ) Caractéristique du Matériau sous la forme 3G I = (1+ ( I )) I ( I ) = 1- Caractérise lécart relatif en terme de Déformation par rapport à un Comportement purement Elastique Par Inversion Avec et S = D = = =+ = D = = Tr( ) = = =( - )Tr( ) + = = = 1 3K3K S = D = = = = =(K- )Tr( ) + = = = = = 1 3K3K S = + 1 2G2G D = + ( ) 2G2G D = Partition des déformations P = E = = =+ Elastique E = = 1 3K3K + 1 2G2G D = S = I 2G2G I E = Plastique P = = ( ) 2G2G D = ( I ) 2G2G I P = I M M M 3G ( I ) I ( I ) = 3G I - I 3G I MM = Caractérise lécart relatif en terme de Contrainte par rapport à un Comportement purement Elastique I

31 V-4 Le Travail Elasto-Plastique Expression générale Déformation Simple S = D = = = + m + d = = = S = D = = = + m + d = = = Travail Elasto-Plastique des Forces Internes W=Tr( )= m m Tr( )+ m d Tr( )+ d m Tr( )+ d d Tr( ) = = = = = = = =3 m m + d d Tr( ) = = = = = = = Tr( 2 )=3 = =3 m I I =3 d d W=dW Différentielle Exacte dW=dW F +dW V dW V =3 d d = I I dW F =3 m d m = m d Le Travail Elasto-Plastique des Forces Internes Ne Dépend Plus du Chemin Suivi W=W F=Cte +W V=Ct e W F=Cte = m d 0 W V=Cte = I d I 0 I W(, I ) est le Potentiel des Contraintes I = W I m = W = = W = = = D W V=Cte D = Potentiel W F=Cte Potentiel W V=Cte Changement de Volume à Forme Constante action de la Contrainte Normale Isotrope Moyenne m Nature Purement Elastique (Plastification à Volume Constant) m =3K m =K W F=Cte = K Changement de Forme à Volume Constant action de la Contrainte Déviatorique Moyenne d Nature Elasto Plastique W V=Cte =W E +W P W E Purement Elastique Récupérable Changement de Forme Réversible W P Purement Plastique Dépensé Changement de Forme Irréversible

32 W V=Cte Surface OSMMO M WPWP Surface OSMOO V-5 Le Travail Plastique Partie Elastique Récupérable W E Changement de Forme Réversible d < k Limite de Résistance au Cisaillement d =2G d I =3G I W E = I 2 1 6G6G Partie Plastique Dépensée W P Changement de Forme Irréversible Plasticité Parfaite I = e Plasticité Ecrouissante I avec la Progression de la Plastification et W E mais le Module Tangent et rapidement W P >> W E Le Potentiel W V=Cte =W E +W P Changement de Forme à Volume Constant est lié à la Courbe dEcrouissage I =f( I ) et Indépendant du Chemin Suivi W E Récupérable sature à W E max = e2 1 6G6G O M M I I e e O 3G =WE+WP=WE+WP W V=Cte = I d I 0 I WP =WP = I d I 0 I - I 2 1 6G6G Ce Travail est Dépensé et non Dissipé car une partie est Bloquée sous forme de Travail Elastique de Contention de la Déformation Plastique Potentiel des Déformations Plastiques (hors Changement de Volume) W* V=Cte = I I -W V=Cte = I I - I d I = I d I 0 I 0 I O W* Surface OSMOO I I = W* D = W* V=Cte = = D W E = I 2 1 6G6G O Surface OMMO 3G I I I e O M S WEWE Surface OMMO

33 V-6 Le Théorème de la Décharge Chargement Plastifiant OSM = M =(K- )Tr( M ) + M = = = I I e O M S 3G = M I M = M Décharge Elastique Partielle MN N = N I N = N Selon la Loi Elastique I =3G I 2 3 = =(K- G)Tr( )+2G = +2G = = = = Décharge Elastique Totale MZ - = ( M N ) +2G( - ) = M = N = M = N = 2G = M +2G - = PM = = M = M Charge Elastique Fictive OSM M = fM Pour obtenir la Déformation avec un Matériau Purement Elastique il aurait fallu une charge = M = fM = M +2G = fM = M = 2G = - = PM = M = fM Théorème de la Décharge La Déformation Plastique résultant dun chargement Réel sobtient à partir de la différence entre la Contrainte Fictive solution du problème Elastique Linéaire et la Contrainte Réelle du problème Elasto-Plastique I = rM Rétablir la forme initiale et annuler une décharge jusquau point I = PM = rM =-2G =-( - ) = PM M fM Contrainte Interne de Contention Plastique = rM Div D ( )=0 = rM Champ de Contrainte Autoéquilibré associé à lEnergie Elastique Bloquée = rM Z = Z I Z = PM = Z I Z = 0 = 0 Z = 0 = Z = PM = Donne la Déformation Plastique en M

34 Origines de la Plasticité B-I Le Glissement Plastique B-II Les Dislocations B-III Les Interactions B-IV Les Obstacles Intrinsèques B-V Les Obstacles Etrangers

