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Léconomie de lassurance est issue de deux domaines qui étaient restés séparés jusquau début des années 1960, les statistiques et léconomie de lincertain.

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1 Léconomie de lassurance est issue de deux domaines qui étaient restés séparés jusquau début des années 1960, les statistiques et léconomie de lincertain. Dans ce type denvironnement de nombreuses questions se posent sans quil soit malheureusement possible dy répondre de manière complète. Cest pour cette raison que va être développée une axiomatique, c'est-à-dire un ensemble dhypothèses raisonnables mais restrictives visant à limiter le champ des possibles pour pouvoir modéliser les comportements raisonnables des agents économiques. Soit quils ne connaissent pas à lavance les conséquences de leurs décisions car ils se trouvent en interaction avec dautres agents soit en raison dun environnement économique changeant (phénomène de contingence). Léconomie de lincertain ou de la prise de décision en univers incertain tente de comprendre comment les agents prennent leurs décisions lorsquils se trouvent dans une configuration où ils ne possèdent pas toute linformation nécessaire à une prise de décision.

2 On peut parler de noyau dur au sens de Lakatos. Si on naccepte pas cet ensemble dhypothèses, on ne peut pas traiter de léconomie de lassurance, ou bien il faut développer un autre noyau dur, une nouvelle approche. Le premier élément qui vient délimiter laxiomatique de Von Neumann Morgenstern est quil existe deux notions différentes : la notion de risque et la notion dincertitude. Cette distinction est réalisée par F. Knight dans son ouvrage de 1921 Risk, Uncertainty and Profit et Keynes A Treatise on Probability 1921

3 Le risque correspond au contraire à des systèmes fermés où il est possible de déterminés précisément les probabilités doccurrences des événements ainsi que de quantifier leurs conséquences. Les loteries sont des systèmes fermés. On verra quelles sont utilisées fréquemment afin de représenter les comportements des agents en univers incertain, probabilisable. Lincertitude correspond à des systèmes ouverts au sens de Faber et Proops. C'est-à-dire que lensemble des événements possibles nest pas défini ex ante. Autrement dit, on ne peut uniquement connaître tous les Etats de la nature possibles avec leurs conséquences quaprès quils se soient réalisés. Limite de linférence statistique, le signe noir, le soleil.

4 On parle également dincertitude radicale et dincertitude probabilisable. Pour résumer en simplifiant, il y a les risques quantifiables et non quantifiables. Lassurance sintéresse aux premiers, les seconds ne pouvant être tarifés dans le cadre dun contrat dassurance. Léconomie de lincertain va donc abandonner une partie des événements possibles car on pourra les traiter dans ce cadre. Un autre élément de complexité entre dans les questions touchant aux décisions prises en univers incertain. Chaque agent économique en fonction de son éducation, de son milieu sociale, de son niveau de patrimoine et de richesse va aborder la notion de risque avec des aprioris différents.

5 Le propos ici est de souligner la divergence de lappréciation du risque en fonction des individus. Ainsi trois types de comportement vont être identifiés, les individus adverses au risque, les prudents, les individus indifférents au risque, et enfin les individus qui apprécient le sel du risque. Ces notions seront définies formellement dans le cadre de lutilité espérée. Certains, très riches pourront prendre des risques importants du fait quils détiennent un coussin de sécurité important. Dautres aussi riches mais plus prudents auront peur de sengager dans telles aventures. Réciproquement, des gens pauvres nayant rien à perdre pourraient être tentés de se lancer dans des activités fortement risquées. Au contraire, sans le sou, et ne souhaitant pas perdre le peu quils possèdent, ils adopteront une attitude prudente.

6 Dans cette partie on va tenter dappréhender les notions théoriques de base qui régissent le fonctionnement des assurances. Ces notions sont laversion au risque, la prime de risque, léquivalent certain, lespérance dutilité et surtout les hypothèses qui composent laxiomatique Von Neumann Morgenstern. On peut également ajouter quun individu peut voir ses probabilités subjectives évoluer au cours du temps. Les personnes âgées sont plus attachées à leur sécurité, les adolescents au contraire sont disposés à prendre des risques. Par ailleurs en fonction de la structure des risques, des gains et des pertes des positions différentes pourraient être adoptées qui ne seraient pas congruentes vis-à-vis de laxiomatique VNM. On verra ainsi le paradoxe de Allais. Laxiomatique VNM sans pouvoir répondre à lensemble de ces limites va néanmoins constituer le bloc à partir duquel léconomie de lassurance est construite. Il faut avoir conscience de ces limites, mais par définition le risque et la subjectivité des agents ne peuvent entièrement entrer dans un cadre formel quantifiable. Néanmoins cette approche permet daborder de manière cohérente et systématique les problématiques assurantielles, cest le cadre à travers lequel on peut essayer de modéliser le comportement des agents face au risque.

7 La théorie de la décision en univers incertain : Habituellement, la microéconomie décrit le comportement des agents en fonction dalternatives qui sont certaines. Un consommateur va chercher à maximiser son utilité en fonction de ses préférences qui sont connues, de sa contrainte budgétaire ainsi que des prix des biens et des services auxquels il peut accéder eux-mêmes connus. Dans la réalité les choses sont un peu plus complexes. Un agent sil décide de produire un certain type de produit ne connait pas à lavance le montant de la demande pour ce type de bien, il doit donc choisir. Ce choix constitue une prise de risque.

8 Cette prise de risque peut être présentée en fonction de 3 critères : le critère daction qui relève du choix de lacteur, le critère lié à létat de la nature, dans cet exemple le niveau de la demande, et enfin la probabilité de réalisation des différents états de la nature. Lidée principale est que les gains réalisés sont conditionnés par des événements qui ne sont pas sous le contrôle de lagent individuel. Ces situations peuvent être représentées sous la forme de distribution de probabilité ou de loterie. Mais au final, ces représentations vont servir à établir les niveaux de primes qui pourront être exigées par les assureurs pour se couvrir de divers risques. Ce qui va guider lagent cest lespérance dutilité de sa richesse. Son critère de décision consiste à choisir la distribution de la richesse finale qui lui permettra de maximiser son espérance dutilité.

9 Laxiomatique Von Neumann Morgerstern, le critère dutilité espérée pour dépasser les limites de lapproche statistique Dans ces situations, les statistiques seules ne peuvent répondre de manière satisfaite à létablissement de critères de décision. Si on considère les deux loteries suivante on verra que les statisques ne permettent pas de rendre compte des comportement dans lincertain.

10 Soit un agent joue à la loterie suivante, il peut gagner le montant Z ou – Z avec les probabilité ½, ½. Lespérance de gain de la loterie secrit donc : E(l 0 ) = ½*Z+1/2*(-Z) = 0 La seconde loterie le gain vs. la perte est nulle E(l 1 ) =0 A partir de la seule espérance de gain, il nest pas possible de faire un choix entre ces deux loteries car leur espérance est la même. Pourtant dans la réalité, les agents vont effectuer des choix que le seul critère despérance mathématique ne peut résoudre. Il faut donc trouver autrechose. Avant daller plus loin nous revenons sur les notions de base permettant de caractériser les prises de décision dans lincertain.

11 e1e1 eiei enen a1a1 R 1,1 R 1,i R 1,n ajaj R j,1 R j,i R j,n amam R m,1 R m,i R m,n Prob{e}Prob{e 1 }Prob{e i }Prob{e n } États de la nature Actions

12 Temps humide (e1) Temps moyen (e2) Temps sec (e3) Blé (a1) R b,h R b,m R b,s Maïs (a2) R m,h R m,m R m,s Prob{e}Prob{h}Prob{m}Prob{s} États du temps Choix de la culture

13 Temps humide Temps moyen Temps sec Blé R b,h 4 t/h R b,m 6 t/h R b,s 4 t/h Maïs R m,h 5 t/h R m,m 6 t/h R m,s 3 t/h Prob{e} Prob{h} 0.35 Prob{m} 0.5 Prob{s} 0.15 États du temps Choix de la culture Les probabilities de survenu des different états de nature peuvent être établis en fonction de relevés passés de la météo dans la région.

