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Prof. Belkacem OULD BOUAMAMA LAGIS UMR CNRS 8146 Tél : (33) 03 28 76 73 97 - Fax : (33) 03 20 33 71 89 E mail : IDENTIFICATION.

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1 Prof. Belkacem OULD BOUAMAMA LAGIS UMR CNRS 8146 Tél : (33) Fax : (33) E mail : IDENTIFICATION IMA 3 Automatique Algorithme didentif. yr(t) ym(t) + - < adm ? u(t) non oui Modèle

2 2 Chapitre 1 INTRODUCTION

3 Chap.1 / 3 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap1 : INTRODUCTION DEFINITIONS ET BUT DE LIDENTIFICATION F Positionnement

4 Chap.1 / 4 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap1 : INTRODUCTION Modélisation ? F Définitions Modélisation ? : Ensemble des procédures permettant dobtenir un modèle Modéliser un système = capable de prédire le comportement du système Subjectivisme de la modélisation : modèle = intersection du système et du modélisateur Modèle jamais "exact"? F Importance Outil d'aide à la décision., Support de la simulation, Représente 50 % dun projet de commande Perspectives grâce à l'informatisation F Un modèle pourquoi faire ? Concevoir, Comprendre, Prévoir, Commander (décider).

5 Chap.1 / 5 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap1 : INTRODUCTION Un modèle comment faire ? F 1. MODELE DE CONNAISSANCE Obtenu sur la base des lois physiques, économiques etc.. Difficultés de décrire fidèlement les phénomènes complexes; Hypothèses simplificatrices; Dilemme- précision-simplicité Un modèle simple est faux, un modèle compliqué est inutilisable. Les paramètres ont un sens physique donc modèle commode pour l'analyse. F 2. MODELE DE REPRESENTATION Système "boite noire"; Expérience active (système dérangé) ou passive (aléatoire); Etape qualitative (connaissances a priori) et quantitative; Paramètres du modèle n'ont aucun sens physique; Modèle de conduite (modèle E/S) utile pour la commande; Complément du modèle de représentation.

6 Chap.1 / 6 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap1 : INTRODUCTION Classification des modèles F selon le caractère des régimes de fonctionnement statique et dynamique F selon la description mathématique linéaire, non linéaire F selon les propriétés dynamiques à paramètres localisés, à paramètres distribués F selon lévolution des paramètres : stochastique, déterministe F selon le nombre de variables : monovariable (SISO), multivariable (MIMO)

7 Chap.1 / 7 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap1 : INTRODUCTION Étapes de modélisation

8 8 GENERALITES SUR LIDENTIFICATION

9 Chap.1 / 9 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap1 : INTRODUCTION Définitions de lidentification F Définition au sens de Zadeh (1962) : Lidentification dun procédé est définie comme la détermination, basée sur la connaissance des entrées et des sorties du procédé, dun modèle appartenant à une classe spécifiée, équivalente au procédé. Lidentification dun système cest la détermination de son modèle mathématique sur la base des observations expérimentales entrées- sorties. Le traitement mathématique des réponses graphiques du système est appelé IDENTIFICATION. Le modèle obtenu est dit de conduite ou de représentation F Pourquoi lidentification : importance

10 Chap.1 / 10 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap1 : INTRODUCTION Méthodologie de lidentification CALCUL DU MODELE Choix de la structure du modèle Acquisition de données Planification des expériences Utilisation du modèle OUI Adéquation du modèle ? Connaissance à priori Choix critère didentité NON

11 Chap.1 / 11 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap1 : INTRODUCTION Principe de lidentification F Base de lidentification : Expérience Expérience active Expérience passive F Principe 1. Étape qualitative : Sur la base dune connaissance à priori du système à identifier, on fixe une structure du modèle comportant des coefficients inconnus. : Boite « grise » et « boite noire » 2. Étape quantitative : Elle consiste à la détermination des coefficients inconnus du modèle de façon que la différence entre les N sorties réelles du système et celles du modèle soit minimale selon un critère donné quon résout par un algorithme didentification

12 Chap.1 / 12 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap1 : INTRODUCTION Estimation des paramètres du modèle Déterminer les valeurs des paramètres du modèle sur la base des observation E/S tel que la sortie du modèle soit la plus proche du système réel selon un critère fixé. PROCESS Ys(t) Entrées Ym(t) x(t) + - MODELE Algorithme didentification a i, b i

13 Chap.1 / 13 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap1 : INTRODUCTION CRITÈRES DIDENTIFICATION F Distance détat basée sur la différence entre la sortie du système et du modèle SYSTEME Ys(i) Entrées Ym(i) x(i) + - MODELE Critère didentification (i) D( (i))

14 Chap.1 / 14 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap1 : INTRODUCTION CRITÈRES DIDENTIFICATION Distance de prédiction F Distance de prédiction basée sur la différence entre la sortie du système et celle que prédit le modèle au même instant Exemple : modèle choisi est une équation de 1 er ordre aux différences : on utilise linformation à linstant ( i-1 ) SYSTEME Ys(i) Entrées Yp(i) x(i) + - MODELE Critère didentification (i) D( (i)) Ys(i-j)

15 Chap.1 / 15 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap1 : INTRODUCTION CRITÈRES DIDENTIFICATION F Distance de structure basée sur la différence entre les paramètres du système et ceux du modèle Remarque : distance de structure non mesurable directement. On se base sur les effets de cette structure sur la sortie Exemple : approximer un modèle à paramètres distribués par un modèle à paramètres localisés SYSTEME Entrées x(i) + - MODELE Critère didentification s D( s ) m

