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Mécanique des Milieux Continus I Milieux Déformables II Forces de Contact III Contraintes IV Loi Fondamentale de la Dynamique V Déformations VI Relation.

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1 Mécanique des Milieux Continus I Milieux Déformables II Forces de Contact III Contraintes IV Loi Fondamentale de la Dynamique V Déformations VI Relation Contraintes - Déformation J.C. Charmet © 2002

2 I Milieux Déformables I-1 Forces Externes et Équilibre Mécanique I-2 Comportement dune Structure I-3 Raideur et Rigidité

3 I-1 Forces Externes : Équilibre Mécanique F F Équilibre des Forces Équilibre des Moments

4 F l F F I-2 Comportement dune Structure : Essai de Traction FRFR FMFM ÉlasticitéPlasticité Rupture FEFE F l l F Rigidité de la Structure F=K l K

5 I-3 Raideur et Rigidité : Géométrie de la Structure et Comportement du Matériau Rigidité de la Structure F=K l F ~ S <= Expérience F l l l F1F1 F2F2 l F1F1 F2F2 S2S2 l S1S1 F l 2 F l 1 S l2l2 l1l1 S l1l1 l 2 l2l2 Acier Plastique Raideur du Matériau Contrainte Déformation => l ~ l

6 II Forces de Contact II-1 Forces Internes : Action et Réaction II-2 Forces Internes : Répartition Homogène II-3 Forces Internes : Répartition non Homogène II-4 Vecteur Contrainte : État Local

7 II-1 Forces Internes : Action et Réaction -FF F F AB F(A/B) = -F(B/A) La Résultante des Forces Internes est toujours Nulle

8 II-2 Forces Internes : Répartition Homogène Le Vecteur Contrainte T Force par unité de Surface [MPa] est indépendant du point dans la section S T FFF

9 II-3 Forces Internes : Répartition non Homogène Le Vecteur Contrainte T dépend du point M dans la section S T FF M

10 II-4 Vecteur Contrainte : État local T dépend : du point M dans la section S : de lorientation n de la section S T F F M T F M n n F n

11 III Contraintes III-1 Tenseur des Contraintes III-2 Représentation des Contraintes

12 III-1 Tenseur des Contraintes III-1.1 Repère local : Traction, Cisaillement III-1.2 Tenseur des Contraintes : Définition III-1.3 Tenseur des Contraintes : Symétrie III-1.4 Contraintes Principales et Axes Propres III-1.5 Sollicitations Principales III-1.6 Invariants du Tenseur des Contraintes III-1.7 Sphérique et Déviateur des Contraintes

13 Tenseur des Contraintes : Repère Local III-1.1 Tenseur des Contraintes : Repère Local T(M,n)T(M,n) T M nn rn n, r, T coplanaires r n t nn = T n Traction > 0 Compression <0 rn = T r Cisaillement Trièdre local direct n, r, t tn = T t = 0 Facette de centre M et de normale n

14 x3x3 x2x2 x1x1 x3x3 x2x2 Tenseur des Contraintes : Équilibre local des Forces III-1.2 Tenseur des Contraintes : Équilibre local des Forces dS 1 x1x1 T1T1 x1x1 x2x2 x3x3 T3T3 x3x3 x1x1 x2x2 T2T2 -T 2 -T 3 T(n)T(n) n -T 1 dS 2 dS 3 dS T i = ij n j

15 x3x3 x2x2 x1x1 dx 1 dx 3 dx 2 Tenseur des Contraintes : Équilibre local des Moments III-1.3 Tenseur des Contraintes : Équilibre local des Moments dx 2 dx 3 dx 1 = 12 dx 3 dx 1 dx 2 31 dx 3 dx 2 dx 1 = 13 dx 2 dx 1 dx 3 32 dx 3 dx 1 dx 2 = 23 dx 1 dx 2 dx ij = ji Le Tenseur des Contraintes est Symétrique

16 M N T M Tenseur des Contraintes : Contraintes Principales et Axes Propres III-1.4 Tenseur des Contraintes : Contraintes Principales et Axes Propres I II III X3X3 X2X2 X1X1 x3x3 x2x2 x1x1 n t A il = a ij jk a kl

17 Tenseur des Contraintes : Sollicitations Principales Traction - Compression III-1.5 Tenseur des Contraintes : Sollicitations Principales Traction - Compression TriaxialeUniaxiale Biaxiale = 2 = 1 = 2 = 3 = -p Hydrostatique -p 1 1

