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Les hyperréels en analyse Valérie Henry Introduction Leibniz : « La distance entre les temps est infiniment petite, mais pourtant elle nest pas rien.

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2 Les hyperréels en analyse Valérie Henry

3 Introduction Leibniz : « La distance entre les temps est infiniment petite, mais pourtant elle nest pas rien cette distance. Et si elle nest pas rien, elle doit être représentée par un nombre (...) qui doit être plus petit que tout autre nombre (...) mais pas 0. »

4 M: « Ils se comportent comme des nombres mais naturellement ils sont plus petits que tout autre nombre » P: « Zéro, alors. » M: « Non, pas tout à fait 0, plus grands que ça. »

5 Du côté des économistes... L.Walras: « Rien nindique (...) quune augmentation infiniment petite de p y produise une diminution infiniment petite de d. » (Eléments déconomie pure, 1874) Dupont B., Rys A.: « Cette dérivée mesure la réaction moyenne de y à une variation très petite, infinitésimale, de x. (...) » (Introduction à la microéconomie, 1993)

6 Applications en économie, en finance et en gestion Principles of Infinitesimal Stochastic and Financial Analysis, van den Berg I. (Portugal) The Values of Nonstandard Exchange Economies, Brown D.J. – Loeb P.A. The Relationship between measure- theoretic and non-standard exchange economies, Rashid S.

7 Une fonction!

8 Exemple en économie Coût marginal: Cm (x) Déf: Coût additionnel engendré par la production dune unité supplémentaire de produit lorsque la quantité de production initiale est x Cm(x) = f(x)

9 Infiniment petits 0 ippipn

10 Les réels et leurs halos r-εr+ε r0 -ε-εε ignigp Limités Réels ip

11 La construction des hyperréels R i.g. i.p. appréciables *R

12 Définitions *x *y si *x -*y ip *x limité si r t.q. *x r *x appréciable si r \{0} t.q. *x r

13 Représentation en arbre Nombre hyperréel Limité Non-limité ip 0 appr ig ipn ipp réel non-st ign igp

14 Règles de Leibniz *xignappr<0ipnippappr>0igp -*xigpappr>0ippipnappr<0ign 1/*xipnappr<0ignigpappr>0ipp *x+*yignappripigp ign ? apprignlmtapprigp ipignapprip ou 0igp ?

15 Règles de Leibniz (suite) *x * y igapprip ig ? apprigapprip ?

16 Partie standard dun hyperréel limité *x hyperréel limité, r t.q. *x r On a : r = st(*x) Exemples : st(ε) = 0, ε ip (ε ip, r R) => st(r + ε) = r

17 Continuité f est continue en a dom f si *x a, f(*x) f(a) ou encore st(*x) = a => st(f(*x)) = f(a) Les fonctions x, sin x, cos x et e sont continues en a R; ln x est continue en b réel positif

18 Limites Limite de f(x) pour x tendant vers a : st( f(*x) ) pour *x a Propriétés évidentes grâce à la partie standard

19 Dérivée Quotient différentiel ou taux daccroissement: pour *x a st( ) = f(a) est le nombre dérivé de f en a sil existe

20 Tangente Illustration grâce au logiciel Mathematica


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