16 Chap.1 / 16 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap1 : INTRODUCTION VALIDATION DU MODELE ERREUR DE MODÉLISATION Explosion nucléaire Modèle de la réaction nucléaire Poste de commande Feed back pour la correction du modèle Données expérimentales Données du modèle il faut que lerreur soit minimale dans les systèmes industriels Processus Modèle + X(i) - Y m (i) max Y E (i)

17 Chap.1 / 17 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap1 : INTRODUCTION EXPERIMENTATIONEXPERIMENTATION F Caractéristiques du signal dexcitation Centrée : ±10% de la consigne Spectre riche : recueillir le max dinformation sur le système (exciter sur toute la bande de fréquence intéressante) Déterministe : Physiquement réalisable Amplitude limitée : ne pas trop perturber le process, rester en linéaire F Quel signal ? : Séquence Binaire Pseudo Aléatoire SBPA

18 Chap.1 / 18 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap1 : INTRODUCTION EXPERIMENTATIONEXPERIMENTATION F SBPA et STPA Suite dévénements créée de façon déterministe mais apparaissant aléatoire +a -a x(t) t +a -a x(t) t SBPA (2 niveaux) STPA (3 niveaux) 0

19 Chap.1 / 19 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap1 : INTRODUCTION CLASSIFICATION DES METHODES DIDENTIFICATION F 1. Méthode de base Basées sur les réponses graphiques ( indicielles, impulsionnelles..) F 2. Méthodes du modèle Ajuster manuellement ou automatiquement la structure ou les paramètres du modèle jusquà ce que min. Itérative SYSTEME x(t) + - MODELE algorithme s Paramètres du modèle Ajustement ys(t) ym(t)

20 Chap.1 / 20 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap1 : INTRODUCTION CLASSIFICATION DES METHODES DIDENTIFICATION F 3. Méthode statistiques Basées sur les MMC F 4. Théorie de lestimation et filtrage Estimation de létat du procédé à partir des E/S. PROCESSUS X(t) x(t) FILTRE Reconstructeur ys(t)

21 21 Chapitre 2 METHODES DE BASE

22 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 22 Classification des méthodes de base F Avantages et inconvénients des méthodes de base Avantage : Simplicité, outil mathématique simple Inconvénient : signaux dentrée spécifiques (donc pas toujours réalisables) F Classification des méthodes de base 1.Analyse indicielle 2.Analyse impulsionnelle 3.Analyse harmonique

23 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 23 Expérimentation dans un SRA - C U TRANSMETTEUR ET CEP DE TEMPERATURE REGULATEUR VANNE PROCESSUS PHYSIQUE CAPTEUR DE TEMPERATURE Auto. Manu.. M E x y U SYTEME A COMMANDER M

24 24 Méthodes de Broîda et du 1 er ordre par un exemple

25 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 25 CAHIER DES CHARGES Pétrole brut Pétrole chauffé Ts - Ts-Tc TRC PR Air (O 2 ) FI THS FVC U Conigne Tc AR FR 1 TT Gaz 1

26 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 26 Schéma fonctionnel, définitions des E/S - Tc U Ts 1 TRANSMETTEUR ET CEP DE TEMPERATURE REGULATEUR VANNE CONDUITE DE GAZ FOUR CONDUITE DE PETROLE CAPTEUR DE TEMPERATURE Auto. Manu.. x Pr Ts - Qp(t) T

27 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 27 Régimes de fonctionnement F Ts(t) - Grandeur de sortie ( température à la sortie – c'est la grandeur à régler ), Valeurs maximales et minimale de la variation de température : Tsmax = 170°c, Tsmin=20 °c ; Tso - Valeur nominale de la température le fonctionnement Tso = 80 °C F Pg (t) - Grandeur d'entrée ( pression du gaz combustible - Grandeur réglante ); Valeurs maximales et minimale de la variation de la pression du gaz combustible : Pgmax = 5 bars, Pgmin = 0bar ; Pgo - Valeur nominale de la pression du gaz combustible Pgo = 2 bars ; F Qp - Débit du pétrole à l'entrée (perturbation); Débit nominale du pétrole à l'entrée : 20 m 3 /s ; Qpmax = 30 m 3 /s bars, Pgmin =10 m 3 /s. Il existe aussi dautres perturbations (pouvoir calorifique du gaz, température ambiante etc...) que nous considérons comme constantes. F x : déplacement du clapet de la vanne [0 à 6mm] F U : sortie du régulateur pneumatique [0,2-1bar]; valeur nominale (0,6 bar)

28 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 28 Bloc diagrammes F 1. En boucle ouverte (sans correction) : Wz(p) Ts(p) Qp(p) G(p) U(p) - +

29 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 29 Bloc diagrammes F 2. En boucle fermée (avec correction) Wz(p) Ts(p) Qp(p) G(p) U(p) (+) C(p) Tc(p) (-)

30 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 30 LogistiqueLogistique Auto. - Tc U Ts 1 C(p) Wv(p) Wcg(p) Wz(p) Wct(p) Manu.. x Pr Qp Ts - + Wf(p) U(p) Wv(p) Wcg(p) Wf(p) Wct(p) Ts(p) U(p) G(p) Ts(p) ? Wz(p) ? Ts(p) Qp(p)

31 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 31 PréparationPréparation F Méthodologie 1. Correcteur mis en fonctionnement manuel, système stabilisé 2. On applique un signal en échelon de + ou - 10% de la valeur nominale Réponse enregistrée à la sortie du transmetteur Le modèle de conduite ( ou la fonction de transfert ) à déterminer du traitement de la réponse graphique décrit l'ensemble des systèmes ( vanne, objet, capteur, transmetteur)