18 Tenseur des Contraintes : Les Invariants Tensoriels III-1.6 Tenseur des Contraintes : Les Invariants Tensoriels I II III I 1 = I + II + III = kk =3 m =Tr( ) I 2 = I II + II III + III I = ( ) + ( ) + ( – 23 2 ) I 3 = I II III = Det( ) Caley-Hamilton 6 Composantes = 3 (Invariants ou Valeurs Propres) + 3 Angles dEuler

19 Tenseur des Contraintes : Sphérique et Déviateur III-1.7 Tenseur des Contraintes : Sphérique et Déviateur m Sphérique S Tr(S)= Tr( ) 6 Composantes = m + d + µ Angles dEuler 11 - m m m + Déviateur D Tr(D)= 0 m Contrainte Normale Moyenne (Traction ou Compression) 1 m + d d Contrainte Déviatorique Moyenne (Cisaillement) (µ) Tenseur des Directions Tr( )=0 et Tr( )=3

20 III-2 Représentation des Contraintes III-2.1 Contraintes Octaédriques III-2.2 Espace des Contraintes III-2.3 Critères de Plasticité et de Rupture III-2.4 Ellipsoïde des Contraintes III-2.5 Cercle de Mohr Principal III-2.6 Cercles de Mohr III-2.7 Cisaillement Simple

21 nn Représentation des Contraintes : Contraintes Octaédriques III-2.1 Représentation des Contraintes : Contraintes Octaédriques m Contrainte Normale Moyenne (Traction ou Compression) Sphérique S Tr(S)= Tr( ) 1 m Déviateur D Tr(D)= 0 D + d Contrainte Déviatorique Moyenne (Cisaillement) x1x1 x2x2 x3x3 m T r n nn = m nr = d nr d

22 I II III O Représentation des Contraintes : Espace des Contraintes III-2.2 Représentation des Contraintes : Espace des Contraintes M = + H Sphérique Déviateur d m

23 P Limite Plastique en Cisaillement P sur Limite de Rupture R en Traction sur R II I III O Représentation des Contraintes : Critères de Plasticité et de Rupture III-2.3 Représentation des Contraintes : Critères de Plasticité et de Rupture 1 d d R Point R 1 (R) = R et d (R) < P d (P) = P et 1 (P) < R M (M) P Point P

24 Représentation des Contraintes : Ellipsoïde des Contraintes III-2.4 Représentation des Contraintes : Ellipsoïde des Contraintes 1 T1T1 2 T2T2 T3T n1n2n3n1n2n3 T1T2 =T3T1T2 =T3 n T n n T n Lorsque n appartient à un plan principal, T appartient au même plan

25 r t Facette de normale x 2 x3x3 x1x1 x2x2 r n t r nt Représentation des Contraintes : Cercle de Mohr Principal III-2.5 Représentation des Contraintes : Cercle de Mohr Principal Facette de normale x 1 x1x1 x2x2 x3x3 T nn = 1 nr = 0 T nn = 2 nr = 0 1 x 1 2 x 2 C R T nr nn nr n nn = T n = n n = OC+Rcos2 nr = T r = n r = -Rsin2 R=R= OC= Facette de normale n x3x3 x1x1 x2x2 n T Facettes contenant la direction principale x 3 de normale au plan x 1 x 2 O nr nn

26 Facette dont la normale n appartient à un plan principal ( x 1 x 2 ) Représentation des Contraintes : Cercles de Mohr III-2.6 Représentation des Contraintes : Cercles de Mohr t r n x1x1 x2x2 x3x3 nn nr T nn Facette dont la normale n nappartient pas à un plan principal x2x2 x3x3 n t r x1x1 nn nr nn T

27 Représentation des Contraintes : Cisaillement Simple III-2.7 Représentation des Contraintes : Cisaillement Simple X1X1 X2X2 x1x1 x2x2 - Le cisaillement est maximal sur les facettes orientées à 45° des facettes principales - X1X1 - X2X2 nr nn x1x1 - x2x2

28 IV Loi Fondamentale de la Dynamique IV-1 Conditions aux Limites IV-2 Bilan des Forces : Équilibre Dynamique IV-2 Équation de lÉquilibre Dynamique IV-3 Exemple : Prisme pesant IV-4 Application : Optimisation en Compression

