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À lorigine de la géométrie hyperbolique La construction dun rectangle par Euclide, Al-Khayyâm, Saccheri et Lambert Les découvertes de Gauss, Bolyaï et.

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1 À lorigine de la géométrie hyperbolique La construction dun rectangle par Euclide, Al-Khayyâm, Saccheri et Lambert Les découvertes de Gauss, Bolyaï et Lobatchevski

2 Deux exercices de constructions g é om é triques 1) Un segment [AB] é tant donn é, construire un triangle é quilat é ral de côt é [AB]. ( É l é ments Livre I, Prop 1). 2) Un segment [AB] é tant donn é, construire un carr é de côt é [AB]. ( É l é ments Livre I, Prop 46). Question 1 : Quels sont les implicites que vous devez admettre pour enseigner ces constructions à un é l è ve de coll è ge ? Question 2 : Quelles sont les d é finitions que vous devez utiliser ? Question 3 : De quelles propri é t é s (propositions et th é or è mes) vous êtes- vous servi ? Question 4 : Quelles sont les propri é t é s utilis é es qui sont cons é quentes ou é quivalentes au 5 è me Postulat d Euclide ? Pouvez-vous vous en passer ?

3 Deux exercices de constructions g é om é triques Construire signifie : 1 - Tracer la figure sur une feuille de papier avec comme seuls instruments une r è gle bien droite (tiens, tiens ?) non gradu é e et un compas. 2 - Donner l algorithme de construction qui vous para î t le plus simple (la suite des op é rations graphiques à r é aliser pour obtenir le r é sultat demand é ), 3 - Justifier par des arguments g é om é triques et logiques que la construction propos é e conduit effectivement au r é sultat recherch é. É tudier notamment l existence et l unicit é de ce r é sultat.

4 Deux exercices de constructions R é ponse d Euclide. PREMI È RE PROPOSITION : Sur une droite donn é e et finie, construire un triangle é quilat é ral. EXPOSIT1ON. Soit AB une droite donn é e et finie. D É TERMINATION. Il faut construire sur la droite finie AB un triangle é quilat é ral. CONSTRUCTION. Du centre A et de l intervalle AB, d é crivons la circonf é rence B (dem. 3) ; et de plus, du centre B et de l'intervalle BA, d é crivons la circonf é rence A E ; et du point, o ù les circonf é rences se coupent mutuellement, conduisons aux points A, B les droites A, B (dem. 1). D É MONSTRATION. Car, puisque le point A est le centre du cercle B, la droite A est é gale à la droite AB (d é f. 15); de plus, puisque le point B est le centre du cercle A E, la droite B est é gale à la droite BA ; mais on a d é montr é que la droite A é tait é gale à la droite AB ; donc chacune des droites A, B est é gale à la droite AB; or, les grandeurs qui sont é gales à une même grandeur, sont é gales entre elles (not. 1) ; donc la droite A est é gale à la droite B; donc les trois droites A, AB, B sont é gales entre elles. CONCLUSION. Donc le triangle AB (def. 24) est é quilat é ral, et il est construit sur la droite donn é e et finie AB. Ce qu'il fallait faire. A B E

5 Deux exercices de constructions R é ponse d Euclide. PROPOSITION 46 : D é crire un carr é avec une droite donn é e. Soit AB la droite donn é e ; il faut d é crire un carr é avec la droite AB. Du point A, donn é dans cette droite, conduisons A perpendiculaire à AB (prop. 11) ; faisons A é gal à AB (prop. 3) ; par le point conduisons E parall è le à AB (prop. 31) ; et par le point B conduisons BE parall è le à A. La figure A EB est un parall é logramme; donc AB est é gal à E, et A é gal à BE. Mais AB est é gal à A ; donc les quatre droites BA, A, AE, EB sont é gales entre elles ; donc le parall é logramme A EB est é quilat é ral. Je dis aussi qu'il est rectangle. Car puisque la droite A tombe sur les parall è les AB, E, les angles BA, A E sont é gaux à deux droits (prop. 29) ; mais l'angle BA est droit ; donc l'angle A E est droit aussi. Mais les côt é s et angles oppos é s des parall é logrammes sont é gaux entre eux (prop. 34) ; donc chacun des angles oppos é s ABE, BE est droit ; donc le parall é logramme A EB est rectangle. Mais nous avons d é montr é qu'il est é quilat é ral ; donc le parall é logramme A EB est un carr é, et il est d é crit avec la droite AB ; ce qu'il fallait faire. B E A