32 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 32 ExpérimentationExpérimentation F Vue global PROCESS VANNE CAPTEUR TRANSMETTEUR SYSTEME A IDENTIFIER SALLE DE CONTROLE C 10 % REGULATEUR

33 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 33 Identification de la fonction de transfert par rapport à la perturbation F Identification de Wz(p) : Expérimentation Wz(p)) Ts(p) Qp(p) ? Ts(t) [°c] t (main.) T=10 Qp(t) [m 3 /s] t 23 20

34 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 34 Identification de la fonction de transfert par rapport à la perturbation F 1. Étape qualitative : structure du modèle F 2. Etape quantitative : calcul des paramètres du modèle gain relatif

35 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / Vérification du modèle 3. Vérification du modèle Ts(t) Tm(t) Ts(t) Emax=0.83/15 =5.53% Sortie du modèle Vérification

36 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 36 Méthode de Broîda : Identification de la dynamique du four F 1. Identification de G(p) : Expérimentation Ts U t 60% 0% 50% 100% 0,68bar 1 bar 0,6bar 0,2bar Us(t) U G(p) Ts Ts(t) t1t1 t2t2 t (min.) courbe expérimentale Ts(t)

37 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 37 Principe de la méthode Broîda F principe La méthode de Broîda est une méthode d'identification en boucle ouverte d'une réponse indicielle expérimentale qui consiste a assimiler la fonction de transfert d'un système d'ordre n à celle du premier ordre affectée d'un retard pur F Le problème d'identification : déterminer les paramètres suivants T, Constante du temps (sec.), : Temps de retard pur (sec.) :

38 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 38 Calcul des paramètres du modèle de Broîda F Méthodologie Broîda fait correspondre la réponse indicielle à identifier et la fonction de transfert du 1er ordre affectée d'un retard en deux points t 1 et t 2 d'ordonnées correspondant à 28% et 40% de la valeur finale de la sortie du système.

39 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 39 Calcul des paramètres du modèle F Paramètre du modèle F Modèle final

40 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 40 Modèle du système global à commander - Tc(p) U(p) Ts(p) - + Qp(p) 50% 60% U Système réel % Tm(t) : Sortie modèle Ts(t) : Sortie système Ts(t) Tm(t) Ts(t) Tm(t) U(t)

41 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 41 Synthèse du système de régulation continue F Schéma fonctionnel du système à réguler - Tc(p) U(p) Ts(p) + + Qp(p) PID

42 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 42 METHODE DE STREJC METHODE DE STREJC Principe La méthode d'identification de STREJC est basée sur les propriétés géométriques de la réponse indicielle d'un système d'ordre n de fonction de transfert Paramètres à identifier

43 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 43 METHODE DE STREJC F Méthodologie En se basant sur la réponse indicielle, on établit : t( sec.) yIyI 1 TATA TUTU I Réponse indicielle dun modèle de Stréjc

44 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 44 METHODE DE STREJC F Tableau de Strejc

45 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 45 Paramètres du modèle de STREJC F A. Détermination de K Le coefficient de proportionnalité K est déterminé des conditions d'expériences comme le rapport de l'amplitude du signal de sortie à celui d'entrée. F B. Détermination de n On trace le mieux possible la tangente au point d'inflexion de la réponse indicielle La tangente découpe un segment T A sur l'axe des temps au bout d'un certain temps T U ( comportant un temps de retard inconnu ). On calcule le rapport T U / T A et on choisira du tableau, la valeur de T U / T A qui correspond à une valeur de n entier, immédiatement inférieure. A titre dexemple, si TU=3S, TA=11, alors TU / TA = 3/11=0,27 ; La valeur de n entier la pus proche inférieure sera égale à n=3.

46 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 46 Paramètres du modèle de STREJC F C. Détermination de la constante de temps T Connaissant la valeur de n, T A (ou T U ), on détermine la constante du temps T à l'aide de l'une des deux dernières colonnes du tableau. Dans notre cas, pour n= 3, TA / T = 3,695 alors T= TA /3,695 = 3,2sec. F D. Détermination du temps de retard fictif Afin de compenser l'erreur due à la détermination du point d'inflexion, on introduit un retard fictif =T UR -T UT F T UT : déterminée du tableau de Stréjc. T UR : Valeur réelle de la grandeur T U fixée sur la réponse indicielle. Dans l'exemple T UR = 3sec., alors T UT / T A =0,218 (pour n=3) doù T UT =0,218* T A =0,218*11=2,4sec. Alors = 3-2,4=0,6s F Si est <0 alors on fixe =0

47 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 47 Commentaire sur la méthode de Strejc F Quand appliquer un modèle de Strejc? Des réponses indicielles avec une forme de « S » Des éléments de 1 er ordre en série F Difficultés dapplication La détermination du point dinflexion

48 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 48 IDENTIFICATION DES SYSTÉMES INSTABLES Intégrateur pur : Identifions le niveau dun réservoir

49 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 49 Intégrateur dordre n F Remarque L a méthode quon va développer est simpliste, il existe dautre plus précise quon ne développe pas ici

50 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 50 Intégrateur dordre n F A. Structure du modèle F B. Paramètres du modèle : Le gain K exprime le rapport entre la variation du signal dentrée et la variation du signal de sortie par unité de temps

51 51 IDENTIFICATION DES SYSTEMES APERIODIQUES A DEPHASAGE NON MINIMALE

52 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 52 DéfinitionDéfinition F Exemple de tels systèmes physiques et Problématique F Paramètres de la RI t 0,, h(t 0 ) t 1, t 0 F Paramètres du modèle K, a, T, n 1 0 t1t1 t0t0 t2t2 -h(t 0 ) h(t) T(s) K, a, T, n ? Réponse indicielle