29 IV-1 Loi Fondamentale de la Dynamique : Conditions aux Limites Au Point M de la Surface : n Normale Extérieure f Force Extérieure Appliquée (/ unité de surface) M f n x3x3 x1x1 x2x2 x1x1 f1f2f3f1f2f ==> f f 2 f 1 f 2 f 3 La normale n à une surface libre de charge est direction principale à valeur propre = 0 0 f = 0 0 => f n x2x

30 IV-2 Loi Fondamentale de la Dynamique : Bilan des Forces : Équilibre Dynamique n Normale Extérieure f Force Extérieure Appliquée (/ unité de surface) Au Point M en Volume : M Accélération (force / unité de masse) X Force Extérieure Appliquée (/ unité de masse) X Au Point P en Surface : P f n V S m = F =>=+ == Conditions aux LimitesThéorème de la Divergence Div D + X =

31 IV-3 Loi Fondamentale de la Dynamique : Équilibre Dynamique : IV-3 Loi Fondamentale de la Dynamique : Équilibre Dynamique : Div D dx 3 dx 1 x2x2 x1x1 x3x3 dx 2 m = F projection des Forces sur laxe x dx 1 11 x 1 +( 11 + dx 1 11 x ) dx 2 dx dx 3 13 x 3 +( - 13 ) dx 1 dx dx 3 13 x dx 2 12 x 2 +( - 12 ) dx 1 dx dx 2 12 x 2 1 dx 1 dx 2 dx 3 1 X 1 dx 1 dx 2 dx 3 = X1X1 11 x 1 12 x 2 13 x 3 ++ = + X 1 1 Div D = 11 x 1 12 x 2 13 x x 1 22 x 2 23 x x 1 32 x 2 33 x 3 ++ Div D + X = ij x j += X i i

32 IV-4 Loi Fondamentale de la Dynamique : Exemple : Prisme pesant : (x,y)n=0 ax+by+r kx+ly +t kx+ly +t cx+dy +s (x,y ) = x y g h n C.L. en x=0 by +r ly+t ly +t dy +s 0 = n C.L. en y=h-xcotg cos sin = 0 ax kx kx cx+dy +s => Équilibre Statique : Div D + X = 0 a k+d 0 g = a = 0 k+d = g => 0 kx kx cx+dy +s => g(h-xcotg -y) => 0 kx kx cx+dy +s k = 0, d = g s = - gh c = gcotg => C.L. en y=0 F : (0,y)n=0 y b = l = 0 r = t = 0 => P L = 1 = g 0 htg (h-xcotg ) dx 0 P 0 = g h htg = : F = 0 htg (x,0)ndx n

33 P P = ghl l h 1 IV-5 Loi Fondamentale de la Dynamique : Application : Optimisation en Compression Profil évolutif S S P0P0 (h) (h) = P0P0 l (0) (0) = P0+PP0+P l < S (0) = (h)+ gh Contrainte maximale admissible S = S S l(z) + g l(z)dz = S l(z+dz) P0P0 P l h S S (h) = (0) = S l(z) = l e g S z- l(z+dz) dz l(z)l(z) g Équilibre de la tranche dz

34 V Déformations V-1 Ut Tensio sic Vis V-2 Tenseur des Déformations V-3 Représentation des Déformations

35 V-1 Ut Tensio sic Vis V-1.1 Robert Hooke V-1.2 Translation, Rotation et Déformation V-1.3 Conservation de la Masse V-1.4 Champ de déplacement V-1.5 Exemple : le Glissement Simple V-1.6 Les Grandes Déformations V-1.7 Petites Déformations et Superposition V-1.8 Séparer Rotation et Déformation V-1.9 Continuité et Compatibilité des Déformations

36 V-1.1 Ut Tensio sic Vis : V-1.1 Ut Tensio sic Vis : Robert Hooke l Pour supporter un chargement un milieu matériel doit se déformer A léchelle macroscopique l+ l A léchelle microscopique Extension l l Glissement l+ l l

37 V-1.2 Ut Tensio sic Vis : V-1.2 Ut Tensio sic Vis : Translation, Rotation et Déformation Seule la Déformation modifie les Longueurs et les Angles RigideDéformable l Translation l Rotation l Déformation l+ l