14 A partir de lensemble de ces combinaisons R b,h; R b,m; R b,s; R m,h; R m,m; R m,s un ordre de préférence va pouvoir être établi Cet ensemble de résultats forme un cardinal Cest à dire un nombre fini de résultats que lon peut ordonné

15 P (a1) ={ 0.00;0.15; 0.35;0.40;0.50}=1 Le choix entre produire du blé ou du maïs peut être assimilé au choix entre 2 loteries. P (a2) ={ 0.00;0.15; 0.35;0.40;0.50}=1 Ces loteries ne diffèrent pas par leurs résultats (les éléments de C) mais diffèrent par les distributions de probabilité p (aj).

16 Quelle que soit laction ménée appartenant à lensemble des actions possibles, il existe une probabilité associée à cette action telle que, cette probabilité soit supérieure ou égale à zéro et que la somme de probabilité formée par cette loterie soit égale à 1.

17 Probabilité que laction a j conduise au l ième résultat de C* Une action a j peut être caractérisée de la façon suivante : Ou encore :

18 Chaque décision (loterie) peut alors être comparée par sa distribution de probabilité sur lensemble des conséquences C Par conséquent, si on prend le cardinal des conséquences des toutes les loteries, chaque loterie ne diffère que par sa distribution de probabilités, Si on suppose que lagent dispose dun pré-ordre complet sur les conséquences (relation de préférence et dindifférence sur les conséquences), alors la définition dune relation de préférence sur les loteries suffit à caractériser le comportement vis-à-vis du risque dun agent, Cette relation de préférence doit respecter les axiomes suivants pour que la fonction dutilité VNM existe :

19 Nous allons définir une relation de préférence dans lensemble P et demander à cette relation de vérifier laxiomatique de Von Neumann et Morgenstern Soit lutilité espérée définit en 1947 par VNM Von Neumann Oskar Morgenstern (Görlitz Princeton 1977) ( )

20 Intérêt de lapproche VNM en terme dutilité espérée (1947) 1)Séparation entre les croyances sur les sources de lincertitudes représentées par des probabilités sur des évenements incertains, de lutilité pour les gains certains 2)La séparation entre des situations de risque où les probabilités sont données (jeu de roullette) et des situations où ces probabilités ne sont pas connue (course de cheveaux) est levée. Cest le modèle despérance subjective dutilité de Savage (1954) qui permet le passage de situation dincertitude à des situation de risque probabilisable. Mais les probabilités ne sont plus objectives, mais subjective.

21 Laxiomatique de VNM Il faut supposer que deux distributions de probabilités pourront toujours être comparées. A-1- Laxiome de comparabilité, réflexivité A-2- Laxiome de transitivité Cet axiome traduit une rationalité pure qui induit la cohérence entre les classements Paradoxe de Condorcet, Paradoxe de Allais Les axiomes A1 et A2 forment un préordre, ie une relation une relation binaire réflexive et transitive. Elle est dite totale si elle est complete.

22 A-3- Laxiome dindépendance forte ou de substitution Cet axiome peut sinterpréter de la façon suivante : Lattitude dun individu face aux deux loteries ne devra dépendre que de son attitude face à p et q et non pas de la façon dobtenir p et q.

23 Lanalogie avec le principe dArchimède vient du fait que : quelque soit un couple (z, z) de deux entiers naturels, il existe toujours un entier naturel k tel que : kz > z A-4- Laxiome de continuité ou dArchimède

24 Comment mesurer lutilité, voire même lutilité était-elle mesurable ? Utilité ordinale Vs. Utilité cardinale Les fonctions dutilité définies par vNM sont qualifiées de cardinales. Elles permettent dattribuer une valeur caractérisant le niveau de satisfaction associe a la consommation dun bien. Elles se différencient des fonctions dutilité ordinales qui permettent seulement de classer les biens les uns par rapport aux autres. Avec la cardinalité il est possible de dire cette loterie est préférée 4 fois plus que celle autre loterie. Cest la cardinalité qui permet la maximisation. Une hypothèse importante sous jacente à la théorie de lutilité espérée est lindépendance : la valeur donnée à un résultat est indépendante de la manière dont il est arrivé ou de son contexte (axiome 3).

25 Ordinale vs. cardinale La fonction dutilité cardinale joue un rôle centrale dans létude des préférences des individus car elle permet de quantifier lutilité associée à chaque bien et ainsi de réaliser des arbitrages visant à maximiser lutilité individuelle. On peut dire quun bien apporte 4 fois plus dutilité quun autre bien. Lutilité ici est mesurable. Pourtant Paréto et dautres économistes rejettent la fonction dutilité pour représenter les comportements individuelles, car ils ne croient pas que lon puisse établir une fonction dutilité objective. Dans ce cas, il se contente de la définition dun préordre complet. La connaissance sur lordre des préférence suffit. Toutefois, ordonner les préférences ne permet pas de mesurer lutilité.

26 Supposons que les préférences dun individu soient telles que On représente ces préférences par une fonction dutilité U(.) qui vérifie U(a) = 20; U(b) = 10; U(c) = 5 De ces trois chiffres, on peut également tirer les renseignements suivants : 1.lutilité de a, b et c vaut exactement 20, 10 et 5 ; 2.a est deux fois plus utile que b et quatre fois plus que c ; 3.On obtient 15 degrés dutilité en plus en ayant a plutôt que c ; et 5 degrés en plus en ayant b plutôt que c ; 4.La différence dutilité entre a et c est trois fois plus grande que la différence dutilité entre b et c. 5.Supposons que nous prenions la racine carrée de la fonction U. On appelle V cette nouvelle fonction dutilité V =pU

27 Il vient évidemment, V (a) = p20 = 4, V (b) = p10 = 3, V (c) =p5 = 2, On constate que des 4 renseignements précédents, seul le fait que continue à être vérifié. En effet, les « valeurs dutilité » ont changé et il est désormais faux que a soit deux fois plus utile que b. De plus, les variations dutilité et les rapports de différences ont également changé. Si on admet quune fonction dutilité nest définie quà une fonction croissante près, alors on reconnaît ipso facto que le seul renseignement quon veut préserver en passant dune fonction dutilité à une autre est lordre. Par exemple, toute transformation croissante de la fonction U donnera toujours. Abordons maintenant le problème de lutilité cardinale. Reprenons lexemple précédent, où on avait U(a) = 20 U(b) = 10 U(c) = 5

28 Quelles sont les transformations qui permettent de préserver les renseignements 1 à 4 ? Le premier renseignement nest préservé que par la transformation « identité ». En effet, si V = Id *U alors, on a : V (a) = 20 V (b) = 10 V (c) = 5 Le deuxième renseignement nous dit que U(a)/U(b) = 2 et U(a)/U(c)=4 On constate donc que les transformations linéaires de U ne modifient pas ce renseignement. Si V = α U on a V (a)/ V(b) = α U(a)/ αU(b) = 2 et V (a)/V(c) = αU(a)/ αU(c) =4.

29 Le troisième renseignement nous dit que U(a)U(c) = 15 et U(b)U(c) = 5. Il est évident quen ajoutant une constante à la fonction U on ne change pas ce renseignement. Si V =U + β on aura bien V (a)V (c) = (U(a)+ β )(U(c)+ β ) = 15 V (b)V (c) = (U(b)+ β )(U(c)+ β ) = 5 Le dernier renseignement nous dit que Il est clair quune transformation affine (positive) de U ne le modifie pas. Si V = αU +β On aura bien

30 On appelle « affines » les transformations de type V = αU +β. Et comme on peut le remarquer, toutes les transformations que nous avons évoquées sont « affines ». Outre le fait quelles conservent lordre, on remarque que : – si α = 1 et β = 0 on obtient la transformation identité. Elle laisse invariante léchelle sur laquelle on mesure la grandeur (ici, lutilité) ; – si α > 0 et β = 0 on obtient une transformation linéaire croissante. Cette transformation dilate léchelle de mesure en conservant le même « zéro » ; – si α = 0 et β > 0 on obtient un décalage de lorigine. On déplace le « zéro » de léchelle de mesure sans changer la taille des « graduations » ; – si α > 0 et β > 0 on obtient une transformation affine dans le sens le plus large du terme. Elle change le zéro de léchelle de mesure tout en dilatant les espaces entre les graduations.

31 On voit que les transformations affines contiennent comme cas particuliers les simples décalages dorigine et les simples dilatations des espaces entre les graduations qui contiennent elles-mêmes comme cas particulier la transformation identité. On parlera dutilité cardinale lorsque la classe des transformations dune fonction dutilité est restreinte aux transformations affines croissantes (ou positives). Cela veut donc dire que lutilité est dite «mesurable » lorsque toutes les fonctions dutilité représentant les préférences dun consommateur préservent les rapports de différences dutilité, cest à dire lorsque les instruments de mesure ne diffèrent que par le degré de dilatation (proportionnel) des graduations et la place du « zéro ».