6 1 - La 5 e Demande dans les Éléments dEuclide Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles int é rieurs du même côt é plus petits que deux droits, ces droites, prolong é es à l infini, se rencontreront du côt é o ù les angles sont plus petits que deux droits. (Une droite (finie) chez Euclide est ce que nous appelons aujourd hui un segment de droite).

7 1 - La 5 e Demande dans les Éléments dEuclide Ce que Euclide « demande » d admettre, est que le plan de sa g é om é trie est essentiellement structur é par sa conception du parall é lisme. Les propri é t é s des configurations issues de deux droites parall è les (deux droites du plan qui ne se rencontrent pas) d é coulent de cette 5 e Demande qui, selon Aristote, doit être comprise comme un des Postulats fondateurs de « la g é om é trie euclidienne ». Proclus (V e si è cle) d é montre l é quivalence de la formulation de la 5 e Demande avec l é nonc é suivant, dit « de Playfair » : Par un point ext é rieur à une droite, on peut mener une droite parall è le à cette droite, et une seule. Euclide d é montre l existence de cette parall è le (Livre I, proposition 31) sans utiliser la 5 e Demande. C est l unicit é qui en fait un Postulat. A

8 1 - La 5 e Demande dans les Éléments La structure g é niale du Livre I des É l é ments Dans son Livre I, Euclide a voulu explorer d abord toutes les propri é t é s de base en g é om é trie qui ne supposent pas le 5 e Postulat. C est la « g é om é trie absolue », d é velopp é e dans les propositions 1 à 28. Puis, dans une deuxi è me partie (propositions 29 à 48, sauf la prop.31), il d é veloppe les cons é quences de sa 5 e Demande. On a dit que cette organisation du Livre I fait d Euclide le premier g é om è tre non euclidien. Ainsi, les 28 premi è res propositions traitent des propri é t é s des triangles, des droites s é cantes, des perpendiculaires et des conditions d angles pour que deux droites coup é es par une s é cante soient parall è les (27 e et 28 e ): Si une droite tombant sur deux droites fait des angles alternes é gaux entre eux, ces deux droites seront parall è les.

9 1 - La 5 e Demande dans les Éléments La Th é orie des parall è les Euclide fait de la contrapos é e logique (A B é quivaut à non B non A) de sa 5 e Demande, sa 29 e proposition, c est la propri é t é r é ciproque de la 27 e : Une droite qui tombe sur deux droites parall è les fait les angles alternes é gaux entre eux … Puis il en d é duit dans les propositions suivantes les propri é t é s de base du parall é lisme, notamment celles des parall é logrammes (prop. 34 ): Les côt é s et les angles oppos é s des parall é logrammes (quadrilat è res dont les côt é s oppos é s sont parall è les) sont é gaux entre eux … Proclus (V e si è cle), le premier commentateur du Livre I des É l é ments, se demande: « Comment ce dont la r é ciproque est consign é e parmi les th é or è mes comme d é montrable serait-il ind é montrable ? »

10 2 - La construction dun carré par Euclide Proposition 46: Décrire un carré avec une droite donnée. Construction: A B d C D d (d) (AB) en A (prop. 11). AC = AB (demande 3 et prop. 2). ( ) // (AB) en C (prop 31 sans la 5 e demande). (d) // (d) en B (prop 31). (d) coupe ( ) en D. Sinon (d)// ( ) et (d) // (d) ( ) // (d) ! (prop. 30) (Euclide ne fait pas cette remarque sur lexistence de D). ABCD est le carré demandé, car : Démonstration: ABCD est un parallélogramme (définition), donc CD = AB et BD = AC (prop. 34), mais AC = AB : ABCD est équilatéral (un losange). Cest aussi un rectangle : BAC + ACD = 2 droits, car ( ) // (AB) (prop. 29). Donc ACD = 1 droit. CDB = BAC = 1 droit et ABD = ACD = 1 droit (parallélogramme, prop 34). ABCD est donc un carré (def 30: équilatéral et rectangle).