38 V-1.3 Ut Tensio sic Vis : V-1.3 Ut Tensio sic Vis : Conservation de la Masse dv dV x = F (X) x X Xx dX dx dx = Grad F (X) dX = dX = x 1 X 1 x 1 X 2 x 1 X 3 x 2 X 1 x 2 X 2 x 2 X 3 x 3 X 1 x 3 X 2 x 3 X 3 = dv dV m m m = dV = dv =

39 V-1.4 Ut Tensio sic Vis : V-1.4 Ut Tensio sic Vis : Champ de Déplacement dX dx X x dx = dX x = F (X) X x u(X)u(X) u(X+dX) u u = x - X du = ( - ) = (X) G dudX = u 1 X 1 u 1 X 2 u 1 X 3 u 2 X 1 u 2 X 2 u 2 X 3 u 3 X 1 u 3 X 2 u 3 X 3 G Tenseur Gradient de Déplacement u(X+dX) = u(X) + (X)(X)GdX Translation + Rotation Déformation

40 V-1.5 Ut Tensio sic Vis : V-1.5 Ut Tensio sic Vis : Exemple : Glissement Simple x y = 1 = G + + = 1 X X= X00X00 x = X u = G X x x= X00X00 = u Y Y= 0Y00Y0 y y= Y 0 = Y 0 u u u

41 V-1.6 Ut Tensio sic Vis : V-1.6 Ut Tensio sic Vis : Les Grandes Déformations x y = ½ G 1 = 0 ½ G G 1 G 2 G =+ ½ 1 ½ = Les Grandes Déformations ne sont pas Additives =( ) G + x = X X x X 1 = 0 ½ G= ½ G

42 V-1.6 Ut Tensio sic Vis : Petites Déformations et Superposition Principe de Superposition : les Petites Déformations sont Additives =( ) + G x =x x =( )+ G G+ ( ) X =XX +( GG++GG ) + =( ) G x =X X X x x + =( )G x =x x u = GX u u u = Gx =( ) G + x = X X u u = G X GG+G+GG==> GG+G G ij < 1% =>

43 V-1.7 Ut Tensio sic Vis : V-1.7 Ut Tensio sic Vis : Séparer Rotation et Déformation x1x1 x2x2 X x + =( ) G x = X X xx = X( + )( + )G tGtG X= X( + ) tGtGG X X XG tGtG X X++ g 11 L g 12 L L u u = G X l l 2 = L 2 (1+g 11 ) 2 +(g 12 L) 2 l L(1+g 11 ) G =+ tGtG =- tGtG Déformation Symétrique =2 G+ Rotation Antisymétrique =2G- tGtG u X u = G X= ( ) + l =L {(1+g 11 ) 2 +g 12 2 } l

44 V-1.8 Ut Tensio sic Vis : V-1.8 Ut Tensio sic Vis : Continuité et Compatibilité des Déformations => soit Rot D = 0G = ( )dX du = G dX + Continuité => du intégrable Vecteur tourbillon dX = dX =Rot D -Rot D = t Grad Rot G = Grad => d =Grad dX intégrable si Rot D (Grad ) = 0 Inc( )= Rot D (Rot G ) = Rot G (Rot D ) = 0 [Inc( )] rl = rmi lkj = 0 Avec Div D Inc( )=0

45 V-2 Tenseur des Déformations V-2.1 Repère local : Extension, Distorsion V-2.2 Tenseur des Déformations : Définition V-2.3 Déformations Principales et Axes Propres V-2.4 Invariants du Tenseur des Déformations V-2.5 Sphérique et Déviateur des Déformations V-2.6 Changement de Volume et de Forme

46 Tenseur des Déformations : V-2.1 Tenseur des Déformations : Repère local ll rl l, r, u coplanaires r t ll = u l Extension > 0 Contraction < 0 rl = u r Distorsion Trièdre local direct l, r, t tl = u t = 0 M l Au point M segment unitaire direction l u(M,l)u(M,l) (M,l ) =u l(M)(M)

47 Tenseur des Déformations : Définition V-2.2 Tenseur des Déformations : Définition (M,l ) =u l(M)(M) Le Tenseur des Déformations est Symétrique u1u1 x2x2 ij = ji x1x1 u(l)u(l) l2l2 l1l1 l3l3 l x1x1 x3x3 x2x2 M u2u2 u3u3 u1l1u1l1 l1l1 u2l2u2l2 l2l2 u3l3u3l3 l3l