32 Les fonctions dutilité espérées de VNM permettent de mesurer lutilité en univers incertain Supposons quun individu soit confronté à différentes possibilités (tenues pour certaines). Partant de ces possibilités, on définit ce quon appelles des « loteries », c.-à-d. des distributions de probabilités sur les différentes possibilités. Selon von Neumann et Morgenstern, on peut établir des préférences sur les loteries. Ces préférences possèdent selon eux des propriétés tout à fait particulières.

33 Source : (Drummond 1998) tirée de la thèse de Julie Chevalier. r.pdf?sequence=1 Axiomes de la théorie de lutilité espérée de Von Neumann – Morgenstern Au fil du temps, les axiomes originaux de von Neumann et Morgenstern ont été reformules par différents auteurs. Bell et Farquhar (Bell and Farquhar 1986) les présentent de la façon suivante. Axiome 1 et 2 Les préférences existent et sont transitives. Pour toute paire de loteries y et y', ou bien y est préféré a y', ou bien y' est préféré à y, ou bien lindividu est indifférent entre y et y'. De plus pour tout triplet de loteries y, y' et y' ', si y est préféré à y' et si y' est préféré à y' ', alors y est préféré à y' '. De meme si y est indifférent a y et si y' est indifférent a y' ', alors y est indifférent a y' '.

34 Source : (Drummond 1998) tirée de la thèse de Julie Chevalier. r.pdf?sequence=1 Axiome 3 Indépendance. Un individu devrait être indifférent entre une loterie à deux niveaux et une loterie simple équivalente en probabilité, qui sen déduit selon les lois de probabilité usuelles. Par exemple, considérons deux loteries y et y'. y correspond au résultat x1 avec la probabilité p1 et au résultat x2 avec la probabilité 1 - p1, ce quon note formellement par y = (p1, x1, x2 ). De même, y'= (p2, x1,x2 ).Selon laxiome lindépendance, un individu est indifférent entre la loterie à deux niveaux (p,y,y' ) et la loterie équivalente en probabilité (pp1 +(1 - p)p2, x1, x2 ).

35 Axiome 4 Continuité des préférences. Si on a trois résultats x 1, x 2 et x 3, tels que x 1 est préféré à x 2 qui est préféré à x 3, il existe une probabilité p pour laquelle lindividu est indifférent entre le résultat x 2 obtenu avec certitude et la loterie qui correspond au résultat x 1 avec la probabilité p et au résultat x 3 avec la probabilité (1 – p) Source : (Drummond 1998) tirée de la thèse de Julie Chevalier. Supposons quon appelle a et z la meilleure et la pire des possibilités aux yeux de lindividu i. On choisit deux nombres U i (a) et U i (z) qui fixent la plus élevée et la plus faible des utilités. On considère maintenant la possibilité b vérifiant. Cela veut dire - dans le langage des loteries - que i préfère la loterie L(a, z;1,0) à b et préfère b à la loterie L(a, z;0,1). Lhypothèse fondamentale de von Neumann et Morgenstern est quil existe une probabilité 0 < p < 1 telle que lindividu i est indifférent entre b et la loterie L(a, z;p,1p). Lindice dutilité de b est alors U i (b) = pU i (a)+(1p)U i (z).

36 Mélanges et lois de probabilité

37 Axiome 5 de réduction des loteries composées. Un agent doit être indifférent entre une loterie A qui lui donne une probabilité p de gagner x$ et (1-p) de gagner 0$ et une loterie qui lui donne une probabilité q de gagner une loterie B (x$,0$); (z, (1-z)) et une probabilité (1-q) de gagner 0$ ssi : q*z=p Implique que : q(1-z)+(1-q)*z+(1-q)*(1-z)=(1-p) Exemple : un agent doit être indifférent entre une loterie A qui lui donne 25% de chances de gagner 100$ et une loterie qui lui donne 50% de chances de gagner une loterie B qui lui donne 50% de chances de gagner 100$ ½*Lb(1/2,1/2;0;50) ~ La(0,1/4,0;100)

38 Sous les axiomes A-1, A-2, A-3, A-4, il existe une fonction u telle que : Dans le cadre de laxiomatique établie précédement, la fonction dutilité espérée de VNM permet de comparer de manière satisfaisante les critères qui vont conduire aux choix de différentes loteries des agents et de pouvoir les comparer.

39 Supposons quon appelle a et z la meilleure et la pire des possibilités aux yeux de lindividu i. On choisit deux nombres Ui (a) et Ui (z) qui fixent la plus élevée et la plus faible des utilités. On considère maintenant la possibilité b vérifiant Cela veut dire que dans le langage des loteries que i préfère la loterie L(a, z;1,0) à b et préfère b à la loterie L(a, z;0,1). Lhypothèse fondamentale de von Neumann et Morgenstern est quil existe une probabilité 0 < p < 1 telle que lindividu i est indifférent entre b et la loterie L(a, z;p,1p). Lindice dutilité de b est alors Ui (b) = pUi (a)+(1p)Ui (z). Cest lapplication de laxiome de continuité

40 Cette procédure peut être répétée pour chaque possibilité b, c, d,..., y et donne une fonction dutilité von Neumann-Morgenstern. La fonction que nous avons construite nest bien sûr pas unique. Prenons par exemple deux nouveaux nombres Vi (a) et Vi (z) pour fixer la plus élevée et la plus faible des utilités. En reprenant la démarche précédente, on aboutit une fois encore à lidée que lutilité de la possibilité b est Vi (b) = p Vi (a)+(1p)Vi (z). En répétant cette procédure pour chaque possibilité b, c, d,..., y on obtient une nouvelle fonction dutilité VNM. Maintenant, intéressons-nous au rapport qui existe entre Ui et Vi. On a Ui (b) = pUi (a)+(1p)Ui (z) Vi (b) = p Vi (a)+(1p)Vi (z).

41 En soustrayant la seconde à la première, il vient : Ui (b) = pUi (a)+(1p)Ui (z), Ui (b)Vi (b) = p (Ui (a)Vi (a))+(1p) (Ui (z)Vi (z)). De la première on tire lexpression de p On remplace dans la seconde ce qui donne En tenant compte du fait que Ui (a),Ui (z), Vi (a) et Vi (z) sont des données, on obtient facilement (après simplification) que : Vi (z) = αUi (z)+β. La fonction VNM Vi est une transformation affine de la fonction Ui. Le même résultat pour tous les indices dutilités haut et bas quon veut bien se donner comme point de départ.

42 Laversion vis à vis du risque Lattitude face au risque : On suppose quun individu a une richesse initiale w 0 et détient une loterie. Sa richesse finale est notée : Lagent a le choix entre garder ou obtenir de façon certaine Rappel: si une variable aléatoire suit une loi normale, alors son espérance correspond à sa moyenne

43 Si lagent préfère obtenir de façon certaine lespérance de sa richesse finale que la richesse finale, on dit que lagent est risquophobe. Si lagent préfère garder sa richesse finale alétoire plutôt que dobtenir de façon certaine lespérance de sa richesse finale, on dit que lagent est risquophile. Si lagent est indifférent entre avoir de façon certaine lespérance de sa richesse finale et aa richesse finale, on dit que lagent est neutre par rapport au risque.

44 Soit la loterie : La richesse finale est donc : Nous devons comparer : Avec :

45 1 er cas : agent risquophobe :

46 2 ème cas : agent risquophile :

47 3 ème cas : agent neutre vis à vis du risque :

48 Exercice dapplication

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50 Cet exemple illustre lidée quil est nécessaire de réaliser des transformations affines pour pouvoir comparer les niveaux dutilité espérée et ainsi de construire la fonction dutilité espérée. On va normaliser les niveaux dutilité dans un cadrant. De cette manière on transforme un ordre de préférences, un ordre complet: un ordinal, en un cardinal.