53 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 53 Calcul des paramètres du modèle F Réponse indicielle unitaire K=1 F 1. Détermination de t 0 : dh(t)/dt =0

54 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 54 Calcul des paramètres du modèle F 2. détermination de t 1 et t 2 points dinflexion : h(t 1 )= h(t 2 )=0 La somme de ces deux solutions donne : En tenant compte de lexpression de t 0 2 solutions : t 1 et t 2 En posant x=a/T

55 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 55 Calcul des paramètres du modèle F Abaque 1 :

56 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 56 Calcul des paramètres du modèle F Abaque 2 : h(t 0 ) est une fonction de x et n: En mettant dans h(t) lexpression de t 0

57 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 57 Calcul des paramètres du modèle F Abaque 3 : De lexpression de t 0 en mettant a=T/x

58 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 58 Calcul des paramètres du modèle F 1. Calcul de x de labaque 1 Des valeurs t 0, t 1 et t 2 relevées de la courbe expérimentale on détermine x=a/T abaque 1 F 2. Calcul de n : ordre du système : abaque 2 Connaissant x et –h(t 0 ) (de la courbe) on détermine n de labaque 2 F 3. Calcul de T : abaque 3 A partir de x on tire t 0 /((n-1)T ) =C Alors T= t 0 /((n-1).C) F 4. Calcul de a a=xT

59 59 SYTEME A DEPHASAGE NON MINIMALE DORDRE 2

60 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 60 PrincipePrincipe F Structure du modèle F Paramètres de la RI t 0,, h(t 0 ) t b, t 0 F Paramètres du modèle K, a, T 1 0 t0t0 TbTb -h(t 0 ) h(t) T(s) K, a, T ?

61 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 61 Paramètres du modéle F T b : Projection de la tg au point dinflexion sur laxe t F Abaque 4 : Il existe une relation : F Détermination de x=a/T De labaque 2, on détermine x (pour n=2, et –h(t 0 )) F Calcul de T De labaque 4 : on détermine T b /T pour x (soit T b /T=A) T b étant mesuré, on calcule T : T=A/T b F Calcul de a a=xT

62 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 62 F Élément du premier ordre Soit la réponse graphique, on doit identifier T (K est le gain statique) On relève par expérience les valeurs y (ti) et y (ti + ), On trace la droite y(t+ )=y(t) MÉTHODE DE CSYPKIN (échantillonnée)

63 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 63 MÉTHODE DE CSYPKIN (échantillonnée) F Remarque La droite peut être déterminée par la méthode des moindres carrés pour déterminer a. La méthode est inefficace si le pas est trop petit, on recommande de prendre = 0,5T

64 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 64 Élément du deuxième ordre apériodique F Élément du deuxième ordre oscillatoire On examine uniquement le cas où la réponse est apériodique car, si elle oscillatoire (voir élément du 2 ème ordre) F Principe

65 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 65 Élément du deuxième ordre apériodique Identifier K, T 1,T 2, ?

66 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 66 Paramètres du modèle du deuxième ordre apériodique par la méthode Csypkin

67 67 IDENTIFICATION EN BOUCLE FERMEE

68 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 68 Inconvénients de la boucle ouverte F 1. Sur le plan pratique Nécessité de passer le régulateur en manuel Perturbation intentionnel du procédé Dérèglement des toutes les boucles de régulation F 2. Sur l eplan théorique Lidentif. En boucle ouverte est une approximation Pendant lexpérience dautres perturbation apparaissent Les calculs des régulateur se fait en régime critique (arg(wou(jw))=-) donc il faut être précis en haute fréquence en identif.

69 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 69 AVANTAGE DE IDENTIFICATION EN BOUCLE FERMEE Intérêt de la méthode sans débrancher le régulateur Fonctionnement « naturel » du SRA F Conditions dapplication Sapplique pour les systèmes dordre supérieur à 2 Sytème stable Analyse fréquentielle

70 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 70 PRINCIPEPRINCIPE F Système de régulation en BF F On amène le système en pompage - C(p) Kr Ys(p) Tcr Ks.G(p) Wou(p) En augmentant Kr jusquà Kcr

71 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 71 Identification du modèle de Strejc en BF (1/5) F Principe - C(p) Kr Ys(p) Wou(p)

72 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 72 Identification du modèle de Strejc en BF (2/5) F La stabilité du système dépend du polynôme caractéristique On augmente graduellement le gain Kr jusquà pompage F Paramètres en régime de pompage K cr K s : Gain provoquant le pompage cr : fréquence au régime de pompage En régime de pompage

73 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 73 Identification du modèle de Strejc en BF (3/5) F Calcul des coefficients du modèle en boucle fermée Tcr : la période de pompage quon relève de la sortie en régime dauto oscillation La solution du système déquations sera :

74 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 74 Identification du modèle de Strejc en BF (4/5) En exprimant en degré, lexpression de K nous permet de calculer n en fonction de K (gain critique total en boucle ouverte K=Ko.Kcr)

75 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 75 Identification du modèle de Strejc en BF (5/5) F Méthodologie pratique On augmente le gain K du régulateur jusqu'à apparition de pompage, on fixe ce gain Kcr 2. On mesure la période de lauto oscillation Tcr et on calcule K = Kcr.K s 3. On déduit n du tableau et Tcr par la valeur mesuré 4. On calcule T par l a formule ci dessous

76 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 76 Calcul du gain du système Ks (1/7) F 1. Calcul par lerreur statique 1. On applique une consigne déchelon xo faible pour ne pas trop perturber le système 2. On fixe le gain du correcteur qui est affiché Kro 3. On attend que le système se stabilise et on mesure lerreur statique soit Eo 4. On calcule le gain du système comme suit