35 B-I Le Glissement Plastique B-I-1 Origine des Déformations Permanentes B-I-2 Paradoxe de la Contrainte Théorique

36 I-1 Origine des Déformations Permanentes Sols Polymères Métaux Monocristaux Les grains ne se déforment quasiment pas (sauf aux hautes pressions où ils se cassent). Le Glissement seffectue par Roulement des Grains La Rupture des Liaisons Faibles (Hydrogène, Van der Waals ) provoque le Glissement relatif des Macromolecules A Haute Température (Changements de Structure et de Phase) : Glissement Inter-Grains A Basse Température : Glissement Intra-Grains A Basse Température la Déformation Plastique résulte de Glissements le long de Directions Particulières dans les Plans cristallographiques les Plus Denses Contrainte Théorique de Glissement dans un Monocristal Les Déformations Permanentes ont toujours pour origine des Mécanismes de Glissement Le Glissement est relié au Déplacement Relatif x des Plans Atomiques = x b th sin2 x a th 2 b a << 1 a b 2 th = x LInstabilité de Glissement Plastique se produit lorsque a 2 x =x = = th th x a 2 x =x = Le Réseau Atomique retrouve une Position dEquilibre pour un Glissement Plastique x = a x b x a x = 0 Comportement Elastique x << a = th sin2 b a 10 th E 10 R th

37 I-1 Paradoxe de la Contrainte Théorique Le Mécanisme du Glissement Progressif La Résistance à la Traction R P des matériaux est toujours inférieure à la Résistance Théorique R th Les Données Expérimentales R P (Gpa) R th (Gpa Monocristaux Al (CFC) 0, Zn (Hexagonal) 0, Polycristaux Al 0, Fe 0, Alliages Acier doux 0, Duralumin 0, Acier spéciaux 1, R th RPRP (Gpa) R P R th Graphite 19,6 69 3,5 Al 2 O 3 15,4 53 3,4 SiC ,8 Fe 12,6 20 1,6 R th RPRP Trop petits pour contenir des Dislocations, ils ont une Résistance proche de la Limite Théorique Les Trichites Whiskers Cristaux filamentaires 1 µm Photo D. Chambolle Taylor (1934) Le Glissement des Plans Atomiques ne seffectue pas dun Bloc mais Progressivement par Propagation dun Défaut appelé Dislocation dans larrangement des atomes. Son Déplacement nintéressant quun petit nombre datomes se fait sous Contrainte Plus Faible et conduit à la Même Déformation de Glissement lorsquil a Balayé tout le Plan Atomique

38 B-II Les Dislocations B-II-1 Dislocations Vis et Coin B-II-2 Le Champ de Contrainte Interne B-II-3 Energie libre et Tension de Ligne B-II-4 Densité de dislocations

39 II-1 Dislocations Vis et Coin Dislocation S l Découpe selon S en appui sur l b Translation des lèvres de Vecteur de Bürgers b Déplacement de matière et Recollage Crréation dun Champ Contraintes Internes Indépendant de S Caractérisé par la Ligne de Dislocation l orientée ( ) et son vecteur t tb t b b t t t b t b Réseau sans défaut du =0=0 déplacement dun atome par rapport au réseau sans défaut du t Insertion dun demi Plan atomique Dislocation Coin t b Dislocation Vis // t b Une Ligne de Dislocation se termine à la Surface, en Boucle ou sur un Noeud b du =-=- = uGrad dx t1t1 b1b1 t2t2 t3t3 b2b2 b3b3 b Loi des Nœuds tous convergents ou divergents titi

40 II-2 Le Champ de Contrainte Interne Dislocation Vis // t b Dislocation Coin t b Invariance par Translation u z =f(r, ) r z r 2 r t b z r z x r b t Glissement Simple Sans variation de Volume u = 0000 b 2 = = b 4 1 r = = µb 2 1 r Sans variation de Volume u r u u = u r = { sin +2 cos - Lnrsin } b u =- {2 sin + Lnrcos } b y r x z b t t b x y z =-bD = sin -cos 0 -cos sin sin 1 r =- = (1-2 )sin –2cos 0 –2cos (1-2 )sin b 4 1 r 1 1- µ 2 (1- ) D = Invariance par Translation u z =0 b 2 r = µb 2 r = µ =

41 II-3 Energie Libre et Tension de Ligne Energie Libre Tension de Ligne Réseaux Auto Stabilisés Cœur de Dislocation E = Tr( )dV 1 2 = = Dislocation Vis E = 2 r r 2 rd dr= 1 2 µb 2 4 drdr r Divergence logarithmique lDlD r 0 b m F = Ln µb 2 µb 2 4 lDlD r0r0 1 2 Par unité de longueur de ligne de dislocation l D cm r0r0 Elasticité L b Distance moyenne Energie libre F et Entropie de Configuration S par atome Nombre Positions Dislocation L,b L3L3 Lb 2 L2L2 b2b2 = Nombre Atomes sur L L b Entropie (Boltzmann) S = k Ln b L L2L2 b2b2 Energie E = µb 2 L = µb 3 b L Energie Libre F = E-ST = µb 3 - Ln kT 1 2 b L L2L2 b2b2 Cu : b=2, m, µ=40 Gpa, L= cm S = k, T=300 °K et kT= 2, eV E = 2 eV et F=E Une dislocation Isolée est thermodynamiquement Instable. Mais elles forment toujours des Réseaux Auto Stabilisés qui les rendent fortement Métastables. En moyenne leurs champs de contraintes sannihilent (statistiquement il y a autant de dislocations de chaque signe) à une distance de lordre de l D générant un Champ de Contraintes Internes Autoéquiibré LEnergie dune dislocation est très grande devant son Entropie. Une dislocation augmente fortement l Energie Libre L L>LL>L Courber un segment de dislocation sa longueur L et son Energie W=FL. T= =F= µb 2 dW dL 1 2 T T= µb Force de Rappel : Tension de Ligne