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53 Si lagent est risquophobe, il va être prêt à payer une prime pour se prémunir du risque. Cette prime de risque va correspond à ce que lagent est prêt à payer pour éviter le risque. Notation correspond à la richesse certaine, correspond à la richesse aléatoire, sans assurance. Lagent sera au maximum prêt à payer la prime P qui égalise son niveau dutilité de la richesse certaine, avec le niveau de lespérance dutilité de la richesse incertaine. La prime correspond à réduction de la richesse certaine qui est juste équivalent à lutilité générée par la richesse incertain, cest le seuil dindifférence. Les deux loteries sont équivalentes.

54 Par hypothèse on sait que lespérance dutilité de la richesse aléatoire est inférieure à lutilité de lespérance de la richesse aléatoire Qui correspond à léquivalent certain de la richesse finale aléatoire

55 Le concept déquivalent certain : Léquivalent certain est le montant w* sûr et certain qui procure la même utilité que la richesse finale risquée (c-à-d la richesse initiale w 0 et la loterie )

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60 Si la richesse initiale est nulle, léquivalent de la richesse certaine vaut : =80

61 EXERCICE : wu(w) Tracez la fonction dutilité. Quen déduisez vous ? 2- Quel montant maximal est-on prêt à investir dans un projet qui rapportera 1000 ou avec la même probabilité ?

62 Solution : La somme maximale est donc telle que :

63 Jusquà présent la prime de risque a été définie de manière globale Or pouvoir établir cette prime de risque il va falloir être en mesure de la déterminer pour chaque agent en fonction de ses caractéristiques (subjectives) face au risque et aux caractéristiques objectives de la distribution du risque. Cest lapproximation de Pratt par développement limité qui permet dapprocher la prime de risque de manière spécifique.

64 Lagent sera au maximum prêt à payer la prime P qui égalise son niveau dutilité de la richesse certaine, avec le niveau de lespérance dutilité de la richesse incertaine. Rappel: La prime de risque correspond à lécart entre léquivalent certain et la richesse aléatoire

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66 Lapproximation de Pratt (1964) A partir de développements limités de Taylor, Pratt propose une approximation de lexpression de la prime de risque. Cette approximation est : Est une composante subjective propre à lagent Relative Risk Aversion (RRA) Est une composante objective propre à la loterie Absolute Risk Aversion (ARA)

67 Exemple : Calculez la prime de risque par lapproximation de Pratt. Réponse :

68 Quelques précisions : La composante subjective de la prime de risque par lapproximation de Pratt est appelée coefficient daversion absolue pour le risque. Propriété #1 : Lindividu est risquophobe Increasing Absolute Risk (IARA) Lindividu est neutre vis à vis du risque Constant Absolute Risk Aversion (CARA) Lindividu est risquophile Decreasing Absolute Risk Aversion (DARA)

69 Propriété #2 : Plus R u est élevé en étant positif, plus lindividu est risquophobe. Propriété #3 : Le coefficient R u est invariant lors de toute transformation affine croissante de la fonction dutilité. Propriété #4 : Le coefficient R u mesure en fait la courbure de la fonction dutilité. Propriété #5 : De façon réciproque, on peut mesurer la tolérance pour le risque, notée T u (w) par :

70 Les fonctions dutilité usuelles : Nous allons présenter quelques fonctions dutilité qui sont couramment utilisées en économie. La fonction dutilité linéaire : Laversion vis à vis du risque est nulle donc un agent qui aurait une fonction dutilité linéaire est agent neutre vis à vis du risque.

71 La fonction dutilité logarithmique : Laversion vis à vis du risque est positive donc un agent qui aurait une fonction dutilité logarithmique est agent risquophobe. On remarque que laversion vis à vis du risque décroît avec la richesse.

72 La fonction dutilité exponentielle négative : Laversion vis à vis du risque est positive donc un agent qui aurait une fonction dutilité exponentielle négative est agent risquophobe. On peut remarquer que laversion vis à vis du risque est constante quelque soit la richesse.

73 La fonction puissance : Laversion vis à vis du risque est positive donc un agent qui aurait une fonction dutilité de ce type est agent risquophobe. On peut remarquer que laversion vis à vis du risque est décroissante par rapport à la richesse.

74 Exercice 2 : Soit un agent dont la psychologie est donnée par : Sa richesse initiale est : w 0 = Il peut acheter un billet de type loto qui lui permet de gagner 3 millions d' avec une chance sur 13 millions. Quel est le prix maximum est-il prêt à payer pour acheter un tel billet ?

75 Solution : L'agent achètera le billet si et seulement si l'équivalent certain est supérieur ou égal à sa richesse initiale.

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82 Le contrat dassurance Les agents cherchent à se protéger contre les risques pesant sur leur patrimoine, leur niveau de richesse. Lassurance vise à couvrir un sinistre contre le paiement dune prime. La couverture peut-être complète, on parle alors dassurance complète, sinon on se trouve dans le cas de la co- assurance, seule une partie du sinistre est indemnisé par lassurance.

83 Dans le cadre le plus simple, lagent possède un richesse initiale W0. Y sont associés deux probabilités complémentaires π et (1-π) La probabilité dabsence de sinistre est (1-π) dans ce cas la richesse finale W1 = W0 Dans le cas contraire la richesse de lagent perd de sa valeur à hauteur du sinistre S. W2 = W0 -S et il se trouve deux états de nature e1 avec sinistre, e2 sans sinistre

84 Les situations respectives W1 et W2 peuvent être représentées W2 - Sinistre Utilité avec sinistre Utilité sans sinistre

85 Lagent ne sassure que si lutilité que lui procure lassurance lui permet daccéder à un niveau dutilité supérieur à celui sans assurance.

86 Ceci va en partie dépendre du niveau de la prime dassurance qui va affecter le niveau de la richesse finale en cas de souscription dune assurance, ainsi que du niveau dindemnité. Vc > Vo Dans le cas de lassurance complète, on suppose que lindemnité correspond au niveau du sinistre. Il vient donc : W1 = W – P = W – P – S + I = W2 W1 = W2 La richesse finale est indépendante de létat du monde

87 Pour se couvrir Il faut que lutilité obtenue au point C soit supérieure à celle obtenue au point O

88 Dans le cas du contrat A, lagent accepte de sassurer car son utilité en ce point est supérieure à celle au point o. Par contre en B, il nacceptera pas de sassurer car la prime dassurance est trop élevée C En C, on trouve la prime maximale pour laquelle on accepte de sassurer O et C sont sur la même courbe dindifférence

89 Sur le point C, lagent est indifférent entre la situation dassurance ou de non assurance, la prime maximale est définie par lindifférence entre le point C et O. En C, on se trouve sur la bissectrice, là où les niveaux de richesse dans les deux états du monde sont équivalents. Ici le TMS entre les deux richesse vaut : TMS = Un contrat dassurance peut être caractérisé par son niveau de prime et son dindemnité, de le cadre suivant cela donne un point Contrat.

90 Si lagent ne sassure pas il se trouve sur le point O. Si il sassure, il se trouve sur le point A.

91 Lespérance dutlité de lagent assuré est : Lespérance de profit pour lassurance est : Pour un profit nul la compagnie va fixer sa prime Lutilité de lagent devient après substitution de P Lagent devra également décider du niveau de sinistre quil souhaite assurer, soit I = α S

92 α, le degré de protection face au sinistre va être déterminer de manière à maximiser lutilité espérée de lassuré.

93 Pour avoir le niveau dutilité espéré le plus élevé lagent va se placé sur le contrat C Ce point doit qui représente le contrat optimal doit correspondre à un TMS égal à la pente de la tangente de la courbe dindifférence. On doit avoir légalité suivante avec la pente de la droite OC P= π s

94 On retrouve lidée quun agent adverse au risque se trouvera dans une situation optimale si il peut sassurer complètement contre le risque I = S et que la prime corresponde à la probabilité doccurrence de sinistre P= π s Du point de vue de lassureur on trouve que

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96 EN FONCTION DE LA NATURE DE LALÉA ON SE TROUVE DANS LE CADRE DE LASSURANCE DOMMAGE OU DE LASSURANCE VIE Rappel de base sur le fonctionnement de lassurance lAléa, la prime et lindemnité le contrat dassurance est défini par 3 éléments :

97 Principe indemnitaire : lassurance ne permet pas lenrichissement de lassuré mais uniquement la compensation dune perte. Ce principe sapplique particulièrement à lassurance dommage. Principe forfaitaire: lindemnité est fixée de manière forfaitaire. Ce principe sapplique particulièrement à lassurance de personne.