11 3 - La prétention dOmar Al-Khayyâm ( ) Commentaire sur les difficult é s de certains postulats de l ouvrage d Euclide, compos é par le tr è s-illustre et tr è s-v é ridique shaykh et imam ABU AL-FATH UMAR IBN IBRAHIM AL-KHAYYAMI. (Traduction de R. Rashed et B. Vahabzadeh, Al-Khayyam Math é maticien, ed. Blanchard 1999) LIVRE PREMIER DE LA V É RITABLE NATURE DES PARALL È LES, ET DE L'EXPOSE DE LA C É L È BRE DIFFICULT É Il nous faut r é aliser que la raison pour laquelle Euclide a n é glig é la d é monstration de cette pr é misse et l'a postul é e, c'est qu'il s'est bas é - lorsqu'il lui vint à l'esprit que la cause de la rencontre des deux lignes droites é tait cette notion qu'il a postul é e - sur les principes que l'on tire du Philosophe à propos des notions de ligne droite et d'angle rectiligne. Nous devrons admettre vingt-huit propositions de l'ouvrage Les É l é ments, car elles ne d é pendent pas de cette pr é misse: seule la vingt-neuvi è me proposition, o ù nous voulons rapporter les lois des lignes parall è les, en d é pend. Que celui qui le voudra, place donc la premi è re proposition de ce Livre-ci au lieu de la vingt-neuvi è me proposition du premier Livre, de sorte qu'elle fasse partie int é grante de l'ensemble de l'ouvrage.

12 4 - La construction dun rectangle par Omar Al-Khayyâm Proposition Premi è re, soit la 29 e du Livre I: La ligne AB est donn é e; nous menons AC perpendiculairement à AB; nous posons BD perpendiculaire à AB et é gale à la ligne AC (elles seront donc parall è les, comme l'a d é montr é Euclide dans la proposition 26); et nous joignons CD. Je dis que l'angle ACD sera é gal à l'angle BDC. D é monstration. Nous joignons CB, AD. La ligne AC est donc é gale à BD, AB est commune, et les angles A et B sont droits. Les bases AD, CB seront donc é gales, et les autres angles seront é gaux aux autres angles. Donc les angles EAB, EBA seront é gaux. Donc les lignes AE, EB seront é gales. Il restera donc CE, ED é gales entre elles. Donc les angles ECD, EDC seront é gaux. Mais ACB est é gal à ADB. Donc les angles ACD, CDB seront é gaux. Ce que nous voulions d é montrer. AB CD E

13 5 - La théorie des parallèles selon Omar Al-Khayyâm Le n œ ud du probl è me: Al-Khayyâm montre que ABCD est un rectangle, c est- à -dire que les angles en C et D sont droits (prop. 2 et 3). Il en d é duit alors le 5 e Postulat en 5 propositions utilisant l é quidistance de deux parall è les. - Quatri è me Proposition, soit la 32 e des É l é ments : Dans un rectangle (4 angles droits), les côt é s oppos é s sont é gaux - Cinqui è me Proposition, soit la 33 e des É l é ments : Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisi è me, toute perpendiculaire à l une sera perpendiculaire à l autre. - Sixi è me Proposition, soit la 34 e des É l é ments : Deux droites parall è les sont perpendiculaires à une même troisi è me. Al-Khayyâm fait bien ainsi la distinction entre deux d é finitions du parall é lisme, mais pr é tend d é montrer leur é quivalence : + deux droites prolong é es à l infini ne se rencontrent pas (d é finition 35 d Euclide), + deux droites é quidistantes (même longueur des perpendiculaires communes, « vis à vis » dit Al-Khayyâm), dont l existence suppose le 5 e Postulat. AB CD