42 II-4 Densité de Dislocations Définition de la Densité Estimation de la Densité Variation de Volume Densité de Dislocation D = Longueur Totale de Dislocation par Unité de Volume (cm -2 ) L b l Un cube darête L<

43 B-III Action dune Contrainte Externe B-III-1 Action dune Contrainte Externe B-III-2 Force de Peach- Köhler B-III-3 Interactions entre Dislocations B-III-4 Déformation Plastique Macroscopique B-III-5 Multiplication des Dislocations

44 III-1 Action dune Contrainte Externe Dislocation Existante Création dune Dislocation E = E D + E T Une Mesure des Constantes Elastiques Ne Permet Pas de Détecter les Dislocations Il faut que la Dislocation se Déplace induisant une Déformation Plastique l V V t ETET Les Efforts Externes créent Energie de Déformation Elastique E T indépendante de E D T T LEquilibre Mécanique de la Dislocation = =0 sur V D = fDfD n fDfD n Avant coupure selon S D lEnergie de Déformation vaut E T SDSD n b TDTD Le Travail Dépensé pour Translater de les Lèvres par laction de imposée est égal à lEnergie de Dislocation E D TDTD b LEnergie de Déformation vaut alors E = E D + E T uDuD = Le Travail des Efforts Externes et du Champ de Contrainte Externe dans le Champ de Déplacement induit par la Création de la Dislocation T = uDuD est Nul W T +W =0 Travail des Efforts Externes W T = dS V T uDuD Lorsque varie T du dW= ( + ) dS= dS=dE T V fDfD T du V T D = EDED La Contrainte Interne de la Dislocation piège une Energie de Déformation Elastique E D D = Travail du Champ de Contrainte ExterneW = ( )(- )dS=- ( ) dS = SDSD n b SDSD b = n V T uDuD dS= ( ) dS SDSD b = n

45 =b( ) = b ( ) = b n F t f = = n n = n t n n = v III-2 Force de Peach-Köhler Mouvement dune Dislocation Déplacement (s), s abscisse curviligne de la ligne l x u D x Travail des Efforts Externes W= dS V T u D Daprès V T uDuD dS= ( ) dS SDSD b = n = dS SDSD b = n = ( )( )ds l = b t x = ( ) ds l = b t x l V V t T b = Force de Peach-Köhler En écrivant ce travail sous la forme W= ds l x F = = b t F F F est la Force par Unité de Longueur de Ligne de Dislocation traduisant laction du Champ de Contrainte Externe sur la Dislocation = Plan de Glissement et Cission résolue F t Le Plan de Glissement est le Plan défini par les vecteurs et Unique pour les Dislocations Coin b t t b b t Cission résolue : Composante de Cisaillement dans la direction du Glissement v = n t v T crée sur la Facette de de normale le vecteur contrainte = v T= F l v Forces de Montée et de Glissement La composante f M est appelée Force de Montée La composante f Force de Glissement est la Seule Partie Active de à Basse Température F La relation entre la Cission résolue et la Force de Glissement f= b n = v = dont la composante dans la Direction du Glissement est = f M + f vFn fMfM f La Direction Effective du Glissement imposée par la structure atomique dans le Plan est celle de =b b n n

46 µb1b2µb1b2 8 (1- )h f =b 2 xy = sin4 f 0 sin4 b 1 b 2 >0 b 1 b 2 <0 f f0f0 x h 0 Attraction Répulsion h y x z v n Plans de Glissement (x,z) // de normale y III-3 Interactions entre Dislocations Interaction Vis-Vis // Interaction Vis // Surface Libre Interaction Coin-Coin // Joints de Grains // deux dislocation Vis // admettent toujours un Plan de Glissement Commun : Interaction à Symétrie Radialet b b1b1 t2t2 b2b2 t1t1 r z 2 r µb1b2µb1b2 f = La Dislocation 1 crée au niveau de la Dislocation 2 un champ de contrainte = = µb1µb1 2 r = = b2b2 t2t2 F f exerçant sur 2 une force = dirigée selon r f00f00 Répulsive si b 1 b 2 >0 Attractive si b 1 b 2 <0 Equilibre Surface libre =0 = x - b1b1 t2t2 Dislocation Vis - Image dans Miroir Surface b1b1 h z x b1b1 t1t1 4 h µb12µb12 f =- f Toujours Attractive Les Dislocations Vis et Coin Sont attirées par la Surface Libre b1b1 b2b2 t La Dislocation 1 crée au niveau de la Dislocation 2 un champ de contrainte = = xx xy 0 xy yy zz f exerçant sur 2 une Force de Glissement selon xf = b 2 n = v r µb1µb1 2 (1- )r xy = cos cos2 l = b l b 1 b 2 <0 Attraction |x|>|y| Répulsion |x|<|y| Répulsion |x|>|y| Attraction |x|<|y| b 1 b 2 >0 Dipôles Stable x=y 4 = Empilement Stable x=0 2 =