98 Responsabilité civile vs. pénale Pénale : Elle est engagée lorsquune règle de droit est enfreinte. Cette situation nest pas assurable puisquelle relève dun acte volontaire. Civile: Elle est engagée lorsque des préjudices sont causés à un tiers. Causé par sa faute mais de manière in-intentionnelle, par imprudence ou négligence. Par les personnes dont on est en responsabilité, descendants et ascendants, nos proposés, les objets possédés ou loués.

99 La responsabilité pénale nest pas couverte par une assurance, mais peut entrer dans le cadre danalyse de léconomie de lassurance Lorsquun agent économique se livre à une activité délictueuse. Il effectue un calcul en terme de gains et de pertes. La perte correspond au risque dêtre pris. Celui-ci nest pas certain. Lagent cherche à maximiser son gain net. Dun point de vue économique, lacte délictuel peut être rationnel.

100 Lassurance dans le cadre de la responsabilité civile implique la présence de trois éléments: - Un préjudice, un dommage - Une faute - Un lien de causalité entre la faute et le préjudice. Le dommage peut être corporel, matériel et/ou moral. Lanalyse économique par lintermédiaire de la fonction dutilité peut englober ces trois aspects du dommage et transformer la perte dutilité en une compensation financière. Ceci conduit à des calculs parfois sordides mais nécessaires du type combien vaut une vie, un bras… Pour effectuer cette quantification des simplifications sont nécessaires sur lappréciation de lutilité des agents. Celle-ci est supposée indépendante du temps et de lensemble des choix de lagent.

101 En fonction de la position sociale de lagent la fonction dutilité pourra varier. Les préférences sont différentes suivant que lon se trouve sans emploi, que lon se trouve plus ou moins avancé dans le cycle de la vie. Cest la problème de la contingence que lon ne fait quévoquer. Cette prise en compte de complexité de la réalité ne trouve pas actuellement de solution générale et constitue lobjet de recherches non stabilisées. La responsabilité civile délictuelle ou quasi délictuelle, et la responsabilité civile contractuelle. La responsabilité civile contractuelle est engagée lors de la non ou la mauvaise exécution dun contrat. Pour les autres cas, cest du ressort de la responsabilité civile. Elle recouvre la responsabilité personnelle du fait dautrui, du fait des choses, du fait des animaux, des propriétaires de bâtiments.

102 Responsabilité civile, contractuelle: responsabilité de moyens ou de résultats? Dans le cadre de service de maintenance ou de livraison. La garantie de résultat est engagée. La responsabilité de la poste se trouve engagée si un colis narrive pas à son destinataire en bon état. Idem pour un contrat de maintenance, les équipements pris en charge doivent être réparer dans les délais prévus par le contrat. Dans le cadre de services juridique, de médecine, seule la responsabilité de moyen est engagée. Pour pouvoir recevoir un dédommageant en cas de problème de santé suite à une intervention chirurgicale, il faudra être en mesure détablir une faute avérée du médecin ou de léquipe soignante.

103 On a établi précédemment que lagent risquophobe va choisir une assurance complète dès lors que la prime correspond à la prime pure, cest-à-dire celle permettant juste de faire face à la survenue de sinistre. Ce cadre théorique satisfaisant pour une première approche ne permet pas de comprendre le fonctionnement réel de lassurance En effet, en tant quentreprise celle-ci doit faire face à ses coûts de fonctionnement et dégager un bénéfice. Aussi, la prime effectivement payée devra tenir compte des frais de fonctionnement de lassurance, ainsi que dune marge bénéficiaire. Dans ce cas nous verrons que lassurance complète nest plus la situation optimale pour lagent. Pour retrouver une situation optimale lagent pourra arbitrer entre un contrat qui prévoit une indemnisation partielle ou la prise en charge dune franchise. On passe dans le monde « réel » de la coassurance.

104 De lassurance complète, à la co-assurance et la franchise Dans le cadre de lassurance complète, le seul paramètre inconnu est le montant de la prime. Le montant de lindemnité est équivalent au montant du sinistre et la richesse initiale est connue. Cette prime ne peut excéder la valeur initiale de la richesse de lagent, même elle devra en être assez éloigné pour que lagent accepte de sassurer. Pour que lassureur accepte dassurer, la prime ne pourra pas être nulle. On peut déterminer le niveau maximal de la prime pour laquelle lagent serait indifférent entre lassurance et la non assurance. ))

105 Le partage du risque peut être réalise par la co-assurance ou la franchise La co-assurance implique que lassuré ne sassure que sur une partie du sinistre. La franchise implique que lassuré paie un forfait, la franchise lorsque celui-ci décide dactiver lassurance. Cest donc sur lun des deux variables dassurance indemnité (I) ou prime (P) que va porter larbitrage.

106 Les contrats dassurance : Le contrat de pleine assurance est un contrat où lintégralité du sinistre est remboursée par lassurance Le contrat de co-assurance est un contrat ou seulement une part du sinistre est remboursée par lassurance Le contrat dassurance avec franchise est un contrat où lassuré prend à sa charge le sinistre jusquà un certain montant fixé. Au delà de ce montant, la différence entre la perte et la franchise est à la charge de lassurance.

107 Si α représente le niveau de richesse sinistrable que lagent souhaite assurer, il peut exister trois cas : α = 0 pas dassurance α =1 assurance complète 0 > α > 1 assurance partielle Afin de représenter les frais de gestion et la marge que doit réaliser lassurance, la prime va être réécrite de manière à tenir compte du risque et dun facteur de chargement (g). P = P(α) = gαS αS correspond au montant sinistrable assuré, et g représente le taux de prime par montant deuros assurés, le taux de chargement

108 La richesse aléatoire finale peut sécrire ainsi : Lagent va chercher à maximiser lutilité lespérance de lutilité de la richesse finale aléatoire en fonction de α :

109 Afin de maximiser lespérance dutilité de lagent il faut établir les conditions de premier et de second ordre: Premier ordre Second ordre

110 Dès lors que lagent est adverse au risque (u<0), la condition de second ordre est respectée. A partir de la condition de premier ordre il possible détablir que la co- assurance est optimale dès lors que la prime exigée est supérieure à la prime pure du fait du chargement Si π > g alors α*<1 car W1 doit être inférieur à W2 En effet si W1=W2 α = 1 On retrouve le cas de lassurance complète uniquement si g π ce qui implique gS πS

111 Dans le même esprit nous allons étudier la situation dune assurance avec franchise, Ici ce nest plus le montant assurable qui va faire lobjet de lajustement mais le niveau de la franchise. Lindemnité qui nest pas certaine dêtre versée va prendre la forme suivante : λ représente le facteur de chargement, F la franchise La prime peut-être écrite ainsi :

112 La richesse finale de lagent Lagent va maximiser son utilité en fonction du niveau de la Franchise

113 Condition de première ordre : Condition de second ordre : Cette dernière est vérifiée si u<0 Si λ > 0 le montant de la franchise optimale F* > 0 également.

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122 La théorie de la prévention P = πS Jusquà présent le risque est présenté comme une fatalité pour lagent économique. Il ne pouvait sen prémunir, mais uniquement en limiter les conséquences en souscrivant un contrat dassurance. Désormais, lagent ne sera plus sans influence sur le risque. Lagent va pouvoir : soit tenter den limiter la probabilité (auto-protection), soit tenter de limiter le niveau de sinistralité (auto-assurance). Une nouvelle question va apparaître dans quelle mesure cette attitude de protection va -t-elle être substituable à un contrat dassurance. On doit préciser avant daller plus loin que la séparation entre autoprotection et auto-assurance revêt une caractère assez théorique et que lune peut-être remaner à lautre dune point de vue formelle.