77 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 77 Calcul du gain du système Ks (2/7) F 2. Méthode de la perturbation constante 1.S i, pour des raisons technologiques on ne peut pas changer de consigne, on peut utiliser la méthode de la perturbation constante pour trouver ks. - Xc(p) U(p) Yz(p) + + Z(p) E(p) Yc(p) Y(p)

78 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 78 Calcul du gain du système Ks (3/7) F Principe de superposition Y(p)=Wz(p).Zp)+Wxc(p).Xc(p) - U(p) Y(p) + + Z(p)=0 Xc(p) - Yc(p) Y(p) + + Z(p) E(p) Xc=0 U(p) Yz(p) Z(p)=0 Xc(p)=0

79 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 79 Calcul du gain du système Ks (4/7) F On se met en régulation PI et système stable F Sortie dun PI régulateur - U(p) Y(p) + + Z(p)=0 Xc(p) E(p) U(p) U(t) T (s) E(t) I P

80 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 80 Calcul du gain du système Ks (5/7) F Appliquons une perturbation Z(p)=Z 0 /p, Xc=0 F On calcule lécart résiduel (E() lorsque T i =0 (on supprime laction I) F La variation U(t) due à laction P du régulateur sera donc U p Z0Z0 t z Z 0 : amplitude inconnue

81 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 81 Calcul du gain du système Ks (6/7) F On ajoute laction intégrale I Laction I a pour tâche dannuler lerreur statique en augmentant Up Soit U p : action du régulateur du à laction P U i : action du régulateur du à laction I U t : action du régulateur du à laction P+I F La sortie Y sera nulle (Y=Xc=0) en régime permanent suite à lentrée Z 0 - U(p) Y(p) + + Z(p)=Z 0 /p Xc(p) E(p) En régime permanent

82 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 82 Calcul du gain du système Ks (7/7) F Les sorties du régulateur P et total (P+I) sont : F La sortie U I due à I régulateur est : U I est la variation du signal de sortie créée par laction I F Le gain total K=Kr.Ks est alors

83 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 83 Mise en œuvre pratique F On applique une perturbation damplitude Z 0 On enregistre uniquement la sortie du régulateur U(t) F On détermine K comme suit : - U(p) Y(p) + + Xc(p) E(p) Z0Z0 z U(t) t I P Idéal réel

84 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 84 MODELE DE BROIDA Principe Déterminer Ko, T et et posant qui provoquera la même période de pompage que le système réel - C(p) P-régulateur Ys(p) - C(p) P-régulateur Ys(p)

85 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 85 PrincipePrincipe F Conditions de lapparition des auto-oscillations La solution du système déquations du pompage sera : Conditions de pompage

86 Copyright © : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap2 : METHODES DE BASE DIDENTIFICATION Chap. 2 / 86 Méthodologie pratique F Méthodologie pratique On augmente le gain K du régulateur jusqu'à apparition de pompage, on fixe ce gain Kcr 2. On mesure la période de lauto oscillation Tcr et on calcule K = Kcr.Ko 3. On déduit T et des formules établies Le gain K 0 est calculé à partir de lerreur statique en boucle fermée

87 Prof. Belkacem OULD BOUAMAMA LAGIS UMR CNRS 8146 Tél : (33) Fax : (33) E mail : IDENTIFICATION LST methods (chap3) IMA 3 Automatique Algorithme didentif. yr(t) ym(t) + - < adm ? u(t) non oui Modèle

88 88 Chapitre 3 METHODES STATISTIQUES

89 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 89 Limites des méthodes de base F Modèles paramétriques : Méthodes graphiques (déterministes) Peu de modèles, nécessitent signaux grande amplitude, sensibles aux perturbations, imprécises, procédures longues, impossible de valider les modèles

90 90 PARTIE 1 MODELES STATIQUES

91 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 91 Méthodes des MMC F Principe de la MMC LST La MMC est introduite par Karl Gauss en 1809 en cherchant à prévoir le Mvt. des planètes à partir des observations par télescopique SYSTEME Ys(i) Entrées Ym(i) x(i) + - MODELE Critère didentification (i) D( (i))

92 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 92 EXEMPLE : REGRESSION LINEAIRE cas continu Expérimentation N : Nbre. d'observations (d'échantillons de mesures); J = 1,2..K : Paramètre du modèle; i = 1,2...N : Numéro d'expériences; Modèle statique : Ym = F(X 1,X 2,.....X k ) Modèle Structure du modèle PROCEDE TECHNOLOGIQUE x1x1 XKXK y1y1

93 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 93 F Matrice dexpérience H No Exp. I N P U TOUTPUT 1X 11 X 21 X X j X K1 Y 1 2X 12 X 22 X X j2 X K2 Y 2 3X 13 X 23 X X j3 Y iX 1i X 2i X 3i X ji X Kj Y j NX 1N X 2N X 3N X jN X KN Y N

94 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 94 ProblématiqueProblématique F Soit donné : F Que veut on ? : Trouver : Tel que :

95 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / cas monovariable F K=1, Ym=a 0 +a 1 x Droite de régression, champ de corrélation, infinité de droites F Influence du nombre dexpériences 1. N=2 : Par deux points ne passent quune droite : E 1 =Y-Ym 1 =Y-Ym 2 =E 2 =0.? Le modèle reflète parfaitement le système ? Cas idéal irréalisable en pratique : Présence d'erreurs de mesure (Systématique, instrumentale, humaine etc.)