47 III-4 Déformation Plastique Macroscopique Glissement Macroscopique Moyen L L l Grain de Polycristal Recuit =100 µm D =10 8 cm -2 b=2, m = 2,5 % la Dislocation se déplace induisant Glissement Macroscopique S Lorsque la Dislocation a balayé la surface S=Ll b elle a produit un décalage b et un Glissement Macroscopique Moyen = b L Travail de : Ll b = fl L : Travail de f f = b x S =b =b = l x lL2lL2 x L2L2 b S V Si V contient N Dislocations de longueur l se déplaçant dune Distance Moyenne l D =N = bl D =bl D D NL V Nécessité de Mécanismes de Création de Nouvelles Dislocations Dislocations dAccommodation géométrique G Densité de dislocations nécessaire pour courber une poutre au rayon R Poutre Non Déformée Circuit de Bürgers ABCD B C D A B C B D A Poutre Déformée Circuit de Bürgers ABBCD b } BB=Nb G = = N S N ABxCD R = = BB AB R G = 1 RbRb Avec b=2, m et D =10 5 cm -2 R 1 m 10 cm 1 cm G (cm -2 ) G / D = b S V =bl D D Sous laction de la Cission induisant la Force f f

48 III-5 Multiplication des Dislocations A B Le Moulin de Frank – Read est un des mécanismes efficaces de Multiplication des Dislocations Moulin de Frank – Read Un segment de Dislocation de longueur L vecteur de Bürgers b est ancré en deux points A et B A B L b B R Sous laction de la Cission réduite qui sexerce dans le plan de glissement il se courbe (Rayon R) A fds T Larc ds est en équilibre sous laction de la Force fds= bds et des Tensions de Ligne T fds=2Tsin 2T = Tds R A B FR jusquà R= pour = FR Contrainte Critique dActivation du Moulin L 2 T= µb FR = µbµb L où la recombinaison des portions de signes opposés éjecte une boucle qui se propage par glissement A B et un nouveau segment AB Un tel moulin peut produire jusquà 500 boucles Photos J.M. Marchon, G. Wyon A B Lorsque R qui démarre un nouveau cycle

49 B-IV Les Obstacles Intrinsèques B-IV-1 La résistance du Réseau Atomique B-IV-2 Ecrouissage et Réseau de Frank B-IV-3 Résistance des Joints de Grains B-IV-4 Ecrouissage et Restauration

50 A la barrière de potentiel E PN entre vallées correspond une Cission Critique PN Résistance du Réseau pour faire basculer les liaisons atomiques PN IV-1 La Résistance du Réseau Atomique Force de Peierls - Nabarro Céramiques Métaux LEnergie de Cœur est minimale lorsque la Dislocation suit une rangée atomique dense Vallée de Peierls E PN Si les vallées sont peu profondes le Passage ne seffectue pas dun bloc mais Progressivement par la Propagation dun Décrochement Liaison Ionique Liaison Covalente La Liaison Métallique est délocalisée peu sensible au rapprochement dions de même signe. Vallées de Peierls peu profondes Force de Traînage Faible PN E/1000 Faible Friction du Réseau Le Glissement amène des ions de même signe face à face Forte Dépense dEnergie Coulombienne Vallées de Peierls très profondes Force de Traînage Forte PN E/30 Forte Friction du Réseau Les Céramiques sont intrisèquement fragiles mais Dures (abrasifs, …). Les Dislocations restent Rectilignes et leur Déplacement Quasi Impossible à lambiante. La Rupture Brutale intervient Toujours avant la Plastification Les Métaux sont intrinsèquement ductiles Très Rigide et Directive Forte Dépense de Rupture des Liaisons

51 IV-2 Ecrouissage et Réseau de Frank Le réseau de Frank Dislocations mobiles : les Vis Interaction avec la Forêt Réseau Tridimensionnel de Densité D formé par les Dislocations interagissant entre elles en se plaçant en position dénergie minimale Distance Moyenne des Dislocations l D telle que l D 2 D =1 Certaines sont dans des Plans de Glissements // à, dautres percent ce sont les Arbres de la Forêt Les Dislocations Coin se bloquent en formant des Dipôles Stables Les Dislocations Vis changent facilement de Plans de Glissements au sein de la Forêt. Elles sont Mobiles 2 r µb2µb2 f = Daprès leur loi dinteraction Avec f = b et r = l D la Cission qui soppose à leur Mouvement C µbµb 2 D Deux Dislocations qui sintersectent se combinent pour former une Dislocation de vecteur de Bürgers + et dEnergie b1b1 b2b2 1 2 | + | 2 b 1 b2b2 µ La Distance Moyenne entre deux Arbres Attractifs étant 2l D la Contrainte dActivation des Moulins de Frank – Read FR = µbµb 2lD2lD D C = µbµb 2 Lorsque D augmente C augmente traduisant lEcrouissage du Matériau à lEchelle Macroscopique Déplacer une Dislocation dans son Plan de Glissement implique de lui faire franchir les collines dInteraction avec ses voisines b1b1 b2b2 >0 Jonction Attractive et Stable Points dancrage des Moulins de Frank - Read Attractif Ancrage b1b1 b2b2 >0 Jonction Répulsive et franchissement par un Cran Répulsif Cran