123 Lauto-assurance Lauto-assurance représente un effort consenti par lagent économique (e) qui doit permettre de limiter le niveau du sinistre (S). Le coût par lagent est fonction croissante de leffort c= c(e) Les fonctions de coût et de sinistre prennent les forment suivantes : c> 0, c 0 Dans le cas de lauto-assurance la richesse finale de lagent peut être écrite ainsi : Lagent va chercher à maximiser lutilité espérée de la richesse finale aléatoire en fonction de leffort consenti La richesse avec et sans incident :

124 Condition de premier ordre : Condition de second ordre : Compte tenu de la forme des fonctions u, S, c la condition de second ordre est toujours respectée. La condition de première ordre est plus problématique : On doit avoir : c(e*)+S(e*) < 0, c(e*) < -S(e*) Ce qui signifie que lefficacité marginale de leffort doit être supérieur à son coût marginale. Il y bien une volonté daccroitre lautoprotection avec laversion au risque

125 Lautoprotection Il ny a pas nécessairement daugmentation de lautoprotection avec laversion au risque. De ce point de vue lauto-assurance peut-être vue comme un substitut à lassurance, ce qui nest pas le cas de lautoprotection perçue plutôt comme un complément à lassurance. Exemple de Eeckhoudt (1991) avec recours à la théorie du portefeuille de Markowitz (1952) La théorie du portefeuille de Markowitz (1952) Le rapport rendement/risque, espérance/variance Pour décider dinvestir dans un projet risqué, un agent va tenter détablir une mesure du risque et une mesure du rendement associée à ce projet. Lespérance de gain est associée au rendement et la variance au risque. La rapport espérance sur variance donne donc le critère de décision.

126 Ces principes ont été forgés par Markowitz en observant le comportement des investisseurs sur les marchés financiers. Lobjectif de Markowitz est de définir une politique de placement idéale, autrement dit une composition optimale. Il sagit donc de définir des choix financiers en univers incertain. Markowitz observe que les agents ne cherchent pas à obtenir la valeur maximale espérée du portefeuille, ni la valeur moyenne mais cherchent avant tout à réduire la dispersion des rendement de ce portefeuille. Markowitz décide de retenir comme critère de dispersion la variance. Les investisseurs vont donc tenter détablir pour un rendement donné, la variance minimale en réalisant une composition optimale de leur portefeuille. Un portefeuille optimal va pouvoir être construit dès lors que lon connait la moyenne et la variance de rendement de chaque actif composant le portefeuille.

127 Ce principe est généralisé avec lidée que linvestisseur opère un arbitrage entre espérance ( μ) et variance ( σ) Pour une fonction Ф = Ф(μ, σ) avec et La fonction Ф peut être considérée comme un index de satisfaction que la combinaison (μ, σ) procure à lagent. Linvestisseur retiendra la combinaison qui maximise la valeur de Ф. En établissant les conditions de premier ordre d Ф=0 on observe que : dμ/dσ >0 Et de second ordre : d²μ/d²σ > 0 Ces éléments nous permettent de définir un choix dinvestissement optimal en univers incertain. On obtient un nombre, donc un critère cardinal aisément utilisable.

128 Ce critère cardinal, permet de comparer le rendement/risque des projets mais sans faire référence à la nature des préférences de linvestisseur. Or il est évident que chaque individu à des préférences spécifiques. En effet, linvestisseur plus ou moins adverse au risque ne classera pas nécessairement les projets dinvestissement en fonction du ratio espérance/variance de manière identique. Autrement dit léquivalent certain, cest à dire la perte quest prêt à enregistrer un agent pour obtenir la sécurisation de ses gains peut être très différente en fonction des individus. La faiblesse de la théorie du portefeuille est quelle ne repose pas sur une axiomatique clairement définie. Ainsi, les orientations quelle impose aux agents pourront être perçues comme arbitraire. Il faudrait pouvoir établir une équivalence entre la méthode de Markowitz et laxiomatique VNM.

129 Létablissement dune équivalence entre Markowitz et VNM implique que non seulement on va pouvoir établir la même loterie préférée par les deux méthodes mais que de surcroît les classements des loteries seront identiques, indifférent à la méthode utilisées. Pour y parvenir, il faut opérer des limitations soit du côté de la fonction dutilité, soit du côté des loteries. Il y aura équivalence si les fonctions dutilité dans VNM sont quadratique : U(x) = ax²+bx+c Ou bien que les loteries suivent une lois normale Si ces 2 critères alternatifs ne sont pas remplis, les classements suivants les deux méthodes donneront des résultats différents. Retour au cas de lautoprotection comme illustration de lapproche en terme de portefeuille.

130 Soit une entreprises dont le bilan est composé de 3000 dactifs sans risque, dun immeuble L dune valeur de 2000, dune passif sous forme de dette envers les tiers T de 400. Comme lactif doit être égal au passif, les fonds propres valent 4600 W = A + L – T = – 400 = 5000 – 400 = 4600 Le risque porte sur limmeuble qui peut disparaitre dans un incendie avec une probabilité 0.1 En cas de réalisation du sinistre, la richesse de lentreprises ne vaut plus que : W =A0 + L – T = = 2600 La valeur de lentreprise suit donc une variable aléatoire (binomiale) susceptible de prendre la valeur 4600 ou 2600 avec les probabilités respective de 0,9 et 0,1.

131 Lespérance et la variance de cette variable aléatoire va donc être : E(W) = 4400 Var(W) = Si lentreprise sassure avec un contrat qui stipule une prime P = 200 et une indemnité I = Dans ce cas la richesse de lentreprise avec et sans sinistre vaut : W = 3000 – – 400 = 4800 – 400 = 4400 W= 3000 – – 400 = 4400 – 400 =4000 E(W)= 4360 Var(W) = Lassurance permet à la fois une diminution de lespérance et de la variance. Si on considère que la variance permet une bonne représentation du risque et quelle constitue un critère de décision, on peut transcrire ce situation par la théorie du portefeuille (Markowitz). Désormais, la prime sera perçue comme un investissement en autoprotection.

132 Le taux de rendement de ce portefeuille suit une loi aléatoire qui peut prendre deux valeurs en % 1 avec une probabilité 0.9 et 7 avec une probabilité 0.1 E(R) =0.9(-1)+0.1*(+7) = -2 Bien que le rendement soit négatif, lagent va investir dans ce portefeuille, lassurance, car elle réduit le risque ( la variance) Si on compare avec les situations dautoprotection et dauto-assurance. On se rend compte que lauto-assurance produit les mêmes effets que lassurance, ce qui nest pas le cas de lautoprotection. Par exemple, si on investit 80 pour permettre de réduire de moitié la probabilité de risque supporté par la richesse W ou W suit une loi binomiale on a :

133 E(W) = 4400 et Var(W) = La variance diminue en contrepartie dune baisse de lespérance. Mais si la variance baisse moins rapidement que lespérance, il se peut que la mise en œuvre dune politique de protection ne soit pas optimale. En effet, si le coût de la protection augmente plus rapidement que laversion au risque, le coût de lautoprotection est supérieur au gain quil génère. Ainsi lauto-assurance et lassurance peuvent être vu comme des substituts tandis que lautoprotection peut être assimilée à un complément de lassurance.

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139 Lassurance dommage du point de vue de loffre : Lassurance est entreprises privée, elle cherche donc le profit maximal (sauf mutuelle) Elle assure la contrepartie pour des risques que les particuliers ne peuvent assurer seuls. Pour ce faire, elle mobilise le principe de mutualisation des risques qui permet de répartir le risque sur une large population. Le risque pour lassurance est toutefois de mal anticiper ces risques. Mais des risques à lactifs peuvent également apparaître. Lassurance est donc menacée par un risque de ruine. Cest pour cette raison quelle est contrôlée et quelle doit disposer dimportantes réserves afin de faire face à des situations extrêmes.

140 La comptabilité des assurances ressemble dans ces grands principes à la comptabilité des autres entreprises. Mais à la place davoir un compte achat et vente de marchandises. Elle a un compte sinistres et primes, auquel vient sajouter les revenus tirés des placements financiers. Les engagements vis-à-vis des assurés sont appelés provisions techniques des assurances. Elles sont inscrites au passifs des assurances et représentent les montants que lassurance prévoit de distribuer aux assurés dans léventualité de réalisation des sinistres couverts par le contrat dassurance. Elles sont composées de 2 parties, celles pour primes non-acquises et celle pour paiement de sinistre. Les primes non acquises sont liées au décalage temporel avec lexercice comptable. Le calcul des provisions techniques, éléments aléatoires, fait lobjet de développements statistiques importants qui permettent aux assurances de mobiliser les niveaux avec une marge derreur suffisantes pour éviter les risques de liquidité et de solvabilité. Plus les immobilisations sont importantes et plus cela coûte à lassurance.