14 6 - Al-Khayyâm « démontre » le 5 e Postulat - Septi è me Proposition, soit la 35 e des É l é ments (prop. 29 d Euclide) : Si une ligne droite tombe sur deux lignes parall è les, les angles alternes seront é gaux entre eux et les angles int é rieurs seront é gaux à deux droits. - Huiti è me Proposition, soit la 36 e des É l é ments (le 5e Postulat d Euclide) : La ligne EG est droite, et l'on a men é les lignes EA, GC de telle sorte que les angles AEG, CGE soient plus petits que deux droits. Je dis qu'elles se rencontreront dans la direction de A. Ce r é sultat ach è ve le Livre I d Al-Khayyâm, il conclut : Voil à donc la v é ritable d é monstration des lois des parall è les et de la notion vers laquelle on tendait. Et à la v é rit é, il faudra annexer ces propositions à l'ouvrage Les É l é ments selon l'ordre qui a é t é mentionn é ; … car l'art en a besoin afin d'être philosophiquement parfait, de sorte que celui qui l' é tudie n'ait plus de doute et ne soit plus troubl é par des incertitudes. Et le moment est venu pour nous de conclure le premier Livre en louant Dieu le Tr è s-Haut et en b é nissant le proph è te Muhammad et toute sa famille. L'angle AEG est plus petit que EGD. Nous posons alors l'angle HEG é gal à EGD. Les lignes HEI, CGD sont donc parall è les, (Euclide, prop. 27, Livre I). Mais la ligne EA coupe HI. Par cons é quent, elle coupera la ligne CD dans la direction de A. Ce que nous voulions d é montrer A E B H I G C D

15 7 - La preuve du rectangle par Al-Khayyâm Mais comment Al-Khayyâm obtient-il que ABCD est un rectangle ? Seconde Proposition, soit la 30 e des É l é ments: Nous reprenons la figure ABCD; nous divisons AB en deux en E; et nous menons EG perpendiculairement à AB. Je dis que CG sera é gale à GD, et EG perpendiculaire à CD. D é monstration. Nous joignons CE, ED. La ligne AC est donc é gale à BD, AE est é gale à EB, et les angles A, B sont droits. Donc les bases CE, ED seront é gales, et les angles AEC, BED seront é gaux. Il restera donc CEG, GED é gaux entre eux. Mais la ligne CE est é gale à ED, EG est commune, et les deux angles sont é gaux. Le triangle sera donc é gal au triangle, et les autres angles et côt é s homologues é gaux entre eux. CG sera donc é gale à GD, et l'angle CGE é gal à DGE. Ils seront donc droits. Ce que nous voulions d é montrer. AB CD E G

16 7 - La preuve du rectangle par Al-Khayyâm Troisi è me Proposition, soit la 31 e des É l é ments : Nous reprenons la figure ABCD [avec E et G]. Je dis que les angles ACD et BDC seront droits. Al-Khayyâm place K sur (EG) tel que GK = EG et trace en K la perpendiculaire à (EK), qui coupe (AC) en H et (BD) en I (cela suppose le 5e Postulat !). Il d é montre facilement ( é galit é s de triangles de bases CK et DK) que KH = KI et CH = DI. Il reste à montrer que les angles en C et D ne sont ni aigus ni obtus. - Hypoth è se de l angle aigu (principe du raisonnement) : par pliage autour de (CD), K vient en E, l angle obtus GCH vient en GCN, plus grand que GCA, et H vient en N, avec EN > EA. Donc KH > EA et la droite (AC) s é carte ainsi de (EG). Idem pour (BD), et de même si on construit la figure de l autre côt é de (AB). On a alors pour les deux droites parall è les (AH) et (BI) l allure ci-dessus : AB CD E G H KI AB HI HI N