52 IV-4 La Résistance des Joints de Grains Lorsque - PN atteint le Seuil dActivation FR des Sources de Dislocations, les Dislocations crées viennent saccumuler aux Joints de Grains jusquà ce que les Forces en Retour exercées par ces Empilements sur les Sources viennent les Tarir Contention par les grains voisins moins bien orientés travaillant en régime élastique A Basse Température le Durcissement par les Joints est dautant plus Elevé que les Grains sont plus Petits Limite Elastique dun Grain Y Le Polycristal est constitué de Grains de taille moyenne dorientations différentes séparées par des Joints de Grains Limite Elastique Initiale Y = PN Limite élastique Ecrouie Lorsque la Contrainte appliquée devient supérieure à la Résistance de Réseau PN le Glissement des Dislocations samorce dans les Grains les plus favorablement orientés vis à vis de = PN = Y = PN + FR =b Source > PN FR µb µbµb Ecrouissage Loi de Petch Y - PN = µ = k b 1 1 caractérisant la Résistance JG des Joints de Grain Lorsque - la Concentration de Contrainte au Joint active les Sources proches des Grains voisins et le Glissement se propage progressivement de Grains en Grains Photo P. Mussot Cu écroui à 20%

53 IV-4 Ecrouissage et Restauration Ecrouissage Restauration < PN Dislocations Immobiles Comportement Parfaitement Elastique > FR D Densification du Réseau de Frank, Formation décheveaux fortement stabilisés, Ecrouissage Durcissement par Freinage du Mouvement au sein de la Forêt, Déformation Plastique Croissante jusquau Blocage provoquant la Rupture PN < < FR Formation darcs entre points dancrage Balayage Réversible avec Hystéresis élastique supplémentaire Comportement Anélastique Dissipatif Ecroui à 15% formation damas Ecroui 1 µm Hastalloy Recuit Photos CEA-SRMA Déblocage du Réseau par Diffusion des Atomes sous Activation Thermique provoquant le Désancrage des Dislocations qui quittent leur plan de glissement par Montée avec Annihilation des Dipôles et Formation de Parois de Dislocations Création de Sous Grains Polygonisation suivie dune Recristallisation si lEcrouissage a été suffisant Nouvelle Structure de Grains à Faible Densité de Dislocation à Dureté Abaissée et à Capacité dEcrouissage Restaurée Cest tout lArt du Forgeron qui alterne Ecrouissage Mécanique et Recuit de Restauration La Taille des Grains Recristallisés est une fonction de T de Recuit et du Taux dEcrouissage Préalable

54 B-V Les Obstacles Etrangers B-V-1 Durcissement Solutions Solides et Précipités B-V-2 Vers la Plasticité Macroscopique

55 V-1 Durcissement Solutions Solides et Précipités Solution Solides Contrainte Critique SSR c concentration en soluté c La différence de diamètre entre les atomes de la Solution et du Soluté crée des Contraintes qui rendent le plan de glissement Rugueux, augmentant la Résistance au mouvement des Dislocations. (Laiton : Cu-Zn jusquà 30%) Efficace à lambiante ce Durcissement perd son efficacité à chaud par diffusion du Soluté Désancrage et Fluage Précipités Formation de Précipités Stables Petits et Durs par trempe dune solution Solide Sursaturée La Contrainte Critique lorsque la distance entre précipités, Le Durcissement maximal est produit par des précipités à dispersoïdes durs et rapprochés. Cisaillement des petits précipitésContournement des gros précipités OR L R avec abandon de boucles Mécanisme dOrowan analogue à celui du Moulin de Frank - Read OR = µbµb L-2R CP L w T K En Limite dArrachement K - CP b w = 2 T cos K Résistance du Précipité Equilibre de lArc CPb b (L-w) = 2 T cos CP = K LbLb

56 V-2 Vers la Plasticité Macroscopique Courbe de Consolidation La Limite dEcoulement Y résulte des diverses contributions à la Résistance au Mouvement des Dislocations Y = Max{ PN, SS, CP, OR }+k + µb 1 Durcissement de Joints de Grain k Durcissement dEcrouissage µb 1 Résistance du Réseau Atomique PN Durcissement de Solution Solide SS Durcissement de Précipités et Particules CP, OR Monocristal Polycristal Critère de Plasticité Loi dEcrouissage Loi dEcoulement Plastique Echelle Microscopique Echelle Mésoscopique Echelle Macroscopique Même si le Passage Quantitatif Micro – Macro se heurte à de Nombreuses Difficultés, la Compréhension Qualitative des Mécanismes de Glissement Plastique est un Guide précieux pour lélaboration de Nouveaux Matériaux Plusieurs Systèmes de Glissement Facile Plusieurs Fonctions de Charge Loi dévolution des Contraintes Critiques C (Paramètres décrouissage) et des Densités de Dislocation avec lEcoulement Plastique Caractérisation de la Fraction m et de la Vitesse Moyenne v des Dislocations Mobiles et de leur évolution avec la Contrainte Appliquée Aux Difficultés Précédentes sajoutent celles liées à la Présence des Joints de Grains Nature des Interactions entre Dislocation de Réseau et Défauts constituant le Joint Site privilégié de Ségrégation dimpuretés, Précipités, … Hétérogénéité de Comportement du Grain. La Zone Cristalline Proche du Joint étant Riche en Défauts et Plus Ecrouie que lIntérieur du Grain Frontière dOrientation entre Grains, Déformations Plastiques Incompatibles Fluctuation Importante des Contraintes Locales