96 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / cas monovariable F 2. N > 2 : trouver la meilleure droite au sens des MMC Déterminer les paramètres a 0 et a 1 tel que : Ceci revient à résoudre le système déquations:

97 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / cas multivariable F K>1, Structure du modèle F Calcul des paramètres Processus aléatoire : la sortie est affectée d'un bruit V(t) : Réalisation de N expériences

98 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 98 F 1. Système non bruité V=0 Cas déterministe, si H est inversible, alors : Cas non réaliste F 2. Système bruité V#0

99 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 99 Estimation des paramètres F 2 types derreurs : Erreurs d'observation : Erreurs destimation : F Estimateur optimal Critère doptimalité Conditions d'optimalité Conditions d'observabilité : H T non singuliére et N > K

100 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 100 Biais de l'estimateur F Biais de lestimateur b b=0 : Estimateur non biaisé ( pas d'erreur d'estimation); Densité de probabilité centrée sur la valeur cherchée b # 0 : Estimateur biaisé V et H séquences corrélées ( hypothèses de régression); V est de moyenne non nulle

101 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 101 Simulation sur Matlab home disp('EXEMPLE DE CALCUL D UN MODELE DE REGRESSION') % VALEURS EXPERIMENTALES pause,home x=[1 2 3]; y_exp=[2 4 6]; pause;home disp('CHOISIR L ORDRE n DU MODELE') pause,home input n= n=ans; poly_model=polyfit(x,y_exp,n)%c'est pour trouver l'ordre du polyn^ome disp('VERIFICATION DU MODELE : ERREUR DE MODELISATION') pause,home Y_model=polyval(poly_model,x);%calcul les valeurs du modèle E=abs([y_exp' Y_model' (y_exp'-Y_model')]); ERREUR_MAX=max(E(:,3)) pause home disp('GRAPHE') pause,home plot(x,y_exp,'*',x,Y_model,'--');grid;title('VERIFICATION DU MODELE');legend('--:model, *:exp') pause;home;close disp('SI L ERREUR N EST PAS BONNE CHANGER L ORDRE n') F 1. Cas monovariable

102 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 102 Simulation sur Matlab 2. Cas multivariable disp('INTRODUCTION DES DONNES EXPERIMENTALES:') pause, home disp(' 1. MATRICE D EXPERIENCES H:') disp(' NOUS AVONS 7 EXPERIENCES ET DEUX VARIABLES X1 et X2') H= [1 3;4 2;1 5;2 1;3 4;4 5;6 8] pause,home disp('2. VARIABLE DE SORTIE Y:') y=[ ]' pause,home disp('SOLUTION : PARAMETRES ESTIMES:') teta=inv(H'*H)*H'*y; a1=teta(1) a2=teta(2) pause,home disp(' LE MODELE EST DONC; Ym=a1*X1+a2*X2') pause,home disp('VERIFICATION DU MODELE') pause,home disp('VALEURS DU MODELE') ym=polyval([a1 0],H(:,1))+polyval([a2 0],H(:,2)) %ym=a1*X1+a2*X2 pause,home disp('CALCUL DE L ERREUR DE MODELISATION') pause R=[ym,y,abs((ym-y)./y)*100] disp('ERREUR MAXIMALE') Emax=max(R(:,3)) pause,home disp('GRAPHE 3D') plot3(y,H(:,1),H(:,2),ym,H(:,1),H(:,2));grid;Xlabel('X1,X2'); Ylabel ('Modéle, Expérimentale');

103 103 INDENTIFICATION DES MODELES DYNAMIQUES Identification des modèles paramétriques discrets par la MMC

104 104 objectifobjectif Étude des méthodes didentification de modèles paramétriques discrets sur la base des E/S échantillonnées au même instant

105 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 105 PrincipePrincipe F Motivations Utilisation des PC pour la commande numérique des procédés fournit des sorties échantillonnées Intérêt dutiliser ces sorties échantillonnées pour lidentification par la MMC F Avantages Simple a mettre en œuvre Implémentation en temps réel sur calculateur sous forme récursive

106 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 106 MMC cas continu et cas discret Système à identifier CAN Modèle prédictif A.A.P. y(k) Paramètres du modèle E(k) Système à identifier Modèle continu Algorithme u(t) y(t) Paramètres du modèle CAN S.B.P.A u(t) t Cas continu : se base sur lerreur dobservation Cas discret : se base sur lerreur de prédiction

107 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 107 Particularité par rapport au MMC simple F Les méthodes des MMC dans ce chapitre appelés Méthodes basées sur lerreur de prédiction Considère que lerreur déquation E(k) dit résidu est un bruit de mesure entre la sortie réelle y(k et la sortie prédite du modèle (alors que MMC simple erreur entre système réelle et le modèle F Objectifs de ce chapitre Étude des principales méthodes des MMC basées sur lerreur de prédiction Identification tems réel Méthodes récursives Méthodes à fenêtre glissante Méthodes pondérées

108 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 108 Caractéristiques des méthodes paramétriques statistiques F éliminent les défauts mentionnés précédemment F algorithmes non récursifs MMC simple F (récursifs (Traitement pas à pas des données), permet suivi des paramètres en temps réel F opérant avec des signaux dexcitation extrêmement faibles (SBPA de faible niveau) F permet de modéliser les perturbations et bruits capteurs (et supprimer) F traitement aisé du signal (analyse spectrale) Comment commence t on? On choisit une structure procédé+perturbation pour l identification une structure non adaptée entraîne un biais Et ensuite?