17 7 - La preuve du rectangle par Al-Khayyâm - Hypoth è se de l angle obtus (principe du raisonnement) : Par pliage autour de (CD), K vient en E, l angle aigu GCH vient en GCM, plus petit que l angle obtus GCA, et H vient en M, avec EM < EA. Donc KH < EA, et la droite (AH) se rapproche ainsi de (EK). Idem pour (BI), et de même si on construit la figure de l autre côt é de (AB). On a alors pour les deux droites parall è les (AH) et (BI) l allure ci-dessous : AB CD E G H KI AB HI HI M On a donc deux lignes droites qui coupent une ligne droite selon deux angles droits, et la distance entre elles augmente (hypoth è se de l angle aigu), ou diminue, (hypoth è se de l angle obtus) des deux côt é s de cette ligne.

18 8 - La ligne droite est bien droite : le refus dOmar Al-Khayyâm Conclusion : C'est l à une absurdit é premi è re, d è s lors que l'on con ç oit la lin é arit é et que l'on r é alise la distance entre les deux lignes. (Cela fait partie des choses que tu pourras reconna î tre avec un minimum de r é flexion et d'investigation). Et d è s lors qu'il est impossible que les deux lignes [AB et CD] soient in é gales, elles seront é gales. Et d è s lors qu'elles sont é gales, les deux angles [en C et en D] seront é gaux. Par cons é quent ils seront donc deux droits. (On le reconna î tra avec un minimum de r é flexion; nous l'omettrons donc afin d' é viter la prolixit é. Ainsi, que celui qui voudra ici-même é tablir cela selon l'ordre math é matique le fasse; nous ne l'empêcherons pas!). Par ce refus id é ologique, Omar Al-Khayyâm passe ainsi à côt é d une grande d é couverte.

19 9 - La rigueur de Saccheri ( ) Le titre du livre de Girolamo Saccheri est révélateur de lintention de lauteur: Euclide lavé de toute tache (1733). Saccheri suppose connues les 28 premières propositions des Éléments et reprend la configuration dAl-Khayyâm : Il prouve que les angles en C et D sont égaux. Comme Al-Khayyâm, il fait les trois hypothèses : angles droits, obtus ou aigus, et montre que si lune est vraie pour un quadrilatère, alors elle est vraie pour tous. Dans les hypothèses de langle droit ou obtus, il prouve que si deux droites font un angle aigu, toute perpendiculaire à lune coupe lautre : AB CD Quel que soit P sur (AB), il existe un point N sur (AC) tel que le pied M de la perpendiculaire menée de N à (AB) soit au delà de P. Dans le triangle rectangle AMN, la perpendiculaire menée de P à (AB) recoupe lhypoténuse (axiome de Pasch). Saccheri peut ainsi éliminer lhypothèse de langle obtus (qui conduit à la géométrie sphérique), car utilisant la 2 e Demande dEuclide pour construire sa figure (on peut prolonger une droite à linfini), le résultat obtenu implique le 5 e Postulat, lequel entraîne immédiatement que les angles en C et D sont droits. Saccheri conclut : « lhypothèse de langle obtus est absolument fausse, car elle se détruit delle-même ». A B C PM N