57 Plasticité à Haute Température C-I Le Fluage C-II Origines du Fluage

58 C-I Le Fluage C-I-1 Fluage et Température de Fusion C-I-2 Fluage et Contrainte Visqueuse C-I-3 Le Fluage Secondaire

59 I-1 Fluage et Température de Fusion Sous laction de Charges qui, à Température Ambiante ne provoquent pas de Déformations Permanentes, les Matériaux commencent à Fluer de manière Irréversible lorsque la Température Augmente Basse Température Haute Température La Déformation est Indépendante du Temps : Plasticité La Déformation est fonction du Temps et de la Température : Visco-Plasticité La Température à laquelle un Matériau commence à Fluer est une fonction de sa Température de Fusion T f (°K) ou de sa Température de Ramollissement (Transition Vitreuse T g )des Polymères Le Fluage est une Déformation Lente et Continue fonction du Temps, de la Température et de la Contrainte Appliquée Le Fluage La Température de Fusion Fluage Métaux Céramiques Polymères T > 0,3-0,4 T f 0,4-0,5 T f T g Plomb Tungstène Glace T f > 3000 °KAmbiante T = 300 °K Très Basse Température Ampoule Electrique T = 2000 °K Haute Température Fluage du filament sous poids propre lampoule grille par court circuit entre spires T f = 600 °KAmbiante T = 300 °K Haute Température Fluage Lent sous poids propre T f =273 °KT < T f Très Haute Température Fluage des Glaciers et Calottes Glaciaire =f(,t,T) = V = =f( ) P = =

60 I-2 Fluage et Contrainte Visqueuse Essai de Fluage Traction Simple sous Charge et Température Constantes t V Fluage Primaire tandis que le Matériau se Durcit V Observable Seulement à Basse Température T < 0,3 T f Loi empirique V =ALn(1+t/t 0 ) Secondaire Fluage Secondaire V = Cte Fluage Stationnaire V Prépondérant dès que T > 0,3 T f Loi empirique de Norton V = ( ) M - S K Rupture Fluage Tertiaire tandis que le Matériau sEndommage Rapidement (Cavités, Déformations Localisées,…) V Contrainte Visqueuse LElasto-Visco-Plasticité présente, comme lElasto-Plasticité, une Déformation Permanente après Décharge A A B B C C La Viscosité Interdit les Déformations Plastiques Instantanées = E + V avec V =f(t) ou V =f( ) Vitesse de Charge V 0 Plasticité Ecrouissante 0 Plasticité Ecrouissante Classique t La Viscosité se manifeste également par le Retard à la Déformation lors des Changements de Vitesse de Charge Plasticité Instantanée Plasticité Instantanée à Grande Vitesse Saturation Avec Paramètre dEcrouissage ( V, )= P ( V, )+ V (, ) V P P ( V, ) Contrainte Plastique V V (, ) Contrainte Visqueuse 0 quand 0 V

61 I-3 Le Fluage Secondaire Le palier Athermique La Dépendance en Contrainte La Dépendance en Température La Dépendance en Temps La Conception des pièces de fluage Expérimentalement =f(T, ) Constante pour T > T C 0,2-0,3 T f E RPRP Loi empirique de Norton V = ( ) M - S K 0,3 T f < T < T f Lorsque T > 0,5 T f S = 0 = ( ) M V K M = 3-8 fonction du Matériau A Cte et T > 0,5 T f suit une Loi dArrhenius V Lorsque T > 0,7 T f et faible M =1 Matériau E RPRP TfTf T 0,1 0,20,3 0,4 TCTC V =Cexp(- ) Q RT R Cte des Gaz parfaits et Q énergie dactivation thermique égale à lénergie dautodiffusion Q A pour les métaux purs Métal M Q Q A (kcal/mole) Al 4, Cu 4,8 48,4 47,1 Ni 4,6 66,5 66,8 Zn 6,1 21,6 24,3 T = Cte M Ln V Ln V = Cte T 1 R Q - = ( ) M V K exp(- ) Q RT Loi de Monkman - Grant ( ) q t R =C MG Cte du Matériau q 1 V Durée de Vie à Rupture t R C MG ( ) M K exp( ) Q RT Pour une Durée de Vie Prévue t et des conditions de fonctionnement données en Température et en Contrainte : La Déformation de Fluage f doit être compatible avec la fonction e la pièce (Ex. Ailettes de Turbo Réacteurs) La Ductilité en Fluage fR (Déformation à rupture) doit être Supérieure à f La Durée de Vie à Rupture t R doit être Supérieure (avec un facteur de Sécurité) à la Durée de Vie Prévue t

62 C-II Origines de Fluage C-II-1 Les Mécanismes du Fluage C-II-2 La Diffusion dans les Solides C-II-3 Les Modes de Fluage C-II-4 Le Fluage Dislocation Montée-Glissement C-II-5 Le Fluage Dislocation Ecrouissage-Restauration C-II-6 Le Fluage Diffusion C-II-7 Les Cartes de Fluage

63 II-1 Les Mécanismes du Fluage Une Bonne Tenue au Fluage nécessite une Température de Fusion T f élevée Basse Température T < 0,3 T f : Domaine de la Plasticité Le Fluage est Négligeable : Le Matériau ne peut se Déformer de manière Permanente que si la Contrainte appliquée est Suffisante pour que les Dislocations, assujetties à Rester dans leur Plan de Glissement, puissent franchir les Obstacles Intrinsèques (Friction de Réseau, Forêt de Frank) ou Etrangers (Solutés, Précipités). Moyenne Température 0,3 T f < T < 0,7 T f : Domaine du Fluage Dislocation Haute Température T > 0,7 T f : Domaine du Fluage Diffusion La Dépendance en Température du Fluage est toujours contrôlée par la Diffusion (Thermiquement Activée) La Dépendance en Contrainte du Fluage est contrôlée par : Les Obstacles à Franchir en Fluage Dislocation (Loi de Norton dexposant M) Le Contrôle du Flux de Diffusion datomes par la Contrainte en Fluage Diffusion ( ~, M=1) V Création de Déformations Permanentes par Modification de la Forme des Grains sous laction dune Diffusion Rapide dAtomes au sein des Grains, Diffusion Anisotrope Dirigée par la Contrainte Appliquée Les Dislocations Libérées par la Diffusion des Atomes peuvent Franchir les Obstacles par Changement de Plan de Glissement sous laction de la Force de Montée. Leur Mouvement est responsable de la Déformation Permanente et Continue du Fluage Secondaire qui intervient sous laction dune Contrainte appliquée Plus Faible que celle nécessaire en Plasticité à Basse Température en labsence dActivation Thermique