48 M L U Tenseur des Déformations : Déformations Principales et Axes Propres V-2.3 Tenseur des Déformations : Déformations Principales et Axes Propres I II III X3X3 X2X2 X1X1 x3x3 x2x2 x1x1 u A il = a ij jk a kl l M

49 Tenseur des Déformations : Les Invariants Tensoriels V-2.4 Tenseur des Déformations : Les Invariants Tensoriels I II III I 1 = I + II + III = kk =3 m =Tr( ) I 2 = I II + II III + III I = ( ) + ( ) + ( – 23 2 ) I 3 = I II III = Det( ) Caley-Hamilton 6 Composantes = 3 (Invariants ou Valeurs Propres) + 3 Angles dEuler

50 Tenseur des Déformations : Sphérique et Déviateur V-2.5 Tenseur des Déformations : Sphérique et Déviateur m Sphérique S Tr(S)= Tr( ) 6 Composantes = m + d + µ Angles dEuler 11 - m m m + Déviateur D Tr(D)= 0 m Déformation Normale Moyenne (Extension ou Contraction) 1 m + d d Déformation Déviatorique Moyenne (Distorsion) (µ) Tenseur des Directions Tr( )=0 et Tr( )=3

51 1 dx 1 2 dx 2 3 dx 3 dx 1 dx 3 dx 2 dV= dx 1 dx 2 dx 3 Tenseur des Déformations : Changement de Volume et de Forme V-2.6 Tenseur des Déformations : Changement de Volume et de Forme x1x1 x2x2 x3x dv=(1+ 1 ) dx 1 (1+ 2 )dx 2 (1+ 3 )dx 3 dv dV dv Changement de Volume à Forme Constante Changement de Forme à Volume Constant Sphérique S Déviateur D Variation Relative de Volume dv- dV dV = = Tr( ) = Div u

52 V-3 Représentation des Déformations V-3.1 Déformations Octaédriques V-3.2 Ellipsoïde des Déformations V-3.3 Cercle de Mohr Principal V-3.4 Cercle de Mohr et Déformation V-3.5 Cercles de Mohr V-3.6 Glissement Pur et Glissement Simple

53 ll Représentation des Déformations : Déformations Octaédriques V-3.1 Représentation des Déformations : Déformations Octaédriques m Déformation Normale Moyenne (Extension - Contraction) Sphérique S Tr(S)= Tr( ) 1 m Déviateur D Tr(D)= 0 D + d Déformation Déviatorique Moyenne (Distorsion) x1x1 x2x2 x3x3 m u r l ll = m lr = d lr d

54 Représentation des Déformations : Ellipsoïde des Déformations V-3.2 Représentation des Déformations : Ellipsoïde des Déformations 1 u1u1 2 u2u2 u3u l1l2l3l1l2l3 u1u2 =u3u1u2 =u3 l u l l u n Lorsque l appartient à un plan principal, u appartient au même plan

55 r t Direction x 2 x3x3 x1x1 x2x2 r l t r lt Représentation des Déformations : Cercle de Mohr Principal V-3.3 Représentation des Déformations : Cercle de Mohr Principal Direction x 1 x1x1 x2x2 x3x3 ll = 1 lr = 0 u ll = 2 lr = 0 1 x 1 2 x 2 C R u lr ll lr l ll = u l = l l = OC+Rcos2 lr = u r = l r = -Rsin2 R=R= OC= Direction l x3x3 x1x1 x2x2 l u Directions à la direction principale x 3 au plan x 1 x 2 O lr ll

56 Représentation des Déformations : Cercle de Mohr et Déformation V-3.4 Représentation des Déformations : Cercle de Mohr et Déformation X u ll lr 1 2 X x C u u x u x X ll lr 1 2 ll lr ll lr 2 X x x = X + u x1x1 x2x = Plan principal x 1 x 2 2

57 Direction l appartenant à un plan principal ( x 1 x 2 ) Représentation des Déformations : Cercles de Mohr V-3.5 Représentation des Déformations : Cercles de Mohr t r l x1x1 x2x2 x3x3 ll lr u ll Direction l nappartenant pas à un plan principal x2x2 x3x3 l t r x1x1 ll lr ll u