20 9 - La rigueur de Saccheri ( ) Le raisonnement précédent ne peut pas aboutir dans lhypothèse de langle aigu et Saccheri, malgré toutes ses recherches rigoureuses, narrive pas à obtenir une contradiction. Il montre que deux droites quelconques sont : - soit sécantes : - soit ont une perpendiculaire commune : - soit sont asymptotes ! Classification que Lobachevski reprendra un siècle après pour la géométrie hyperbolique. Saccheri découvre que deux droites ayant une perpendiculaire commune peuvent ne pas être équidistantes, et quétant donné un segment [AB], il existe un angle BAX tel que : - (AX) ne rencontre pas la perpendiculaire (BC) en B à (AB), - toute oblique (AX) comprise dans langle BAX, rencontre cette perpendiculaire (BC) à (AB), - toute oblique (AX) faisant un angle aigu avec (AB), plus grand que BAX, a une perpendiculaire commune avec (BC). Saccheri est donc amené à considérer que les droites asymptotes (AX) et (BC) se rencontrent à linfini, et devraient avoir en ce point idéal une perpendiculaire commune ! Devant ces paradoxes, moralement convaincu que le 5e Postulat est démontrable, il conclut: « Lhypothèse de langle aigu est absolument fausse, car cela répugne à la nature de la ligne droite ». AB X X XC

21 10 - Le travail de Johann Heinrich Lambert ( ) La théorie des parallèles (Theorie der parallellinien) Partant d un quadrilat è re ayant 3 angles droits, Lambert montre que pour le quatri è me, l hypoth è se de l angle obtus est impossible dans une g é om é trie o ù les droites sont infinies (2 e Demande d Euclide), mais remarque que cette propri é t é est v é rifi é e sur une sph è re. Il pousse l hypoth è se de l angle aigu le plus loin possible, et obtient les premiers r é sultats en g é om é trie hyperbolique, en particulier que la somme des angles a, b, c d un triangle ABC d é pend de son aire : 2droits – (a+b+c) = k aire(ABC) Comparant cette formule à celle de Girard (1625), sur une sph è re de rayon R : (a+b+c) – 2droits = (1/R 2 ) aire(ABC), il conclut que l hypoth è se de l angle aigu m è ne à une g é om é trie sur une sph è re de rayon imaginaire iR. Ceci entra î ne l existence d une mesure absolue des longueurs. Mais, consid é rant que dans la r é alit é physique, il n y a pas de mesure absolue des longueurs et convaincu que les axiomes de la g é om é trie doivent refl é ter notre perception de l espace, il é carte aussi l hypoth è se de l angle aigu pour obtenir le 5 e postulat, qui n est donc pas math é matiquement d é montr é.

22 11 - Mises en garde de DAlembert et du père Farkas Bolyaï Jean Le Rond D Alembert ( ) é crira dans l Encyclop é die (v. 1765) : « la d é finition et les propri é t é s de la ligne droite, ainsi que des lignes parall è les sont l é cueil et pour ainsi dire le scandale des é l é ments de g é om é trie ». Wolfgang Farkas Bolya ï ( ), apr è s 8 tentatives infructueuses, d é courag é, é crit à son fils Janos qui sera l un des cr é ateurs des G é om é tries Non Euclidiennes : « Je vous supplie de laisser cette science des parall è les tranquille... J'ai travers é cette nuit insondable, qui é teignit toute lumi è re et joie de ma vie... Je suis revenu quand j'ai vu qu'aucun homme ne pouvait atteindre le fond de la nuit … Je m en reviens inconsol é, m apitoyant sur mon sort... La ruine de mon humeur et ma chute datent de ce temps. J'ai, bêtement, risqu é ma vie et mon bonheur … »

23 12 - La réponse du fils Janos Bolyaï Janos Bolya ï, indocile, é crit à son p è re en 1823 : « Je suis d é cid é à publier mon travail sur la th é orie des parall è les [...] Le but n'est pas encore atteint mais j'ai fait des d é couvertes merveilleuses qui m'ont subjugu é es, et ce serait une cause de regret é ternel si elles é taient perdues … La seule chose que je puisse dire, c'est que j'ai cr éé un nouvel univers à partir de rien. Tout ce que je vous ai envoy é jus que l à est un château de cartes à côt é de la tour ». Il r é dige en 1825 un opuscule : La science absolument vraie de l espace, publi é en appendice d un ouvrage de son p è re en 1832.