109 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 109 Représentations des modèles échantillonnés F 1. MODELE ARMA (Auto Régressif à Moyenne Mobile » Soit un signal y(t) généré par un signal dentrée u(t) u(t) et y(t) sont représentés par leur échantillons à des instants k, ………….k u(k) PROCESSUS ………….k y(k)

110 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 110 Modèle ARMA : représentation temporelle F Modèle décrit par un modèle ARMA dordre (n,m): Intérêt dune telle représentation A une infinité déchantillons pour représenter un signal on a un nbre fini de paramètres pour reconstituer le signal Schéma bloc du modèle ARMA + - u(k) Si a 0 =0, le modèle est non causal

111 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 111 Représentation ARMA : cas général F Connaissant les sorties du système échantillonné y(k), on calcule la sortie prédite: y(k-1), ….y(k-n) : Échantillons dun signal analogique de sortie y(t) aux instant k, k-1,….k-n u(k-d),…u(k-m-d) : Échantillons de lexcitation dentrée u(t) qui a généré y(t) d : retard pur multiple de la période déchantillonnage Te compté en nombre entier de Te K : temps discret normalisé (temps réel) divisé par la période déchantillonnage : k=t/Te bj et ai : paramètres du modèle

112 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 112 Modèle ARMA : représentation fréquentielle F Introduisons lopérateur retard Z -1

113 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 113 Transformée en Z du modèle ARMA F Transformée en Z F Le modèle ARMA est donc un filtre dE/S u(Z) y(Z)

114 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 114 Modèle AR (Auto regressif F Cas : b j =0 (i=1,…m) F Le modèle est dit : « TOUT POLES »

115 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 115 Modèle MA (Auto regressif F Cas : a i =0 ( i > 0 ) F Le modèle est dit : « TOUT ZERO »

116 116 CALCUL DES PARAMETRES DES MODELES DISCRETS 1. MMC SIMPLE

117 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 117 Système bruité F Soit le système dynamique bruité F Soit E vecteur des erreurs de modélisation + +

118 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 118 Détermination des paramètres F Réalisons N expériences Les valeurs y(1),…y(n) et les entrées correspondantes sont connues : conditions initiales Cond. Initi. N exp.

119 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 119 F Écriture matricielle du système dexpériences F Résolution du problème au sens des MMC Conditions dexpériences : N >= n+m

120 120 METHODE DES MMC GENERALISEES 1. LIMITES DE LA MMC SIMPLE

121 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 121 LIMITES DE LA MMC SIMPLE F Propriétés statistiques de lestimateur Lestimateur est une variable aléatoire car elle dépend de y(K) : La valeur moyenne (Espérance mathématique ) de E( ) sera

122 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 122 F Définitions : Biais de lestimateur Un estimateur correct (sans biais) impose : F Conditions pour avoir un estimateur sans biais Un estimateur est sans biais ssi on a:

123 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 123 F On peut écrire : F sont des fonctions de corrélation Alors (le coef. de corrélation est nulle sil ny a pas de corrélation) : Bruit non corrélé avec les données dexpériences : Ce sont justement les hypothèses pour construire un modèle de régression ssi

124 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 124 F Analyse de la condition du biais F Lestimateur optimal est sans biais : 1.si le bruit E(k) est une séquence non corrélés avec H(k) 2.ou E(k) est un bruit centré

125 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 125 ConclusionsConclusions F Le biais serait nul si : Le bruit auquel est assimilé lécart (modèle –système réel) était blanc Le bruit E et la matrice des expériences H ne sont pas corrélés F Quel sens ? La valeur exacte recherchée du vecteur paramètre serait égal à la moyenne de tous les vecteurs optimaux obtenus en répétant N fois les expériences Lestimation est alors biaisé si les observations ont affectées dun bruit corrélé avec les mesures F Que faire alors si les observations ont affectées dun bruit corrélé avec les mesures ?

126 ESTIMATION DES PARAMÈTRES DE MODÈLE AFFECTÉ DUN BRUIT CORRELES

127 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 127 Principe de la méthode MCG (GLS) F Objectifs Obtenir une estimation optimale non biaisée dans le cas dune observation avec un bruit corrélé Mots clefs : Blanchissement du résidu F Modèle ARMA bruité Montrons que même si le bruit de mesure est un bruit blanc non corrélé, lestimation est biaisé (car la structure ARMA modifie le bruit de mesure en une séquence corrélée)

128 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 128 Notion de résidu F Soit un modèle ARMA non bruité F Système affecté dun bruit v(k) à lentrée et à la sortie ARMA + + +

129 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 129 Résidu corrélé F Pourquoi le bruit v(k) devient un résidu r(k) corrèle ? F Si le bruit agit à lentrée on obtient : RÉSIDU : est un bruit corrélé

130 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 130 F Méthodologie Soit Sous forme fréquentielle (en introduisant Z -1 ), elle devient : Supposons que le résidu r(k) est généré par un bruit blanc v(k) à travers un filtre :

131 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 131 Méthode de Clarke (1967) F On a vu : la structure du modèle introduit bien un bruit corrélé Comment alors obtenir un bruit blanc ou qui ses approche F Méthode de Clarke (1967) ou méthode GLS : Elle consiste à transformer par filtrage successif les données expérimentales pour obtenir un écart (modèle - système) qui devient un bruit blanc

132 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 132 F Analyse, lexpression obtenu est un modèle : Sur ce modèle agit un bruit blanc v(k), les E/S sont : On peut alors noter ce nouveau modèle Quel est le sens physique de cette expression ? Yr(k) Ur(k)

133 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 133 Le modèle en terme de schéma bloc PROCESSUS +- Bruit blanc Si lon filtre les données y(k) et U(k) on obtient lerreur déquation qui sera un bruit blanc (sortie Ur et y r. Ces sorties Ur et y r sont traitées alors par laméthode MMC simple avec un estimateur sans biais des coeff. de A(Z -1 ) et B(Z-1) ALORS IL FAUT DETERMINER LE FILTRE C(Z -1 ) ???? ERREUR GENERALISEE