64 II-2 La Diffusion dans les Solides Le Coefficient de Diffusion Dans les Solides les atomes peuvent sauter dun site atomique à lautre lorsquils acquièrent, par agitation thermique, une énergie supérieure à la barrière énergétique séparant deux sites voisins. Le Coefficient de Diffusion D varie avec la Température selon une Loi dArrhenius caractéristique des processus thermiquement activés D=D 0 exp(- ) Q RT Les Chemins de Diffusion en Volume Les Chemins de Diffusion Rapide Pour une Classe de Matériaux donnée D 0 Cte et Q proportionnel à T f Matériaux D 0 m 2 s -1 Q/RT f Cubique Centré W, Mo, Fe <911°C,… 1, ,8 Hexagonaux Zn, Mg, Ti,… ,3 Cubique Face Centrée Cu, Al, Ni, Fe >911°C,… ,4 Oxydes MgO, FeO, Al 2 O 3,… 3, ,4 Le Fluage st un phénomène Diffusif contrôlé par la Température de Fusion T TfTf V =Cexp(- ) Q RT f Diffusion Interstitielle des petits Atomes C, O, N, B, H Fe C CuZn Diffusion Lacunaire des Atomes de taille comparable au constituant majeur vers les sites cristallins vides Le Joint de Grain se comporte comme un canal plan de largeur ~2-4b Le Cœur de Dislocation se comporte comme un tube de section ~2b 2 Le Coefficient de Diffusion Local est très Supérieur au Coefficient de Diffusion en Volume La Contribution des Chemins Rapides au Flux de Diffusion est fonction de la Densité de Joints et de Dislocations Lorsque les Grains sont Petits et les Dislocations Nombreuses leur contribution peut devenir prépondérante dans certains domaines de Température T et de Contrainte appliquées

65 II-3 Les Modes de Fluage Franchissement des Obstacles Les Dislocations doivent Franchir des Obstacles caractérisés par leur Barrière Energétique q 0, et leur Portée L Le Fluage est contrôlé par les Obstacles Forts Précipités et Réseau de Frank Sous Agitation Thermique T >0,3 T f le Franchissement des Obstacles Forts à longue portée est Irréversible Faibles à courte portée est Réversible q 0 L Obstacles Faible < 0,2 µb 3 ~1-10 b Friction réseau Solutions solides Moyen 0,2 –1 µb 3 ~ b Réseau de Frank Précipités cisaillés Fort > µb 3 ~ b Précipités contournés Fluage Dislocation Contrainte Interne Un fois les Obstacles Franchis, le Glissement ne peut se produire que si la Contrainte appliquée > S Contrainte Interne Moyenne résultant des actions à longue portée des Autres Dislocations S est fonction de la Température T (par lintermédiaire des Modules Elastiques) et du Taux de Déformation qui contrôle lévolution des Cellules de Dislocation du Réseau de Frank V Laction dune Contrainte fournit à latome de volume une Energie Mécanique, induisant un Flux de Diffusion en Facilitant le Saut dans la Direction de la Contrainte Appliquée = v+ - v- = 2 v 0 exp(- ) sh( ) kTkT q kTkT = v+ - v- = 0 Fluage Diffusion La Contrainte appliquée contrôle le Flux de Diffusion v- = v 0 exp(- ) q+ kTkT v+ = v 0 exp(- ) q- kTkT v = v+ = v- = v 0 exp(- ) q kTkT v+v+ v-v- Distance q Energie D = D 0 exp(- ) sh( ) kTkT Q RT Sous laction de lEnergie dagitation thermique kT, les Fréquences de Saut v+ et v- de la barrière énergétique q sont égales v+v+ v-v-

66 II-4 Le Fluage Dislocation (Montée Glissement) Obstacle Fort : Précipité La Réaction f 0 dun Précipité sur une Dislocation Ancrée équilibre f0f0 fMfM La Force f M qui tend à faire Monter la Dislocation Hors de son Plan Diffusion des Atomes T > 0,3 T f Agitation Thermique Montée des Dislocation sous laction de f M La Répétition du Mécanisme Montée–Glissement traduit la nature Continue et Progressive du Fluage Macroscopique 0,3 T f 0,7 T f Diffusion des Atomes dans le Volume du Cristal : Domaine de Fluage Dislocation par Diffusion en Volume Plus appliquée plus f M plus Grand est le Flux de Dislocations Désancrées plus Grande est leur Vitesse de Glissement et plus est Elevée V = ( ) M V K exp(- ) Q RT Le Fluage Dislocation nest Important que dans un Domaine de Contrainte proche de la Limite Elastique Vitesse de Déformation Macroscopique de Fluage V M >> 1 lorsque alors Très Rapidement V Mécanisme de Montée T OR Franchissement par Contournement dans le Plan de Glissement avec abandon dune boucle fGfG La Force f G = b qui tend à faire Glisser la Dislocation Dans son Plan Mécanisme de Glissement Puis Glissement si > S Contrainte Interne Moyenne résultant des actions à longue portée des Autres Dislocations