141 Les assurances ne conservent pas toutes les primes dassurances sous formes de liquidité mais en place une grande partie sur les marchés financiers afin de produire des revenus additionnels. Le compte de résultat est établi en comptabilité analytique, ce qui pose un problème pour les frais généraux. Lestimation de la probabilité de ruine et létablissement du niveau optimal de réserves. Résultats net de la compagnie dassurance : R = (1+ )*P-S Avec facteur de chargement, S est une variable aléatoires, R aussi. Si le déficit de lassurance dépasse K, elle est ruinée. On cherche donc à minorer que R devienne inférieur à (– K) Prob (R < - K) <, avec seuil de sécurité établi à lavance

142 Définition de lespérance mathématique de gain de lassurance E(R) = (1 + )*P – E(S) = (1+ )*P – P = P Sa variance est : Var(R) = var (S) = ² Grâce à linégalité de Bienaymé-Tchebytchev on peut écrire : Prob ( P - t R +t ) >1 – 1/t² Si on choisit t tel que K= t - P Puis On a alors :

143 Soit Prob [(- K > R) ou (R > 2 P – K)] La ruine ou la non ruine sont exclusif lun de lautre Le coefficient de sécurité permet de majorer le risque de ruine. Le coefficient de sécurité varie avec de K, et P, et inversement avec. Plus K est élevé et plus la probabilité de ruine est faible. K constitue donc un instrument de gestion du risque de ruine. Il représente le niveau des réserves techniques. Il en va de même pour et P. Le niveau des recettes contribuant à réduire le risque de faillite. A linverse si la variance des risque saccroit cela a pour conséquence de réduire

144 Soit un ensemble de n variables aléatoires X1, X2, …, Xn, de même loi, indépendantes 2 à 2, despérance mathématique m et de variance ². Z est une variable aléatoire dont lespérance mathématique est donnée par: Et la variance par : Avec lapplication de linégalité de Bienaymé-Tchebytchev :

145 Plus n est grand est plus Z se rapproche de lespérance mathématique m, cest lillustration de la loi faible des grands nombres De plus à partir de la variable centrée réduite : Dont la moyenne vaut 0 et de variance =1. Lorsque n tend vers linfini, la distribution limite quelle que soit la loi des Xi est celle dune loi centrée réduite. Cest le théorème de la limite centrale. On peut sen servir en théorie de lassurance lorsquon est face à un portefeuille de n polices identiques et pour des sinistres indépendants deux à deux. Si S est le montant total des sinistres assurés et P la prime versée (supposée égale à la valeur actuarielle, cest-à-dire égale à lespérance du sinistre) On peut écrire :

146 La suite des variables Yn converge en loi vers la variable Z qui suit une loi normale La probabilité que le gain net R dépasse le montant – K est donné par la relation suivante : Avec Y qui représente la limite de Yn Par rapport au coefficient de sécurité β on a : Le passage à une variable centrée réduite permet de mieux comprendre le sens du coefficient de sécurité. La probabilité de ruine pour un niveau de réserve donné K est donnée par la valeur de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite pour le coefficient de sécurité β=β(K)

147 β correspond donc à la valeur seuil à ne pas dépasser si on souhaite éviter la ruine. Ainsi, on se donne au départ une probabilité de ruine a priori à partir de laquelle on en déduit le coefficient de sécurité. Ce dernier permet détablir le montant de réserves K pour éviter la ruine dans le contexte précédemment défini.

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150 Asymétrie informationnelle en situation de monopole : Introduction des notions daléas moral et de sélection adverse Il a était supposé jusquici que les assureurs possédé une information exhaustive sur les assurés. En réalité cette information est imparfaite, ce qui entraîne des coûts informationnels, soit en terme de pertes liée à la mauvaise connaissance des assurés, soit en raison des coûts de production de cette connaissance.

151 Généralement toute linformation susceptible daltérer les termes du contrat dassurance ne sont pas à la disposition de lassurance. Lassureur peut à travers un questionnaire tenter détablir le profile de risque a priori dun assurer en raison de son âge, son sexe mais sans pouvoir extraire complètement de ces informations la connaissance du comportement de lagent en termes de précaution ou même de compétence. Le risque lié à la sélection adverse et un risque ex ante pour lassureur le risque est de recruter beaucoup de mauvais risques. Cest-à-dire des assurés dont le risque de sinistralité est plus élevé que la moyenne. Laléa moral est un risque ex post, Lassuré se sachant protégé adoptera un comportement plus risqué ou simplement fera moins attention. Dans le pire des cas, des phénomènes de fraude à lassurance peuvent apparaître. Cette asymétrie dinformation va porter préjudice aux profits de lassurance, mais elle peut tenter de réduire les coûts liés au manque dinformation en définissant un menu de contrat dans lequel les risques élevés seront incités à prendre le contrat qui est définit pour eux et idem pour les risques faibles.

152 La sélection adverse Lassurance fait face à une population hétérogène de souscripteurs. Pour faciliter la présentation on ne retient que 2 cas types, les bons et les mauvais risques. Avec π1 probabilité de sinistré des bas risques et π2 probabilité de sinistrés des hauts risques, donc π1< π2. On suppose que les 2 types dagents possède la même fonction dutilité : Par la suite les indices 1 et 2 seront omis. Rappel de la définition de la prime et du niveau dindemnité : P=gαS g la prime par euro assuré et I =α S, α le taux de couverture de lassurance Le taux de couverture alpha va permettre à lassureur de décliner un menu de contrat visant les différentes catégories dassurer. De manière générale on doit vérifier les conditions de 1 er et de 2 nd ordre

153 La condition de premier ordre est indépendante du niveau de Sinistre quelque soit le profile de risque on obtient : La condition de second ordre est toujours satisfaite pour un agent risquophobe u<0. Comme π1<π2, il vient : Le taux de couverture optimal du risque sera plus élevé pour les risques faibles que pour les risques élevés.

154 Plus quailleurs, en asymétrie dinformation face à une population hétérogène, lassurance complète où g = π et impossible. En effet si lassurance propose un seul contrat g= π1 soit le contrat optimal pour les risques faibles où lassurance est complète et où lon se trouve au niveau de la prime actuarielle π1*S= P1 Tous les assurés vont vouloir sassurer y compris et surtout les risques élevés. Par conséquent léquilibre financier de lassurance va être mis en défaut puisque la prime est établie pour le niveau des risques faibles.

155 Sur la bissectrice on se trouve en assurance complète, avec la prime actuarielle Selon le principe indemnitaire, on ne peut se trouver dans cette zone. Lassurance ne peut conduire à un enrichissement du fait de la survenu dun sinistre Le point B correspond au contrat optimal pour les bas risques, le point H pour les hauts risques

156 Si lassurance propose comme seul contrat le point H, les bons risques ne vont pas sassurer car la prime sera trop élevée on passe en dessus de leur utilité de réservation. Ici lassurance est optimale, mais lassurance nattire quune partie du marchés les clients risqués. Une solution moyenne peut-être proposée. Établir un contrat à partir du niveau de risque moyen.

157 Le point A correspond au contrat avec la prime moyenne. Ce contrat nintéressera pas les risques faibles et seuls les risques élevés vont être recrutés. Ceci illustre le phénomène de sélection adverse, le contrant nest souscrit que par les mauvais risques. Léquilibre financier nest donc pas assurer puisque les risques vont apparaître avec une probabilité supérieur à la moyenne. Le menu C et D pourra être proposé. Les risques élevés vont se positionner sur C et les risques faibles sur D.

158 Lassurance doit établir le menu optimal dont les caractéristiques sont les suivantes: Les agents doivent choisir le contrat qui leur est destiné. Pour cela il faut que le contrat soit doté de contraintes incitatives adéquates. Il faut que chaque souhaite souscrire un contrat dassurance. Lutilité produit par lassurance doit placé lagent au dessus de son utilité de réservation. Il faut définir des contrainte de participation. Lorsque le menu de contrat respects les deux critères précédant il reste à lassurance à établir le menu qui lui permet de maximiser son profit.

159 Les bas risques vont accepter de sassurer sur la courbe dindifférence OB. Au dessus, les hauts risques viendraient également rompant la discrimination du contrat.