58 Représentation des Déformations : Glissement Pur et Glissement Simple V-3.6 Représentation des Déformations : Glissement Pur et Glissement Simple x1x1 x2x2 La distorsion est maximale sur les directions orientées à 45° des directions principales Le glissement est le double de la distorsion = 2 - lr ll X1X1 X2X2 X2X2 - X1X1 x2x2 - x1x1 X1X1 X2X2 - x1x1 x2x2 x2x2 x1x1 - X1X1 X2X2 2 La rotation = -

59 VI Relation Contraintes - Déformation VI-1 Contraintes et Déformations VI-2 Lois de Comportement VI-3 et Nominales et Naturelles VI-4 Le Travail de Déformation

60 Contraintes et Déformations VI-1 Contraintes et Déformations Description de lÉtat Mécanique Local Description Indépendante du Comportement du Matériau Symétrie ij = ji Conservation de la Masse : Continuité Inc( )= Rot D (Rot G ) = 0 [Inc( )] rl = rmi lkj = 0 Conditions aux limites Loi Fondamentale de la Dynamique ij x j += X i i (M)(M)f n(M)(M)= Div D + X = ContraintesDéformations Définition (M,l ) =u l(M)(M)(M, n ) =T n(M)(M) T M n M l u dV V = Tr( ) = Div u 2 = Grad + t Grad u u

61 Lois de Comportement VI-2 Lois de Comportement Équation dÉtat du Matériau Description du Comportement du Matériau ÉlasticitéPlasticité Rupture Viscosité DéformationsContraintes d dt,, d dt, }= 0 F{F{ Solution du Problème =>

62 et Nominales et Naturelles VI-3 et Nominales et Naturelles La Loi de Comportement du Matériau relie et Vraies ÉlasticitéPlasticité Rupture l F l0l0 S0S0 Nominales Vraies n n l0l0 S0S0 Nominales n = F S0S0 l l0l0 l F dl lS Naturelles ou Vraies = F S d = dl l = l0l0 l 0 + l dl l = Ln(1+ ) l l0l0 = Ln(1+ n ) n

63 VI-4 Le Travail de Déformation VI-4.1 Travail des Forces Externes VI-4.2 Champs admissibles et Travaux virtuels VI-4.3 Relation avec la Thermodynamique VI-4.4 Réversibilités Thermique et Mécanique

64 Le Travail de Déformation : Travail des Forces Externes VI-4.1 Le Travail de Déformation : Travail des Forces Externes n Normale Extérieure f Force Extérieure Appliquée (/ unité de surface) Forces de Volume : - Force dInertie X Force Extérieure Appliquée (/ unité de masse) X Forces de Surface : f n V S =++ u + => Champ de déplacement u =+ = ++ W = Tr( ) = Équilibre Dynamique Anti Symétrie

65 Le Travail de Déformation : Champs admissibles et Travaux virtuels VI-4.2 Le Travail de Déformation : Champs admissibles et Travaux virtuels Dynamiquement admissible * + * X*X* * Div D = n=f*f* * Loi de Comportement Inc( ) 0 * =F { } * * * X*X* f*f* * * Virtuels f Solution réelle X Cinématiquement admissible u Continu dérivable Inc( ) =0 u Virtuels =F { } Loi de Comportement n f et Div D + X W = Tr( ) * u = * = W = Tr( ) Récupérable (Élasticité) Dissipé (Viscosité Rupture) Bloqué (Plasticité) {

66 Le Travail de Déformation : Relation avec la Thermodynamique VI-4.3 Le Travail de Déformation : Relation avec la Thermodynamique 1 er principe = + - E = Tr( )+ Q- Divq 2 ème principe etE densité volumique dénergie interne F densité volumique dénergie libre S densité volumique dentropie W densité volumique de travail reçu Q densité volumique de chaleur reçue V S q flux de chaleur sortant n T F=E-TSF=E-TS et 1 = Tr( ) – ( F+S T) 2 = – ( GradT) qTqT intrinsèque thermique Incréments de dissipation volumique =

67 Le Travail de Déformation : Réversibilités Thermique et Mécanique VI-4.4 Le Travail de Déformation : Réversibilités Thermique et Mécanique 1 = Tr( ) – ( F+S T) 2 = – ( GradT) qTqT Mécanique Thermique Dissipation volumique = Réversibilité thermodynamique = 0 Réversibilité Thermique = 0 GradT =0 qTqT En particulier T = Cte Isotherme q = 0 Adiabatique Réversibilité Mécanique = 0 dF = Tr( d ) – SdT En Isotherme : Élasticité parfaite dF = Tr( d )


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