67 II-5 Le Fluage Dislocation (Ecrouissage Restauration) Taux de Consolidation Fluage Stationnaire : Réseau de Frank Le Régime Stationnaire résulte de la Compétition entre lEcrouissage associé à de la Densité de Dislocations D et la Restauration associée à sa par recombinaison de paires (+-) se rapprochant au cours du Mouvement régi par la Diffusion V = Cte S = Cte d S dtdt S t S t = + =0 V S t Taux de Consolidation h = S t Vitesse de Restauration r =- h r V = Vitesse de Restauration Réseau de Frank : Cellules de Dislocations de Taille Moyenne l S = µbµb l Les Dislocations mobiles glissent sur une distance l et la Déformation Macroscopique = m bl = D bl Avec D l 2 = 1 = b l S = µ S t h = = = Cte µ Ecrouissage Linéaire Vitesse de Déformation Macroscopique de Fluage V Pour Minimiser lEnergie, le Réseau de Frank tend à le Nombre de ses Cellules en leur Taille l S t S l r =- =- dldl dtdt La Croissance des Cellules seffectuant par Montée d Arcs de Dislocation par Diffusion de Lacunes sur la distance l dldl dtdt 1 l = D 0 exp(- ) Q RT S b 3 kT S l - = µbµb l2l2 r = exp(- ) Q RT D0bD0b kT S 4 µ2µ2 = exp(- ) Q RT D0bD0b kT 4 µ3µ3 h r V = correspondant à un exposant de Norton M = 4 D l dldl dtdt l t = La loi de Diffusion l 2 =Dt Volume des Lacunes b 3 sh( ) S kTkT S b kTkT A et T fixés, prend une valeur telle que S (T, )= V V D = D 0 exp(- ) sh( ) S kTkT Q RT contrôlant le Flux de Lacunes D( S,T) étant le Coefficient de Diffusion sous Contrainte

68 II-6 Le Fluage Diffusion Diffusion Lacunaire Diffusion en Volume T > 0,7 T f Diffusion aux Joints 0,5 T f < T < 0,7 T f n n n Création dune Lacune Ejection dun Atome Équilibre Thermique Barrière q Concentration c 0 Face en Traction Barrière q- Concentration c+=c 0 exp( Face en Compression Energie q - Concentration c-= c 0 exp(- Diffusion des Lacunes et des Atomes Monocristal : cube darête d sans dislocations et en Cisaillement pur d c+ c- Vitesse de Fluage c 0 = = N V n0n0 b3b3 n 0 fraction atomique de lacunes à léquilibre thermique Flux de Lacunes Flux opposé dAtomes (Coefficient de Diffusion D = D L n 0 = D L c 0 b 3 ) Un atome (volume b 3 ) sortant par une face en Tension (aire d 2 ) V d d = = b3b3 d3d3 et une déformation élémentaires b kTkT c+ - c- d sh( ) 2c 0 D L à Faible Contrainte kTkT = SD L c SD L = 2c 0 D L S d S d } b kTkT = D sh( ) S db3db3 S = d 2 V ~ D d2d2 b kTkT V ~ D J d3d3 b kTkT V ~ Comportement Visqueux Newtonien (Norton M=1) D = D 0 exp(- ) Q RT V ~ Vitesse de Fluage avec T V ~ 1 d2d2 Vitesse de Fluage quand la Taille d du Grain Fluage Diffusion Loi de Fick : Flux en nombre de Lacunes (Coefficient Diffusion D L ) traversant S S S = dd J J S b3b3 d2d2 d = d produit un allongement A correspond la Vitesse de Fluage V V = b3b3 d3d3

69 II-7 Les Cartes de Fluage 0,300,50, Cartes adimensionnelle indiquant les domaines de Contrainte et de Température des Mécanismes de Fluage T TfTf En abscisse : Température réduite T TfTf En ordonnée : Contrainte équivalente réduite = 1 2 = Tr( D 2 ) avec Plasticité Résistance théorique Résistance au Fluage Température de fusion T f élevée En fluage dislocation, important sous forte contrainte : Multiplier les obstacles au mouvement des dislocations (précipités stables à la température d'usage) et matériaux à forte friction intrinsèque de réseau (liaisons covalentes de nombreux oxydes, silicates, carbures et nitrures) Le fluage diffusion est important quand les grains sont petits et la pièce soumise à de faibles contraintes à haute température (les céramiques se déforment de manière prépondérante par ce mécanisme les grains étant de petite taille et la friction intrinsèque de réseau, qui supprime le fluage en loi puissance, importante) Accroître la taille de grain par des traitements thermiques adaptés (afin que les distances de diffusion soient élevées et la diffusion aux joints négligeable) et forcer une précipitation intergranulaire pour bloquer le glissement aux joints améliore la résistance au fluage diffusion. Fluage Dislocation Fluage Diffusion Elasticité Palier athermique Lignes de Vitesse de Déformation Constante V Tr( 2 ) = 2 = (s -1 ) Coeur Volume Joints de Grains


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