24 13 - La prudence de Carl Friedrich Gauss ( ) 1 - R é ponse à son ami Farkas Bolya ï qui lui avait communiqu é les travaux de son fils : « le contenu lui-même du travail, le chemin suivi par votre fils et les r é sultats auxquels il est conduit, co ï ncident presque enti è rement avec les m é ditations qui ont occup é mon esprit en partie pour les 30 à 35 derni è res ann é es ». Gauss ajoute, craignant les sarcasmes ( j ai peur des criaillements des ignorants ) : « Mon intention é tait de ne rien publier de mon vivant … Je suis tr è s heureux que ce soit le fils d'un vieil ami qui me pr é c è de d'une mani è re si remarquable. » 2 - Gauss avait explor é la question depuis longtemps, lettre à Farkas Bolya ï de 1799 : « J'ai d é j à fait quelques progr è s dans mon travail ; si on pouvait prouver qu il existe un triangle dont l'aire est plus grande que tout nombre donn é à l avance, alors je pourrais é tablir la g é om é trie euclidienne rigoureusement". 3 - Lettre à Burkhard de 1817 (depuis 1813, Gauss avait la certitude de la consistance d une g é om é trie non euclidienne) : « Je suis de plus en plus convaincu que la n é cessit é de notre g é om é trie euclidienne ne peut être prouv é e en tout cas par une pens é e humaine et pour une raison humaine. Peut être dans une autre vie il nous sera possible d'avoir une indication sur la nature de l'espace qui nous est pour le moment inaccessible ».

25 13 - La prudence de Carl Friedrich Gauss ( ) 4 - Lettre à Taurinus de 1824, annon ç ant une nouvelle g é om é trie qui sera d é velopp é e par Lobatchevski en 1829 (en russe, publi é en fran ç ais en 1837) : « l'hypoth è se que la somme des angles d'un triangle est inf é rieure à 180 degr é s conduit à une g é om é trie curieuse, assez diff é rente de la nôtre, mais coh é rente que j'ai d é velopp é e à mon enti è re satisfaction et dans laquelle je peux r é soudre tout probl è me à l'exception de la d é termination d'une constante qui ne peut être d é finie a priori. Plus cette constante est grande, plus on est proche de la g é om é trie euclidienne et les deux co ï ncident si elle est prise infinie ». 5 - Dans cette même lettre de 1824, Gauss ajoute : « Tous mes efforts pour d é couvrir une contradiction, une incoh é rence dans cette g é om é trie non euclidienne ont é chou é, (...) Mais il me semble que nous ne connaissons que si peu, pour ne pas dire rien du tout, de la vraie nature de l'espace qu'il n'est pas possible de qualifier d'impossible ce qui nous appara î t comme non naturel ». 6 - Appr é ciation de D ü ring vers 1880 sur la g é om é trie non euclidienne : « Insanit é d é mentielle, th é or è mes et figures mystiques et d é lirants n é s d'une pens é e maladive ! Les parties d é g é n é r é es du cerveau de Gauss ».

26 14 - Le choix de Lobatchevski ( ) Nicolas Ivanovitch Lobatchevski publie sa Théorie des parallèles en Un point A extérieur à une droite (BC) étant donnés, soit (AD) lunique perpendiculaire issue de A sur (BC). Lobatchevski part de la situation laissée par Saccheri et admet comme base de travail que : Par le point A extérieur à la droite (BC), il passe trois types de droites : - celles qui coupent (BC), comme (AE) - les deux droites (AF) et (AG), qui sont asymptotes à (BC). Ce sont les parallèles à (BC) passant par A. - les droites, comme (AH) comprises dans l angle form é par (AF) et (AG), qui ne rencontrent pas (BC) et qui ont avec (BC) une perpendiculaire commune. Parmi celles-ci, la droite (AI) est perpendiculaire en A à (AD). Lobatchevski déclare en 1834 que « la vérité à établir (le 5e Postulat) ne peut être démontrée que par des expériences », au contraire de Kant qui pensait que le concept despace euclidien « nest pas dorigine empirique, mais est une nécessité inévitable de la pensée ». A BC E FG H D I


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