134 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 134 Estimation des coefficients de v(k) F Si C(Z -1 ) est connu alors on peut estimer Mais : la dynamique du bruit C(Z -1 ) nest pas connu Comment calculer les paramètres de C(Z -1 ) ? F Estimation de C(Z -1 ) Dans le domaine fréquentiel on a: En traduisant dans le domaine temporel v(k) on a : Le problème revient alors à estimer par la MMC les paramètres de v(k)

135 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 135 F Méthode MMC appliqué à r(k) Relevons les mesures effectuées de p à N. On peut écrire : Nous sommes en présence de modèle classique où V est un bruit blanc, C : le vecteur des paramètres à déterminer R : Étant la matrice dobservations des erreurs inconnues C : Vecteur des erreurs inconnus

136 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 136 F Comment calculer C ? On ne connaît ni la matrice R ni le vecteur r F Alors on les détermine dune façon itérative 1. Soit donné :

137 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 137 F 1. Estimation du vecteur des paramètres F 2. Calcul des résidus F 3. On construit le filtre C(Z -1 ) à partir du résidu r F 4. On filtre les données y et U pour obtenir yr et ur

138 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 138 F 5. Connaissant yr et Ur on forme un nouveau vecteur H pour calcule de nouveau et on réitère lopération F 6. Quand sarrêter ? Critère de convergence Soit S : le nombre ditérations C i (Z-1) : le filtre obtenu au ième pas de calcul Le filtre global sera alors : Si n est lordre de chaque filtre Ci, lordre du filtre global C(Z-1) est nS Si on veut avoir un filtre qui ne dépend que du nombre ditérations on fixe n=1

139 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 139 Solutions pour la convergence F On fixe le nbre ditérations à priori Procédure arbitraire F Arrêt du programme quand les paramètres C du filtre deviennent petits Difficile à préciser numériquement F Arrêter quand On sarrête quand la diminution du critère nest plus significative en général : J/J < 1%

140 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 140 Algorithme MCG Début Lecture des données H N (0)= H N, y N (0)= y N, i=0, Calcul de lestimateur Calcul des résidus Calcul du critère doptimalité Calcul des paramètres du filtre Filtrage des données oui Non

141 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 141 Étape de filtrage : 2 manières F 1. Filtre dordre constant en filtrant tj le même jeu de données Problème : choix de lordre de C(Z -1 ) F 2. Filtre dordre variable en filtrant les données précédemment filtrées Cette approche consiste à mettre en série i filtres Ci(Z -1 ) sur les données initiales Problème : coûteuse car on aura n mesures supplémentaires à chaque pas

142 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 142 ConclusionsConclusions F Inconvénient Introduction dun grand nbre de données à la fois Nécessite linversion de la matrice C (de grandes dimensions) F Avantages Performante surtout dans le cas dun signal riche (SBPA) Si les paramètres statistiques du bruit sont connus, le filtre C(Z -1 ) est parfaitement déterminé : on a alors directement un estimateur sans biais des coefficients de A(Z -1 ) A(Z -1 ), C(Z -1 ) et B(Z -1 )/ C(Z -1 ) donc des coefficients de la FT du modèle

143 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 143 Différents types de modèle F 1. Modèle ARX (AutoRégressive à Entrée Exogène) Modèle utilisé pour la MMC simple. Équation de récurrence Paramètres à déterminer : na : nbre de pôles, nb-1: nbre de zéros d : le retard pur

144 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 144 Différents types de modèle F 2. Modèle ARMAX (AutoRégressive à Moyenne Ajustée et entrée exogène) Équation de récurrence Paramètres à déterminer : na : nbre de pôles, nb-1: nbre de zéros d : le retard pur nc : ordre du modèle de la dynamique du filtre

145 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 145 Différents types de modèle F 3. Modèle OE (Output-Error) basé sur lerreur de sortie Équation de récurrence Paramètres à déterminer : nb, d, et nf

146 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 146 Différents types de modèle F 4. Modèle BJ (Box Jebkins) Modèle utilisé pour distinguer la dynamique du modèle et du générateur du résidu Paramètres à déterminer : nb, nf, nc, nd et d

147 147 METHODES RECURSSIVES

148 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 148 F Limites de la MMC simple F Principe de la RLST Alors l'estimateur, tenant compte des (N+1) observations sera :

149 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 149 F Le stimateur de la nouvelle mesure F Le gain dadaptation ou facteur de pondération de la mise à jour apportée par la nouvelle mesure

150 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 150

151 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 151 INITIALISATION DE L'ALGORITHME F P(0) = diag(1000); 0)=0. F PROBLEME DE DECROISSANCE DU GAIN F Inconvénient de la RLST

152 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 152 MMC AVEC FENETRE GLISSANTE F PRINCIPE : Tronquer les observations à travers une FENETRE de largeur N constante que l'on "glisse" au fur et à mesure que les échantillons arrivent

153 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 153 F Estimateur optimal La formule met en évidence la contribution dans la nouvelle estimée de l'enrichissement dû à l'observation à l'instant K+1 d'une part et de la contribution de la K-N iéme observation qui doit être retranchée d'autre part de l'estimation précédente. F Limite de la méthode

154 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 154 MMC AVEC FACTEUR DE PONDERATION F Princiope CRITERE CLASSIQUE PONDERATION HOMOGENES DES Ei Pondération des erreurs

155 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 155 F Choix de la pondération On recommande progression géométrique < 1 : Favorise les premières mesures (Facteur d'oubli); > 1 : Favorise les dernières mesures par rapport aux premières F Critère doptimalité

156 Copyright© : Prof. B. Ould Bouamama, PolytechLille Chap3 : METHODES STATISTIQUES DIDENTIFICATION Chap.3 / 156 F RLST AVEC FACTEUR DE PONDERATION


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