160 Annexe statistiques : Pour déterminer concrètement le niveau K nous allons avoir besoins de nous référer à des lois statistiques. Linégalité de Bienaymé-Tschebicheff, la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale Linégalité de Bienaymé-Tschebicheff: A partir de lécart type dun distribution on peut établir que quelque soit la distribution étudiée, on pourra démontrer quon a au minimum 1-1/k² des observations comprises entre la moyenne et plus ou moins k fois lécart type. Si on prend k =2, la probabilité minimale de trouver 1 – ½²=75 %valeur comprises entre

161 Pour une loi normale, cest 95 % de la distribution qui est comprise autour de la moyenne avec plus ou moins 2 écart–type. Issu de louvrage de Vincent Girard, Statistique appliquée à la gestion Pour établir le niveau K de ruine il faut établir la borne inférieure de la distribution. Avec Excel =LOI.NORMALE.INVERSE(0,05;12000;10000)

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171 Assurance gérée en répartition ou en capitalisation La répartition : les assurés forment une mutualité. Cest-à-dire que lensemble des assurés financent à travers leurs primes les indemnités qui permettront de faire à face à la réalisation des risques individuels. Les cotisations prélevées servent directement au financement des indemnités sans passage par les marchés financiers. Dans le cadre de la retraite, les indemnités (la retraite) mais également les primes (cotisations) sont décidées politiquement par la gestion paritaire : représentants du patronat, des salariés et de lEtat.

172 La capitalisation: peut-être gérée de manière individuelle ou collective. Les primes servent à alimenter un fond qui sera placé sur les marchés financiers afin de réaliser des gains en proportion des risques pris. La politique de placement est le plus souvent déléguées mais peut disposer dun panachage de gestion plus ou moins agressives en fonction du profil de risque des assurés. Historiquement, ce sont les fonds en prestation définies qui étaient dominants aux États-Unis, mais larrivée à échéance des retraites qui navait pas nécessairement étaient préfinancé par les employeur a conduit nombres de ces dispositifs à la quasi faillite. De plus, les entreprises se sont lestées dune dette sociale considérable. Pour éviter ces situations, le risque a été reporté sur les salariés à travers les fonds à cotisation définies. Les fonds à cotisations définies établissement le montant des cotisations, le montant des prestations étant largement déterminé par les prix de liquidation des fonds en gestion.

173 La retraite par capitalisation concerne surtout les pays anglo-saxons pour lesquels ces dispositifs représentent une part importante des retraites versées aux salariés. En France, le livre Blanc de Michel Rocard (1991) soulignait les difficultés financières dans lesquelles risquaient dentrer la retraite française gérées en répartition. Les conclusions tendaient donc à favoriser le développement dun troisième étage de retraite en capitalisation. A un dispositif général provoquant trop de résistance contre lui a été préférés lintroduction de dispositifs spécifiques et non obligatoires. Cest les lois Fillon de 2003 Qui mettent en place les dispositifs du PERCO, PERCO-I et du PERP.

174 Les dispositifs en capitalisation sont très intéressants pour les assureurs puisquils devraient conduire à un développement probable de leur chiffre daffaire. Cependant, ces dispositifs peuvent être rapprochés à de lassurance vie qui constituait déjà une forme de retraite en capitalisation à la française

175 Le PERCO-I : ordonnance du 23 mars 2006 Plan dépargne pour la retraite collective – Interentreprises, le plan est financé par de lintéressement, de la participation aux bénéfices et des versements volontaires. Ces derniers ne doivent pas excéder 25 % du salaire annuel brut, en tenant compte de lintéressement. Le contrat peut prévoir une sortie en rente viagère ou en capital. Le versement par les salariés de leur participation permet de conserver les avantages fiscaux associés à la participation et lintéressement qui est imposé est défiscalisé sil est placé sur le PERCO. Le Perco permet de se constituer un portefeuille de valeurs mobilières constitué par des titres émis par les SICAV et des parts de fonds communs de placement d'entreprise (FCPE). L'entreprise propose un choix entre 3 organismes de placements collectifs au minimum, qui doivent présenter des profils d'investissement différents.

176 Le PERP : décret du 21 avril 2004, arrêté du 22 avril 2004 Plan dépargne retraite populaire. Il sagit dun plan individuel, les sommes ne peuvent être sorties avant la retraite et sont uniquement versées sous forme de rente. Les revenus placés sont défiscalisés. Par contre la rente viagère est soumise à limpôt. Ce plan est moins souple que le PERCO, car les conditions de sorties sot plus limitées. Le capital constitué est reversé sous forme d'une rente viagère. Il peut également être reversé sous forme de capital, à hauteur de 20 %. Le Perp permet aussi d'utiliser l'épargne accumulée pour financer l'acquisition d'une 1ère résidence principale.

177 COMPLÉMENTS ET ACTUALITÉS DU SECTEUR DE LASSURANCE

178 Cet article est extrait de Cet article est extrait de Pour le découvrir, cliquez ICI Pour le découvrir, cliquez ICI Les assureurs européens nabsorberont pas tous avec la même facilité la nouvelle décote sur la dette grecque, mais devraient dans lensemble supporter le choc. Leur situation va surtout dépendre de la manière dont ils ont intégré dans leurs comptes laccord du 21 juillet qui prévoyait une dépréciation de 21% sur les titres arrivant à échéance avant 2020, contre 50% désormais sur lensemble des maturités. «Le secteur de lassurance est globalement moins exposé que le secteur bancaire. Limpact sera différent selon les méthodes adoptées dans les comptes du deuxième trimestre mais après, il faut relativiser par les montants qui sont en jeu», nuance un analyste. Les groupes allemands sont à labri puisqu Allianz et Munich Re ont provisionné lintégralité de la moins-value latente enregistrée au bilan, et ce, même pour les titres à échéance postérieure à Et comme à fin juin, la décote sur la Grèce sélevait à 45%, il ne leur reste que 5% à passer. Axa et Generali ont également déprécié les titres grecs en valeur de marché mais seulement avant Axa paiera un plus lourd tribut que son concurrent italien, les deux tiers de ses titres grecs allant au-delà de 2020, soit 962 millions deuros à fin juin, selon les données de Raymond James. Mieux loti, Generali naura plus quà déprécier quelque 800 millions deuros sur les 3 milliards quil détient. Les moins bien positionnés sont les mutualistes qui ont appliqué à la lettre laccord du 21 juillet comme la Macif et Groupama. La Macif, exposée à hauteur de 55 millions deuros à la Grèce, a déprécié de 21% les maturités avant Toutefois, outre les 29% supplémentaires à passer, les titres courant après 2020 ne représentent que 2,7 millions deuros. AllianzMunich Re AxaGeneraliAxa GeneraliMacifGroupamaMacif La situation est plus difficile pour Groupama. Ses titres arrivant à échéance après 2020 représentent 74% des obligations grecques quil détient, soit 2,3 milliards deuros.Groupama Il s'agit de montants bruts. Le gros de la charge sera assumé par les assurés, avec des ponctions sur la provision pour participation aux excédents, comme l'avait fait la CNP au deuxième trimestre. Globalement, ces montants seront beaucoup moins élevés que les moins-values latentes enregistrées sur les actions et qui pourront faire lobjet de provisions en fin dannée. A ce titre Axa a indiqué hier quil nenvisageait pas de déprécier ses titres BNP Paribas, qui ont perdu plus dun quart de leur valeur depuis le début de lannée.CNPAxaBNP Paribas Les assureurs digéreront plus ou moins bien la nouvelle décote grecque Par Florent Le Quintrecle 28/10/2011 Le montant de leurs provisions dépendra des méthodes appliquées après l'accord du 21 juillet et de la répartition des maturités des titres

179 Récapitulatif des sources internet et ouvrages ?sequence=1 J-M. Rousseau, T. Blayac et N. Oulmane Introduction à la théorie de lassurance Edition Dunod Paris 2001 D. Henriet et J-C Rochet Microéconomie de lassurance Edition Econoica Paris 1991 Pour aller plus loin : M. Cohen et J-M tallon Décision dans le risque et lincertain: Lapport des modèles non additifs Arnaud MALAPERT, Gildas JEANTET Coherence dynamique des decisions dans l'incertain 30 janvier 2006

180 brest.fr/~fdupont/deug_mass/cours3annee/files/demandeassurance2.pdf francois.pigalle théorie de lassurance chapitre 5

181 Limite de VNM Le paradoxe de Allais Soient les loteries : A=L(4 000, 0 ; 0.8, 0.2) B=L(3 000, 0 ; 1, 0) Soient les loteries : C=L(4 000, 0 ; 0.2, 0.8) D=L(3 000, 0 ; 0.25, 0.75)

182 u(3000 ) > 0.8 u(4000 ) 0.2 u(4000 ) > 0.25 u(3000 ) 0.8 u(4000 ) > u(3000 )


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